• 研究背景与目标 [page::0][page::1]

- 期权定价中，尤其是美式期权，需准确估计未来现金流的期望延续价值，LSMC方法依赖基函数近似该期望，但基函数选择缺乏统一指导，影响定价和Delta精度。
- 本文应用基于Kolmogorov–Arnold表示定理的KAN网络，提出KANOP模型，替代传统的固定基函数，实现更高效准确的期权定价。

• KAN模型及KANOP结构 [page::2]

- KAN基于连续函数的有限单变量函数加和表达，使用可训练B样条实现单变量映射，避免高维基函数复杂度，减少模拟路径需求。
- KANOP利用该结构替代LSMC中基函数线性组合，对每一离散时间点单独训练KAN网络，迭代后向估计期望继续价值，构造期权价格。

• Delta近似计算方法 [page::3]

- Delta定义为期权价格对标的资产价格的导数，KANOP通过自动微分(Autograd)对拟合的期望继续价值进行微分，有效计算期权Delta。

• 实验设置1：标准美式认沽期权 [page::4][page::5][page::6]

- 10,000模拟路径、每天步长、零风险利率、20%波动率，比较传统LSMC基函数（加权拉盖尔、多项Hermite）与KANOP、MLP模型定价及Delta精度。
- 结果表明，传统基函数因路径数量有限导致估计偏差明显，多项Hermite优于加权拉盖尔；KANOP即使仅用一层隐藏单元且模拟路径较少，价格误差仅0.44%，Delta接近理论值-0.5，表现优于加深层MLP和传统基函数模型。

• 实验设置2：亚洲美式期权多变量定价 [page::4][page::5][page::6][page::7]

- 在股价和时间加权平均价(TWAP)作为双输入变量的情境下，评测KANOP对期权价值拟合能力。
- 传统拉盖尔多项式基函数和多层MLP受限于模拟数据不足均表现欠佳，KANOP显著提升估价精度，误差接近实际亚洲美式期权价格，适应早期行权特性。
| 模型 | Kp=100, Tw=13, Oy=0.15 | Kp=100, Tw=13, Oy=0.25 | Kp=100, Tw=26, Oy=0.25 | Kp=105, Tw=26, Oy=0.25 |
|------------|-------------------------|-------------------------|-------------------------|-------------------------|
| Eurasian 价 | 2.1638 | 3.3621 | 4.7659 | 2.6628 |
| 亚洲美式真实价| 2.3210 | 3.6500 | 5.2660 | 2.8580 |
| 拉盖尔模型 | 2.2750 | 3.5716 | 5.0719 | 2.7162 |
| MLP模型 | 2.2601 | 3.6134 | 5.1422 | 2.7943 |
| KANOP模型 | 2.3216 | 3.6589 | 5.2382 | 2.8309 |

• 结论与展望 [page::7]

- KANOP模型通过结合KAN的可学习B样条基函数与LSMC，实现在有限模拟路径下更加准确和稳定的期权定价及Delta估计。
- 相较深层MLP，KANOP结构简单，数据需求更低，具备扩展至高维期权（如篮子期权）的潜力，具有广泛应用价值和后续研究空间。

详细分析报告：KANOP - 基于Kolmogorov–Arnold网络的数据高效期权定价模型

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题：《KANOP: A Data-Efficient Option Pricing Model using Kolmogorov–Arnold Networks》

- 作者：Rushikesh Handal、Kazuki Matoya、Yunzhuo Wang、Masanori Hirano

• 机构：Preferred Networks, Inc., 东京，日本

- 主题：金融衍生品领域中的美式期权及亚洲美式期权的定价模型，聚焦于机器学习新兴方法——基于Kolmogorov–Arnold网络（KAN）的期权定价方法。

• 核心论点：

- 传统的Least Square Monte Carlo (LSMC)方法依赖于基函数的预设选择，且在样本路径有限时难以保证收敛与正确的期权价和Delta估计。
- KANs基于Kolmogorov-Arnold表示定理，其单变量函数的组合结构和B样条参数化方法，带来更为灵活且高效的拟合能力。
- 本文提出KANOP模型，将KAN与LSMC结合，代替传统基函数组合，更加高效地估计期权价值和Delta，即使在路径数量有限的情况下，也能保证更高精度。
- 通过美式期权及亚洲美式期权的案例，实验证明KANOP模型在价格及Delta估计准确性上明显优于传统基函数LSMC及MLP模型。

总体而言，报告侧重于将一种数学表征与机器学习方法创新引入金融衍生品定价，展示其实际提升效果，具有开拓性的学术及应用价值。[page::0,1]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言部分（Introduction）

• 关键论点总结：

- 期权定价和Delta敏感度计算对投资/风险管理极其重要。欧式期权有Black-Scholes的封闭解，但对路径依赖及美式期权不适用，需用数值方法如LSMC。
- LSMC通过设计基函数拟合期权的期望继续价值，但需要大量模拟路径和高阶基函数，且基函数选择缺乏统一指导，导致估价和Delta计算误差。
- KANs以Kolmogorov-Arnold 表示定理为理论基础，用单变量函数的求和组合提供强大且浅层的函数拟合能力，避免传统多层感知机(MLP)的“维数灾难”。

• 推理依据：

- 将期权估价问题中“期望继续价值”函数视为平滑的多元连续函数，符合KART可逼近条件。
- 在LSMC框架下替代基函数为可学习的KAN模块，减轻基函数选择不当带来的问题。

• 关键数据/假设：

- 目标是证明有限路径数条件下，KANOP模型excel于基函数方法和MLP的期权价格和Delta估计。

总结：引言构建了研究动机和核心研究问题，定义了期权定价中数学与机器学习模型结合的切入点。[page::0]

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2.2 相关工作（Related Work）

• 关键论点总结：

- LSMC广泛应用但基函数选择长期备受研究，传统基函数如Laguerre、Hermite、Legendre、Chebyshev等多项式和稀疏网格，均有各自优缺点。
- 机器学习方法逐渐被用于替代LSMC中的线性映射，例如神经网络、支持向量机等，但多数要求较大的数据量和深层网络。
- PDE及BSDE方法虽有理论基础，但实现复杂度高，LSMC因其简单灵活性仍具实际吸引力。

• 推理依据：

- 作者强调其创新性为首次将KANs这一由理论驱动的浅层、可学习、灵活的单变量组合网络应用到期权定价。

• 结论：本研究结合了LSMC的通用性和KANs的学习灵活性，试图带来更高效的期权定价算法。[page::1]

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2.3 方法论（Methodology）

• LSMC原理回顾：

- 目标估算期权的最优停止时机通过条件期望未来现金流$\mathbb{E}{\mathbb{Q}}\left[\sum e^{-\int r ds} C(\cdot)\mid \mathcal{F}{t}\right]$与即时执行价值的比较。
- 时间向后递推，从到期日反向拟合并估计期望继续价值。传统方法通过多项式基函数线性组合利用OLS估计参数。

• KAN模型详解：

- 基于Kolmogorov-Arnold Representation Theorem，任何$n$维连续函数可表示为约$2n+1$项单变量函数在输入变量线性变换组合后的和：
$$
f(x)=\sum{i=1}^{2n+1} \phii\left(\sum{j=1}^n \psi{ij}(xj)\right)
$$
- $\psi{ij}$、$\phii$为一维连续函数，KAN通过带可训练参数的B样条曲线实现这些单变量函数的表达，从而提升函数拟合能力且避免“维数灾难”。
- 相较于传统基函数，KAN不需要通过交叉项捕获变量间交互，结构简单。

• KANOP模型设计：

- 在LSMC每个逆向时间节点，利用KAN网络拟合期望继续价值函数$F(\omega;tk)$。
- 使用均方误差损失函数训练KAN，从而直接从数据中学习合适的函数表示，替代固定多项式基函数。
- 价格估计通过路径平均折现后的现金流计算，早期执行条款通过比较即时价值与KAN拟合值确定。

• Delta的计算方法：

- Delta定义为期权价格对初始资产价格的偏导数。
- 由于LSMC本身只产出点估计，难以直接偏导，作者借助路径估计的期望继续价值函数$\hat{F}(\omega;t1)$及自动微分工具（Autograd）计算导数近似Delta。
- 此方法以$F$函数的准确拟合为依托，验证欧式期权的Delta近似与BS平方公式精确匹配。

总结：方法论清晰说明了如何利用KAN的理论优势设计灵活拟合函数，并且结合了LSMC算法与现代自动微分技术实现价格与Delta估计。[page::1,2,3]

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2.4 实验设计（Experiments）

• 标准美式期权

- 实验使用一个美式看跌期权，标的价格初始为4.0，行权价4.0，期限50天，年化波动率20%，无利率及股息。
- 该期权在无利率情况下基本不提前执行，近似欧式期权。
- 基函数选用Weighted Laguerre和Hermite多项式（6阶），同时比较KANOP和MLP（深层网络100,000路径训练，其他仅10,000路径）。
- 目的是检验不同模型在有限路径数量下价格与Delta的精度差异。

• 亚洲美式期权

- 以双变量（当日标价和时间加权平均价格TWAP）为输入，进行多场景定价。
- 变量包括波动率、行权价、期限不同组合，总共4个任务。
- 模型设置：Laguerre多项式基函数（最多4阶及交叉项共15个回归变量）、KANOP（[2,5,1]网络结构）、MLP（[2,32,32,1]网络，路径数较多）。
- 参考文献提供亚洲美式期权的目标定价进行对照。

总结：设计涵盖单变量与多变量场景、不同复杂度输入，考察模型的泛化能力和学习效果，控制模拟路径数以测试数据效率。[page::3,4,5]

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2.5 结果分析（Results）

• 标准美式期权结果：

- 表格I显示，Black-Scholes模型的价格0.1421与理论Delta-0.5作为基准。
- Weighted Laguerre价格0.1395，Delta-0.4876；Hermite略优，价格0.1407（误差约0.97%），Delta-0.4899。
- MLP模型价格0.1384，Delta-0.4976，即使使用了10倍路径数，价格估计依然不及Hermite。
- 反观KANOP价格0.1427（误差0.44%），Delta-0.4970，表现最佳。

• 图表解读（Fig. 1 & Fig. 2）：

- 图1中，Weighted Laguerre和Hermite在$t{49}$点附近（接近行权价），$\hat{F}$估计偏差明显，尤其对深ITM和深OTM样本。
- Hermite模型整体优于Weighted Laguerre。
- 图2中，KANOP和MLP对期望继续价值拟合更准确，尤其是KANOP在$t1$附近拟合最优，曲线更接近欧式理论价格。
- MLP模型尽管深层网络且有大量数据，仍在$t1$点产生低估。

• 亚洲美式期权结果（表II）：

- KANOP在所有四个组合任务中均优于Laguerre和MLP，价格估计最接近真实亚洲美式期权价格。
- Laguerre模型价格虽高于欧式亚洲期权，但仍明显低估了真实美式期权价值，尤其是OTM期权。
- MLP表现中等，即便路径数是KANOP的10倍。

结论：

• 在有限模拟数据下，传统基函数模型对基函数选择敏感且拟合有限，导致定价和Delta估计误差。

- MLP模型数据需求大，盈利率未达到KANOP的泛化效果。

• KANOP显示出结构简单、数据利用效率高、拟合准确的优势，特别是在关键时间节点和价格区间表现优异。[page::5,6]

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2.6 讨论（Discussion）

• 对于LSMC，期望继续价值函数$\hat{F}$的绝对拟合不是定价关键，关键是其相对大小关系决定是否提前执行。

- 但Delta对$\hat{F}$的估计质量要求更高，对曲率和斜率较为敏感，因此更准确的函数拟合能显著提升Delta估计。

• 传统基函数多项式很难准确逼近Black-Scholes中含对数和正态累积分布函数的复杂非线性期望值，在浅层和数据有限时表现尤其差。

- KANOP利用B样条灵活性，可以调整拟合曲线的细节，缓解了传统方法的刚性限制。

• 多维度输入下（亚洲美式期权），传统基函数维度爆炸和数据需求上升明显，而KANOP能以较少层和路径给出更稳定的拟合。

- MLP模型虽然表示能力强，但深层网络需要巨大数据规模，有限数据下则拟合欠佳，支持KANOP轻量高效的模型设计优势。

该讨论回顾了核心算法设计理念与实验中观察到的问题根源，体现KANOP在实际应用中的优势及其意义。[page::6,7]

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2.7 结论（Conclusion）

• KANOP模型利用Kolmogorov–Arnold网络特性，结合LSMC方法，有效替代传统基函数，改善有限路径情况下美式期权及亚洲美式期权的定价和Delta估计。

- 标准美式期权实验表明，基函数选取对传统LSMC误差显著，KANOP以单隐藏层结构表现优异。

• 亚洲美式期权场景进一步体现KANOP在多变量输入下的泛化性能优越。

- 相比深层MLP及传统LSMC，KANOP在数据效率、拟合精度和计算复杂度上均表现出明显优势。

• 有望推广到更高维度及复杂衍生品定价领域，如篮子期权、彩虹期权等，具备较强的研究和应用潜力。

总结：KANOP为路径模拟有限、计算资源有限时提供了高效、准确的新型期权定价方案，为后续高维复杂衍生品定价研究奠定基础。[page::7]

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3. 图表深度解读

图1：Weighted Laguerre和Hermite基函数的期望继续价值拟合（$t{49}$、$t{25}$、$t{1}$）

• 描述：展示两种传统基函数对关键时间点期望继续价值$\hat{F}(\omega;tk)$的拟合情况，并与理论欧式期权价格曲线对比。

- 趋势：
- 两模型在临近到期$t1$时，皆难准确捕捉接近行权价价位区间的斜率变化。
- Hermite吻合度整体优于Weighted Laguerre，尤其是ITM路径。
- 在$t{49}$时，拟合曲线远离理论值，且两模型对于极端价格（深ITM/深OTM）拟合较差。

• 联系文本：图示支撑文本中两传统基函数在有限路径情况下存在明显拟合不足，导致定价偏差，特别是在关键的行权价格区间。

- 潜在局限：多项式基函数本质限制了对复杂非线性函数和曲线局部细节的捕捉，且过高阶数多项式会增加计算复杂度和过拟合风险。



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图2：KANOP和MLP模型的期望继续价值拟合（同三时间点）

• 描述：展示KANOP和深度MLP模型对$\hat{F}(\omega;tk)$的拟合情况，同样与理论欧式期权价格曲线对比。

- 趋势：
- KANOP在所有时间点，尤其是$t1$，表现出更平滑且逼近度更高的拟合曲线，贴近理论价格。
- MLP虽然整体较传统基函数好，但在$t_1$部分出现低估，拟合曲线在部分价格区域偏离理想曲线。
- KANOP使用单层浅网络结构和少量路径即实现较好拟合，证明其优异的数据效率。

• 联系文本：有效凸显KANOP在有限样本和浅层网络下的强拟合能力优势，解释其为何带来更佳价格和Delta估计。

- 局限点：KANOP在深ITM/OTM区域拟合稍逊，这主要由路径分布稀疏导致。



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4. 估值分析

• 估值基本采用LSMC框架：

- 时间自到期向前每步拟合期望继续价值，用于判断是否行权，最终折现平均现金流得到期权价格。
- 传统模型用固定基函数系列（Laguerre/Hermite多项式）进行线性回归估计。
- KANOP模型用可学习的KAN网络代替基函数线性组合，实现非线性、自适应的函数逼近。

• KAN模型输入层节点数为变量数n，隐藏层节点数遵循$2n+1$规则。

- KANOP保持LSMC算法结构一致，仅基函数拟合换成可训练的KAN，优化目标仍为最小均方误差，保持与OLS的目标函数一致。

• Delta估计基于自动微分（Autograd）求导，显著简化了RK或数值微分繁琐步骤。

- 比较对象包括传统多项式基函数LSMC和多层感知机（MLP）高数据量模型。

• KANOP实现更高数据利用率和更少层数，实现有效且准确估值与希腊字母计算。[page::2,3,5]

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5. 风险因素评估

报告主要针对模型精准度和效率问题，未显著提及应用风险和缓解策略。但隐含的风险及讨论如下：

• 模拟路径数量有限：

- 是所有基于LSMC方法的核心限制，路径不足导致拟合函数偏差或过拟合。

• 模型泛化能力：

- 尤其在多变量或高维情况下，传统基函数模型复杂度爆炸，要求大量数据；KANOP减轻此风险但仍需适量数据支持。

• 估计极端区域表现：

- KANOP对深ITM/OTM区域拟合不理想，可能导致极端情况下定价和Delta误差。

• 参数选择与网络结构：

- KANOP依赖B样条节点数和网络层数，结构不当或训练不足可能影响效果。

• 计算复杂度和训练稳定性：

- 虽然单层网络结构降低计算需求，但仍需关注训练收敛和数值稳定问题。

虽未详细展开，但报告提出KANOP为一种减少风险的创新路径，并证明其在有限数据环境下风险相对较小。[page::0-7]

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6. 批判性视角与细微差别

• 创新点与偏颇：

- 报告极力展现KANOP模型优于传统与MLP模型，且用统一路径数量实验比较保证了方法的公正性。
- 对比MLP时，MLP使用了10倍路径，理论上更具优势，结果未表现出优势，支持KANOP效率，但对不同网络结构及优化策略调整未广泛探讨，限制结论广泛推广。

• 模型假设限制：

- KAN网络依赖Kolmogorov-Arnold定理光滑函数假设，某些非光滑或断点多义函数可能不适用。

• 拟合深ITM/OTM区域效果不佳：

- 报告亦坦诚指出，但称其影响价格和Delta有限，后续可进一步研究加权采样等技术优化。

• 多维度扩展挑战：

- 报告提及KANOP潜力，但仅二维输入实验，三维及以上实战复杂度与数据需求仍待验证。

• 缺少基于真实市场数据的对比：

- 全部实验基于模拟路径，未展示真实市场匹配效果，限制实际应用信心。

整体上，报告立场鲜明但实事求是，适当揭示模型弱点，提出未来发展路径，具高度学术诚信。[page::5-7]

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7. 结论性综合

本文围绕如何利用Kolmogorov–Arnold网络改进LSMC期权定价展开，提出KANOP模型作为传统基函数线性回归的可学习替代方案。KANOP通过B样条函数灵活表达单变量子函数，结合求和操作高效映射多维期望继续价值函数，既避开了多项式基函数阶数增长及复杂交叉项的弊端，也在有限数据环境下表现出较强的泛化能力和高效准确的拟合能力。

在单一标的美式看跌期权实验中，KANOP模型在仅使用10,000条模拟路径基础上，期权价格估计误差低至0.44%，Delta误差同样显著优于传统加权Laguerre和Hermite基函数模型，并且超越使用10倍路径训练数据的深层MLP模型。对应的期望继续价值函数曲线拟合，显示KANOP能够更细腻捕获期权价值的价格依赖性，避免传统基函数和浅层网络拟合能力不足的问题。

在多变量输入的亚洲美式期权场景，KANOP显示出更强的数值稳定性和拟合精度。相比于无法充分捕捉早期执行策略的传统LSMC多项式基函数，KANOP能够带来更加精准的价差估计，胜过同样具有深层网络结构但样本路径不足的MLP模型。图表和表格均直观展现KANOP的优势。

该研究不仅验证了KANネット作为高效浅层函数逼近器在金融领域的潜力，也为未来高维度期权定价问题提供了可行路径，尤其是在数据受限的实际环境中。虽现阶段在极端价格区域及多维扩展上仍存在挑战，KANOP为提升期权定价和对冲策略准确性提供了重要技术创新。未来可结合市场实测和更高维模型优化展开深化。

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参考文献溯源标注

本文结论和分析主要依据报告第0至第7页内容而成，所有数据、算法流程和实验结果均有明确页码标注，详见上述逐节解读与图表解析部分对应页码。

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总结

本报告对KANOP模型的设计理念、数学基础、对比实验、结果分析及未来展望给出了全面且深入的解读。KANOP利用Kolmogorov–Arnold网络结合LSMC，为美式及亚洲美式期权的定价与希腊字母估计提供了高数据效率和较高准确性的新方法，在有限路径条件下优于传统基函数和深层MLP网络，具有广泛的应用前景和研究价值。[page::0-7]

报告