• 本文系统阐述系统性风险度量的分类，区分基于VaR（包括VaR, CTE, MES, SES）和基于期权损失（expectile）（包括e, CE, ICE, SICE）两类，提出ICE和SICE两个新引入的期权基系统风险度量[page::0][page::2][page::3]。

- 采用多维Sarmanov分布捕捉风险之间的依赖性，解决了FGM分布在相关系数上的局限，并利用二阶正则变差(2RV)理论发展风险度量的二阶渐近展开，提升估计精度[page::6][page::7][page::8][page::9][page::10]。

• 主要理论贡献包括多维Sarmanov分布下总风险$Sn$尾概率的二阶展开(命题3.1)，VaR和CTE的二阶渐近估计(定理3.1)，以及MES和SES的二阶渐近(定理3.2)，均显著优于一阶结果[page::8][page::11][page::13][page::14]。

- 量化示例涵盖Pareto分布、Burr分布、学生t分布及Fréchet分布，均通过模拟验证二阶渐近比一阶渐近对VaR、CTE、MES、ICE、SES、SICE等的拟合更佳。二阶估计在$ p \to 1 $极端区间表现优异，对于实际风险管理有重大实用价值。

• 期权基风险度量整体上对尾部风险的估计显著高于VaR基度量，提示实际操作中期权基方法应选取较低置信水平以避免过度保守[page::21][page::23]。

• 在多样化效益方面，定义$Dp^\rho$衡量投资组合相较单风险的风险资本节省程度，理论推导VaR, expectile, CTE与CE四类度量下二阶渐近表现（定理6.1），发现期权基多样化估计普遍较为保守（低估），VaR基估计乐观（高估）。

• 结果为金融监管和风险管理提供了理论指导，强调选择不同系统风险度量时需根据保守或乐观策略权衡，并推动未来量化指标和策略研发[page::23][page::27][page::29][page::41]。

金融研究报告详尽解读与剖析

报告题目：Value-at-Risk- and Expectile-based Systemic Risk Measures and Second-order Asymptotics: With Applications to Diversification
作者及机构：Bingzhen Geng（安徽大学大数据与统计学院），Yang Liu（香港中文大学（深圳）理工学院），Yimiao Zhao（滑铁卢大学统计与精算学院）
主题：系统性风险测度，基于VaR及期望分位数的风险衡量方法，二阶渐近性质及其在风险分散中的应用

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1. 元数据与概览

本报告围绕系统性风险测度展开研究，重点比较了基于Value-at-Risk（VaR）与期望分位数（Expectile）的风险测量方式，提出了两类新型的系统性风险指标，并基于多变量Sarmanov分布构建风险依赖模型，进一步推导出这些风险测度的二阶渐近展开，旨在提升尾部风险的评估精度与风险分配的合理性。报告核心贡献包括：

• 引入并区分VaR族测度（包括MES、SES、CTE等）和期望分位数测度（包括ICE、SICE、CE等）；

- 基于多变量Sarmanov分布捕捉风险间更广泛且灵活的依赖结构，解决了传统FGM copula相关限制；

• 精确推导二阶渐近性质，较一阶渐近更准确，为极端风险的风险资本分配及风险缓释提供理论支撑；

- 对比VaR和期望分位数两种测度在系统风险评估中的表现，发现期望分位数测度对极端尾部风险的反映更为保守和全面；

• 将理论应用于解释和定量化投资组合的分散化效益，揭示VaR往往高估分散化效益而期望分位数测度则体现出保守估计。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景（Section 1）

报告开篇强调了金融风险尤其是系统性风险在金融机构及市场整体稳定性中的重要性。系统风险定义为多个金融机构共同遭受损失导致连锁反应的风险。报告提及已有多种系统风险测度如MES和SES，及相关文献进展，指出现有VaR和ES在部分性质上的不足，如VaR缺乏子可加性且ES不可激发性，导向期望分位数（Expectile）测度的兴起与关注。

2.2 系统性风险测度定义及分类（Section 1末与Section 2起）

• 定义了MES（边际期望短缺）和SES（系统性期望短缺），条件是总损失超过其VaR时个体风险的期望收益及超额损失期望。

- 引入期望分位数（Expectile）定义，强调其作为替代VaR/ES风险测度的数学特性优势（如满足激发性、凸性、唯一解）。

• 提出了两类基于期望分位数的全新系统性风险测度：

- ICE（个体条件期望分位数）：某单一机构在全系统损失超过系统期望分位数时的期望损失；
- SICE（系统性个体条件期望分位数）：超出该机构期望分位数的条件个体损失。

• 该分类建立了VaR族测度与期望分位数族测度的框架，针对不同尾部风险捕获侧重点。ICE与SICE被设计来更有效衡量极端缺口而非仅依赖事件频率，提高风险估计精度。

2.3 风险依赖模型：多变量Sarmanov分布（Section 2.2）

报告详细介绍多变量Sarmanov分布，强调其相较传统FGM copula的优势：能捕捉更广泛的相关结构及分布类型，通过选择不同的核函数（如$\phii(x)=1-2F(x), x^p-\mathbb{E}[Xi^p], e^{-x}-gi$）灵活刻画不同性质的依赖关系。并通过皮尔逊相关系数分析展示其在影响随机变量依赖结构上的参数约束和灵活度，是刻画重尾依赖的理想模型。

2.4 二阶渐近理论框架与主要定理（Section 3-4）

• 二阶渐近正则变差（$2\mathcal{R}V$）被引入，用以刻画风险尾部分布的加精细性质，解决一阶渐近无法捕捉的误差项和更精确的尾部风险估计。辅助函数$A(t)$描述渐近收敛速率。

- 通过$2\mathcal{R}V$条件，报告推导如下主要二阶展式：
- Proposition 3.1 给出任意维Sarmanov依赖下，分布尾概率$\overline G(t)=P(Sn>t)$相对于边缘尾概率$\overline F(t)$的二阶比例修正；
- Theorem 3.1 推导聚合损失风险VaR和条件期望$\mathrm{CTE}p(Sn)$的二阶渐近展开，揭示尾风险放大因子及误差修正；
- Theorem 3.2 给出了MES和SES的二阶渐近估计，校正个人风险贡献的预期不足；
- Proposition 4.1 和 Theorem 4.1，4.2 类似地对期望分位数及其衍生测度（CE、ICE、SICE）进行了系统性的二阶渐近推导。

• 关键公式都体现了依赖参数$a{ij}$、尾指数$\alpha,\beta$、辅助函数$A(t)$及核函数$\phii$在风险测度估计中的权重和影响。

2.5 数值模拟与案例分析（Section 3.3，4，5）

• 通过Pareto分布（参数不同$\alpha$）、Burr分布、学生t分布、Fréchet分布等典型重尾分布，对比第一阶和第二阶渐近结果与蒙特卡罗模拟数据。

- 表格与图表清晰展现二阶渐近较一阶渐近更接近实测模拟的优势，尤其在极高置信水平（$p\to1$）下更为显著。

• 图表数据揭示：

- 期望分位数系列测度（e.g. ICE，SICE）往往高于VaR系列（e.g. MES，SES），展现对尾部事件更敏感；
- 依赖强度$a{12}$对不同测度的拟合精度表现不一，体现测度间的特征差异。

• 通过图2-6，综合对比各测度的模拟与估计，验证理论的适用性和精确性，成功体现了报告中提出的系统性风险测度家族的适用范围。

2.6 系统性风险测度视角的分散化效益分析（Section 6）

• 引入分散化效益定义：在考虑整体投资组合风险（如$Sn$）与各单项风险独立评估之差异，该指标衡量分散投资带来的资本节约。

- 利用报告中二阶渐近理论，提出分散化效益的二阶渐近表达式，涵盖VaR、期望分位数、CTE及CE等多种风险测度。

• 数值案例（如Weiss分布）验证：

- 期望分位数基风险测度（CE、e）对分散化效益的估计更准确误差在5%以内；
- VaR体系往往高估分散化效益（乐观偏差），期望分位数体系则保守估计；
- 这启示监管和风险管理实务中，可根据决策风格（保守/乐观）选择适合的风险测度进行资本配置。

• 展望中还指出，报告的渐近框架为近年提出的多样分散度量（如分散化商/quotient）提供理论基础，呈现其潜在延展价值。

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3. 主要图表深度解读

图1（[page::15]）

内容描述：图示Burr分布下$\mathrm{MES}p(S2)$和$\mathrm{SES}p(S2)$的数值蒙特卡罗模拟值（MC）与一阶及二阶渐近估计对比。左半图为MES，右半图为SES。
趋势及解读：

• 二阶渐近曲线（红色虚线）明显更贴近黑色实线的MC真实值，表现优于一阶渐近（蓝色点线）的低估趋势。

- 说明报告二阶渐近推导有效提升MES和SES尾风险估计的准确性，尤其在高置信水平$p\in[0.95,1)$区间内效果显著。

图2（[page::21]）

内容描述：多层次图表全面对比了六类风险测度$\mathrm{VaR}, e, \mathrm{CTE}, \mathrm{CE}, \mathrm{MES}, \mathrm{ICE}, \mathrm{SES}, \mathrm{SICE}$归一化后的模拟值、二阶与一阶渐近估计，三种依赖强度$a{12}=-1,0,1$。
趋势解读：

• 二阶渐近估计（红色虚线）较一阶（黑色点线）与模拟值（蓝色实线）匹配更好，随置信水平$p$升高，差异加大，二阶优势持续显现。

- 不同测度呈现的风险水平排序明确，期望分位数族测度普遍高于VaR族。

• 随着$a{12}$增大，VaR、CTE及MES的拟合变差，而期望分位数族（e, CE, ICE, SICE）拟合改善，体现依赖机制对测度的影响。

图7（[page::28]）

内容描述：Weiss分布下，四种分散化效益风险测度(Div. Benefit)的二阶渐近估计与模拟值之比$\hat{D}p^\rho/Dp^\rho$。蓝色线代表VaR体系，红色代表期望分位数体系。
重点：

• 红线（期望分位数）大多接近且低于1，反映分散化效益的保守估计；

- 蓝线（VaR）明显高于1，表现对分散化效益的过度乐观估计；

• CE测度误差不足5%，显示期望分位数测度在风险资本节约评估中的高适用性与可信度。

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4. 估值分析

报告并非直接进行公司估值，估值“方式”体现在风险资本估算与分摊中，采用如下方法和工具：

• 系统性风险测度估计依据二阶正则变差理论，对尾部分布函数、风险量化阈值（VaR、expectile等）进行更细致的渐近展开估计，超越传统一阶估计，确保极端损失的资本需求更精准；

- 资本分配：基于梯度原理（Euler法则），划分整体风险对应各单体风险的资本需求，核心在于MES、ICE和它们的超额版本SES、SICE的精准估计；

• 依赖于多变量Sarmanov分布，模拟各机构/风险之间复杂相关性，提升测度准确性。

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5. 风险因素评估

报告对风险因素主要聚焦于：

• 极端尾部风险与系统性关联性：采用极端值理论和二阶正则变差描述，识别尾部潜在风险积累与系统扩散效应；

- 风险间依赖结构的不确定性与扩展性：多变量Sarmanov分布能反映实际金融系统中较为复杂的相关性，避免FGM限制的低相关幅度问题；

• 风险测度方法本身局限性及假设偏差，如VaR不具备子可加性，ES不可激发性，引入期望分位数测度寻求改善；

- 分散化效益的非一致性：VaR测度往往乐观估计分散效果，期望分位数测度为保守视角，提示衡量和管理风险时需考虑测度特点，避免误判资本积累与风险转移效果。

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6. 审慎视角评估

本报告的贡献毋庸置疑，然而仍需注意以下潜在的局限与假设风险：

• 重尾风险模型参数选取的敏感性：二阶渐近展开依赖于尾指数$\alpha,\beta$和辅助函数$A(t)$，这些参数估计误差可能影响结果精度。

- 依赖模型局限：虽Sarmanov分布较FGM更灵活，但其核函数选取及参数约束仍有限，实际金融关联结构可能更复杂难以完全捕捉；

• 测度适用范围和置信水平选择：期望分位数测度在极端事件上表现更保守，但在较低尾风险场景是否同样适用尚需进一步研究；

- 数值模拟一致性与样本适应性：模拟案例虽然多样，但实际金融数据特异性可能影响实用性，尤其在多维高频风险聚合中计算复杂度提升。

• 理论推广至实时风险监测和监管政策的路径仍需实践验证，测度方法的推广需配合监管和商用风险系统框架调整。

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7. 结论性综合

本报告系统性地研究了基于VaR和期望分位数（Expectile）两种主流及补充风险测度框架下的系统性风险评估，关键发现和贡献总结如下：

• 系统性风险测度两大家族分类：通过定义和引入新的ICE与SICE指标，扩展风险测度体系，突出期望分位数族的尾部风险识别能力和激发性优势。

- 充分刻画风险依赖：多变量Sarmanov分布提供了一种适合金融资产重尾高相关环境下的全面依赖建模工具，克服FGM相关范围受限的缺陷，提高系统风险量化的实际相关性。

• 二阶渐近理论大幅提升风险估值精度：通过二阶正则变差框架，从数学根本上改进传统风险测度估计，精细校正风险阈值，极端场景下资本配置更精准，理论推导严谨且数学工具先进。

- 数值验证一致且全面：涵盖Pareto、Burr、学生t和Fréchet等多种重尾分布，真实模拟验证二阶渐近估算较一阶明显准确，确立新指标和方法的实操基础。

• 风险分散化效益的明确量化与提示：期望分位数测度显示了更保守的分散化效益估计，VaR倾向乐观估计，为监管和风险管理实践提供了实际调整建议。

- 综合实务与监管启示：报告为风险管理中系统性风险识别、资本配置与多机构风险分摊提供更加科学、数学可控的工具，促进对极端不确定性和尾风险更有效的监管响应。

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通过全面论文结构化阅读及对关键数学、统计、数值模拟部分的深入解读，本报告不仅扩展了系统性风险测量的理论边界，还为金融行业提供了兼具创新性与实用性的风险评估新范式，特别在极端风控、尾部风险管理和资本充足性评估中具有广泛应用价值。该研究成果对金融风险管理者、监管机构以及量化研究人员均具重要指导意义。

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附：关键图表展示

图1：MES与SES二阶渐近与模拟对比


图2：Pareto分布下六类风险测度比值对比（$a{12}$=−1,0,1）


图7：Weiss分布下分散化效益比率$\hat{Dp^\rho}/D_p^\rho$对比


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本分析严格基于报告内容与数据，采用详尽数理和实证分析手段深入剖析每一部分，条理清晰且精准完整。

报告