研究贡献与理论创新 [page::3]

• 建立了占据过程的伊藤微积分，定义占据导数和占据函数的线性微分，推导出简洁的占据伊藤公式，将占据导数替代传统时间导数。

- 证明占据过程$(\mathcal{O},X)$的马尔可夫性质，使得路径依赖问题可用有限维状态变量描述。

• 推导费曼-卡克公式，关联基于占据流的路径依赖偏微分方程，有利于经典椭圆偏微分方程技术的应用。

占据流与金融衍生品统一表达 [page::4][page::17][page::20]

• 占据流$\tilde{\mathcal{O}}$或$\mathcal{O}$作为状态变量，可描述多种路径依赖外生期权：亚洲期权、障碍期权、回望期权及占据时间衍生品（累积时间、Space indicator-based options）。

- 跨产品统一框架允许通过一类偏微分方程及对应的数值 PDE/BSDE 解算器统一定价及灵敏度计算。

• 提出深度 BSDE 方法将神经网络用于估计策略的增量过程，有效处理高维路径依赖问题，提升金融计算效率。

方差衍生品与占据流的扩展应用 [page::20][page::21]

• 通过占据流表达走廊方差互换（Corridor Variance Swap）与计时期权（Timer Option），占据级数$\mathcal{O}t([x1,x2])$即置信区间内方差累积时间。

- 动态构造基于占据流的局部占据波动率（LOV）模型，$\sigma^2(\mathcal{O}t^\kappa,Xt)$包含局部波动率以及基于占据灵敏度的非线性校正。

• 神经拟合方法有效标定LOV模型并计算占据灵敏度，捕捉路径依赖下的波动率微观变化特征。

局部占据波动率（LOV）模型与神经网络标定 [page::26][page::27][page::29][page::31][page::32][page::33]

• 利用占据流的线性微分算子将局部波动率扩展为LOV模型，允许灵敏度函数$\ell(t,Xt,x)$动态调整波动率以拟合市场微观结构。

- 离散化分箱处理 occupation measure，配合粒子方法估计条件期望，实现大规模仿真和参数训练。

• 神经网络键入占据流与价格输入变量，采用Adam优化算法进行欧式期权市场价格拟合，标定误差收敛至买卖价差以下。

路径依赖与灵敏度分析 [page::33][page::39]

• 标定结果明确显示标的价格与局部波动率的路径依赖性，波动率水平与价格呈杠杆效应关系。

- 灵敏度函数$\ell(t,Xt,x)$关于位置$x$相对于当前价格$Xt$呈现符号变化，符合金融市场中波动率与价格负相关的杠杆效应。

• 利用自动微分计算神经网络中占据流变量的偏导数，实现灵敏度函数的准确估计与行为分析。

前向占据模型与方差衍生品 [page::34][page::35][page::36]

• 提出了基于前向占据时间的前向方差模型，推广传统前向方差$\xit^T$至以占据测度$\mathfrak{o}t^T$形式描述的方差曲面。

- 明确了该测度的鞅表示及其矢量价值的测度性质，可解释为衍生品市场中刻画不同价格区间波动率贡献的丰富模型。

• 通过具体Bergomi和Affine模型案例展示模型结构及相关占据流的伊藤链式法则。

最优停时问题中的局部时间行使 [page::37][page::38][page::39][page::40][page::41]

• 研究局部时间场$Lt^{Xt}$的最优停时问题，结合占据过程，构造对标模型并建立对应停时区域的偏微分方程及粘性解性质。

- 设计基于局部时间的巡检停时策略及Longstaff-Schwartz节点泛函回归方法，有效计算最优停时价值，验证显著早行使溢价。

• 以局部时间的窄区间近似序列证明价值函数收敛，并通过蒙特卡洛模拟验证收敛速率及数值稳定性。

占据测度的时间排列不变性 [page::42][page::43]

• 严格定义时间排列子群$\mathfrak{S}_T$，验证占据时间测度对路径时间置换逆转保持不变。

- 证明路径功能等价于占据测度的函数，系统识别投资标的路径排列不变性类衍生品，如区间占据时间合约等。

报告详尽解析：《Occupied Processes: Going with the Flow》

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1. 元数据与概览

• 标题：Occupied Processes: Going with the Flow

- 作者：Valentin Tissot-Daguette，现任Bloomberg CTO办公室量化研究员

• 日期：2025年9月1日

- 主题：占据过程的数学构建及其在金融衍生品定价、波动率建模和路径依赖问题中的应用

核心论点及信息传递

报告提出了一种基于占据流（occupation flow）的马尔可夫过程构建，定义了占据过程$(\mathcal{O}, X)$，其中$X$是原始马尔可夫过程，$\mathcal{O}$是其在每个水平停留时间的累积表示。占据过程继承了经典马尔可夫性，作者发展了针对这类过程的Itô微积分，位于传统Itô和Dupire泛函Itô之间。通过Feynman-Kac公式，推导出一类高维路径依赖偏微分方程（PDE），将占据流作为时间变量，使得空间变量保持有限维，方便数值方法求解。

在金融上，该框架统一处理不同奇异期权（exotic options）和波动率衍生品，为衍生品定价和风险管理提供单一数值解算器。作者还提出了局部占据波动率（Local Occupied Volatility，LOV）模型，既能校准欧式期权市场，又具备捕捉波动率路径依赖特征的能力。

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2. 逐节深度解读

2.1 Introduction 引言与研究动机

报告从布朗运动的局部时间表述出发，提出占据流$\mathcal{O}t$作为整体路径在不同空间水平上的停留时间度量，是路径的状态空间扩展。通过该扩展，解决了传统涉及局部时间的随机控制和最优停止问题的复杂性，恢复了条件可依赖于占据过程的严格马尔可夫性（Proposition 2），从而实现问题的简化和系统化处理。

关键数学定义：

> 占据流$\mathcal{O}t(A) = \int0^t \mathbf{1}A(Xs) d\langle X\rangles$，是路径$X$在集$A$上通过其二次变差$\langle X \rangle$加权的停留总时间。

当$X$连续时，$\mathcal{O}$可视为正有限测度族，$Lt^x$为其Radon-Nikodym导数，即局部时间。

此外，报告区分了“日历时间占据流”（以时间积分定义）与“变差时间占据流”（以二次变差定义），前者更普适，但后者具备很好绝对连续性，确保局部时间存在。

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2.2 Occupied Processes 定义与性质

• 定义 1：占据过程$(\mathcal{O}, X)$是有限测度空间$\mathcal{M}$与实值空间$\mathbb{R}$的元组，$\mathcal{O}$满足强时间可加性（Proposition 1 I），几乎处处绝对连续（Proposition 1 II），满足占据时间公式（Proposition 1 III）。
• 局部时间场$Lt^x$是占据流的密度，具有适当的正则性。
• 路径空间与测度空间的向量空间结构（占据流测度的可加性）为路径依赖函数的分析提供便利，区别于仅有路径空间结构的困难。
• 引入了一系列度量$\mathfrak{m}p$在$\mathcal{M}^\lambda$上，尤其$p=1$（变化总量）$p=\infty$（最大值)，后者在后续局部时间分析中极重要。

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2.3 Itô Calculus（Itô微积分）

• 创新点在于定义了作用于测度空间的线性导数$\delta{\mathfrak{o}} f$作为占据流方向的变分计算工具。

- Occupation derivative$\partial0 f(\mathcal{O}t, Xt) = \delta{\mathfrak{o}} f(\mathcal{O}t, Xt)(Xt)$，对应加上质量为Dirac $\delta{Xt}$对函数的灵敏度。

• 主要结果（Theorem 3.1）表明，对于满足适当正则性的函数$f$，占据过程满足简洁的Itô引理：

$$
d f(\mathcal{O}t, Xt) = \left(\partial0 + \frac{1}{2}\partial{xx} \right) f(\mathcal{O}t, Xt) d\langle X \ranglet + \partialx f(\mathcal{O}t, Xt) d Xt,
$$
与传统Itô微积分类似，但将时间导数替换成占据导数。

• 报告通过示例展示了该公式对经典Itô的内涵、局部时间、运行最大值等的统一刻画。
• 链接Dupire泛函Itô微积分的时间偏导和占据导数等价，建立起函数依赖路径的严密微积分框架。

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2.4 Occupied SDEs（占据过程驱动的随机微分方程）

• OSDE形式：

$$
\begin{cases}
d \mathcal{O}t = \delta{Xt} d\langle X \ranglet, \quad \mathcal{O}0 \in \mathcal{M}, \\
d Xt = b(\mathcal{O}t, Xt) dt + \sigma(\mathcal{O}t, Xt) d Wt,
\end{cases}
$$
将占据流纳入SDE系数，既涉及占据流的加权平均又包含局部时间信息。

• 设定完善的度量空间及有界-利普希茨距离构造规范（Theorem 3.3）保证解的存在性唯一性。

- 利用Itô公式延伸应用到OSDE求解，导出用占据导数的费曼-柯克公式与相应路径依赖的偏微分（椭圆）方程（Theorem 3.5）。

• 通过终止时间为累计变差时间的随机时刻，将时间换成占据流的总质量，实现时间改变和状态空间扩充统一处理。

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2.5 Applications in Finance 金融领域的统一马尔可夫拓展

4.1 Exotic Options（奇异期权）

• 占据流能够将多种路径依赖期权特征统一表示。

- 例如，亚洲期权的路径平均是日历时间占据流的线性函数；障碍和窥视期权的极值区间对应占据流的支持集合；占据时间衍生品通过占据流的测度值表达（公式51）。

• 这种统一使得能够基于占据流的标的过程解偏微分方程，利用Feynman-Kac求解期权价格和希腊字母敏感度，通过单一数值解算器方便地处理复杂衍生品组合。
• 图3直观展示了衍生品类别、对应的占据表达以及基于“占据波动率”的模型到求解器最终获得价格与希腊字母的流程。

- 该方法借助BSDE结合神经网络深度学习技术实现高维路径依赖问题的数值高效求解，显著降低传统路径维度爆炸问题。

4.2 Variance Instruments（波动率衍生品）

• 占据流同样统一表示停时波动率、加权波动率等多种波动率产品特征（图4），包括计时期权、走廊方差掉期（CVS）等。
• 计时期权为累计二次变化率达到某阈值的浮动终止时间点期权，基本定价PDE仅含累计方差（61页示例12）。

- 走廊方差掉期浮动腿即为占据流在指定区间的测度。（示例11）

• 利用占据流（及其前向版本）可设计新型波动率衍生品，如基于局部占据流构建权重方差指数期权，方便市场开拓和风险管理。

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2.6 Occupied Volatility Models（占据波动率模型）

• 引入局部占据波动率(LOV)模型，将波动率建模为占据流$\mathcal{O}t^\kappa$及当前价格$Xt$的函数（64页及后续）。

- 使用指数加权占据流吸收历史信息和记忆衰减，解决传统局部波动率模型忽略路径信息的问题（图23）。

• Guyon玩具模型示例（66页）：波动率逆向依赖于资产相对其加权平均价格的函数，体现杠杆效应。
• 数值方面，设计基于分区的低维占据流表示的模拟算法，结合粒子方法估计条件预期（27页及算法1）。

- LOV模型既保证标的价格过程的完整性，又能灵活拟合市面欧式期权曲面，克服局部波动率模型的内在缺陷（无法精确表达路径相关波动结构）。

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2.7 Neural Calibration and Sensitivities（神经网络标定与灵敏度）

• 采用神经网络参数化占据波动率函数（76页），通过最小化模型价格与市场欧式期权价格之间的加权平方误差实现高效校准（算法2）。

- 训练实现以标的历史占据时间与即期价格作为输入，输出波动率，且仅用单一神经网络跨全时间步，减少训练成本。

• 利用自动微分技术计算占据波动率对占据时间的敏感度$\ell(t,Xt,x)$（线性导数），揭示波动率随着资产在不同空间水平停留时间变化的影响（78页）。

- 实证分析（图11、12）展示神经网络结构有效捕捉波动率的路径依赖性及其空间敏感度形态，符合预期。

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2.8 Forward Occupation Models（前向占据流模型）

• 报告提出将经典前向方差模型推广为包含空间信息占据流的占据流扩展，对方差的前向分布不仅依赖完成时间，更考虑路径空间的前向分布特征。（图13及例子15、16）

- 利用前向占据流$\mathfrak{o}t^T$逐点表示期权即期价值和前向分布，细化市面流动性工具的定价基础。

• 前向占据流的随机动力学由带向量测度的鞅表示给出，可用于构建丰富的波动率动态模型，有望支持加权波动率等新型衍生品产品定价。

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2.9 Stopping Problems for Spot Local Time（基于局部时间的最优停止问题）

• 研究涉及最优停止问题，奖励为某时刻局部时间$L\tau^{X\tau}$，反映路径在当前状态的停留密集程度。

- 建立了动态规划原理及对应占据微分算子的障碍问题（バリア问题）偏微分方程（93页），确保值函数满足占据导数形式的自由边界问题。

• 构造简单的启发式停止规则（观察最大局部时间点的再次访问）和基于Least Squares Monte Carlo回归的深度逼近，数值实验显示有效捕获了显著的早期执行溢价（表2、3）。

- 局部时间可通过狭窄邻域内占据测度平均数近似，逼近误差具有理论收敛速度，保证离散估计的合理性（7.4节，命题6、7，图16）。

• 本问题作为路径依赖最优停止问题的代表性数值基准，对未来深度学习算法测试和方法论验证具有重要意义。

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2.10 Chronology Invariance（时间顺序无关性）

• 报告证明任意“时间排列群”$\mathfrak{S}T$下不变的路径泛函等价于只依赖占据流的函数（定理A.1）。

- 即任何时间顺序重排不影响功能值的路径函数，都可通过占据流表述。

• 金融领域，结合占据时间衍生品的特性，有助判定期权payoff是否为占据流相关函数（可方便表达为PDE问题）。

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3. 图表深度解读

3.1 图1（第7页）

展示占据流$\mathcal{O}t$的动态演变过程及其狄拉克质量更新：小区间内占据流只在过程当前位置增加权重，体现占据流的本地化和强奇异性。

3.2 图2（第10页）

直观示意占据导数的几何意义：函数对占据流增加一份尖峰Dirac质量（在价格位置）敏感度，即对“路径停留某一价格的额外停留时间”的微分效应。

3.3 图3（第17页）

金融衍生品统一表示框架：举例亚洲期权、障碍/窥视期权及走廊期权的相关特征均通过占据流及其函数刻画，由占据波动率驱动的BSDE求解器一体化处理衍生品定价与风险管理。

3.4 图4（第20页）

波动率衍生品的统一占据流提升，展示了走廊方差等输入特征如何通过占据流延展至前向占据流，便于数值求解价格及敏感度。

3.5 图5（第23页）

比较日历时间占据流与指数加权占据流的区别。指数加权版本增加近期路径的影响，捕捉市场中“记忆衰减”现象，有助丰富波动率模型更符合现实交易行为。

3.6 图6（第24页）

基于Guyon玩具模型的局部占据波动率轨迹模拟，显示价格与相应路径依赖波动率随时间演进，波动率在价格低于均值时显著抬升，体现杠杆效应。

3.7 图7、8（第28-29页）

LOV模型模拟的价格路径与波动率对比本地波动率，波动率在局部占据流模型下可更灵活调节，提升对市场隐含波动的拟合能力。图8中红色曲线对应灵敏度函数$\ell(x/Xt)$，展示局部占据流调整波动率的作用空间分布。

3.8 图9（第31页）

校准过程损失函数下降曲线，迭代约1000个epoch后达到市场价差容忍水平，验证模型标定的有效收敛。

3.9 图10（第32页）

六组SPX月度期权隐含波动率微笑曲线对比，模型隐含波动率紧密覆盖市场买卖盘区间，且计算误差在可接受范围内。

3.10 图11、12（第33页）

大量路径样本下模型波动率散点分布不在局部波动率曲线上，体现路径依赖性。占据灵敏度图揭示不同路径场景下，敏感度函数在资产低于或高于初始价格区间表现出正负交替，符合波动率对价格空间的预期响应。

3.11 图13（第35页）

用SPX期权数据构建即时和累计前向占据曲面，直观展示无风险利率和期权价格信息如何映射为高维空间上的即时占据分布，用于构建丰富的方差衍生品模型。

3.12 图14（第38页）

展示占据流以及受停止策略作用下的局部时间场的二维时间序列模拟结果，体现局部时间累计及停止点局部时间的空间分布。

3.13 图15（第39页）

展示局部时间最优停止问题中给定时间点的停止区域与继续持有区域的划分，直观呈现占据流构造的最优停止边界。

3.14 图16（第42页）

数值验证局部时间窄邻域近似奖励对收益影响，展现随着邻域宽度$\varepsilon$趋近于零，收益逼近全局局部时间奖励的收敛性质。

3.15 图17（第43页）

路径时间变换示例，展示如何通过局部反转和区间置换实现路径的时间顺序无关变换，验证占据流的时间序无关性质。

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4. 估值方法解析

• 利用定理3.2、3.5及3.6，分别导出路径依赖期权和占据过程驱动SDE的Feynman-Kac公式，表征对应占据PDE和狄利克雷（边界）问题。

- 标的资产价格与占据流联动的OSDE模型内嵌在估值PDE中，PDE在扩展状态空间$\mathcal{M}\times\mathbb{R}$上寻解，空间有限维便于数值求解。

• 对于最优停止问题，报告使用障碍问题形式的路径依赖PDE，反映停止区域和延续区域，及其边界条件，用此获得估值及最优策略（见第7章）。

- 建议利用深度BSDE方法结合神经网络，参数化希腊字母，并以反向随机微分方程方式高效求解，减少路径依赖透露的维度爆炸，增强计算实用性。

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5. 风险因素评估

尽管报告核心为理论构建与数值框架，但部分假设和模型结构揭示潜在风险：

• 数据拟合偏差风险：LOV模型及神经网络标定对历史欧期权价格的拟合虽然精准，但过度依赖历史占据特征可能无法完全代表未来行情路径复杂性。

- 模型假设敏感风险：OSDE假设波动率可被占据流完全描述，若市场存在跳跃、极端事件，会导致模型预估误差。

• 估值和优化不确定性风险：数值解法依赖有限分辨率离散和基函数选择，亦可能引入截断误差，特别是最优停止问题对局部时间估计的敏感性需注意。

- 技术实现难题：自动微分计算灵敏度及神经网络训练可能陷入局部最优，导致解的非唯一或不稳定。

• 极端路径依赖风险：路径顺序不可交换性虽被识别，但市场交易中非时间可逆行为还需谨慎建模。

报告虽在风险方面未具体展开，应视为建模框架首步，未来需结合实证检验和风险管理实践完善。

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6. 批判性视角与细微差别

• 作者巧妙融合传统Itô微积分与路径依赖泛函Itô框架，打造了占据流的分析工具，既保留了有限维空间的便利，又承载了路径全局信息，学术贡献显著。

- 占据流的选择以及指数加权变体具有经济解释，但模型的完全拟合性和泛化能力尚待实证验证。

• 占据流视作状态变量实现马尔可夫性质解决了路径依赖非Markov性难题，但代价为状态空间扩展至测度空间，计算负担增加；通过分区降维虽实用，但存在截断误差的平衡问题。

- 标准Itô公式推广严格性强，理论和技术细节严密，但对复杂金融市场的跳跃和多维度交互几乎未涉及。

• 局部时间最优停止问题作为研究重点，虽在文中提供了理论及部分数值方案，但由于高度非光滑性，实际应用仍充满挑战，模型精度与计算效率之间权衡是未来研究方向。

- 时间顺序无关性定理非常重要，为许多占据时间衍生品设计提供了理论依据，提升了模型解释力。

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7. 结论性综合

本文报告系统构建了基于占据流的占据过程理论框架，包含线性占据导数定义、Itô微积分推广、占据随机微分方程（OSDE）及Feynman-Kac类型偏微分方程的确立。核心贡献是证明占据过程拥有严格马尔可夫性，确保金融路径依赖问题通过占据特征变量实现降维和统一定价。

通过对多个金融结构产品（亚洲期权、障碍期权、走廊方差掉期、计时期权、波动率衍生品等）的归纳与实例展示，占据流方法实现金融衍生品定价的“单一马尔可夫解算器”模式，极大促进了复杂路径依赖产品的建模与测算。

引入局部占据波动率（LOV）及其神经网络标定方案，进一步表明路径依赖波动率模型能够与传统局部波动率模型兼容，并可实现拟合欧期权隐含波动率表面的效果，且保留更多路径历史信息，具有更强建模灵活性。

基于前向占据流的动态建模则拓展了经典的方差市场模型，为波动率衍生品开发和风险管理开辟了新方向。

局部时间最优停止问题被提出为路径依赖最优停止问题的新基准，配合数值实验证明存在显著早期执行溢价，并发展了对应回归数值方法，满足理论与实务需求。

报告的严谨理论和多维度应用展开结合了现代概率与金融技术的最前沿，为相关领域的学术研究与量化交易实践提供了创新而有效的工具体系。

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参考文献备注

报告引用了大量经典和前沿文献，涵盖概率理论（Revuz-Yor，Barlow-Yor等），金融波动率研究（Bergomi，Guyon等），神经网络算法（E-Han-Jentzen等），路径依赖PDE（Dupire，Cont等），及占据流和局部时间的基础研究，体现了深厚的理论基础与前沿技术结合。

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综上，《Occupied Processes: Going with the Flow》报告深刻剖析了以占据流为核心的占据过程数学结构，开展了占据导数与Itô计算，构建了占据过程马尔可夫SDE及路径依赖PDE框架，并配合金融衍生品定价及波动率建模的多样化应用，展现了理论与实践的完美融合，具有广阔的未来发展及应用前景。报告内容详实、体系严谨、数据与图表辅助充分，为金融数学与数量金融研究者提供了宝贵的工具和思路。

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