加密货币尾部行为分析 [page::0][page::1]

• 本研报采用七参数GTS分布拟合比特币和以太坊的日收益率，参数包括稳定指数、强度和衰减速率等，且所有参数均通过统计显著性检验。

- 以太坊的过程强度较大，表明其尾部厚度和极端事件的频率高于比特币。

GTS分布参数估计结果对比 [page::1]

| 参数 | 比特币估计值 | 以太坊估计值 | 统计显著性 |
|--------------|-----------------------|-----------------------|--------------------|
| μ | -0.121571 | -0.4854 | 不显著 |
| β+ | 0.315548 | 0.3904 | 显著 |
| β- | 0.406563 | 0.4045 | 比特币显著，以太坊不显著 |
| α+ | 0.54455 | 0.9582 | 显著 |
| α- | 0.174772 | 0.8005 | 显著 |
| λ+ | | 0.1667 | 显著 |
| λ- | | | |

• 以太坊的强度参数明显更高，意味着更厚的尾部，中间稳健性稍强，μ不显著反映均值风险有限。

Q-Q图揭示尾部厚度差异 [page::2][page::3]

• Q-Q图显示比特币与以太坊日收益率均显著偏离正态分布，呈现典型重尾现象。

- 以太坊的Q-Q图尾部点超出比特币更明显，显示其具有更高的极端值风险。

• “S”型曲线反映收益分布偏斜且厚尾，符合统计学理论关于分位偏离的描述。

研究结论与应用价值 [page::3]

• 两者尾部都明显重于正态分布，但以太坊尾部风险更高，风险管理需特别关注极端事件可能性。

- GTS分布模型优于传统Kobol、CGMY和伽马双边分布等，适合加密资产风险建模。

• 研究成果对加密货币价格风险预估、算法交易策略设计和衍生品定价具有重要参考价值。

金融研究报告详尽分析报告

报告题目

Comparing Bitcoin and Ethereum tail behavior via Q–Q analysis of cryptocurrency returns
— 比较比特币与以太坊收益率的尾部行为：基于Q–Q分布分析的研究

1. 元数据与概览

• 作者：A. H. Nzokem

- 发布日期：2025年，最新数据时间截至2024年7月4日

• 发布机构：未明确指明具体机构，但引用了多篇MDPI期刊和ArXiv预印本

- 研究对象：加密货币市场中的两大主流资产——比特币（Bitcoin）与以太坊（Ethereum）

• 研究主题：分析比特币与以太坊每日收益率的尾部风险（Tail risk），采用七参数的Generalized Tempered Stable (GTS)分布模型，通过量化其收益率分布中尾部的“重尾”特性，利用Q–Q（Quantile-Quantile）图进行比较

- 报告核心信息：
- 比特币和以太坊的收益率都展现出重尾分布特征，表明极端收益（正负两端）的发生概率高于正态分布预期
- 以太坊的尾部风险更为显著，表现出更频繁且更极端的收益波动，相比之下比特币的尾部较为轻微
- GTS分布模型相较于传统模型具有更好的拟合效果，尤其适合捕捉加密货币收益的重尾性质
- 研究结果对金融风险管理、算法交易与衍生品定价具有关键参考价值 [page::0,1,2,3]

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2. 章节深度解读

I. 引言（Introduction）

• 报告首先介绍了加密货币的定义和基本发展历史。

- 比特币自2009年推出，主要作为一种数字货币，强调点对点电子支付系统。
- 以太坊自2015年出现，是首个支持智能合约的去中心化平台，支持DeFi、NFT等应用，定位与比特币不同，更侧重于区块链生态系统的构建。
- 市场规模方面，2025年中全球加密货币市值约31万亿美元，其中比特币占62.11%（约2.06万亿美元），以太坊占7.89%（约2920亿美元），体现两者市值的相对重要性。

• 报告强调传统金融分析指标不足以描绘这些资产的风险全貌，因而采用了更复杂的分布模型深入分析尾部风险。

- 引用之前的研究经验，选用七参数GTS分布作为收益率的统计模型，因其对金融数据的拟合优于其他模型（Kobol、CGMY、双边伽马等），并通过多种统计检验验证了其有效性。

• 结构安排预告：第二部分介绍GTS分布方法与估计参数，第三部分展示Q–Q图分析结果。

- 关键词：Cryptocurrency returns、Tail risk、GTS distribution、Q–Q plots、Heavy tails。

II. 方法论与参数估计（Methodology and Parameter Estimation Results）

• 详细介绍GTS分布的数学定义及参数含义。

- GTS分布通过调整稳定分布的Levy测度，施加指数衰减函数（tempering function）来控制分布的尾部厚度，允许捕捉丰富的跳跃特性且灵活建模。

• 七参数含义简介：

- \(\mu\)：位置（漂移）参数
- \(\beta{+}, \beta{-}\)：右尾与左尾的稳定指数，反映尾部厚度及峰度，指数越小尾部越重越尖锐，范围0到1
- \(\alpha{+}, \alpha{-}\)：过程强度，决定跳跃到达速率
- \(\lambda{+}, \lambda{-}\)：控制右尾和左尾的衰减率及偏度，二者差异决定分布偏态方向和幅度

• GTS为“无限活动”(infinite activity)且有限变差的Levy过程，可看成两个独立增量过程差值，适合捕捉金融资产价格路径中的频繁小跳及偶尔大跳。

- 参数估计结果（基于2013/4/28至2024/7/4的比特币数据及2015/8/7至2024/7/4的以太坊数据）：
- 比特币参数均显著，负漂移\(\mu\)不显著，表明收益率均值无显著偏离零
- 以太坊大部分参数显著，但漂移\(\mu\)和左尾指数\(\beta-\)不显著
- 以太坊的过程强度（\(\alpha+, \alpha-\)）更高，表明其分布更厚尾、尖峰度更低
- 偏度参数两者间差异对比分析显示，不同加密货币尾部形状不一

• 参数估计利用最大似然估计，伴随Hessian矩阵逆提供标准误，显著性通过常见统计检验（Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Pearson’s chi-squared）验证为较优拟合。

- GTS分布优于其他同类模型（Kobol，CGMY，双边伽马）主要因其能更全面捕捉现实金融数据中的重尾和偏度特征。

III. Q–Q图分析结果（Quantile-Quantile Plot Analysis）

• GTS分布无闭式概率密度函数，故利用Fourier逆变换技术计算累积分布，通过快速分数傅里叶变换（FRFT）提高数值计算精度。

- 理论基础及定理证明（Theorem 3.1）支持对分布分位数的准确计算。

• Q–Q图通过将加密货币实际收益率分位数与理论正态分布下分位数进行比对：

- 比特币和以太坊均显示明显的“S”形曲线中心区域偏离，表明分布偏态和非对称
- 尾部偏离更明显：左尾向下偏离，右尾向上偏离参考线，标志“重尾”存在
- 以太坊较比特币尾部偏离更剧烈，说明其极端收益事件发生率更高，尾部风险更大

• 第二幅Q–Q图以比特币和以太坊分布相互作为理论参考，进一步对比尾部厚度。结果确认以太坊尾部的极端现象更显著，而比特币表现相对轻尾，极端波动概率较低。

- Q–Q图解释部分指出了不同形状的曲线与分布特性间的内在联系，比如：
- “S”形与偏态（skewness）
- 直线中心对应分布中心极限定理接近正态
- 尾部偏离模式区分长尾（heavy tail）和短尾（short tail）分布

• 本分析利用增强快速FRFT提高了计算分位数与图形解读的准确性。

IV. 结论

• 两种加密货币均显著偏离正态分布，体现重尾特征，意味着极端价格变动风险高于传统金融资产。

- 以太坊的尾部风险更高，过程强度（跳跃频率）更大，极端下跌或上涨概率更高，波动风险显著更强。

• 这种风险差异需引起投资者和风险管理者的高度重视，特别是在资产配置、对冲策略及衍生品定价中，该研究为更准确的风险建模提供方法论支持。

- GTS分布提供了比传统模型更有效的拟合方案，加强对加密资产收益动态的理解。

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3. 重要图表深度解读

表1：比特币GTS参数估计

| 参数 | 估计值 | 标准误 | 显著性P值 |
|-------|---------|--------|----------|
| \(\mu\) | -0.121571 | 0.375 | 0.75 |
| \(\beta+\) | 0.315548 | 0.136 | 0.02 |
| \(\beta-\) | 0.406563 | 0.117 | 0.00049 |
| \(\alpha+\) | 0.54455 | 0.047 | 6.2e-56 |
| \(\alpha-\) | (未明确) | 0.036 | 4.8e-48 |
| \(\lambda+\) | 0.174772 | 0.026 | 4.9e-12 |

• 注：各参数除了漂移\(\mu\)外均统计显著

- \(\beta\)指标显示比特币尾部厚度适中，偏态存在

• \(\alpha\)强度参数表明跳跃尺度显著，分布活跃

- \(\lambda\)控制尾部衰减与偏态，均显著，利于捕捉不对称尾特性 [page::1]

表2：以太坊GTS参数估计

| 参数 | 估计值 | 标准误 | 显著性P值 |
|-------|---------|--------|-----------|
| \(\mu\) | -0.4854 | 1.008 | 0.63 |
| \(\beta+\) | 0.3904 | 0.164 | 0.017 |
| \(\beta-\) | 0.4045 | 0.210 | 0.054 |
| \(\alpha+\) | 0.9582 | 0.106 | 1.1e-19 |
| \(\alpha-\) | 0.8005 | 0.110 | 4.2e-13 |
| \(\lambda+\) | 0.1667 | (未列) | (未列) |

• \(\beta-\)不显著，漂移\(\mu\)同样不显著

- \(\alpha\)参数明显高于比特币，显示以太坊分布跳跃更活跃、尾部更厚

• 偏度参数差异不显著，偏态表现不明晰，但整体尾部分布更宽广 [page::1]

图1和图2 Q–Q图详解

• 图1分别为比特币和以太坊的收益率分布与正态分布Q–Q图，蓝色点为实际观测分位数，红色直线为理论正态分布分位数。

- 图1显示两者均明显脱离红线尾部，表明重尾现象

• 图2以比特币和以太坊的收益率实际分布互为理论进行Q–Q比较。

- 以太坊的尾部尤为极端，蓝点在两尾明显超过红线，尤其是负尾部极端下跌概率高。

• 比特币Q–Q图较为接近红线，体现尾部较轻，但依然不服从正态。

- 图形完美映射对应文本中重尾讨论，验证了GTS分布模型的适应性及差异性分析的准确性。

• Q–Q图的“S”形中心和尾部散点偏差，反映数据非对称偏态及分布峰度、尾厚相关性质。

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4. 估值与建模方法解析

• GTS分布的优势：

- 作为一种调节型稳定分布，其通过指数调节减少纯稳定分布的极端尾部厚度，灵活调整尖峰和尾部厚度，与纯稳定分布相比适合金融收益的实际重尾偏态
- 过程为无限活动有限变差Levy过程，适用跳跃风险的动态建模

• 参数估计采用最大似然法，利用倒数Hessian矩阵估算标准误，有助于评估参数估计的统计显著性

- 统计检验包括Kolmogorov-Smirnov、Anderson-Darling及Pearson卡方，结果均证实GTS分布拟合优良，大幅优于传统的正态（GBM）模型及其同类替代

• 概率密度函数无闭式表达，利用Fourier转换及其逆变换，配合增强快速分数傅里叶变换（FRFT），有效计算分布函数与分位数，力保数值稳定与准确。

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5. 风险因素评估

• 尾部风险显著且存在差异：两者财务收益均属于重尾分布，极端收益风险远高于传统资产，尤其以太坊的极端风险称为更为突出。

- 不对称风险偏态：参数中偏度指标显示分布不对称，表明收益存在更频繁的极端负面或正面跳动风险，尤其在市场剧烈波动时表现明显。

• 参数估计不确定性：漂移参数\(\mu\)普遍不显著，表明长期均值回归风险不明显或难以测度，需关注非对称跳跃风险而非趋势风险。

- 模型适用性风险：GTS虽优于多模型，但无闭式概率密度，数值计算复杂，有一定的实现与效率障碍。估计误差及数值方法的敏感度仍需警惕。

• 外部风险未涵盖：所用数据覆盖时间较长，但市场规则突变、监管变动及技术进步可能带来模型失效风险。

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6. 审慎视角与细微差别分析

• 报告严格依据统计模型与检验方法展开，较少主观推断。

- 潜在的关注点包括：
- \(\mu\)参数普遍不显著，建议未来聚焦跳跃与尾部建模而非均值漂移，提高模型稳定性
- 部分参数在以太坊样本中显著性不足，提示数据或模型可能对部分尾部特征捕获仍有限
- Q–Q分析虽然直观，但对极端尾部的数据点尤为敏感，受样本大小与数据周期影响显著，需要结合更多非参数方法交叉确认
- 文献引用广泛，但未详细展开GTS与其他重尾模型的理论优劣比较，留有深入方法论讨论空间
- 分析未涉及实际交易策略或衍生品定价的具体数值测试，后续可为提升实用价值补充应用案例。

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7. 结论性综合

本报告通过统计学严谨的方法，运用七参数的Generalized Tempered Stable分布，量化建模了比特币与以太坊两大主流加密货币每日收益率的分布特征，捕获了其显著的重尾与偏态特征。利用精确的最大似然估计与先进的分数傅里叶变换技术，使得参数估计与理论分布拟合达到高水平统计显著性和稳健性。

• 数据表明，两资产均偏离经典正态模型，明显呈现重尾收益分布。

- 以太坊相比比特币展现出更厚的尾部和更高的跳跃强度，暗示极端波动风险显著更大，尾部风险更严重。

• 研究通过Q–Q图这一直观分析工具，分别对比了两者的收益尾部行为，验证了基于GTS分布的建模结果。

- 报告强调加密资产的高风险特性，提示投资者与风险管理者必须重视尾部风险，合理安排投资组合与风险对冲策略。

• GTS分布作为一种灵活的重尾模型，优于传统金融模型，对于复杂非正态加密资产数据的描述和应用极具价值。

此报告填补了加密货币尾部风险建模的部分空白，为金融工程和量化管理提供了有力的统计学工具，具有较强的现实意义和理论深度。[page::0,1,2,3]

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参考文献

详细引用见报告末尾，包含Nzokem本人多篇关联研究、区块链技术背景文献，以及统计分布与金融风险领域权威专著。

报告