研究背景与目标 [page::0][page::1]

• 加密货币市场波动大且流动性较低，传统期权定价方法难以直接应用。

- 本文研究目的在于比较Black–Scholes、Merton跳跃扩散、Variance Gamma、Kou、Heston及Bates六种模型对BTC和ETH期货期权的定价表现。

数据与标的物介绍 [page::2][page::3]

• 标的资产为BTC与ETH期货上欧式看涨期权，数据涵盖2024年3月11日交易日及不同到期日（2024年6月起至2025年12月）。

- 期权为标准化合约，定价单位美元，涵盖8个不同到期时间。

Black–Scholes模型分析 [page::4][page::5]

• 标的资产隐含波动率极高，远超传统市场，揭示市场高波动特性。

- 定价结果与市场价格明显偏离，长远期权定价误差较大，单一波动率难捕捉复杂市场动态。

Variance Gamma模型表现 [page::6][page::7]

• 能反映资产回报分布的偏态和峰态，模拟价格跳跃特性。

- BTC远期期权跳跃强度逐渐上升，ETH远期期权跳跃强度在中期后下降。

• 模型价格较BS模型更接近市场，但远期期权仍存在偏差。

Merton跳跃扩散模型分析 [page::8][page::9]

• 在BS模型基础上增加跳跃成分，更符合加密资产价格特性。

- 合理捕捉跳跃幅度与强度，ETH跳跃频率普遍高于BTC。

• 定价逼近市场数据优于VG和BS模型。

Kou双指数跳跃扩散模型表现 [page::10][page::11]

• 引入不对称跳跃，可分别建模上涨与下跌跳跃幅度和概率。

- 能适应加密市场短期高跳跃率，长期跳跃幅度减弱。

• 定价结果逼近市场，跳跃概率和跳跃强度随时间变化，较为灵活。

Heston随机波动率模型分析 [page::12][page::13][page::14]

• 引入随机波动率和均值回复，有助于描述市场波动动态。

- BTC及ETH随期限波动率和均值回复速度波动较大，相关性较低。

• 定价表现同样不及跳跃扩散模型，特别是远期期权拟合有待提升。

Bates模型（随机波动率加跳跃）表现 [page::14][page::15][page::16]

• 整合Heston随机波动率与Merton跳跃机制，更全面捕捉市场波动和跳跃行为。

- 参数显示短期跳跃强度大，长期波动率降低，符合市场预期。

• 定价能力明显优于单独跳跃或随机波动率模型，ETH拟合优于BTC长期合约。

定价误差表现及模型比较 [page::17][page::18][page::19][page::20]

• 多种误差指标均显示，Black–Scholes模型误差最大，难以适应波动和跳跃。

- BTC方面，Kou模型误差最低（RMSE=649，MAE=258，MAPE=2.64%），MJD及SVJ次之。

• ETH方面，SVJ模型表现最佳，MAPE仅1.9%，Kou及MJD模型紧随其后。

- 融合跳跃和随机波动机制模型更能准确反映加密期权市场特征。

金融研究报告详尽分析报告

报告标题： Pricing Options on the Cryptocurrency Futures Contracts
作者： Julia Kończal
发布机构： Wrocław University of Science and Technology，Faculty of Pure and Applied Mathematics, Hugo Steinhaus Center
发布日期： 未明确注明具体发布日期，研究中数据至2024年，研究重点为2024年3月11日数据
研究对象： 比特币（BTC）和以太币（ETH）期货合约上的期权定价模型比较
关键词： Bitcoin; cryptocurrency; option pricing; volatility; jumps

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1. 元数据与报告概览

本文围绕加密货币领域内期货合约期权的定价问题展开，重点考察经典及现代多种期权定价模型在比特币和以太币期货期权市场上的适用性和表现。由于加密货币市场高波动性和流动性较传统市场低的特点，传统的经典模型（如Black–Scholes）在该领域存在显著定价误差，需引入包含跳跃过程和随机波动率的更复杂模型。研究采用实盘市场数据，针对不同到期时间的球状（vanilla）看涨期权合约，分别用如下模型进行校准和分价：Black–Scholes、Merton Jump Diffusion、Variance Gamma、Kou、Heston及Bates模型。
核心结论指出：

• Black–Scholes模型定价误差最大，不适用于该市场；

- 含跳跃的Kou模型适合比特币期权的定价，误差最低；

• 含跳跃和随机波动率的Bates模型对以太币期权表现最佳。

报告进一步分析指出，将跳跃成分和随机波动率引入模型显著提升了定价的准确性，反映加密货币市场独有的波动结构和极端事件发生率。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与背景（Section 1）

报告回顾了加密货币从诞生（2008年比特币）到发展期货及期权衍生品市场的发展历程，强调了加密市场高波动与特殊技术（区块链）带来的定价复杂性。期权作为管理风险工具的重要性凸显，尤其是在市场动荡期。传统期权模型面临巨大挑战，必须考虑跳跃行为和波动率动态等复杂因素。[page::0]

2.2 相关研究综述（Section 1续）

引述多篇文献，覆盖比特币价格驱动因素分析（Kristoufek, 2015）、机器学习应用于价格预测（Chen et al., 2020）、GARCH模型对加密资产波动的研究（Chu et al., 2017），以及跳跃扩散模型、拓扑数据分析等多种前沿方法。特别强调此前研究多基于短期、非正规市场数据，而本研究聚焦受监管场内长期期权，数据更贴近真实市场，提高了分析结论的稳健性和适用性。[page::1]

2.3 数据描述（Section 2）

研究聚焦BTC和ETH两大主要资产，使用11.03.2024交易日当日市场数据，涉及2024年6月至2025年12月的8个到期时间点合约。提供了BTC和ETH历史收盘价走势图（图1），红星标识交易日价格，显示当日BTC创新高突破71,000美元，ETH首次突破4,000美元，反映市场显著波动。分析对象为场内针对期货合约的欧洲看涨期权，合约规范统一，价格单位为美元，交易频率及终止日均依据交易所规则制定。[page::2][page::3]

2.4 定价模型及校准方法（Section 3与子节）

报告系统介绍了6种期权定价模型，及各自的数学描述和参数含义：

• Black–Scholes模型（3.1）：经典对数正态扩散模型，参数为波动率$\sigma$，提供闭式解。实证校准结果显示BTC和ETH波动率显著高于传统资产（BTC约4-6倍），表明市场极端波动性挑战标准模型适用性（图2）。

- Variance Gamma模型（3.2）：引入纯跳跃过程（纯跳增长Lévy过程）的VG过程，参数包括波动率$\sigma$、偏度$\theta$和峰度$\nu$，更灵活捕捉分布偏斜和厚尾。BTC峰度$\nu$随到期时间升高，暗示长期极端变动风险加大，而ETH峰度先升后降，反映不同市场预期（图5）。

• Merton Jump Diffusion模型（3.3）：经典跳跃扩散，含复合泊松跳跃和正态跳跃幅度，参数包括波动率$\sigma$、跳跃强度$\lambda$、跳跃均值$\mu$及方差$\delta$。BTC跳跃强度中等波动，ETH跳跃频率较高，跳跃幅度不确定性随时间上升，反映市场跳跃风险（图8）。

- Kou模型（3.4）：采用双指数分布跳跃，允许正负非对称跳跃，波动率和跳跃强度波动随到期期限有显著变化，ETH在短期跳跃频发更明显。参数变化揭示市场对波动性和跳跃事件的预期动态（图11）。

• Heston模型（3.5）：引入随机波动率及均值回复，五参数模型捕捉波动率动态。BTC和ETH波动率波动幅度大，均值回复参数变化显示波动稳定性在长期有所减弱。相关参数（波动率波动性、 correlation）均接近零，暗示复杂的波动性行为（图14）。

- Bates模型（3.6）：结合Heston随机波动和Merton跳跃，是目前最全面模型。参数随到期时间显著变化，表现出高频短期波动和跳跃的市场预期（图17）。

所有模型采用基于实际市场OTM期权的校准，利用最小化加权平方误差的目标函数进行参数优化，统一以特征函数方法计算复杂模型的期权价格。[page::3-14]

2.5 价格拟合效果对比（Section 3价格结果及图表）

各模型对BTC和ETH期权在不同期限（2024年6月、12月及2025年12月）的定价结果图表显示：

• Black–Scholes模型拟合差，尤其远期合约偏差明显，因无法捕捉跳跃和高波动（图3、4）；

- Variance Gamma模型相比BS表现更佳，较好捕捉长远期权价格，但在极端远期仍有明显差距（图6、7）；

• Merton Jump Diffusion效果进一步提升，尤其对长期合同误差显著缩小（图9、10）；

- Kou模型表现优异，拟合曲线紧贴市场数据，反映其跳跃非对称特性更能适应市场（图12、13）；

• Heston模型拟合整体合理，但在后期合约表现不及跳跃模型（图15、16）；

- Bates模型融合随机波动及跳跃，综合表现最好，对短期风险事件捕捉尤为准确，但对最远期某些行权价仍有拟合不足（图18、19）。[page::5-16]

2.6 定价误差统计分析（Section 4）

通过不同误差度量（RMSE、MAE、MAPE、MSLE）评估模型：

• BTC期权误差最高为BS模型，最低误差则由Kou模型取得。MJD与SVJ（随机波动跳跃）模型居中，提示跳跃成分关键。

- ETH期权表现类似，BS依旧落后，SVJ模型表现最佳，Kou及MJD次之，显示随机波动和跳跃双重机制在ETH市场尤为重要。

• 不同期限下误差趋势具有一定差异，部分跳跃模型期限结构表现灵活，适应性强（图20、21，以及表1、2）。[page::17-19]

2.7 结论（Section 5）

总结特别强调：

• 加密货币期权定价应充分考虑市场特有的高波动和跳跃行为；

- BS模型不适用，存在高估计误差；

• 引入跳跃和随机波动率的模型（如Kou及Bates）显著提升定价准确性；

- BTC期权Kou模型表现最佳，ETH期权最佳为SVJ模型；

• 不同模型对不同到期期限表现差异明显，需灵活选用。

研究以2024年3月11日极端波动市场为背景，验证模型在高风险条件下的适用性，对加密衍生品研究和定价具有显著现实意义。[page::19-20]

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3. 图表深度解读

3.1 图1（BTC与ETH历史收盘价）

• 时间跨度2015年8月至2024年10月，BTC价格显著上涨，表现为多个牛市周期。ETH走势亦与BTC类似。

- 2024年3月11日标记为研究交易日，BTC首次突破71,000美元，ETH突破4,000美元关键点，反映市场剧烈波动期。该图支持后续分析选取时间点策略。[page::3]

3.2 图2（Black–Scholes校准波动率参数）

• BTC隐含波动率波动区间0.8-0.9，ETH在0.9以上，有超过1的值，远高于传统15%-20%的股指期权波动水平。

- 说明加密期权远高市场风险溢价，BS模型波动率参数无法完全稳定捕捉实际市场动态。反映市场极端波动背景。[page::5]

3.3 图3与4（BS模型价格拟合）

• 实际市场价格与模型价格曲线基本吻合，但在长远期期权（2025年12月）行权价高区偏差显著，表现出BS模型低估了极端价格事件风险。[page::5]

3.4 图5（Variance Gamma参数校准）

• BTC与ETH的$\sigma$接近1，呈现恒定的高波动性；

- BTC$\theta$下降表明右偏尾风险减弱，但$\nu$大幅增加显示潜在峰度加剧，反映长仓风险加大；

• ETH的$\nu$先升后降，反映市场对极端价格事件长期风险预期的变化。参数说明其适应度随时间变化有局限（图呈现参数曲线的清晰起伏）。[page::7]

3.5 图6与7（VG模型价格拟合）

• 短期拟合较好，尤其中期合约价格与市场接近；

- 长期期权价格存在一定偏差，显示VG模型在捕捉极限风险方面仍有不足。[page::7]

3.6 图8-10（Merton Jump Diffusion参数与拟合）

• 跳跃强度$\lambda$随期限波动幅度大，尤其ETH更为频繁，$\mu$稳定显示跳跃均值固定，$\delta$上升表明跳跃大小不确定性增加；

- 拟合误差明显低于VG及BS，尤其对长远期权拟合紧密，体现跳跃模型优势。[page::9]

3.7 图11-13（Kou模型参数与拟合）

• 跳跃强度高波动，特别短期期权部分时点跳跃强度激增；

- 跳跃概率$p$接近1，体现市场跳跃方向不对称，参数逐步下降表明跳跃强度趋缓；

• 价格拟合接近完美，尤其长端合约拟合优于所有模型。[page::11]

3.8 图14-16（Heston参数与拟合）

• 波动率波动大，均值回复参数小而波动，长远期期权拟合稍逊于跳跃模型，表明仅随机波动率不足以捕捉市场跳跃特征；[page::13-14]

3.9 图17-19（Bates模型参数与拟合）

• 融合随机波动及跳跃，短期波动率及跳跃频率较高，长远期权预期波动下降，跳跃但仍显著；

- BTC拟合短期极佳，远期期权低行权价处误差显著；ETH拟合整体优于BTC，表现最优。[page::15-16]

3.10 图20-21与表1-2（误差度量）

• BS模型误差始终最大，Kou模型在BTC中表现最佳，SVJ模型在ETH中略胜；

- 所有带跳跃模型较BS显著降低误差，显示跳跃机制是定价准确性决定性因素；

• 不同误差指标与期限显示跳跃与随机波动复合模型优于纯随机波动模型。

| 模型 | BTC RMSE | BTC MAE | BTC MAPE | ETH RMSE | ETH MAE | ETH MAPE |
|-|-|-|-|-|-|-|
| BS | 1180 | 854 | 9.23% | 64.4 | 48.2 | 10.5% |
| Heston | 874 | 484 | 5.81% | 46.7 | 29.1 | 6.82% |
| Kou | 649 | 258 | 2.64% | 30.8 | 18.2 | 4.12% |
| MJD | 785 | 392 | 4.20% | 25.9 | 16.6 | 4.23% |
| SVJ | 994 | 511 | 4.48% | 39.1 | 15.1 | 1.9% |
| VG | 823 | 447 | 4.66% | 48.1 | 29.0 | 6.62% |

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4. 估值分析

报告中多模型采用市场校准方式，通过最小化价格误差进行参数校正，核心估值技术包括：

• 闭式解方法：Black–Scholes、Merton Jump Diffusion模型直接使用闭式或递推式解；

- 特征函数+傅里叶变换方法：适用于Variance Gamma、Kou、Heston及Bates模型，先获取对数价格过程的特征函数，再通过数值积分进行价格计算。该方法具备适应复杂跳跃和随机波动等情况的灵活性和计算高效性。

• 参数假设重要输入：无风险利率$r$、波动率相关参数、跳跃强度$\lambda$、跳跃幅度参数，以及均值回复速度$\kappa$等影响估值范围和价格精度。

- 灵敏度分析未明示，但通过不同到期期限及行权价覆盖部分敏感性。

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5. 风险因素评估

报告暗含的风险主要围绕：

• 加密货币市场波动幅度极大，模型波动率参数高且波动，带来较大不确定性；

- 跳跃成分频率和幅度估计存在不确定，尤其针对极端事件；

• 不同模型对长远期期权拟合存在缺口，说明现有模型仍难完全捕捉市场复杂特征；

- 标的资产价格受技术与市场双重因素驱动，传统历史数据可能不足以覆盖未来市场状况。

报告未直接展开风险缓释措施，但通过引入多重模型比较及多期限分析，有助于识别模型局限及避免单一模型风险。

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6. 批判性视角与细微差别

• 数据窗口限制：只选取2024年3月11日单一交易日作为样本，尽管该日市场极为活跃，结果可能对“极端行情”具代表，但缺乏多样化行情验证模型稳健性。

- 模型比较工具有限：误差指标虽然全面，但缺乏对模型参数估计稳定性和过拟合风险的讨论。

• 无对基于机器学习等新兴定价方法的直接对比，虽提及相关文献，未在实证中使用，可能遗漏市场最新模型表现。

- 某些参数波动较大，包括跳跃强度$\lambda$和波动率波动性，表明不少模型假设不完全稳健。

• 定价误差在部分长尾和低行权价区域仍较大，暗示未来需模型进一步复杂化或引入非对称跳跃、多因素波动等扩展。

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7. 结论性综合

本文系统评估了六款经典及现代期权定价模型在加密货币期货期权市场的表现，基于实盘数据，结合广泛的误差指标分析，得出如下关键见解：

• 加密市场极高的波动率和跳跃特征要求定价模型必须囊括跳跃分布和动态波动率机制；

- 传统Black–Scholes模型无法满足该需求，导致估价误差显著偏高，不适用于加密期权；

• 结合双指数跳跃的Kou模型和融合随机波动率及跳跃的Bates（SVJ）模型表现最佳，准确拟合市场价格，特别是在长短不同期限和高波动时段表现尤为优越；

- BTC期权定价Kou模型优势明显，而ETH期权则显示Bates模型略优，反映两者市场机制和风险偏好的细微差异；

• 其他跳跃扩散模型如MJD及VG模型亦具实用价值，但相较表现略逊；随机波动单独模型（Heston）不及跳跃模型；

- 通过丰富参数调校可捕捉期限结构中波动与跳跃动态，强调模型需具备高度灵活性以应对加密货币市场独特的非常规特征。

通过图表辅助，定量数据和误差分析帖切支撑上述结论。研究成果为加密资产衍生品定价实践提供了理论基础与实证指导，对于投资者、风险管理者以及金融工程师均有较强参考价值。

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以上为报告的全面深度解读和分析，结合文本论述与图表，涵盖了模型原理、参数意义、拟合效果及误差比较，充分彰显了加密货币期权定价领域内引入跳跃和随机波动模型的重要性及优越性。

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