论文核心贡献与模型构建 [page::0][page::1]

• 本文提出了考虑有限流动性及二次交易成本的套利盈亏模型，补充了传统无限流动性的缺陷。

- 价格动态假设为几何布朗运动(GBM)，以捕捉套利过程中的价格演化。

• 交易成本模型通过二次函数形式刻画，适用于CEX限流和DEX CPMM结构的交易成本近似。

LVR理论公式及其解读 [page::3][page::4]

• 推导出调整后的Loss Versus Rebalancing（LVR）公式：

$$
LVRT = \int0^T \frac{\sigma^2 Qt^2}{2} \left(1 - \frac{|x^{\prime}(Qt)|}{|\tilde{x}^{\prime}(Qt)|}\right)|x^{*\prime}(Qt)| dt
$$

• 对于两个CPMM交易所，公式简化为

$$
\ell = \frac{\sigma^2}{8} \left(1 - \frac{1}{r}\right)
$$

其中$r$为两个市场间相对流动性指标。

• 该结果揭示更高流动性市场的LP收益更高，流动性将向收益高的平台集中。

- 不同市场流动性差异导致套利收益与流动性提供者的价值再分配。

模型局限与未来研究方向 [page::4][page::5]

• 线性边际成本假设在大市值交易对（如BTC/USDT）存在不足，提出分段成本函数模型；

- 引入有限区块交易间隔（slot times）以及手续费、价差对套利机制的影响，为后续研究提供方向；

• 强调实证研究的重要性，多因素模型构建以估算套利者与做市商的真实利润和成本；

- 指出当前DeFi文献中套利利润的系统性高估问题待校正。

深度分析报告：《Arbitrage with bounded liquidity》——Christoph Schlegel, Flashbots, 2025年7月4日

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一、元数据与报告概览

• 标题：Arbitrage with bounded liquidity

- 作者：Christoph Schlegel

• 发布机构：Flashbots

- 发布日期：2025年7月4日

• 主题：该研究聚焦于加密资产市场中，两类流动性不完善市场之间的套利收益与“损失对重平衡”（Loss Versus Rebalancing, LVR）现象，重点探讨在有限流动性环境下套利的成本结构及其对市场参与者的影响。

核心论点与目标

作者推导了套利收益及对应的LVR在两个非完全流动市场之间的理论表达式，特别假设了第二市场存在二次交易成本（quadratic trading cost）以模拟有限流动性的影响。该报告指出，传统观念中套利者可以无成本以交易对手价在全球最大中心化交易所（如币安）进行无限流动性交易的假设不现实，忽视交易成本会导致对套利利润的系统性高估。报告进一步探讨了模型适用的实际情境（如中心化交易所-去中心化交易所套利、中小市值币对的去中心化交易所间套利），以及该模型对其他成本函数的延展和未来研究方向。

总结来说，作者旨在建立一套基于有限流动性和交易成本的理论框架，更真实地评估套利行为对市场流动性提供者（Liquidity Providers, LPs）和整体市场均衡的影响，提升对DeFi及加密市场套利利润分配机制的理解。[page::0]

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二、逐节深度解读

2.1 摘要部分

报告开篇即强调当前市场中流动性并非无限，套利者面对交易成本，导致套利利得的系统性减少。这为LVR指标引入复杂性：LVR衡量了被动LP在去中心化交易所（DEX）中因套利和其他交易行为遭遇的价值流失。报告指出：

• 了解流动性价值在不同市场参与方间的分布，有助于更全面认识流动性结构及市场均衡。

- 长期均衡中，流动性布局应反映各市场的流动性提供收益，套利份额的变化影响LP的相对收益。

• 传统分析忽视了两市场流动性提供形式的差异（主动vs被动），应加以区分。

作者将LVR定义与Milionis et al. (2022)的工作相接轨，模型及结论适用于不同的套利情境（如CEX-DEX、DEX-DEX、现货-期货套利），但理论实操性更适合较小市值代币及非原子型交易（非单笔大额交易）。逐步论证中强调，决定LVR的是价格均衡点边际流动性的相对大小，LP可通过主动调整流动性提供量来优化自身收益，增加其他被动LP的LVR损失。[page::0]

2.2 方程模型与交易成本假设（第1节）

本节详细定义了两市场间交易与套利的数学假设：

• 设两个交易场所均交易代币对 $A/B$，$B$为计价基准。

- 第一个市场流动性参考Milionis框架，以均衡储备量 $x^{}(Q)$ 描述。

• 第二市场假定有限流动性且存在二次交易成本，其中交易成本表达为

$$
C(Q,\Delta x)=\frac{(\Delta x)^2}{2|\tilde{x}^{\prime}(Q)|}
$$

其中 $\tilde{x}^{}(Q)$ 表示第二市场的流动性储备，$\Delta x$ 是交易量。这表示交易代币 $A$ 的成本随交易量平方增长，体现了流动性有限导致的价格冲击。

• 市场价钱动态假定为几何布朗运动（GBM）：

$$
\frac{dQt}{Qt} = \sigma dBt
$$

其中 $Bt$ 是布朗运动，$\sigma$ 为波动率。该假设为套利者的价格预测信号。

理论基于这样的动态建立套利和流动性提供模型，比起传统仅对一个市场假设流动性为无限，本文考虑两市场均非完全流动，反映更真实状态。[page::1]

2.3 交易成本函数及其合理性说明

本节深挖二次交易成本的推导及其对应实际市场的合理性：

• 基于对第二市场储备规模函数的线性近似，积分体现交易成本形成。
• 中心化交易所(CEX)订单簿的拟合：作者指出此模型可近似于小额交易时的线性冲击成本，尤其适用于流动性较少的币对（小市值），可从订单簿数据回归估算 $|\tilde{x}'(Q)|$。但是，大市值币对（如币安上的ETH/USDT）价格刻度有限，造成流动性大部分堆积于盘口顶端，模型的线性边际成本假设失灵，作者预告后续章节将对此局限讨论。
• 去中心化交易所(CPMM)的交易成本：通过恒定乘积公式（Constant Product Market Maker）分析，二次成本可从保守的假设下近似形式 $C \approx \frac{Q}{\tilde{x}(Q)} (\Delta x)^2$ 导出，符合流动性质与交易冲击期望。

最后定义LVR指标的动态表达，考虑了交易成本的负面影响，对套利收益及市场价值差异进行建模，奠定了数学基础。[page::2]

2.4 套利收益和LVR计算（第3节）

此节系统推导了在有限流动性和交易成本条件下的套利收益及LVR的时间累积形式：

• 假设有 $N$ 个套利者，套利总收益表达式包括价格变化盈利项减去二次成本项。
• 极限过程（$N \to \infty$）将离散和转化为积分，结合伊藤引理（Itô’s lemma）得出交易成本积分的表达方式：

$$
ARBT = V0 - VT + \int0^T |x^(Qt)| dQt - \int0^T \frac{\sigma^2 Qt^2}{2 \tilde{x}^{\prime}(Qt)} (x^{\prime}(Qt))^2 dt
$$

• 最终Proposition 1 归纳出LVR表达式为

$$
LVRT = \int0^T \ell(\sigma,Qt) dt
$$

其中

$$
\ell(\sigma,Q) = \frac{\sigma^2 Q^2}{2} \left(1 - \frac{|x^{\prime}(Q)|}{|\tilde{x}^{\prime}(Q)|}\right) |x^{\prime}(Q)|
$$

表达式核心在于两市场边际流动性的比值决定了LVR的大小。换言之，流动性的相对吸引力决定套利获得的收益和流动性提供者的价值损失，数学严谨地捕捉了两者的权衡。[page::3]

2.5 特殊情形与定性解释（第4节）

• 若两个市场均为CPMM，LVR简化为

$$
LVRT = \int0^T \frac{\sigma^2 Q^2}{2} \left(1 - \frac{1}{rt}\right) |x^{\prime}(Qt)| dt
$$

其中 $rt \geq 1$ 是两市场之间的相对流动性。

• 标准化单位流动性提供的LVR可写作

$$
\frac{\ell}{V} = \frac{\sigma^2}{8} \left(1 - \frac{1}{r}\right)
$$

• 这表明流动性较大的市场LP收益相对更高，长期将吸引更多资本集中于更流动市场。该结论印证了价格冲击（slippage）对流动性回报的决定作用。
• 同时强调主动做市策略（基于价格动态预测和流动性调整）的优势，主动LP能够通过预期价格变化而动态提供流动性，减少自身LVR损失，增加被动LP的损失。

这为长期流动性分布和市场结构提供理论解释，揭示了主动与被动流动性提供者间的利润与风险分配机制。[page::4]

2.6 模型扩展与研究前沿（第5节）

• 其他成本函数：

- 指出对于大市值交易对，线性边际成本假设失效，交易成本更接近于初期固定成本加上边际增加的线性增长模型：

$$
C'(\Delta x) = \begin{cases}
c, & \Delta x \leq \alpha \\
\frac{\Delta x - \alpha}{|x'(Q)|} + c, & \Delta x > \alpha
\end{cases}
$$

- 对此模型下，GBM假设导致套利交易几乎全部在临界值 $\alpha$ 之下，使得传统二次变差计算失效，直接导致套利收益估计不再收敛。该现象表明经典连续模型无法解释大交易成本下的套利行为，需寻求新模型。

• 有限交易时钟（Finite Slot Times）：

- 扩展考虑链上交易受限于区块时间和交易费，且两市场均存在手续费或价差。现有分析多聚焦单市场，这一双市场、多交易摩擦场景的套利模型尚缺乏完备描述。

- 因价差 corridor 的存在，不存在单一均衡价格，套利利润存在区间，带来数学和模型构建的难度。

• 实证研究需求：

- 目前实际市场中套利者和做市商的成本及利润估计多依赖简化假设，普遍高估套利利润。

- 建议构建多因素实证模型，结合实时链上、订单簿数据估算交易成本及利润分配，以提高DeFi套利理解和模型精度。

报告针对模型的理论局限和现实差异提出若干启发式研究方向，为后续深入人员提供了珍贵的参考路线。[page::4] [page::5]

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三、图表与公式深度解读

本报告全文无传统图表，但包含大量关键公式，以下解读尤为重要：

• 成交成本函数

$$C(Q,\Delta x) = \frac{(\Delta x)^2}{2|\tilde{x}^{\prime}(Q)|}$$

体现了有限流动性下的价格冲击成本，形式为交易量的二次函数，真实反映了小额订单对市场价格的非线性影响。

• 套利收益分解

套利收益表达式整合价格变化带来的资本收益与交易成本耗损，调整后更真实地体现了套利净利情况。

• LVR分解式

$$\ell(\sigma,Q) = \frac{\sigma^{2} Q^{2}}{2} \left(1 - \frac{|x^{\prime}(Q)|}{|\tilde{x}^{\prime}(Q)|}\right)|x^{\prime}(Q)|$$

该表达式告诉我们：

- LVR（即流动性提供者的价值损失）与价格波动幅度（$\sigma Q$的平方）正相关。
- 两个市场边际流动性斜率的比值决定价值流失大小，流动性越均衡时LVR更小。
- LVR大小体现了市场做市行为对流动性共享的影响，流动性配置不均导致部分LP损失被转移给套利者。

• 相对市场流动性乘数$r$的引入

简化CPMM场景下，表达式进一步清晰，辅助衡量不同交易所间的流动性竞争效应。

这些数学表达和推导体系深入且系统化，有助于理解实际金融市场中微观结构的问题和套利行为的经济学内涵。[page::2] [page::3] [page::4]

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四、估值分析

该报告本质属于理论套利与流动性结构分析，并无传统的股票或资产估值部分，因此未涉及DCF、市盈率等估值方法。

但从经济学角度，报告估算了套利收益（ARBT）与流动性提供者价值流失（LVRT）之间的关系，进而量化了交易成本如何影响套利收益和流动性价值。

模型中通过价格波动率、边际流动性斜率等参数，为套利收益的“估值”提供了理论基础。

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五、风险因素评估

报告虽未明确以“风险因素”标题列出，但在讨论模型局限性和未来研究部分，隐含识别了以下主要风险和限制：

• 模型假设风险：GBM价格动态和二次交易成本假设在大市值、非连续交易时钟等现实场景中失效。
• 流动性分布风险：不均衡的市场间流动性能导致价值转移失衡，长远可能损害部分LP利益。
• 大量交易时的成本模型失效风险：固定边际成本加线性上升成本模型引发的套利交易失败及收益估算发散的问题。
• 交易时序风险：链上交易受限出块时间和手续费影响套利策略性能。
• 估计误差风险：缺乏实证数据支持，估计套利利润和交易成本存在偏差。

尽管未明确提出缓解方案，报告建议通过实证数据构建多因素成本模型和动态流动性调整策略，为减轻上述风险提供潜在方向。[page::4] [page::5]

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六、批判性视角与细微差别

• 对数据依赖的局限：报告的理论推导依赖于市场订单簿线性拟合和参数估计，但实际订单簿和市场动态更复杂，存在非线性跳变和不规则交易行为。
• 成本函数简化争议：二次成本函数虽然数学友好，但忽略了手续费、价差、交易延迟等多重市场摩擦，其适用范围局限于小额交易，难以适应大宗交易和大市值交易对的定价特征。
• 套利行为假设局限：GBM假设套利者始终快速调整持仓，忽略了信息不对称、反应延迟、市场心理等因素，导致模型与现实套利行为差异。
• 主动LP与被动LP的区别尚需量化：虽然报告强调主动管理流动性的优势，但缺乏具体定量分析和实证检验，未来有待补充。
• 内部连贯性较好，但对大市值和多市场手续费的复杂情形只能提供有限理论指引，模型适用范围自限，需谨慎解读实际应用的适用性。

总体来看，报告设定的框架结构合理，论据严谨，但对现实市场的复杂性和摩擦存在一定抽象和粗化，适合用作理论基础和启示性研究。[page::0] [page::4]

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七、结论性综合

Christoph Schlegel的这份研究报告针对加密货币市场中两个非完全流动市场之间的套利问题提供了深入的理论分析。通过引入二次交易成本函数，报告突破了此前模型对此类市场之间套利利润高估的局限，系统量化了有限流动性背景下的套利收益与LVR的关系。

主要结论包括：

• 交易成本及流动性有限性显著影响套利收益，传统默认无限流动和零交易成本的假设并不现实，套利者收益需扣减真实的价格冲击成本。
• 套利收益的大小和LVR损失由两市场边际流动性斜率的比值决定。流动性越均衡，LVR越小；流动性差异造成的价值转移和利润重新分配，为主动流动性提供者创造套利空间。
• 模型适用性说明：针对不同市场配置，尤其是CEX-DEX套利、小市值币对DEX-DEX套利，该模型较为有效，而对于大盘币种和高交易量的市场，线性边际成本假设失效，亟需发展更复杂的交易成本模型。
• 主动LP管理流动性能有效提升自身收益，减少价值流失，说明市场参与策略的差异性显著影响长远利润构造。
• 未来研究方向包括复杂成本函数建模、链上交易时钟限制下套利模型、以及基于区块链公开数据的实证套利成本测度。

数学公式推导和LVR的表达式为了解套利利润形成机制及流动性提供者的“价值流失”和盈利提供了理论工具。该报告深化了DeFi与中心化交易市场之间套利行为与流动性结构的理解，有助于投资者、做市商和研究人员准确把握套利所面临的真实成本与回报。

综上，报告具备较高的理论价值和启示意义，为加密市场微观结构研究再添新贡献，但仍需结合更复杂的市场数据和场景进行实证完善。

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参考溯源页码

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备注

报告未包含传统图表，仅包含数学表达式和其解释。所有重要公式及模型均已详细说明。

报告