• 研报介绍了PDSim包，旨在实现多项式扩散模型下商品期货价格的模拟与估计，通过R语言及交互式Shiny应用支持用户操作 [page::0].

- PDSim软件整合了经典的Schwartz-Smith两因子模型，该模型通过短期波动因子$\chit$与长期均衡因子$\xit$表达原油期货现货价格对数，可通过均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程建模，并以卡尔曼滤波对隐含因子进行估计 [page::1][page::2].

• 多项式扩散模型允许价格为潜变量的多项式形式（目前支持二次多项式），提升了对商品期货价格异常波动的适应能力，核心是利用生成元矩阵对多项式函数期望的闭式解，通过非线性状态空间模型与EKF、UKF滤波器配合实现估计 [page::3][page::4].

- PDSim支持三种滤波方法：线性卡尔曼滤波(KF)用于Schwartz-Smith模型，扩展卡尔曼滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(UKF)用于多项式扩散模型，显著提升了非线性模型的滤波性能。流程图清晰展示各滤波算法的实现步骤：

[page::5][page::6]

• PDSim与现有R包进行了比较，现有包多集中于线性模型及贝叶斯推断，不支持多项式扩散模型，且PDSim内置了滤波实现以实现最佳兼容性 [page::7].

- 用户界面设计简洁，支持指定模拟参数（交易日数、合约数量、模型选择、滤波方法、多项式系数等），以及生成和下载模拟数据，方便进行模型测试与验证：




- 用户可通过参数调整探索模型灵敏度，生成多组模拟数据，以辅助研究和教学 [page::7][page::8][page::9].

• 软件支持跨平台部署，除本地执行外，还可在Shiny服务器和Docker容器中运行，扩展了使用场景和灵活性。依赖多种R包，代码开源托管于GitHub，方便社区维护与拓展 [page::10][page::11].

- PDSim内置了单元测试模块验证功能有效性，包括覆盖率测试、结果复现等，确保实现与理论相符，提高软件可信度 [page::10].

金融软件研究报告深度分析报告

报告题目：PDSim: A Shiny App for Polynomial Diffusion Model Simulation and Estimation
作者：Peilun He（通讯作者），Nino Kordzakhia，Gareth W. Peters，Pavel V. Shevchenko
发布机构及背景：作者分别隶属于澳大利亚麦考瑞大学保险精算与商业分析系、数学与物理科学学院以及美国加州大学圣塔芭芭拉分校统计与应用概率系。报告发表于开放科研软件期刊，介绍一款基于R语言的模拟与估计软件包PDSim。
主题聚焦：复杂的商品期货价格建模，特别是利用多项式扩散模型（Polynomial Diffusion model, PD模型）进行期货价格的仿真与估计。软件整合了经典的Schwartz and Smith两因素模型，并支持非线性滤波算法（扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波）。

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1. 报告概览与核心论点

PDSim软件是首个专门支持多项式扩散模型的R语言包。通过Shiny Web 应用提供了无需代码的友好界面，用户可通过该平台输入模型参数，完成商品期货价格的模拟和标的隐状态变量的估计。模型底层主要包括Filipović和Larsson提出的多项式扩散模型理论，以及Schwartz和Smith的经典双因子模型。软件采用扩展卡尔曼滤波（EKF）及无迹卡尔曼滤波（UKF）实现对非线性状态空间问题的估计。部署灵活，支持本地运行、Shiny服务器以及Docker容器。
核心信息总结如下：

• 传统商品期货建模多数依赖基于Ornstein-Uhlenbeck过程的Gaussian模型，限制在于必须满足价格均为正且波动符合对数正态分布，难以处理极端价格事件。

- 多项式扩散模型放宽对价格分布的假设，允许价格为隐藏因素的多项式函数，能更灵活地模拟复杂现象。

• PDSim平台集成仿真与估计工具，加强了学术研究与实务应用的交互，支持多因素建模中的参数识别和动态估计，极大降低模型使用门槛。

- 目前尚无其他R包能同时支持该模型和滤波方法，PDSim填补了此类软件空白。

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2. 逐节深入解读

(1) 引言与背景介绍 [page::0,1]

介绍了商品期货价格建模的金融背景，指出Ornstein-Uhlenbeck过程与Schwartz-Smith两因素模型的历史地位。强调两因素模型将现货对数价格分解为短期波动因子与长期均衡因子，二者均假设为均值回复的正态过程。该模型广泛用于能源、农业等品种期货定价。

同时报告指出，传统模型假设的对数价格为线性因子组合而呈对数正态分布这一假设受极端事件挑战。以2020年4月20日WTI原油期货价格跌至负值事件说明传统框架无法覆盖该极端现象。

为解决此局限，引入了多项式扩散模型（PD模型）：价格不再局限于对数形式的线性因子，而是因子的多项式，具有更丰富的价格分布结构。此模型在文献中已有数学定义和部分应用（电力期货建模）案例。

(2) Schwartz-Smith模型数学表达 [page::1,2]

详细阐述了经典Schwartz-Smith模型：

• Spot对数价格为两因子之和：$\log(St)=\chit + \xit$，其中$\chit$负责短期波动，$\xit$表征长期均衡。

- 两因子均为风险中性下的Ornstein-Uhlenbeck过程，定义参数包括均值回复速率$\kappa, \gamma$，长期均值$\mu\xi$，风险溢价$\lambda\chi, \lambda\xi$，波动率$\sigma\chi, \sigma\xi$，以及因子间相关系数$\rho$。

• 在风险中性测度下，远期价格为未来现货价格的条件期望，完成了无套利价格框架。

- 离散时间下构造了线性高斯状态空间模型，将隐因子系列$xt$与观测数据$yt$线性关联，满足卡尔曼滤波条件。

模型完整细节和参数解释全面，支持通过方差矩阵$\Sigmaw$和$\Sigmav$描述过程与观测噪声，保证统计估计的可实现性。

(3) 多项式扩散模型核心理论 [page::3,4]

• 多项式扩散模型的Spot价格表达为隐藏因子的多项式，比如二次多项式形式：

$St = \alpha1 + \alpha2 \chit + \alpha3 \xit + \alpha4 \chit^2 + \alpha5 \chit \xit + \alpha6 \xit^2$
其中$\alphai$为多项式系数，是模型需估计的关键参数。

• 因子沿用带风险溢价的Ornstein-Uhlenbeck过程，符合多项式扩散定义，即扩散矩阵和漂移项分别为一阶或二阶多项式，从而生成多项式扩散过程。

- 报告详述生成子算子$\mathcal{G}$及其作用于多项式空间后的矩阵表示$G$，并导出重要理论结果（Theorem1）：

条件期望$\mathbb{E}[p(XT)|\mathcal{F}t] = H(Xt)^\top e^{(T-t)G} \vec{p}$，
说明多项式期望亦为多项式，确保可计算远期价格。

• 基于理论构建了非线性状态空间模型，观测方程非线性，但有良好数学结构。

- 该多项式扩散模型在远期价格表示上比传统模型更灵活，能捕获更复杂的价格行为。

(4) 滤波估计方法比较及实施 [page::4-6]

• 传统Kalman滤波器（KF）仅适用于线性高斯系统，故用于Schwartz-Smith模型。

- 多项式扩散模型因非线性观测方程不可用KF，采用扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）来处理。

• EKF通过一阶泰勒线性化观测和转移方程，再行KF处理。

- UKF采用确定性sigma点传播状态分布，计算无偏状态及协方差估计，捕获非线性特点更好。

• 软件实现了这三种滤波方法以支持不同模型，保障对多样需求的兼容。

- 附带流程图清晰展示EKF、UKF算法步骤，方便用户理解滤波机理。

(5) 软件比较与架构实现 [page::7-10]

• 目前类似的R包如NFCP支持多因素定价但未涵盖多项式扩散模型。

- Kalman滤波相关的R包较多，但均有不同限制或针对贝叶斯推断，且无现成包支持PD模型结合EKF/UKF估计。

• PDSim为填补此空白而自主开发滤波及模型工具。

- 软件提供GUI，令非程序员用户也能指定参数完成模拟，提升易用性。

• 具体界面示例展示参数输入、模型选择（Schwartz-Smith或多项式扩散）、滤波方法选择等功能。

- 所有数值模拟结果均可导出为CSV便于后续分析。

• 多项式模型需额外输入多项式系数$\alphai$，用户可自由设定，支持对多项式阶数调节。

- 软件设计结构合理，注重用户交互和可视化，支持多层次用户需求。

(6) 软件质量控制与验证 [page::10]

• 通过复现经典Schwartz-Smith模型结果，验证模型实现正确性。

- 提供两模型仿真与估计的置信区间图，进一步检验滤波器实现与估计精度。

• 包含单元测试工具，通过覆盖率指标保证参数合理性和软件稳定性。

- 测试结果和代码完全开源，方便学术和行业复现与扩展。

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3. 重要图表深度解析

图1（EKF流程图）[page::5]

• 显示扩展卡尔曼滤波基本步骤：初始化参数，根据时间迭代，预测状态与协方差，计算观测残差，更新卡尔曼增益，以及更新状态估计和误差协方差。

- 该流程图简洁明了，标示矩阵Jacobian计算及噪声的引入，体现EKF如何局部线性化非线性系统。

• 支撑文本中EKF方法的实现说明，体现滤波核心步骤。

图2（UKF流程图）[page::6]

• 展示UKF初始化sigma点，权重规划，通过非线性状态方程传递sigma点，计算预测均值和协方差，再用观测更新步骤调整状态估计。

- 突出UKF不直接线性化，而用采样点来逼近状态概率分布，能更好适应非线性。

• 与EKF图表对比，说明不同滤波技术适应不同模型复杂性。

图3-6（软件界面截图）[page::7-10]

• 图3为模型选择与全局参数设置界面，用户指定时间长度和合约数，方便初始模型配置。

- 图4展示Schwartz-Smith模型具体参数输入表单，覆盖均值回复速度$\kappa,\gamma$，波动率，风险溢价，相关系数等，体现丰富参数设定能力。

• 图5为导出模拟数据按钮界面，直接便捷输出多种文件，支持后续建模分析。

- 图6为多项式扩散模型参数输入，除基础因子参数外，还包含多项式系数$\alpha1...\alpha6$和滤波算法选择，体现模型多样性和灵活配置。

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4. 估值与模型数学基础分析

• 报告核心估值工具为基于多项式扩散模型生成的非线性状态空间模型及相应滤波估计。

- 采用生成子$\mathcal{G}$矩阵方法计算期货价格的条件期望，保证估值过程的数学严谨性和计算可行性。

• 理论上的无套利假设和风险中性测度框架为估值奠定金融经济基础。

- 通过滤波方法对隐含因子进行时序估计，进而估算期货价格曲线，实现理论与数据的良好拟合。

• Scharwtz-Smith模型则利用线性高斯卡尔曼滤波实现估值，因其闭式可解性，适合作为基准模型。

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5. 风险因素与局限性分析

• 经典模型的单一高斯假设易受极端行情冲击（例如2020年负油价事件），多项式模型虽然更灵活，但实际参数估计增复杂度增加。

- 软件实现依赖EKF和UKF的递推滤波，可能受初始参数设定和线性化误差影响，导致估计偏差。

• 多项式系数的选择与标定是关键，错误设定可能引发过拟合或数值不稳定。

- 目前定义多项式度最高为二次，虽然理论可扩展，但高阶多项式的估计和计算资源要求尚未完全解决。

• 交互界面虽然便捷，但对参数间相互影响及模型识别问题缺乏自动诊断，用户需谨慎解释输出结果。

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6. 批判性视角

• 报告作者强调了多项式扩散模型的理论优势及软件的便捷性，但未详细讨论参数估计过程中潜在的多重极值问题或滤波器对模型假设的敏感性。

- 滤波方法选择仅限EKF、UKF，两种均为递推滤波，未涉及更复杂的粒子滤波或贝叶斯方法，可能限制处理模型的非高斯特征。

• 软件尚未整合真实市场数据的校验案例，主要基于仿真验证，缺乏实证性能展示。

- 报告未提及模型在实际复杂金融市场环境中速度与性能瓶颈，提示未来优化空间。

• 交互界面便捷，适合快速探索，但是否适合大规模实务数据处理仍未体现。

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7. 结论综合

本报告全面解析了PDSim软件的设计理念、模型理论和实现细节，聚焦多项式扩散模型在商品期货价格建模中的应用突破。软件配备强大的滤波估计方法，支持经典Schwartz-Smith模型与创新多项式模型，融合数学严格性与用户友好界面，为研究者和实务用户提供了一体化的仿真与估计平台。

小结重点：

• 通过数学理论支撑与算法实现，PDSim已成为迄今唯一支持多项式扩散模型的R包，具有重要开创意义。

- 利用生成子与矩阵表达简洁公式化衔接多项式状态估计和期货价格推算，保证估值的金融合理性。

• 滤波算法选择灵活，适配线性及非线性问题，增强对真实复杂现象的建模能力。

- 软件界面设计突出参数交互和可视化分析功能，降低非专业用户使用门槛。

• 质量控制全面，覆盖经典模型复现和仿真实验，为后续应用打下坚实基础。

- 存在参数估计复杂、滤波灵敏度及实测验证缺失的潜在不足，有待后续完善。

综上，PDSim作为一个创新的开源金融建模工具，在学术和业界具有重要应用潜力，尤其适合对商品期货建模感兴趣的研究者在理论测试与模型探索阶段使用。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]

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参考图示

图1：EKF流程图



图2：UKF流程图



图3-6：PDSim软件界面示例

（涉及模型选择、参数输入、数据导出等交互操作，见原文图片[page::7-10]）

报告