• 研究基本框架及目标 [page::0][page::1][page::3][page::4]：

- 建立两个集体养老基金在Black–Scholes市场中对系统性和非系统性长寿风险进行最优消费、投资及保险购买的随机控制模型。
- 通过一套包含六个随机微分方程描述财富、死亡率及基金规模动态的系统，定义了保险合同价格的市场清算条件，实现内生定价机制。
- 偏好采用Epstein–Zin效用，区分风险厌恶和消费边际效用递减，确保模型的解析可行性。

• 数学求解方法与模型简化 [page::5][page::6][page::7][page::8]：

- 利用HJB方程构建两个基金最优控制问题，方程耦合且维数较高，求解困难。
- 通过假设其中一个基金为无限大，简化问题维数，并求得对应偏微分方程及最优策略的解析形式。
- 价格区间由对称风险偏好无交易时确定，实现债券式保险合同的内生价格公式。

• 量化因子及保险购买策略分析 [page::9][page::11]：

- 在一个简化的标度不变死亡率模型下，价值函数与寿命率的幂函数形式解析解得出，保险购买率表达式明确依赖于风险厌恶参数差异。
- 保险购买率随死亡率增加而降低，风险较低的基金倾向购买保险，风险较高的基金售卖保险。

• 现实死亡率模型CBD数值研究 [page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17]：

- 基于Cairns–Blake–Dowd模型参数标定的死亡率动态方程，采用Crank-Nicholson数值方法求解HJB方程。
- 通过大量模拟，表格和图示演示不同风险偏好组合下保险带来的最大财富增加百分比，多数情况下保险效用提升小于6%，偏好差异大时提升显著可达数百甚至上千个百分点。
- 消费策略随偏好符号差异呈现显著不同：负风险厌恶系数对应延迟消费，正系数对应提前消费，保险策略在不同年龄段弹性变化。
- 保险收益的时序分布显示，风险较高基金一般在早期承担保险成本，晚年获得补偿。

• 保险市场与策略结论 [page::18]：

- 仅需风险偏好存在差异作为保险交易动因，即使面对完全相同的死亡率风险，保险交易也可带来正收益。
- 当两基金偏好差异较小时，保险附加收益较低，复杂度增高不值得推行，保留基础方案更优。
- 未来可扩展基于市场清算的保险设计到工资增长等其他风险因素，形成多维风险共保机制。

金融研究报告深入分析

《Optimal mutual insurance against systematic longevity risk》详细解构

作者：John Armstrong, James Dalby
机构：伦敦国王学院数学系
发布日期：2024年（详细未给出）
主题：针对系统性长寿风险的最优互助保险机制——基于集体养老基金视角的数学建模与优化分析

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一、元数据与报告概览

本报告聚焦于两家集体养老基金之间如何基于各自风险偏好的不同，通过交换互助保险合同来共同规避系统性长寿风险。通过构建连续时间的Black–Scholes市场环境下的优化控制模型，并用Epstein–Zin偏好描述基金行为，实现了一个保险市场的搭建及价格内生决定机制。报告的核心论断是：

• 即使两基金暴露于相同的死亡率风险，只要风险偏好存在差异，便存在通过互助保险来获得共同利益的可能；

- 当风险偏好差异较小时，互助保险带来的额外收益有限，原有基金方案已接近最优；

• 风险偏好差异较大时，互助保险能够带来显著收益提升；

- 以极限案例（一个无限大基金与一个有限基金）为分析切入，给出理论与模拟上的最大互助保险效益估计。

以上观点系统地对应于集体养老基金风险管理与设计中的深层问题，填补了文献中两基金协作内部保险交易的空白。通过数学严谨的Hamilton-Jacobi-Bellman方程以及PDE求解，该研究展现了互助保险的最优机制实现方法和潜在影响。

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二、逐节深度解读

1. 引言与研究背景

报告首先介绍了研究的出发点：在传统一元承保体系（单基金的"insured drawdown scheme"，第0页）中，已知的名义和系统性长寿风险均影响养老金基金持续给付的稳定性。尽管以往采用tontine结构有效转移个体特有(idiosyncratic)风险，但系统性风险因其不可分散性难以通过传统内部分摊解决。本文通过引入一套允许基金间交易系统性长寿险合同的互助保险市场，开辟了风险共享的新途径。[page::0,1]

这部分引入了Epstein–Zin效用作为风险评估工具，有别于传统CRRA，能够区分风险规避与消费满足递减效应，方便分析多维不确定性下的优化消费-投资-保险策略。[page::1]

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2. 两基金互助保险的数学模型 (第2节)

该节构建了模型核心：

• 资金动态由6个核心随机微分方程(SDEs)描述（基金财富wi、死亡率\(\lambda\)、资产价格S以及基金成员数ni），其中死亡率含系统风险因子，且各基金均可购买价格为p的保险合同抵御系统性长寿风险（公式详见第3页公式2.1）。

- 保险合同价格p由市场清算条件决定，使得两个基金的合同购入量相抵（见公式2.2）。从数学层面确保了价格的自洽性及保险市场的完备性。

• 基金目标函数为带有Epstein–Zin偏好的期望效用最大化，描述在不耗尽财富条件下的优化消费、投资与保险购买策略。

- 困难在于需同时求解两个关联联立三维偏微分方程以及保险市场清算的非线性问题[page::3,4,5]。

该模型的关键创新是以内部市场清算条件刻画保险价格，并通过连续时间框架确保合同可复制性和市场完备性，具有较强的理论与实际指导意义。

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3. 简化模型与最优策略 — 有限与无限基金案例 (第3节)

为求解复杂的联立HJB系统，作者引入极限情形：假设其中一个基金（称无限基金）规模无限大，且不受有限基金影响，其行为定价并主导保险市场价格。此假设将多变量问题简化到单变量，保留了保险互助的本质。基金价值函数假设齐次性，转化为可求解的PDE（公式3.2，3.3）。

• 场景简化让资产价格S的依赖被剔除，各基金的价值函数表示为财富的幂函数乘以函数g(\(\lambda,t\))，可视为存活概率和风险参数的函数。

- 给出了有限基金的最优消费率、投资率（经典Merton策略）及保险购入率（公式3.4），后者取决于价值函数对死亡率的敏感性。

• 保险价格p由无限基金风险态度确定，满足无套利价（公式3.5，也是无交易价）[page::6,7,8]。

此节理论表达明确，兼具经济含义，是理解互助保险价格形成及双方行为偏好的基础。

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4. 重回应用层面：两个典型死亡率模型分析

4.1 风格化死亡率模型（3.1节）

• 采用简单模型\(\mathrm{d}\lambda = a\lambda^2 \mathrm{d}t + b \lambda^{3/2} \mathrm{d}W\)，并忽略资产增长和利率（\(r=\mu=0\)），使问题具备时间尺度不变性，PDE简化至解析解（定理3.2）。

- 给出解析形式的价值函数及其参数条件（公式3.11），指出风险参数满足一定条件时，解为有效实数。

• 定义“保险效益”为持有保险方案与无保险方案初始财富的相对差值，用以量化保险价值的提升。

- Figure 1直观展示了不同风险规避参数\(\alpha1, \alpha2\)组合下保险效益的冷热色调分布，揭示大多数合理参数区小于10%，极端偏好组合才出现巨大保险效益，验证保险价值依赖基金风险偏好差异。[page::9,10,11]

• 有趣的是有限基金买入保险的条件，密码在于风险厌恶度大小（公式3.13）及三参数\(\alpha, \rho\)的符号配合，揭示保险买卖决策与基金的风险特质紧密关联。

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4.2 Cairns–Blake–Dowd死亡率模型（3.2节）

• 引入更贴近现实的CBD模型，死亡率动态复现历史与展望数据，参数来源表见Table 1（页面12）。

- 基于该模型进行的数值计算，用Crank-Nicholson有限差分法求解PDE系统，边界条件和变量变换处理均体现数值稳定性的细致设计（附录C详述）。

• Table 2展示了多组基金风险偏好\(\alpha, \rho\)配对下的保险效益，明确体现了风险偏好差异是互助保险优势的核心驱动因子。多数情况下效益低于6%，极端偏好差异时最高达数百甚至数千个百分点，提示理论边界与实践差距。

- 结合模拟实例（Figures 2和3），具体展示不同风险态度下消费策略变化、保险购买动态与保险盈亏模拟情况，进一步支持数学模型的岗哨性：
- 当基金风险厌恶参数为负，模型表现出推迟消费、量化生存概率支持的真实行为模式；
- 保险合同帮助部分基金在长寿风险上获得保护，保险购买与死亡率呈负相关，且盈亏具有动态平衡特征；
- 当前消费水平、中位数及5%分位比较均优于经典年金方案，说明互助保险设计有潜在实际改善空间清晰。[page::12,13,14,15,16,17]

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5. 估值分析与保险价格内生机制

• 保险市场完整性和市场清算条件是关键内生组成部分，持续性价格p由双方策略交互确定。

- 保险价格体现了死亡率漂移（drift）和波动率（volatility）的敏感性，体现了动态市场定价的数学严谨性。

• 通过极限基金规模假设，保险价格计算避免了复杂的均衡求解陷阱，确保价格反映无套利且市场有效的理念。

- 精确求解PDE和数值方法的引入保证了结果的可信度，有效促进估值的实用性。[page::3,4,7,8,23,24,25]

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6. 风险因素评估

• 报告聚焦于系统性长寿风险，即影响所有成员并不可分散的风险，难以通过传统分散完美规避，促使互助保险创新发展。

- 风险识别中还包含基金风险偏好差异对交易诱因的影响，偏好过于接近使交易无益，偏好差异过大则加剧套利空间。

• 数值模拟和解析模型均强调寿命建模不确定性对策略的影响，死因和寿命预测不精确属于潜在风险，对最优策略的稳健性提出挑战。

- 本文提出优化策略依赖Epstein–Zin效用框架，偏好模型设定本身可能带来一定模型风险和假设限制，如无限财富目标导致消费行为异常（第15页讨论）。

• 报告建议未来研究需针对不同寿命风险及基金规模异质性风险进行深入探讨，以完善风险评估体系。[page::10,13,17]

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7. 审慎视角与细节辨析

• 本文所用极限基金假设虽然便于分析和计算，但在现实市场中基金规模均有限，因而实际互助保险效益有可能被高估。

- 使用Epstein–Zin效用虽然数理上带来便利分离消费满足度和风险厌恶，但对真实个人和基金行为的契合度仍需进一步实证验证。

• 风格化死亡率模型虽便于解析，但忽视了人类寿命变化的复杂性，实际模型的拟合度需谨慎提升。

- 报告数值求解方案依赖边界条件选取和时间截断，存在边界效应和截断误差，需要扩展探讨。

• 在某些偏好参数导致的解的复值区域（图表黑区）反映优化问题不适定或解不存在，须注意非适用情形。

- 报告重视不同风险偏好基金之间的互补性，但未来若能整合异质寿命风险，则结论更具广泛适用性。

• 建议在推广互助保险契约设计时，监管与参与者合规性、契约执行的约束与摩擦也应考虑。

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三、图表深度解读

图1（page 11）

描述： 图1为二维热力图，横轴为有限基金风险偏好参数\(\alpha1\)，纵轴为无限基金风险偏好参数\(\alpha2\)，颜色代表“保险效益”的百分比差异，色阶从红色（低效益）渐变至蓝色（高效益），黑色区为优化未定义。

解读：

• 保险效益整体随两个基金风险厌恶程度差异增大而明显提高。

- 两基金风险偏好接近时，效益维持在低水平(红色区域)，表明协作互助空间有限。

• 极端区域（蓝色）显示效益数十倍至上千倍增长，提示潜在的巨大套利机会。

- 黑色区域对应模型不适定或计算失败，强调参数合理性。

联系文本： 支持了文本中关于风险偏好差异是保险交易价值核心驱动力的观点。[page::10,11]

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表格2（page 14）

描述： 列示带有Epstein–Zin效用模型下有限-无限基金风险偏好组合对应的最大保险效益百分比。表行列皆为基金风险偏好参数。

解读：

• 对角线大致为零（无保险交易价值）。

- 风险偏好差异越大，数值越高，保险交易尤为有利。

• 部分异常值提示基金某些组合可呈现巨大利益，证实前文结论。

联系文本： 该表定量支撑了保险效益随风险偏好差异而显著变化的结论，作为现实CBD模型下保险策略效果的实证展现。[page::13,14]

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Figures 2 & 3（pages 15-16）

描述： 风险偏好不同的有限基金（分别对应\(\alpha<0\)和\(\alpha>0\)）在与无限基金互助保险时的模拟表现，图中包括分位消费曲线、保险购买量与保险盈亏随年龄变化的分布。

解读：

• \(\alpha<0\)时，消费趋于后期急剧增加，保险购买策略起初高位，后随寿命概率变化逐渐减少，盈亏波动平稳，显示基金较注重寿命延续的保障。

- \(\alpha>0\)时，消费前期较高，后期下降，保险购买动态更复杂，盈亏呈现较大波动，但有效提升整体消费水平。

• 模拟说明保险合同能够提升消费的中位及低位预期，表现优于传统年金，对风险管理提供实用参考。

联系文本： 直观体现了理论模型在现实模拟数据下的应用与效益验证，突出了基金风险偏重不同引发的行为差异。[page::15,16,17]

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四、估值分析

报告主要通过连续时间Black–Scholes市场环境和Epstein–Zin效用框架进行互助保险合同的定价与最优策略推导。估值方法特点如下：

• 方法学： 通过Hamilton-Jacobi-Bellman方程建立租用保险合同的最优控制问题，结合市场清算条件确定保险价格内生形成，市场完备确保无套利。

- 关键输入： 死亡率过程的漂移（drift）、波动率（volatility）、基金风险参数(\(\alpha, \rho\))，资产市场参数（风险资产期望收益\(\mu\)，波动率\(\sigma\)，无风险利率\(r\)）。

• 价格决定： 由无限基金对死亡率敏感度所决定，等效于无交易均衡价格（式3.5）。

- 敏感性分析： 利用风格化模型提供解析表达式，CBD模型进行数值模拟，展示风险偏好差异对价格和效益的深远影响。

此估值逻辑不仅支持模型求解，也为实际基金间保险定价提供理论指导。

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五、风险因素及缓释

• 识别系统性长寿风险不可多样化为核心风险，强调设计合适互助保险合同以对冲此系统风险的必要性。

- 基金风险偏好不匹配度是保险交易利益的根本驱动，但过度差异可能导致市场异常或模型失稳风险。

• 模型中的风险包括死亡率预测误差、市场参数不确定、基金行为假设与现实偏差，均潜在影响优化策略。

- 报告未系统覆盖交易摩擦和合同执行风险，未来研究可补充此类因素的影响缓解方案。

• 互助合同价格统一依赖于市场清算条件，确保了保险交易的公平性和均衡机会。

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六、批判性视角和细微差别

• 极化风险偏好导致非常高的模型估价效益反映极端数学结果，现实中基金应更加谨慎。

- Epstein–Zin效用框架优缺点并存：其高阶风险偏好建模严谨，但产生的消费极端行为和非现实的无限财富假设限制了针对特定个体的应用普适性。

• 无限基金假设简化问题但忽略了有限基金规模重要性，实际操作中多基金市场博弈结构可能较复杂。

- 风格化死亡率模型虽便于推导，但替代性强，实务中更依赖CBD模型等准确度高的寿命预测。

• 计算边界条件选择和终端时间截断虽经谨慎设计，仍可能影响数值解的精度，建议进一步测试敏感性。

- 模型假设市场完备且保险合约可完全复制，现实中可能存在合约设计、流动性及承保机构限制。

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七、结论性综合

本报告以严密的数学框架与现代随机控制技术，创新性地提出并解析了两家集体养老基金如何通过互助保险合同在同一系统长寿风险下实现风险共享及价值提升的最优策略问题。

• 通过连续时间Black–Scholes模型与Epstein–Zin效用展开系统建模，构建了一套具备市场清算机制的互助保险内生定价模型。

- 解析了一般模型的结构复杂性，围绕有限-无限基金简化模型进行理论和数值求解，揭示了基金风险偏好差异对互助保险价值的本质驱动力。

• 风格化模型提供了封闭解，定量说明大部分实用参数区域互助保险收益较低（一般小于10%），边缘极端风险偏好带来巨大收益。

- 更真实的CBD死亡率模型数值结果显示，大多数合理风险组合互助保险收益低于6%，提示实际应用中当前单基金结构已较为接近最优，额外互助保险复杂度与收益之间存在权衡。

• 模拟结果鲜明展现了不同风险偏好基金的消费和保险行为异质性，以及互助保险对总体福利的提升，优于传统年金衍生品。

- 本研究填补了基金间系统性长寿风险内部市场交易的理论空白，为未来集合多风险因子（如工资增长风险）的多维互助保险建模指明方向。

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图表引用

• Figure 1: 保险利益与风险偏好参数热力图

• Figure 2: \(\alpha < 0\)下的消费、保险购买与保险盈亏路径

• Figure 3: \(\alpha > 0\)下的相应路径图

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本次详细分析致力于基于强模型基础和数据交叉验证提供清晰、全面、结构严谨的深层解读，强调报告的创新点与应用潜力，同时透视其不足与未来改良空间，力求准确且全面覆盖该金融研究的核心内容和技术细节。
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