傅立叶变换与技术分析理论数学本质解析 [page::1][page::2]

• 傅立叶变换将复杂价格曲线拆解成不同频率和振幅的正弦波叠加。

- 波浪理论对应振幅域特征，江恩理论对应频率域特征，二者共同构成技术分析的数学基础。

波浪理论结构与周期函数建模 [page::3][page::4][page::5]

• 波浪理论定义五浪推动与三浪调整的标准结构，强调浪型分级与形态特征。

- 通过叠加正弦波模拟5-3浪波形，展现多层次分形结构及价格振幅关系。

• 理论存在定性多、量化少的缺陷，无法完全解释复杂市场波动。

江恩理论周期角度与傅立叶频率对应关系 [page::6][page::7]

• 江恩理论聚焦时间维度的周期规律，认为多个周期频率共振时形成关键转折点。

- 市场存在多层长短周期嵌套，如30年经济周期、半年、季节性等，并通过角度线测算转折。

• 江恩方法与傅立叶频率特征结合，弥补传统技术分析缺乏量化标准的问题。

浮动频率傅立叶变换技术与Butterworth滤波 [page::9][page::10]

• 采用Butterworth滤波剔除高频噪声，基于滤波数据进行离散傅里叶变换提取幅值和频率。

- 浮动频率理论突破传统固定频率限制，更贴近实际市场波动，实现频率动态调整。

• 筛选出关键周期如94.1周、80.5周和62.6周，通过频率-幅值组合描述市场振荡。

双重优化模型构建及算法实现 [page::11][page::12][page::13]

• 内层通过非线性最小二乘法确定正弦函数幅值，外层利用粒子群算法优化浮动频率组合。

- 模型在样本内拟合准确，样本外一年期预测表现良好，有效捕捉近期市场波动节奏。

• 请求频率39.02周、19.17周和8.13周与最大幅值频率混合，显著提升拟合与预测精度。

市场趋势预测与风险提示 [page::13][page::14]

• 模型显示2024年底形成市场底部，2025-2027年将经历波动上行阶段，推测未来关键时间窗口为2026年春夏。

- 结合A股历史周期性数据，预判本轮上涨周期有望持续至25-26年，关键时间点匹配拟合周期。

• 投资者须注意市场政策及环境风险，模型前提和结果存在不确定性。

基于浮动频率傅里叶变换视角解析技术分析的数学本质及趋势判断——全面解析与深度剖析

---

1. 元数据与报告概览

• 报告标题：基于浮动频率傅里叶变换视角解析技术分析的数学本质及趋势判断

- 作者：倪孝威、张天伦

• 发布机构：中泰证券研究所

- 发布时间：2025年8月8日

• 专题领域：金融工程、技术分析数学本质研究及趋势预测

- 核心主题：报告聚焦傅里叶变换在金融技术分析中的应用，尤其是通过引入“浮动频率傅里叶变换”模型，系统解析传统技术分析方法（主要是波浪理论与江恩理论）的数学本质，旨在提升市场趋势判断的量化与模型拟合精准度，并给出对中国股市未来2-3年的趋势预测。

核心论点：

• 波浪理论对应于频谱分析的振幅域，江恩理论对应频率（时间）域，两者在傅里叶变换框架下均具有数学本质支撑。

- 传统傅里叶变换因固定频率的限制不足以完全捕捉市场的复杂性，提出浮动频率理论优势明显。

• 采用双重优化算法完成浮动频率傅里叶变换模型构建，显著提升拟合精度和趋势预测能力。

- 以沪深股市近10年数据为样本，实现对2024-2027年趋势波动周期的预测。

风险提示方面，报告强调基于公开数据构建模型，政策与市场环境变化可能导致模型失效。[page::0,1]

---

2. 章节深度剖析

2.1 傅里叶理论简析

本章节回顾了傅里叶变换的数学基础，视金融市场为动态开放复杂系统，其价格动作可用时间微分方程描述，价格时间序列可用傅里叶级数展开为不同频率正弦函数叠加。描述了傅里叶理论分解复杂信号为基础三角函数波形的思想，使得金融价格动态能够在振幅（波动幅度）和频率（波动周期）两个维度中被解构。

图表解读：图表1展示了不规则价格曲线通过不同频率正弦波的叠加可被有效逼近，体现时间域与频谱域的对应关系，为后续对波浪和江恩理论数学本质的衔接提供基础[page::1,2]。

---

2.2 波浪理论的数学本质

详细梳理了波浪理论核心结构，强调其经典的“5浪上升+3浪调整”模式，通过形态与级别划分反映市场心理周期。层级分解波浪循环的拓展使得复杂价格波动被编解码为浪型序列。

• 第1、2浪：第1浪多呈底部反弹，动力弱；第2浪回撤幅度大，说明投资者对牛市尚未信服。

- 第3浪：最有力、时间最长，受成交量与价格波动率放大支持。

• 第4浪：复杂盘整且不得跌破第1浪高点，符合理论规则。

- 第5浪：动力减弱，存在失败浪可能，成交量通常弱于第3浪。

• 调整浪abc：标志趋势反转，a浪起始调整，b浪表现为虚假多头，c浪暴跌带来杀伤。

图表2至7生动展示了波浪理论形态结构及各浪特征，说明其在振幅域的表达本质。

同时指出波浪理论本质是傅立叶级数在纵轴振幅的表达，波浪数对应不同频率的幅度组合，模型通过叠加正余弦函数表现价格波动，并通过具体波函数叠加模拟验证了“5升3落”模式的拟合程度。

报告还指出波浪理论的缺陷：其理论体系缺乏严格逻辑一致性，基于形态归纳，缺乏量化验证，且学科背景限制了理论严谨度，导致定性多、定量不足，易引发“千人千浪”的主观争议。[page::3,4,5]

---

2.3 江恩理论数学本质及周期分析

将江恩理论数学化，突出其在时间轴（周期、频率）上的贡献，通过周期共振原理揭示价格转折的时点定位。

• 核心观点：时间为市场首要要素，强调多重周期叠加。

- 周期体系：涵盖从4分钟小周期至180年超级大周期，包括30年周期为理论核心。

• 几何学应用：以角度线及轮中轮模型解读价格空间结构，区别于波浪理论的振幅侧重。

- 波动率定量模型：提出波动法则，用数字与共振点计算市场波动。

图表9与10：用多级波浪图形及长周期表格，将频率和角度映射为周期时间，充分展示江恩理论的周期量化框架。

报告指出江恩理论周期定量部分缺少严谨数学标准，部分工具神秘化；而傅立叶分析能为其提供更清晰数学框架。[page::6,7]

---

2.4 波浪与江恩理论的整合视角

通过表格总结两者异同：

| 维度 | 波浪理论 | 江恩理论 |
|------------|-------------------------|----------------------|
| 核心对象 | 价格波动（纵轴） | 时间周期（横轴） |
| 数学本质 | 正弦波振幅叠加 | 正弦波频率叠加 |
| 方法论 | 形态归纳 | 周期推演 |
| 局限性 | 形态主观性强 | 周期缺明显计量标准 |

引入普莱切特斐波那契波浪理论，表现频率的概周期特性，强调频率非固定，存在浮动。这批示金融时间序列为近似周期性有界连续函数，符合频率的浮动概念。

图表12投射了由多个不同频率组成的浮动频率波浪曲线，体现市场震荡的层次分布。

• 主趋势体现为低频正弦波的长期趋势方向，数学表现为大振幅低频波动，驱动长期上涨走势。

- 主升浪由多个波频共振形成，解释3浪涨幅超过其他浪的现象。

• 自相似现象与分形结构被引入，表明市场波动存在多级频率嵌套的相似形态，代表历史波动规律的重复。

此段奠定了采用浮动频率傅立叶变换分析市场涨跌新视角。 [page::7,8]

---

2.5 浮动频率傅立叶变换方法与滤波技术

• 传统傅立叶基频固定，难以描述市场频率随环境变化的事实，浮动频率方法由翁文波院士提出，能基于数据提取真实漂移频率。

- 报告采用Butterworth滤波器（通频带平坦、无波纹），对上证指数周期数据（周度收盘价Log化）进行滤波，剔除高频噪声，提炼出市场趋势项。

图表14 清晰展示滤波后曲线，无噪声的平滑趋势反映市场主流运动。

• 离散快速傅立叶变换分析滤波数据，提取幅值、相位与频率成分。

- 对幅值排序，识别三个周期：94.1周、80.5周、62.6周，对应不同波动层次。

图表15至18展示了示例数据的波形分解、幅度和相位分布，以及周期滤波曲线拟合过程。

报告提示，单纯以最大幅值周期拟合数据，会出现拟合与实际市场走势不符的情况，需改进引入更多维度考虑。[page::9,10,11]

---

2.6 基于双重优化的浮动频率傅立叶变换模型

• 模型核心在于同时优化幅值和频率，幅度决定波动大小，频率决定周期长度。

- 采用“内层优化”确定固定频率下的最佳幅度组合（非线性最小二乘法拟合）。

• 采用“外层优化”算法筛选最优浮动频率（粒子群算法，结合10年训练集数据进行拟合，用1年测试集验证预测效果）。

粒子群算法细节：

• 参数设定详尽（粒子规模100，惯性权重0.5，迭代次数1000等）

- 通过速度和位置动态更新，实现全局最优解搜索。

图表21显示2020年后双重优化拟合结果，红色曲线（双重优化）明显比黄色曲线（单纯最大幅值筛选）更贴合上证指数实际波动，尤其在关键高点的拟合准确度提升显著。

未来趋势预测（图表22）：

• 预测市场自2024年筑底后进入震荡上升通道，2025年8月至10月维持震荡，之后逐步走高至2026年春夏关键转折窗口。

- 2026年8月开启较大级别上涨，2027年2月左右达到顶峰。

风险提示依旧强调政策、市场环境变动可能导致模型失灵。[page::11,12,13]

---

2.7 A股主要指数时空量价的实证周期分析

• 通过N字形周期划分，分析了2005年至今A股指数波动结构。观察到25个月左右的上涨周期、多次43个月调整周期的周期交替规律，体现市场行为的周期性和相对稳定的震荡模式。

- 2024年2月至9月间形成新的上涨周期，预计可持续至2025年及以后。

图表23结合历史走势，形成较清晰的结构化周期模式，为上述数学模型结果提供经验验证基础。

风险提示一如既往强调公开数据局限及政策风险。[page::14]

---

3. 图表深度解读

• 图表1：三维视觉展示时间序列在时域与频率域的分解；循环三角波波段叠加后逼近不规则价格曲线，直观体现傅里叶级数的理论根基。[page::1]
• 图表2、3：波浪理论的5涨3跌结构及多级嵌套的复合浪型，解释市场周期性波动的形态表现。[page::3]
• 图表4至7：详解波浪理论中1、2、3、4、5浪及调整浪abc的不同属性，包括趋势力度、成交量表现及形态特征，体现理论细节并指导实战识别信号。[page::3,4]
• 图表8、9、12、13：不同频率正弦波的叠加与分解图，视觉展现波浪理论与江恩理论中数学建模的具体应用，及浮动频率模型的主趋势与分形自相似性表现。[page::5,6,7,8]
• 图表10、11：江恩周期与角度对应表、波浪与江恩理论总结表，直观展现时间与价格轴的数学不同侧重与各自优缺点。[page::6,7]
• 图表14：滤波处理后的上证指数走势及Butterworth滤波曲线，滤波剔除高频噪声，突出价格走势主趋势线。[page::9]
• 图表15至18：简单波形傅立叶分析、幅值与相位展示及筛选出不同波动周期的滤波曲线，演示数据分解过程。[page::10]
• 图表19至22：拟合曲线与市场真实走势对比，单纯幅值筛选和双重优化的效果差异，粒子群算法参数配置及未来趋势预测结果，展现模型的拟合优劣及预测实用价值。[page::11,12,13]
• 图表23：上证指数历年N字形周期划分示意，强调历史波动周期规律与未来趋势的延续性判断。[page::14]

---

4. 估值分析

本报告并非企业估值报告，未直接涉及公司估值、利润预测或证券投资评级，而是聚焦于技术分析数学模型及其趋势适用性研究。因此，财务收益模型、估值倍数等传统投资评价工具未涉及。

报告的预测基于技术分析方法，核心是通过双重优化的浮动频率傅里叶变换模型对指数的周期波动拟合与未来走势推断，其模型输入包括价格序列的频率与幅度，输出为趋势拟合曲线及未来价格波动节奏。

该预测方法强调训练集与测试集的样本内外验证，利用粒子群算法优化模型频率，反映市场非平稳频率波动的灵活性，模型所基于的关键假设是市场价格数据在一定时间尺度上具备概周期特性，且趋势受宏观周期驱动。[page::11,12,13]

---

5. 风险因素评估

• 数据风险：模型依赖公开市场历史数据以及第三方数据质量，不可避免存在数据时间滞后及误差；模型预测的历史基准假设不具备完全未来适用性。
• 政策风险：宏观经济政策、监管环境的重大变化可能对市场走势产生无法预料的影响，从而导致模型失效。
• 市场波动性：模型虽引入浮动频率，提升对动态波动的适应能力，但市场的突发性、非线性事件（如黑天鹅事件）不可被完全捕捉。
• 模型局限性：技术分析本质对市场量价及情绪信号的抽象，存在理论自身假设与市场实际不符的风险（如价格走势非严格周期性、频率存在突变等）。

报告未专门提出明确的应对策略，但通过模型的双重优化及样本内外验证机制，增强了预测的鲁棒性。同时风险提示反复强调模型基于历史数据，市场环境变化时结果须当心解读。[page::0,13,14,15]

---

6. 审慎视角与细微差别

• 波浪与江恩理论的内在差异：报告客观呈现两种理论的数学解释及本质，指出波浪理论多强调振幅模式的归纳，主观性较强，而江恩理论更加关注时间周期，但其周期定量缺乏明确数学描述，存在神秘化色彩。傅里叶变换为两者提供了量化结构，但在实际应用中，如何有效兼顾振幅变异与频率浮动的关系具有很大挑战。
• 频率浮动的处理：传统频率假设固定导致模型适用性受限，浮动频率理论本质上是数学上的提升，但引入浮动频率后的计算复杂度大幅增加，参数优化依赖粒子群算法，模型是否过拟合是隐含风险。
• 拟合与预测的差异：报告明确指出，单纯最大幅值周期拟合可能不符合实际走势，引入了双重优化以平衡拟合与预测，体现出对市场无序性和非线性的谨慎态度。
• 模型预测的周期性：市场周期具有分形和近似周期性特征，意味着预测须结合多种层面，单一模型难以涵盖全部市场复杂性。
• 风险说明充分而严谨：报告多处强调数据与环境变化可能导致模型失效，展现合理审慎态度。

综合来看，报告立足于理论创新及应用探索，保持较为严谨但亦存在典型技术分析模型的先天局限，特别是在面对极端市场事件的适应性上。报告对于理论的阐述清晰，模型构建方法严谨，但务必要警惕过度依赖模型导致的误判风险。[page::5,11,13,15]

---

7. 结论性综合

本报告从系统科学与数学视角立足技术分析，深入阐释波浪理论与江恩理论的数学基础，将两者整合于傅里叶变换框架下的振幅与频率两个维度，弥补了单一理论的不足。创新引入浮动频率傅里叶变换，突破传统傅立叶固定频率的局限，基于双重优化算法（内层非线性最小二乘拟合幅值，外层粒子群优化浮动频率），构建精度更优的趋势拟合模型。

实证上，以中国上证指数近10年周度数据为样本，通过Butterworth滤波剔除高频噪音后，提取多周期成分，筛查出多个核心周期（94.1、80.5、62.6周）与频率，再通过优化模型参数确保拟合曲线高度逼近实盘走势。模型成功对未来2024至2027年市场总体趋势给出波动向上且周期可期的预测，特别标示了2025年8月至10月的震荡区间及2026年大级别上涨时间窗口。

历史性周期实证中，A股指数N字形结构进一步佐证波动周期的持续性及25个月左右的熊牛切换节奏，为模型建立的市场周期理论提供现实支撑。

报告对于风险因素持开放审慎态度，充分提示政策、环境变动可能使模型失效。

总体而言，报告展现了技术分析数学基础理论与量化模型结合的前沿探索，提升了经典波浪理论和江恩理论的量化能力，为市场趋势判断提供新的数学工具和预测视角。其基于浮动频率的动态调整机制与双层优化算法为行业开辟了新路径。

但需注意，任何基于历史数据及统计规律的技术分析方法均面临市场非线性及突发事件的挑战，模型结果宜配合基本面分析、宏观判断和风险控制共同使用。

---

综述

• 报告深入数学层面对波浪及江恩理论进行频谱剖析，提出振幅域（波浪）与频率域（江恩）双核理解。

- 浮动频率傅里叶变换是技术分析数学模型的重要升级，更好反映金融时序的真实非固定频率特质。

• 双重优化方法显著提升市场拟合准确率，创新性引入粒子群算法结合非线性最小二乘法。

- 结合沪深指数数据得出2024-2027年的趋势预判，辅助投资者理解长期牛熊周期及波动节奏。

• 风险提示贯穿始终，保障了科学态度和理论适用性边界意识。

这份报告对于金融工程及量化投资研究者，尤其是关注技术分析数学理论与实证应用者，具有高度的参考价值和启发意义。[page::0-15]

---

（全文分析基于报告原文及图表资料，所有引用均标明具体页码以便溯源）

报告