1. BS隐含波动率与波动率微笑 [page::4][page::5]

• BS隐含波动率反映市场对未来波动率预期，是价格和模型的唯一匹配。

- 波动率微笑现象源于投机行为、期权供需不平衡及标的资产价格分布厚尾效应。

• BS隐含波动率虽含未来波动率有效信息，但存在偏差和噪声，通常价内外期权含信息量较少。

2. 无模型隐含波动率及波动率方差互换 [page::5][page::6][page::7]

• 无模型隐含波动率直接由同期限同标的各种行权价的看涨看跌期权市场价无套利提取，信息更全面准确，预测未来波动率能力优于BS隐含波动率。

- 波动率方差互换通过复制标的资产未来波动率方差，实现对波动率的纯净交易。

• 波动率方差互换的无套利定价公式将未来累计波动率方差以期权组合市场价表达。

3. 特殊期权组合的静态复制方法及收益特征 [page::8][page::9]

• 对数远期合约的空头部位可通过静态持有特殊期权组合（行权价平方倒数权重的看跌及看涨期权）实现复制。

- 特殊期权组合的到期收益为标的资产百分比收益与对数收益的差，构建了“纯净”的波动率交易工具。

4. 特殊期权组合Greeks特性及实用价值 [page::11][page::12]

• Delta可通过基准行权价调节，等于无套利远期价格时Delta为零，实现市场中性Delta暴露。

- Gamma恒正且对应的动态对冲收益乘数近似为常数1，极大简化对冲操作。

• 波动率耗损速率(Theta)近似常数，方差Vega恒正且随剩余期限衰减，且与标的资产价格无关。

- 这些特性使得特殊期权组合成为捕捉实现波动与隐含波动率差异的理想工具。

波动率指数的编制基础专题报告详尽解析

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一、元数据与报告概览

报告标题： 波动率指数的编制基础——从期权组合到纯净的波动率交易工具
作者/分析师： 叶涛（首席分析师）、汪鑫、夏潇阳（高级分析师）
发布机构： 招商证券研究发展中心
发布日期： 2014年9月21日
主题聚焦： 波动率指数基础理论，尤其是基于期权定价与期权组合构建的无模型隐含波动率，以及如何以特殊期权组合构建纯净的波动率交易工具。
核心信息：

• 讨论BS（Black-Scholes）隐含波动率与无模型隐含波动率的区别和联系，指出纯粹用BS模型隐含波动率存在的局限，进而提出基于波动率方差互换定价理论构建的无模型隐含波动率。

- 重点阐述基于特殊期权组合（以基准行权价确定、且期权数量与行权价平方成反比）的构造方式，该组合不仅在市场风险中性假设下接受无套利定价，而且具备纯净波动率交易工具的特性。

• 展示了该组合的希腊字母敏感性（Greeks）特征及其动态对冲和波动率敏感性的优势，为投资者和波动率交易者提供理论和实践参考。

- 报告中还涉及相关建模技巧、静态复制方法以及期权动态对冲等操作细节。

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二、逐章节深度剖析

1. 基于BS模型的隐含波动率

（1）BS期权定价模型基础

报告首先系统回顾了Black-Scholes期权定价模型的基本假设：

• 标的资产价格服从几何布朗运动，漂移率及波动率为常数；

- 无现金流出、无风险利率恒定且确定，可无限借贷；

• 标的资产无限卖空且连续交易；

- 市场无摩擦，无交易成本；

• 期权为欧式期权，仅在到期时执行。

基于以上假设，报告列出了BS模型欧式看涨/看跌期权价值的定价公式，强调其作为衍生品定价基石的地位，以及简单、实用等优点。[page::2]

（2）Vega暴露度的最大化条件

Vega定义为期权价值对标的资产波动率的敏感度，是BS隐含波动率计算的核心。报告剖析其表达式：

$$
Vega{t,T}^{BS} = St \cdot \phi(d{t,T}) \sqrt{\tau{t,T}}
$$

这里$\phi(\cdot)$为标准正态分布密度函数。根据公式，当标的资产价格或期权行权价格满足特定条件时，Vega达到最大值，即期权对波动率变动最敏感：

• 对于固定行权价，$St^ = X \cdot \exp\left( \left( \frac{\sigma^2}{2} - rf \right) \tau{t,T} \right)$，此时Vega最大；

- 对于固定标的资产价格，$X^ = St \cdot \exp\left( \left( \frac{\sigma^2}{2} + rf \right) \tau{t,T} \right)$，此时Vega最大。

上述条件意味着，在剩余期限和无风险利率给定情况下，"Delta接近0.5"的期权对未来波动率预期最敏感。报告配合图1（见后续图表解读）形象说明了Vega与资产价格及行权价的关系，并揭示了其理论基础。[page::3,4]

（3）BS隐含波动率与波动率微笑

报告指出BS隐含波动率是使BS定价公式理论价格等于市场价格的波动率参数，体现市场对未来波动率的预期。然而，实际市场中，隐含波动率随行权价及剩余期限变化，形成波动率微笑（行权价变化下的波动率曲线）和波动率期限结构（剩余期限变化下的波动率）。这些现象反映了BS模型假设与市场现实的差异。

波动率微笑的成因包括：

• 投机行为使深度价外期权BS隐含波动率膨胀；

- 供需失衡导致深度价内期权溢价及隐含波动率膨胀；

• 标的资产收益率分布偏离正态分布，具有厚尾现象，导致风险被低估。

报告强调，虽然BS隐含波动率对未来波动率有一定预测价值，但存在偏差，无法完全准确反映未来波动率的实际情况。[page::4,5]

2. 无模型隐含波动率

（1）两类隐含波动率的比较

报告提出BS隐含波动率虽信息含量丰富，却不够全面，无模型隐含波动率则基于无套利原则与市场风险中性假设，融合了同一标的资产、相同到期时间但不同行权期权的市场价格信息，提供对未来波动率更为准确和无偏的估计，且包含了历史波动率所含部分信息。[page::5,6]

（2）波动率方差互换定价理论

通过波动率方差互换，理论上可以直接对未来波动率进行交易。波动率方差互换的定价表达了市场对未来波动率方差的风险中性预期，且波动率方差具有可加性等优点，适合构建模型。

公式表达为：

$$
\sigma{X,t}^2 = \tilde{\sigma}{t,T}^2 = \frac{\tilde{E}t \left[ \intt^T \sigma\varepsilon^2 d\varepsilon \right]}{T - t}
$$

该方差互换价格反映未来波动率的无套利中性预期。但由于未来波动率未有直接交易载体，报告阐述了两种复制方式：动态调整标的资产持仓和静态持有对数远期合约的空头部位（后续介绍）。[page::6,7]

（3）对数远期合约的动态与静态复制

• 动态复制：通过动态调整标的资产和无风险资产的配置，追踪非线性工具瞬时价值，依赖模型准确性，风险较大。例子是典型的Delta动态对冲。

- 静态复制：将非线性工具的到期收益拆解为线性和高阶项，且只需初始持有无需调整。对数远期合约空头部位可静态通过：

1. 同一标的资产且相同到期时间、交割价的远期合约空头；
2. 行权价低于基准的看跌期权多头组合（权重与行权价平方成反比）；
3. 行权价高于基准的看涨期权多头组合（权重同上）。

这构成了特殊期权组合，实现对数远期合约的复制，其到期收益是资产百分比收益与对数收益的差值，曲线光滑且非单一期权。[page::8,9]

（4）无模型隐含波动率的提取

通过将对数远期合约复制延伸至当前时点，并利用风险中性期望，将特殊期权组合的市场价格与未来无套利波动率联系起来：

$$
\tilde{\sigma}{t,T}^2 = 2 \frac{e^{rf \tau{t,T}}}{\tau{t,T}} \Omega{t,T} \left[ \infty X^{-2} \mid X^P \leq \tilde{E}t[ST] \leq X^C \right]
$$

其中取基准行权价$S{X,t}$为无套利的远期价格$\tilde{E}t[ST]$。此方法避免对期权定价模型的先验假设，纯粹基于市场价格和无套利原则提取一致的未来波动率预期，具有更纯粹、无模型的性质。[page::10,11]

3. 特殊期权组合的敏感性特征（Greeks）

结合上述特殊期权组合表达，报告系统计算了其Delta、Gamma、Theta、Vega特性：

• Delta：可通过基准行权价设定调节，当基准价等于远期价时，组合Delta为零，即中性；低于远期价时DELTA为正，高于时为负。

- Gamma：恒为正，且对冲收益的乘数因子近似为1，这表明静态持有此组合即可实现类似调整过后恒定对冲收益的效果，无需动态调整。

• Theta：由Gamma波动率耗损和资金成本构成，波动率耗损速率近似为常数。

- Vega：方差Vega对波动率非常敏感，并随剩余期限缩短而衰减，且其敏感度与标的资产价格无关。

该极其规整而稳定的敏感性特征使特殊期权组合成为极具操作价值的波动率交易工具，能够有效捕捉资产实现波动率与隐含波动率的差异，适合波动率指数编制的理论基础。[page::11,12]

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三、图表深度解读

图1：Vega与标的资产价格、行权价的关系（第3页）

• 内容描述： 该图以横轴为标的资产价格或行权价格，纵轴为Vega值，展示了Vega的分布特征。图中蓝线和红线分别表示在固定行权价和固定标的资产价格情况下Vega的变化。

- 数据与趋势解读： Vega曲线呈现钟形分布，在某一点（图中标出的$St^$或$X^$）达到峰值，对应着前述最大敏感条件。红蓝二线位置差异反映了不同锁定变量时最大Vega点的变化关系。

• 文本关联： 图表直观支撑了报告中“Vega最大值条件”理论，说明了Vega对期权价值的重要影响。

- 潜在局限： 图中假设了其他变量不变（如波动率、无风险利率），切勿简单外推到所有市场条件。



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图2：特殊期权组合的到期收益（第9页）

• 内容描述： 曲线图显示了特殊期权组合、对数远期合约和份数匹配远期合约三者在标的资产到期价格不同情况下的到期收益对比。

- 数据与趋势解读：
- 份数匹配的远期合约收益近似线性；
- 对数远期合约收益表现为曲线，表现出非线性波动敏感性；
- 特殊期权组合收入平滑且与对数远期合约紧密对应，凸显其复制性质。

• 文本关联： 图表生动展示了特殊期权组合能利用期权构建出较复杂的对数远期合约结构，成为纯净波动率工具的基础。

- 局限性与提示： 实际操作中需要考虑期权流动性，以及配置精度对复制效果的影响。



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四、估值分析

报告中无传统意义上的公司或资产估值部分，主要涉及对波动率衍生工具的理论定价方法：

• BS模型估值为基准，依赖于波动率常数假设，动态Delta对冲无套利定价；

- 波动率方差互换价格直接体现市场未来波动率预测，无模型定价显示不依赖具体期权定价形式；

• 静态复制通过特殊期权组合实现对数远期的收益复制，构建无模型隐含波动率；

- 关键估值参数包括无风险利率$rf$、剩余期限$\tau{t,T}$、标的资产远期价$ \tilde{E}t[ST]$。

此类估值方式直接关联市场数据，无主观参数调节，估价结果反映市场共识预期。[page::6-11]

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五、风险因素评估

报告在末尾明示风险提示：

• 模型假设的抽象性质：所用模型均为简化现实的理想版本，无法完全准确描绘市场实际情况，模型预测亦存在偏差。

- 现实市场对模型假设的偏离：如波动率时变、不连续价格、交易摩擦和流动性问题，都会影响复制策略和波动率交易的有效性。

• 动态对冲风险：动态复制依赖模型准确性和持续调整，市场大幅跳跃或流动性缺失时均增加风险。

- 静态组合流动性风险：特殊期权组合需要多种不同执行价格的期权，若期权市场不活跃，复制存在缺陷。

报告未详述缓解策略，但通过强调无模型隐含波动率和特殊期权组合的设计，隐含其为降低模型依赖和风险的方法之一。[page::12]

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六、批判性视角与细微差别

• 报告充分认识到BS模型的局限和隐含波动率的偏差，为避免偏误提出无模型方法，体现严谨态度。

- 对无模型隐含波动率的基准行权价选择即远期价的推荐，反映了对市场风险中性假设的认可，也表达了该指标更真实反映市场预期的观点。

• 报告对特殊期权组合的优势着墨较深，体现强烈观点，即“特殊期权组合是波动率交易的理想工具”，而对其潜在市场操作复杂性和流动性问题涉及有限。

- 动态和静态复制方法的对比，着重介绍静态复制优势，但对市场实施细节挑战和风险略显淡化。

• 术语使用专业，阐释逻辑严密，少有矛盾，体现作者对理论与实务深刻把握。

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七、结论性综合

本报告系统阐释了波动率指数的理论基础，重点揭示了期权市场中隐含波动率的两类重要定义——基于BS模型的隐含波动率与无模型隐含波动率。报告深入理论框架，基于波动率方差互换的无套利定价关系，提出利用特殊期权组合在市场风险中性环境下无模型隐含波动率的构造方法。

关键洞见包括：

• BS隐含波动率虽便于计算，存在偏差且形成波动率微笑，无法完美反映未来波动率预期。

- 无模型隐含波动率依托于特殊期权组合的市场交易价格，可直接提取纯净的波动率预期，避免模型先验假设，实现更准确波动率估计。

• 特殊期权组合以基准行权价为中心，权重设计独特（与行权价平方成反比），具备稳定且可调节的Delta、恒定正Gamma、稳定Vega和近常数Theta的特点，极适合作为波动率交易工具。

- 动态复制（如BS Delta对冲）存在假设局限和风险，静态复制（特殊期权组合）则通过持有多档期权实现更简洁且风险可控的波动率暴露。

• 波动率方差互换为理论基础，赋予了波动率交易产品实质性定价依据与风险中性期望衡量，使波动率指数的编制理论严密且具备市场参考价值。

通过图1，报告生动说明了期权价值对波动率敏感度的分布特征，强调特定价位期权对市场波动预期的显著影响。图2展示了特殊期权组合的到期收益光滑曲线，体现其复制对数远期合约的实操可行性。

综上，报告立场明确，推荐关注无模型隐含波动率作为更纯粹、实用的波动率测度工具，特殊期权组合作为波动率交易及波动率指数编制的基础框架，为投资者和交易机构提供理论与操作指引。[page::0-12]

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参考页码溯源

• [page::0-1] 报告题目、作者、目录及概述

- [page::2-4] BS模型基础与Vega分析

• [page::4-5] 波动率微笑成因与BS隐含波动率不足

- [page::5-7] 无模型隐含波动率引入及波动率方差互换定价

• [page::7-9] 动态与静态复制方法解析，特殊期权组合定义

- [page::9-11] 无模型隐含波动率提取及特殊期权组合综合

• [page::11-12] 特殊期权组合Greeks特性

- [page::12] 风险提示

• 图表图1[page::3], 图表图2[page::9]

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本报告为波动率交易理论提供完备、系统、高度专业的研究和解读，是金融工程师、量化交易员与投资策略制定者的珍贵参考资料。

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