• Black-Scholes (BS)模型将波动率作为自由参数，构建无风险投资组合推导期权定价方程，是金融市场期权定价的基础 [page::1][page::2]。

- BS Hamiltonian为非厄米算符，对应随机过程且信息不守恒，价格和波动率未建立内在联系 [page::2][page::6]。

• Merton-Garman (MG)方程将波动率建模为随机变量，实现对波动性风险的更全面描述，形成更复杂的偏微分方程及其哈密顿量形式，

其中波动率与股票价格之间噪声存在相关性，体现市场不完整性 [page::4][page::5][page::6][page::7]。

• 通过引入局部规范变换，标准BS方程的对称性可被恢复，规范场即为随机波动率，导致形成包含额外自由参数的广义规范哈密顿量[page::7][page::8]。

- 该规范哈密顿量是一族比MG哈密顿量更普适的系统，满足特定对称条件时退化为MG哈密顿量，且在波动率动量为零的极限下退化至BS方程 [page::8][page::9]。

• 价格波动的动量算符与波动率动量算符表现出严格的关系式（如$2\hat{p}x = -\hat{p}y$），说明波动率增大时，期权价格与股票价格的正负相关性对Call和Put期权尤为重要 [page::9][page::10]。

- 鞅条件被推广应用于规范哈密顿量，达成市场平衡时，期权价格对股票价格变化的敏感度等于对波动率变化的敏感度，反映二者的功能耦合关系[page::10][page::11]。

• 图示说明两种哈密顿量的关系及参数条件对信息保留的影响，强调了波动率的规范视角对期权价格动态的深刻影响 [page::9][page::10]。

- 本文未涉及量化因子或具体量化策略的构建，但提出了波动率与股票价格关联的理论基础，有助于量化模型的进一步完善。

报告详尽分析：局部等价性视角下的Black-Scholes与Merton-Garman方程研究

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1. 元数据与概览

• 报告标题：《On the Local Equivalence of the Black Scholes and the Merton Garman Equations》

- 作者及机构：Ivan Arraut，University of Saint Joseph（澳门）

• 发布日期：2024年10月3日

- 主题领域：量化金融，特别是与期权定价理论中两大经典数学模型 - Black-Scholes（BS）方程和Merton-Garman（MG）方程的关系和等价性。

• 主要内容及贡献：

- 报告提出，MG方程可视为基于BS方程施加局部价格变换对称性（gauges对称性）所导出的推广，二者在流形局部意义下等价。
- 引入“规范哈密顿量”概念，MG哈密顿量是此更一般哈密顿量的特例。
- 阐述价格与波动率之间存在具体函数关系，波动率的随机性体现为规范场，强化了市场中波动率估计的重要性和方法。
- 在此基础上，定义了“规范哈密顿量”的扩展鞅(martingale)条件。
- 强调通过规范理论理解期权市场的潜力和新视角。

本报告的核心观点在于以物理学中的规范原理（gauge principle）为理论框架，统一解释并连接BS与MG方程，拓宽了经典金融数学分析方法，具有理论深度和潜在实践价值。[page::0]

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2. 报告章节深度解读

2.1 Black-Scholes方程（第2章）

关键论点及内容：

• 股票价格视为服从随机微分方程：

\[
\frac{dS(t)}{dt} = \phi S(t) + \sigma S(t) R(t)
\]

其中，\(\phi\)为期望收益率，\(\sigma\)为波动率，\(R(t)\)为均值为零的高斯白噪声，波动率在BS模型中是一个自由参数，需投资者估计。[page::1]

• BS方程通过构造无风险（风险中性）投资组合，实现了随机波动率的对冲，得到著名的BS偏微分方程：

\[
\frac{\partial C}{\partial t} + r S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = r C
\]

其中\(C\)为期权价格，\(r\)为无风险利率；该方程独立于投资者预期收益\(\phi\)。[page::1]

• 进行了BS方程的基本假设梳理，包含利率恒定、股票可拆分及无限卖空、组合无套利、持续再平衡、无交易费用、价格连续演化六点。上述是BS模型的标准基础前提。[page::2]

逻辑与假设：

• BS方案成立关键在于投资组合对冲随机波动，假设市场完美、无套利及连续交易。

- 波动率作为未知参数是本模型的主要局限，投资者通过历史数据和市场信息估计其大小，影响期权定价和买卖决策。

投资者理性买卖行为举例（2.2节）：

• 通过对欧式看涨（Call）和看跌（Put）期权的盈亏示意和零和博弈场景阐明期权买卖双方的收益结构和决策依据（辅以图示1~4）。
• 例如，Call期权持有者希望股价高于执行价加上期权费才能行权获利，写方则期望股价不超过此阈值。
• 这反映了期权定价中，波动率变化对价格的直接影响和投资者对波动率估计准确性的需求。[page::2][page::3][page::4][page::5]

2.2 Merton-Garman方程（第3章）

关键论点与模型扩展：

• MG方程视波动率为随机过程，波动率\(V=\sigma^2\)本身遵循随机微分方程（附带模型参数\(\lambda,\mu,\zeta,\alpha\)以及相关白噪声\(R1,R2\)），反映市场不完备特征。[page::5]
• 两个噪声项\(R1,R2\)相关性用参数\(\rho\)刻画，暗示价格与波动率随机性之间存在内在耦合关系，这是MG相较于BS的显著特征及复杂度来源。
• 通过Ito引理推导相关随机微分关系，并构建由两种期权组成的投资组合，建立对冲条件，得到MG偏微分方程，其形式类似BS但涉及波动率对价格动态影响的项，显式体现波动率随机性的市场风险溢价参数\(\beta\)（内嵌于\(\lambda-\beta\)中）。[page::5][page::6]

MG方程以Hamiltonian形式表达：

• 变换变量\(S=e^x, V=e^y\)后，MG方程转化为带二维变量\(x,y\)的非厄米量子力学哈密顿量问题，带有二阶混合偏导等项，难度显著增加，且其信息不守恒表现随机过程本质。[page::6][page::7]

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2.3 Black-Scholes Hamiltonian的局部规范对称性（第4章）

关键论点：

• 报告引入规范变换算符\(U = e^{\omega \theta(x)}\)，其中参数\(\theta(x)\)依赖于股票价格变量\(x\)。
• 标准BS哈密顿量不满足该局部对称性，即

\[
[\hat{H}{BS}, U] \neq 0,
\]

破坏局部规范对称性。[page::7]

• 回复局部对称性需引入“规范场”，即随机波动率作为规范场的角色，从微分算符中将普通导数替换为协变导数：

\[
\frac{\partial}{\partial x} \to \frac{\partial}{\partial x} + \hat{p}y,
\]

其中\(\hat{p}x = \frac{\partial}{\partial x}\)和\(\hat{p}y\)分别对应股票价格和波动率的“动量”操作符。[page::7]

• 得到的规范哈密顿量（gauge Hamiltonian）形式更一般：

\[
\hat{H}{gauge} = \frac{\sigma^2}{2}(-\hat{p}x - \hat{p}y)(\hat{p}x + \hat{p}y) + \left(\frac{1}{2}\sigma^2 - r\right)(\hat{p}x + \hat{p}y) + r,
\]

展开后含有股票价动量、波动率动量及其混合项。[page::7][page::8]

参数约束与等价条件：

• 若满足一组严格微分关系（式27中的三条约束），规范哈密顿量退化成MG哈密顿量，进一步给出变量间参数映射（式28），使规范哈密顿量族包含MG子集。
• 实际工作中，这些约束较为严格，报告中不强制应用，保留更一般形式对应更广泛金融市场状态。[page::8]

重要结论：

• 价格动量与波动率动量之间存在固定比例关系：

\[
\frac{\hat{p}x}{\hat{p}y} = \pm \sqrt{\frac{\omega}{1+\omega}},
\]

该比例关系体现不同期权类型影响：正号适用于看涨期权，负号适用于看跌期权，反映市场观察到的波动率与价格联动结构。[page::8]

• 特殊条件

\[
\sigma^2 = 2r,
\]

使BS哈密顿量变为厄米，市场信息守恒，且对应的动量关系进一步简化，作为判别市场信息是否保全的量化条件。[page::8]

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2.4 MG与BS方程的局部等价（第4.1节）

• 规范原理确保包含随机波动率的MG哈密顿量族与BS哈密顿量局部等价，即忽略波动率动量\(\hat{p}y \to 0\)时回归BS模型。
• 图示（图5）清晰展示了BS低维空间与MG空间间的联系，BS轨迹为MG轨迹在\(\hat{p}y=0\)超平面截面，展示了模型连续变形的数学与经济学意义。[page::9]
• 进一步指出局部等价不仅仅是\(\hat{p}y=0\)的情形，还包括满足特定动量线性组合条件

\[
\hat{p}x |C\rangle + \frac{1}{2} \hat{p}y |C\rangle = \left(\frac{1}{2} - \frac{r}{\sigma^2}\right) |C\rangle,
\]

供变量和市场状态的更复杂互联，突显波动率与价格的非独立性及其深层内核，具有潜在策略意义。[page::9]

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2.5 Martingale鞅条件分析（第5章）

• MG方程按照鞅条件要求，波动率与价格的函数状态满足：

\[
\hat{H}{MG} S(x,y,t) = 0,
\]

相当于系统处于均衡或无套利状态。

• 通过结合先前规范参数约束，得到简单代数关系：

\[
e^{2y} + \mu e^{y} + \lambda = 0,
\]

描述波动率\(e^{y}\)与参数\(\mu,\lambda\)之间的函数映射，即平衡状态下价格与波动率的约束关系。[page::10]

• 将鞅条件推广到更一般规范哈密顿量情形，展开关于价格与波动率的态函数级数，得到价格的波动贡献等于股票价格贡献的条件：

\[
\phi{vac} = \phi_{r vac}.
\]

• 该等式体现价格和波动率的耦合关系，是对波动率预测和参数估计的重要理论依据，强调市场均衡存在非平凡波动率依赖。[page::10][page::11]

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2.6 结论总结（第6章）

• 通过报告的理论构建，规范原理被证实为连接BS和MG方程的自然框架，MG方程局部等价于BS方程。
• 规范哈密顿量提出了更广义的期权价格动力学描述，囊括了BS和MG特例。
• 通过规范视角，价格与波动率存在根本性函数关系，能够提供市场风险评估和波动率预测的新方法。
• 鞅状态体现股价与波动率变动的同步性，增加了对市场均衡理解的深度。
• 规范对称性不仅是物理学基石，也有助于深入理解金融市场动力机制及风险对冲策略。[page::11]

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3. 图表解读

图1 & 图2（页3）

• 图1为欧式看涨期权持有者的收益曲线，显示当股价至期权执行价加期权费（如47USD）以上开始盈利，最低亏损为期权费5USD。
• 图2为对应的写方收益，收益曲线与持有者呈镜像对称，较低股价最大收益为5USD，亏损无上限（当价上涨时）。
• 该对称性体现期权市场零和博弈特质，投资双方收益互补，图示清晰反映现实交易策略的收益结构。[page::3]

图3 & 图4（页4-5）

• 图3为欧式看跌期权持有者收益，收益随股价下跌而增长，成本为期权费3USD。
• 图4为相应写方收益，反映了看跌期权持有方与写方的零和收益关系。
• 通过图示，投资者可以理解看跌期权在不同股价水平下的盈亏分布，指导实际操作和风险管理。[page::4][page::5]

图5（页9）

• 3D图展示MG（黄）和BS（蓝）哈密顿量的值域及形态差异。
• MG表面较为复杂，反映波动率作为规范场的非平凡贡献。
• BS为MG特例，波动率视为参数时呈现较简单曲面。
• 交叠区域为两模型局部等价点，表达“关掉”波动率动量时还原BS模型的数学与经济含义。[page::9]

图6（页10）

• 显示了BS哈密顿量在不同波动率条件（\(\frac{1}{2}\sigma^2 < r\)和\(\frac{1}{2}\sigma^2 > r\)）下的形状差异，揭示市场参数切换带来的动态结构变化。
• 该图辅助理解规范哈密顿量转换条件和市场信息是否守恒的判定。[page::10]

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4. 估值分析

报告主体并未涉及传统意义上的估值区间或目标价预测，主要从数学物理角度探索BS与MG模型的对称性及等价性，属于基础理论创新研究，故无明确的估值模型（如DCF或市场倍数法）分析。

报告通过BS及MG哈密顿量视角，借鉴量子力学中的规范场理论，将波动率隐含为规范场与价格变量耦合，为期权价值动态的理论描述提供新工具，但具体市场估值方法留待后续应用研究。

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5. 风险因素评估

报告未集中讨论实证层面金融风险管理或市场风险波动对投资的直接冲击，主要聚焦理论模型及数学结构的性质。

隐含风险因素包括：

• 模型假设限制：例如规范条件及参数映射较为严格，现实市场不一定满足，使得MG与BS的完美局部等价受到约束。
• 市场不完备性：MG模型中波动率作为交易不可对冲的风险源，增加理论与实际操作上的不确定性。
• 模型非厄米性质（非信息守恒）：量子金融模型的非守恒性质可能导致预测误差和估计风险。

报告未对上述风险给出详细缓解方案，但强调理论框架提供理解市场复杂性新视角，间接为风险管理提供数学工具。

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6. 批判性视角与细微差别

• 内在假设的严格性：规范对称性的恢复条件较为苛刻，实际市场中波动率与价格关联复杂且易受外部冲击影响，模型推广性受限。
• 非厄米哈密顿量带来信息不守恒问题，量子金融模型对实际市场均衡和信息效用的匹配度尚需深入验证。
• 价格与波动率比例关系虽然理论优雅，是否能有效指导实际交易或改善波动率预测，需要进一步与实证数据对接验证。
• 模型复杂度与计算负担：MG及规范哈密顿量高维非线性偏微分方程求解难度大，限制了直接应用。

整体报告理论贡献突出，但市场实用层面和参数估计等环节需要后续细化与发展。

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7. 结论性综合

本报告以规范场理论为核心，从数学物理视角，深刻揭示了Black-Scholes与Merton-Garman方程的内在联系和局部等价性。通过将波动率视为恢复股票价格局部对称性的规范场，引入了更广义的“规范哈密顿量”。该模型户实现了：

• 理论统一：MG方程作为BS方程的带波动率动量扩展，波动率与价格动量之间存在可定量的关联。
• 市场理解新方向：波动率不再为独立抽象变量，而是与价格动态紧密耦合，提升波动率估计的科学性和精准度。
• 鞅条件新定义：指出均衡市场状态下波动率与价格的变动平衡，为市场均衡状态的数学描述提供新框架。
• 信息守恒条件明确化：通过厄米性条件下的参数关系判定市场是否保留价格信息，兼具数学与经济意义。

报告中所有图表均辅助阐释价格—波动率耦合关系、局部对称性打破及恢复过程、及二者动态差异，图5尤为核心，体现模型之间的渐进等价和差异性。

总结来说，报告为量化金融领域引入了规范对称性分析工具，开拓了BS与MG模型统一的新视野，不仅深化了金融数学的理论内涵，也为未来改善波动率估计、期权定价及风险管理提供了数学基础和创新方向。[page::0–11]

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参考图片

图1：欧式看涨期权持有者收益图

图2：欧式看涨期权写方收益图

图3：欧式看跌期权持有者收益图

图4：欧式看跌期权写方收益图

图5：MG与BS哈密顿量三维比较图

图6：BS哈密顿量下不同波动率条件的形态变化图

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总体评价

报告结合金融数学与现代物理的规范理论，展现出跨学科创新，对期权定价理论尤其是随机波动率模型领域的理解具有重要推动作用。理论框架深刻，数学技巧严谨，但模型推广到实际市场及参数识别仍需进一步研究。此研究为量化金融中波动率估计、风险度量及期权设计提供了坚实的理论基础和新思路，未来实务应用及验证值得期待。

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