• 固定利率抵押贷款的提前偿还风险源于借款人对市场利率激励的反应，这种风险无法通过简单的利率互换完全对冲，体现为带有随机本金的“奇异”利率互换 [page::0][page::1][page::6]。

- 传统模型假设提前偿还率与市场利率激励的确定性函数关系（DMA），但行为研究显示存在显著非理性成分，故本报告提出将行为不确定性建模为一独立的随机过程$b(t)$，该因子导致市场不完全及价格非唯一性 [page::1][page::7][page::8]。

• 新型预付款率模型通过参数化sigmoid函数映射市场利率激励和随机行为因子，实证数据展示了该模型拟合并解释了客户群体的异质反应，增强模型鲁棒性与现实贴合度 [page::8][page::9]。

- EPO定价采用风险中性测度下Hull-White模型描述短期利率，OU过程模拟行为利率因子，利用改进的Least Squares Monte Carlo方法进行数值递归计算，解决非线性路径依赖问题 [page::10][page::13][page::14]。

• 理论证明及数值测试表明，随着行为因子扩散系数$\etab$增加，EPO价值下降，体现行为不确定性降低了提前偿还期权成本；合理校准市场风险价差$\lambda(t)$对价格影响较大，容易引起模型错配风险 [page::10][page::18][page::19]。

- 对冲角度，报告设计基于IRS及互换期权的静态复制组合，通过最小化盈亏路径距离（同时考虑均方误差及右尾期望短缺）实现风险敞口优化。单用线性互换无法有效控制极端损失，联合非线性互换期权显著改善表现。以下示意数据摘录：
| 复制组合 | 收益互换 (rec. swap) | 收益互换期权 (rec. swaption) | 支付互换期权 (pay. swaption) | 初始成本 (bps) | 减少均方误差 (%) |
|--------------|----------------------|------------------------------|------------------------------|----------------|------------------|
| 线性互换 | 2066 | / | / | 0 | 92.7 |
| 收益互换+期权 | 1528 | 6976 | -1244 | 28 | >90 |

• 控制尾部风险时，增加右尾期望短缺$ES{0.9}^{+}$指标权重，期望短缺损失降低27%，但对总体均方误差有轻微上升，且对冲成本增加（5bps左右），需权衡[page::21]。

- 对市场风险价差参数$\lambda=(\lambda0,\lambda1)$的不确定性，设计鲁棒对冲策略作为鞍点问题求解，确保在价格错配下复制损失可控。多鞍点数值解表明，针对不同风险偏好均有相应稳健解 [page::22][page::23][page::24]。

• 报告提供了完整的模型设定、定价算法（含伪代码）, 以及对实际抵押贷款产品参数（如利率、合同期限和还款类型）的说明，具备较强的理论深度和实践指导意义 [page::3][page::4][page::14][page::28]。

深度分析报告：固定利率抵押贷款提前偿还权行为不确定性建模与风险复制研究

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1. 元数据与概览

报告标题：Modeling and Replication of the Prepayment Option of Mortgages including Behavioral Uncertainty

作者：Leonardo Perotti, Lech A. Grzelak, Cornelis W. Oosterlee

机构：乌得勒支大学数学研究所，荷兰乌得勒支；Rabobank金融工程部，荷兰乌得勒支

主题：本文聚焦固定利率抵押贷款中的嵌入式“提前偿还权”(Embedded Prepayment Option，简称EPO)的定价与风险管理，特别是考虑了借款人行为的不确定性带来的非对冲风险因子，探讨了这种行为不确定性对风险敞口估值和复制策略的影响。

核心论点与贡献：

• 将固定利率抵押贷款的预付款风险视为一种嵌入式选择权，即带有随机名义本金的“异质利率互换”(exotic IRS)。

- 引入额外的行为不确定性风险因子，打破市场收益率与预付款速率之间的确定性映射关系，导致市场不完整。

• 证明了引入行为不确定性会降低EPO的价值，符合文献中有关行为风险的预期。

- 采用IRS和互换期权组合的静态复制策略，解决仅用IRS无法有效控制风险敞口分布右尾的问题。

• 针对市场价格风险(market price of risk)的错配风险，提出了基于鞍点问题(saddle-point problem)的鲁棒复制方法，为风险敞口定价和复制提供下界保护。

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2. 逐章深度解读

2.1 引言与背景（第0～2页）

报告指出，作为银行发行固定利率抵押贷款会面临利率风险，因为银行自身融资成本通常挂钩浮动利率。尽管理论上可以通过利率互换(IRS)实现利率风险对冲，但提前偿还行为导致抵押贷款的现金流与IRS现金流不同步，产生净敞口，难以完全对冲。

“提前偿还”指贷款人非合同约定的提前归还部分本金，且文中聚焦的是无罚金提前偿还（penalty-free prepayment），比如美国贷款人可随时无罚金提前偿还，荷兰贷款合同多有10%-20%的年度无罚金提前偿还额度。

提前偿还产生两层风险：

• 流动性风险（资金成本的变化）

- 利率风险（因现金流变化带来的敞口）

本文主要考虑利率风险，因其可设计对冲策略。

报告批判传统仅基于市场利率理性模型的预付风险计量忽视了借款人行为的非理性及软性因素，如季节性、年龄段迁移、搬迁等社会经济因素，导致理性模型难以捕捉现实预付款行为。

文献综述强调市场利率激励与借款人反应的统计关系通常用单调的Sigmoid函数（代表预付概率），但历史数据难以精准反映未来行为，且缺乏对行为不确定性的建模。

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2.2 固定利率抵押贷款及预付定义（第3～4页）

• 抵押贷款合同包含固定还款计划（合同本金偿还曲线 \(Nc(t)\) 和利息支付）。

- 图1用直观图示区分合同本金曲线和各种事后实现的本金路径（带预付款的多条路径）。

• 现金流定义明确体现出利息与本金支付，利息计算基于本金余额积分。

- 抵押贷款可以分解为若干个利息单独计付的子贷款（interest-only loans）。

• 预付款定义为合同本金偿付之外的额外还款，实际本金统计路径 \(Nr(t, \omega)\) 带有随机性。

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2.3 资金机制与IRS对冲（第4～7页）

• 银行发行固定利率抵押贷款，资金来源为浮动利率债券（FRN），这类债券的利息支付基于浮动市场利率。

- 发布的FRNs现金流设计可与固定利率抵押贷款本金及利息形成反向对冲关系。

• 若无预付，固定利率抵押贷款+FRN组合完全等价于相应名义的接收方利率互换（receiver IRS），理论上利率风险被对冲。

- 但预付的存在导致IRS名义本金本身的随机性（stochastic notional IRS），变为异质期权。此即报告所称的嵌入式提前偿还权（EPO）。

• 例子（Examples 1）采用简化三期模型，分析预付事件下资金再配置，清晰展示预付带来的IRS名义本金路径变化，强化资金成本和风险管理的复杂性。

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2.4 嵌入式提前偿还权定义（第7～9页）

• 回归EPO定义：EPO为合同本金与实际本金差值的不规则IRS，即冲击IT现金流：

\[
N(t) = Nc(t) - Nr(t)
\]

• EPO付息为：利差 \((K - F)\) 乘以该时间段内的名义积分。

- 预付速率 \(\Lambda(t)\) 作为核心随机过程控制EPO现金流和风险，定义为无条件的即时预付率，受累计积分限制确保本金不得负值。

• 预付速率随机性源于行为和市场因素。

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3. 建模预付款速率 \(\Lambda(t)\)（第7～10页）

• 传统将市场利率激励（rate incentive, RI）作为预测预付率的唯一或主要变量，常用公式：

\[
\varepsilon(t) = K - \kappa(t)
\]

其中 \(K\) 是原合同固定利率，\(\kappa(t)\) 同期限折现互换获取的当期市场利率。

• 预付速率的函数形式选用 Sigmoid，表示借款人对利率差的响应，是单调递增函数：

\[
\Lambda(t) = h{RI}(t, \varepsilon(t); l, u, a, b) = l + \frac{u-l}{2}[\tanh(a(\varepsilon(t) + b)) + 1]
\]

• 本研究的主要创新在于将Sigmoid函数中的偏移参数 \(b(t)\) 视为随机过程，捕捉借款人的行为不确定性，打破了RI和预付率的确定性映射（DMA）。即引入非对冲风险因素。
• \(b(t)\) 通过Ornstein-Uhlenbeck过程建模，符合均值回复机制，且与市场利率风险因子可能存在相关性。
• 图4展示了这种随机偏移如何通过水平移动Sigmoid函数模拟实际数据中预付率的波动和偏离理性模型的表现。

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4. EPO定价与风险中性测度下价值计算（第9～12页）

• 采用Hull-White模型描述短期利率 \(r(t)\) ，OU过程描述行为风险因子 \(b(t)\) ，两者可能相关。
• 定价利用风险中性测度 \(\mathbb{Q}\)，由于\(b(t)\) 为非市场风险因子，市场价格风险 \(\lambda(t)\) 不可观测，导致市场不完整且EPO价值非唯一。
• 价值过程：

\[
V(t) = \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}}\left[\sum{tj \geq t} \frac{M(t)}{M(tj)} CF(tj) \right]
\]

其中\(CF(tj)\)为在支付日期的现金流，\(M(t)\)为货币市场账户。

• 重要结论（Theorem 3.1）证明：引入行为不确定性（即\(b(t)\)波动性参数\(\etab > 0\)）会减少EPO价值。逻辑在于行为随机性使得权利行使偏离最优，从而降低提前偿还权的价值。

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5. EPO静态复制策略（第11～13页）

• 由于行为风险因子不可交易，完美复制不可得，转而寻找静态复制组合 \(\mathbf{w}\) 使得风险敞口（EPO与复制组合财富之差）路径距离最小。
• 复制工具包括利率互换(IRS)和互换期权（swaptions），组合权重为 \(wi\)，目标函数可根据场景权重、损失函数阶数及风险偏好设计：

\[
\mathcal{L}{M^p}(\mathbf{w}, \lambda) = \int{t0}^T \alpha(t) \mathbb{E}[|\mathcal{D}(t; \mathbf{w}, \lambda)|^p] dt
\]

• 亦考虑风险管理中的尾部风险，采用右侧期望短缺（expected shortfall，ES）：

\[
\mathcal{L}{ESq^+}(\mathbf{w}, \lambda) = \int{t0}^T \alpha(t) \mathbb{E}[\mathcal{D}(t; \mathbf{w}, \lambda) | \mathcal{D} > Q{\mathcal{D}}(q)] dt
\]

• 复制策略区分“条件复制”(已知风险价格\(\lambda\))和“鲁棒复制”(考虑风险价格错配，形式上为鞍点问题):

\[
\min{\mathbf{w}} \max{\lambda \in \mathcal{M}} \mathcal{L}{p,q}(\mathbf{w}, \lambda)
\]

通过该机制得到的鞍点策略能保证对风险价格错配有容错能力。

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6. 数值方法及定价算法（第13～15页）

• 由于EPO现金流非线性且路径依赖，使用改进版Longstaff-Schwartz最小二乘蒙特卡洛(LSM)方法估算条件期望计算现金流和未来价值。
• 利用状态变量向量 \([r(t), b(t), N(t)]\) 进行回归估计过滤，提高数值稳定性。
• 复制权重问题若为二次损失函数可解析求解；一般场景用数值优化。
• 鲁棒复制中，风险价格函数限制为仿射形式 \(\lambda(t) = \lambda0 + \lambda1 b(t)\) ，映射为OU过程参数改动，附带参数域范围约束，保证数值稳定和物理合理。

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7. 数值实验解读（第16～24页）

7.1 定价实验（第16～18页）

• 参数设定符合实际，Hull-White参数通过市场数据校准，行为风险因子根据历史预付数据估计。
• 验证理论，EPO价值随行为风险波动率 \(\etab\) 增大而减小，体现行为不确定性削弱了期权价值。
• 实验跨两种抵押类型（bullet与linear）及两种RI函数（理性与经验），展示当RI模型中存在正的最低预付率时，EPO价值较低且不确定性效应较弱。
• 进一步展示市场价格风险 \(\lambda\) 的不同选择对EPO价值的敏感性，误估风险价格会造成显著定价偏差。

7.2 复制策略实验（第19～21页）

• 条件复制实验中，使用不同组合的复制品种：

- 单纯接收型IRS重复约90%均方误差减小
- 互换期权单独使用无法捕捉敞口两侧尾部风险
- 组合使用IRS + 收方&付方互换期权，最优损失进一步降低，费用略有增加，效果最佳

• 通过图表(7,8页)展现不同复制策略下暴露的概率分布，尾部风险控制明显改善。
• 增加尾部风险约束的目标函数(引入ES)可有效控制右尾极端风险，但会导致成本上升和中间体表现略有恶化，风险偏好需权衡。

7.3 鲁棒复制（第22～24页）

• 在行为风险不可观测且风险价格 \(\lambda\) 不确定前提下，探索最优复制策略对市场价格风险误配的鲁棒性。
• 采用积分分布梯度法计算损失函数属性，发现目标函数对参数 \(\theta\)（均值）敏感度高于 \(\alpha\)（均值回复率）。
• 通过寻求鞍点解，报告四组市场价格风险参数和对应复制权重，均为鲁棒解。
• 结果表明，对于给定初始风险价格信念，总能找到对应的鲁棒复制策略，提供损失上限保障。

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3. 重要图表解读

图1（第3页）

说明合同本金线性、子弹型与实际实现本金随机路径区别，以及提前偿还导致本金路径提前终止的情况，有助理解预付风险对本金偿还计划的影响。

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图2（第5页）

图示了抵押贷款加FRNs如何等价于IRS（无预付）及预付出现时IRS名义本金的路径变化，直观展示了预付选项导致的资金成本和风险敞口变化。

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图4（第9页）

展现理性与非理性RI函数拟合实际预付款数据的差异；随机态风险因子导致Sigmoid函数横移，从而捕捉预付行为的非理性和不确定性。

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图5（第16页）

展示了市场价格风险参数空间的约束域映射关系，说明为何必须限制参数空间确保OU过程的合理性及数值优化的可行性。

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图6（第18页）

(a) 显示EPO价值随行为波动率 \(\etab\) 递减，且不同还款方式和RI函数影响价值层级。

(b) 演示市场价格风险参数 \(\lambda0, \lambda1\) 对EPO价值的不同影响，体现误估风险价格会导致显著误差。

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图7 & 图8（第20页 & 21页）

展示不同复制策略对EPO暴露的影响，显示加入互换期权提升在尾部风险上的对冲效果，加入期望短缺指标的目标函数优化复制尾部表现。

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图9 & 图10（第22～23页）

三维梯度曲面与等高线解析目标函数对市场价格风险参数的敏感复杂度，突显鲁棒复制问题的数学难点。

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图11（第24页）

可视化优化过程鞍点搜寻轨迹，标示最优鲁棒复制策略位置，强调数值算法的稳定收敛特性。

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4. 估值方法总结

• 利用短期利率Hull-White模型和行为风险OU过程建立联合风险因子模型。

- 风险中性测度下定价采用风险中性条件期望。

• EPO现金流路径依赖，采用LSM方法近似定价。

- 市场价格风险引入多重等价鞅测度导致价格非唯一。

• 在风险价格确定时，直接最小化路径距离获得条件最优复制策略。

- 当风险价格不确定时，构建鞍点优化问题，获得鲁棒复制策略，控制最大复制损失。

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5. 风险因素评估

• 行为不确定性：非金融理性因素导致预付款速率偏离期望，增加模型风险，导致市场非完整。

- 市场价格风险误配：因 \(b(t)\) 非市场风险因子，无法直接估计价格风险，错误假设会造成计算价格与风险敞口的严重偏差。

• 复制工具限制：无市场工具可以直接对冲行为风险，传统单一IRS无法有效对冲尾部风险，必须借助期权等非线性工具。

- 参数估计风险：OU过程参数及Sigmoid函数结构参数均基于历史数据估计，难以保证未来稳定性。

• 模型简化假设：如行为风险因子与市场利率间的线性相关假设，易受市场非线性动态影响。

论文通过提出鲁棒复制策略，部分缓解误估风险带来的负面影响，为风险管理提供实务指引。

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6. 批判性视角与细微差别

• 论文基于简化模型（Hull-White + OU）捕捉复杂行为风险，可能忽视更多潜在非线性依赖或交互效应。

- 定价假设依赖风险价格的恰当确定，而该因子不可得，鲁棒复制只能提供局部保障，且需要用户对风险价格空间合理约束。

• 行为风险建模聚焦于Sigmoid偏移，不包含行为多样性或其他宏观经济变量，可能限制模型的预测性能。

- 数值方法依赖蒙特卡洛回归，计算成本高且对基函数选择较敏感。

• 未涉及更动态调整复制策略，仅静态复制限制了实际应用时对市场变化的反应能力。

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7. 结论性综合

本文系统地分析了固定利率抵押贷款中嵌入的提前偿还权（EPO），并大胆引入行为不确定性的随机风险因子，基于此构建了却定价和复制的全新框架。核心理论证明了行为不确定性降低了EPO价值，符合非理性行为导致次优行使的经济逻辑。

从实践层面，采用IRS与互换期权相结合的静态复制策略，在降低平均平方损失的同时，显著改善了尾部风险敞口，尤其是右尾的极端事件风险。定价和复制均依赖风险中性测度中非观测的市场价格风险参数，错误设定该参数会对模型输出造成重大影响。论文通过鞍点最优化，提出了鲁棒复制方法，有效应对市场价格风险的误估，保障复制策略对风险敞口的上界。

数值实验全面验证了定价理论与复制方法，说明了行为不确定性对产品价值及复制策略的重要影响。基于LSM的路径依赖回归技术和风险分布刻画增强了模型实用性。

本研究不仅拓宽了传统金融风险管理中对行为组件的考量，也为金融机构设计更稳健的抵押贷款风险对冲体系提供了深具实践价值的工具与方法。

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图表索引

| 图号 | 描述 | 页码 |
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| 图1 | 合同本金与实现本金路径对比（bullet与linear） | 3 |
| 图2 | 抵押贷款与FRN等价关系及预付对IRS名义影响 | 5 |
| 图4 | 理性/经验Sigmoid函数及行为风险随机偏移演示 | 9 |
| 图5 | 市场价格风险参数约束及搜索域示意 | 16 |
| 图6 | EPO价值对行为波动率与市场价格风险的敏感性 | 18 |
| 图7 | 不同复制策略下风险敞口概率分布 | 20 |
| 图8 | 含尾部风险损失函数复制策略表现 | 21 |
| 图9 | 损失函数梯度对市场风险参数敏感性 | 22 |
| 图10 | 损失函数梯度零点等高线示意 | 23 |
| 图11 | 鲁棒复制鞍点算法迭代轨迹 | 24 |

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关键参考

• Casamassima et al., 2022：预付款风险的定价与对冲，本文所基石。

- Bissiri & Cogo, 2014：行为风险的理论基础。

• Hull & White, 1990：短期利率模型基础。

- Longstaff & Schwartz, 2001：回归蒙特卡洛定价方法。

• Björk, 2019：市场不完整及对冲理论。

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总体评价

本文贡献突出，理论扎实，数值详尽，成功构建了捕捉行为不确定性的EPO定价及风险复制全流程，提出了行业需要的鲁棒复制策略。虽然模型简化和参数估计限制了其完备性，但作为行为风险嵌入到利率风险管理框架中先行研究，极具参考价值和实用潜力。

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溯源引用

• 核心模型与贡献[page::0,1,2]

- 岗位资金机制与IRS等价[page::3,4,5,6]

• EPO定义及数理性质[page::7,8,9,10,11]

- 复制策略数学构造[page::11,12,13,14,15,16]

• 数值实验与结果[page::17,18,19,20,21,22,23,24]

- 理论证明及方法详述[page::25,26,27,28]

报告