人工限价订单簿股票市场的双稳态表现 [page::8][page::10]

• 在完全相同初始条件下，50次独立模拟中，价格轨迹分化为22条终值保持正数，28条趋于零，表明市场动态存在两个稳定吸引子。

- 表明微小随机扰动即可将市场状态推向不同的吸引区，虽为随机过程但表现出确定性双稳态特征。

价格轨迹统计特征及分叉点分析 [page::9][page::11]

| 测试项目 | 统计值 | 解释 |
| --------------- | -------------- | -------------------- |
| ADF检验p值 | < 0.01 | 正价组轨迹基本平稳 |
| 零价组时间统计 | 均值3053.5，偏度0.77 | 时间分布偏斜，部分轨迹路径较长 |

• 分叉点估计位于价格3.5至3.7区间，价格轨迹在650-700时点开始显著分离。

- 正价组价格呈正态分布，零价组价格分布集中于0。

价格变化的相空间分析及分叉模型特性 [page::12][page::13][page::14]

• 不同时间延迟τ的Poincaré映射显示市场运动属性随时间尺度变化，从强线性相关到低维混沌。

- 长延迟τ=1000可见两个稳定的吸引区，暗示市场状态在零价和正价两稳定态间切换。

• 符合超临界分叉的典型模式，非线性且带有随机扰动。

市场动力学的混沌特征度量 [page::14][page::15][page::16]

• 计算得到的分形维数平均在0.79-0.9之间，表明市场存在低维非线性复杂行为而非完全混沌。

- 熵值较低但存在部分轨迹有较高动态复杂度，反映间歇性非规则波动。

• 最大Lyapunov指数虽呈正值但幅度极小，显示系统位于边缘混沌状态，既具可预测性又存在偶发不确定性。

零价格终态概率的预测模型构建 [page::16][page::17][page::19]

• Logistic回归和梯度提升机（GBM）模型建立轨迹终止于零价的概率预测。

- GBM模型表现更优，准确率0.89，高于Logistic回归的0.79，显示机器学习模型更适用于复杂状态概率预测。

• 回归模型参数解释表明，时间推进和当前价格越高，轨迹避免归零的概率越大。

隐马尔可夫模型揭示两种市场隐藏状态 [page::20][page::21][page::22]

• 模型识别两种隐藏状态：状态1对应零价格稳定态，状态2对应正价格且存在显著买卖失衡（买方压力大）。

- 两状态转移概率极低，表明市场长时间内停留在一个稳定状态，不易频繁切换。

• 初始市场状态均为正价买压态，符合仿真初始设置。

结论总结与贡献 [page::23]

• 论文揭示人工限价订单簿市场在自主随机交易者作用下，自身的微观交易规则即可产生显著的价格双稳态和路径依赖性。

- 市场显示复杂非线性动态特征，存在非完全混沌且带随机扰动的超临界分叉行为。

• 结果为理解市场微观结构与宏观价格行为的联系提供了理论和实证支撑。

深度解读报告：《Bimodal Dynamics of the Artificial Limit Order Book Stock Exchange with Autonomous Traders》

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1. 元数据与概览

标题：Bimodal Dynamics of the Artificial Limit Order Book Stock Exchange with Autonomous Traders
作者：Matej Steinbacher、Mitja Steinbacher、Matjaž Steinbacher
单位：独立研究员、斯洛文尼亚卢布尔雅那天主教学院法商学院、Krško核电厂退役及放射性废物基金
发布日期：2025年8月26日
主题：基于代理的人工限价委托簿（Limit Order Book, LOB）股票交易市场模型中内生自利型交易者的双稳态（Bimodality）价格动态研究。

核心论点：
该研究基于人工股票市场交易模型，采用自主代理人的限价委托簿，揭示了市场价格动态存在“内在双稳态”特征；即在相同初始条件下，系统价格可能收敛至两个质的不同的平衡状态——一个是确定性零价状态，另一个是持久的正价随机平衡。报告进一步通过隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model, HMM）深入探讨了市场的隐藏状态转移和路径依赖，展现了市场微观结构与代理规则赋予交易系统复杂而富有层次的动力学特性。该论文提出的分析极大地丰富了人工股票市场动力学的理论基础。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言及研究背景

论文回顾了作者之前的工作，该工作发现ASME（Artificial Stock Market Exchange）中的价格走势由总货币供应量和买卖不平衡驱动，最终可陷入零价或正价状态。此前工作忽略了在相同初始条件下价格如何在这两种状态间切换的“隐藏动力学”，本报告聚焦研究这一点，提出基于代理自主、零智力（myopic, zero-intelligent）交易者与LOB机制的微观规则如何引发非线性双稳态与复杂市场行为。研究借鉴了文献中关于模拟多代理系统、LOB结构和非线性系统分岔理论的基础，为定量分析ASME价格动态及其隐状态转移奠定理论基础。[page::0,1]

HMM的引入是为了捕获市场中不可观测的、驱动价格和买卖失衡状态变化的潜在机制，模型通过价格及买卖失衡序列，推断市场所处的隐藏状态，并分析两种价格平衡状态的转移规律。[page::1]

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2.2 模型设定（章节3）

• 代理架构与效用函数

交易者行为基于最大化期望效用，其中采用CRRA效用函数（具风险厌恶系数$\gamma$），但因代理为“myopic随机”，实际交易决策简化为基于当前价格与预期价格比较的买卖指令：预期价格升高则买入，下降则卖出，否则不交易。预期价格涨跌通过随机变量$\Deltai\sim U(-\sigma,\sigma)$模拟，实现了理性期望的随机扰动。[page::5,6]

• 限价委托簿设计

订单簿包括所有买卖限价单，按价格优先匹配原则进行交易。定义最优买价（$Pt^b$）和最优卖价（$Pt^a$）作为最高买价和最低卖价，成交价取中间价。成交数量为买卖双方订单中较小者。此流程真实模拟了现实限价市场机制，保障交易价格与数量的合理性。[page::6]

• 价格变动近似式

价格变化由买卖双方人数差异决定，$\displaystyle E[\Delta P{t+1}|Pt] \approx \frac{\sigma}{2} Pt \left(\frac{1}{NA+1} - \frac{1}{NB+1}\right)$，其中$NA$和$NB$分别为卖家和买家数。此表达体现市场不均衡驱动价格涨跌的微观机理。[page::6,7]

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2.3 模拟分析（章节4）

2.3.1 参数设定及仿真框架

• 代理数量$N=10,000$

- 每代理初始持有等量现金$M0$及股票$S0=20$股，现金初始量$M0=174$，不允许卖空且没有杠杆交易和交易成本。

• 交易周期$T=5,000$，代理基于对未来价格随机预测决定买卖。

- 每轮时间内撮合以最优买卖单撮合，中价成交，未匹配订单取消。

该设定保证了市场结构相对简洁但具微观异质行为及随机性。[page::7]

2.3.2 价格轨迹双稳态现象（图1）

图1展示了50次重复模拟的价格轨迹，初始条件一致，但轨迹分裂为两组：约22条稳定于正价格区间（$P^>0$），28条跌向零价区（$P^=0$）。此现象揭示系统对细微随机扰动的非线性响应，导致轨迹落入不同的吸引子盆地。该现象不符合典型混沌无界震荡，更支持双稳态模型假设。[page::8]

2.3.3 平稳性与轨迹统计分析（表1、图2）

• 使用ADF单位根检验确认正价格轨迹时序数据平稳，排除随机漫步假设，表明存在稳定随机平衡态。

- 均值轨迹（图2）及标准差显示，两组轨迹在初期同步，后期分化，零价轨迹波动大且随时间趋于零波动，正价组保持持续波动，体现了两种不同的稳态性质。

• 波动率在迭代约$t=650-700$处激增，表明分岔点附近存在高敏感区域，市场对微小扰动反应强烈。

- 轨迹序列的分岔行为对应超临界叉分岔中的对称破缺，机制上为非线性代理互动与随机扰动共同驱动市场状态切换。[page::9,10]

2.3.4 分岔点界定与时间分析（表2）

• 分岔点（分割两吸引子盆地的临界价格）通过多种方法估计在3.54至3.73之间，支持模型对临界状态的定量刻画。

- 零价轨迹达到零价的时间分布在$2,117$至$4,607$间波动，中位数约$2,868$，说明零价吸引子点为吸收态，且路径跨度显著。[page::11]

2.3.5 动力学性质：Poincaré图（图3）

通过不同时间延迟$\tau=50,250,1000$的嵌入空间Poincaré截面图分析：

• $\tau=50$：结果近似一维，捕捉不到系统复杂动力；

- $\tau=250$：显示出吸引子聚集与中间少数转移区，表征多稳态及弱混沌特征；

• $\tau=1000$：清晰分离两大盆地，对应零价和平稳正价两状态。

该分析验证了系统为具有明显双稳态的低维非线性动力系统，伴随罕见但存在的状态间跃迁。[page::12,13]

2.3.6 系统混沌测度（表3-5）

• 分形维数（Fractal Dimension）约为0.8左右，远低于真实完全混沌系统（1.5-2），表明系统为低维准周期或有界混沌。

- 熵指标（Approximate Entropy、Sample Entropy、Kolmogorov-Sinai）均值较低，但存在个别轨迹显示更高复杂性，暗示间歇性混沌。

• 最大Lyapunov指数呈正但极小，系统对初始条件敏感性弱，处于混沌边缘状态，体现系统既具确定性又带少量随机不确定性。

总体表明系统非完全随机混沌，而是展现有序与局部复杂性的混合态。[page::14,15,16]

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2.4 轨迹零价概率预测（章节5）

• 采用逻辑回归与梯度提升树（GBM）建立模型，基于轨迹当前价格和时间特征预测轨迹归零概率。

- GBM预测准确率89%，显著优于逻辑回归的79%，两者均显示时间与价格对预测的显著影响，且GBM捕捉了非线性特征。

• 逻辑回归参数显示价格升高与时间推进均提高不归零概率，反映价格波动平稳性和时间对市场状态的决定作用。

该预测模型展示了对系统路径依赖性的量化表达，为理解价格轨迹的转折点及风险管理提供实用工具。[page::16,17,18,19,20]

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2.5 隐马尔科夫模型拟合（章节6）

• 构建含两隐藏状态的多变量HMM，观察变量为价格$Pt$与买卖失衡$BAt (= Bt - A_t)$。

- 两隐藏状态特点：

- 状态1（零价吸引子）：均值价格涨跌极近零，买卖失衡波动极低，极高自转移概率(0.997)，反映稳定零价格。
- 状态2（正价吸引子）：均值价格轻微负漂移，买卖失衡强正值且变异度高，极高自转移概率(0.999)，反映持久正价、买方压力显著的价格平衡态。

• 初始概率表明轨迹均始于状态2，隐含系统开始于正价状态，更代表仿真中所有价格开始于10元且买卖压力平衡的现实场景。

- 两状态间转换极低概率，表明状态转换稀少且系统在各平衡态中停留时间较长。

整体模型有效刻画了市场的两种宏观动力学状态及其转换机制，揭示了双稳态背后的潜在市场机制。[page::20,21,22,23]

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2.6 结论（章节7）

作者总结指出：

• 基于零智能、内生自利代理的LOB机制本身通过资金股数比率与买卖失衡驱动产生了明显的分岔与双稳态市场价格动力学。

- 两平衡态之间存在过渡的亚稳定区间，交易路径对扰动异常敏感，波动集中，反映市场在转折期脆弱且非平稳。

• Lyapunov指数证实市场动态近似边缘混沌态，表现了低维低复杂性但依然含随机性的动态行为。

- 微观层面的交易规则和市场结构能独立解释宏观的路径依赖和多样化价格表现，无需依赖外生性冲击或异质代理。

• 研究升华了人工股票市场价格演化的理解，提出了从交易微观机制到宏观价格动力学的桥梁，为进一步量化交易策略与风险评估提供了理论基础。

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3. 图表深度解读

图1：价格轨迹模拟结果

• 显示50次轨迹在相同初始条件下分成两组，一组趋于零价格（浅色曲线），一组趋于正价格的非零稳态（暗色曲线）。

- 体现双稳态特征，且不同轨迹因系统内微小扰动落入不同吸引子盆地。

• 支持论文关于非随机双稳态的论断。[page::8]

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图2：均值价格轨迹及标准差

• 对两类终端价格（$P^=0$与$P^>0$）分别计算均值轨迹与时间波动区间（标准差阴影带）。

- 描述价格在分岔点前的逐渐分化，前期同步，后期波动分布明显分去，零价组波动随收敛降低，正价组保持稳定波动。

• 突出分岔点周边的波动显著增大，支持震荡加剧对平衡状态形成的影响。[page::10]

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图3：Poincaré截面映射

• 多时延$\tau$下的Poincaré映射揭示系统相空间结构。

- 小时间延（$\tau=50$）仅显现强线性相关，未展开非线性动力。

• 中等时间延（$\tau=250$）表现出多吸引子聚集点，图案非均匀，初显混沌迹象。

- 大时间延（$\tau=1000$）清晰分离两吸引子盆地，两个平衡态状态显著，间隔区域稀疏，指示亚稳态与稀有转移路径。

• 该图系统性地证明了双稳态及复杂动力学结构的存在。[page::12]

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4. 估值分析

本报告为理论模型与仿真分析，未探讨传统意义上的公司估值。其“估值”概念转化为“系统状态估计”与“轨迹分类概率预测”，主要使用以下方法：

• Separatrix（分岔临界价）估计：通过分类误差最小化、信息熵最大化和支持向量机方法，准确定位划分双稳态轨迹的临界价格区间（约3.5-3.7）。

- 隐马尔科夫模型：估计两个价格状态的转换概率及发射概率，捕捉价格与买卖失衡的联合分布，精准划分市场动态区间。

• 概率预测模型（逻辑回归与梯度提升机器）：量化当前市场状态转为零价态的概率，辅助理解路径依赖与风险状态。

尽管非传统估值，分析过程严谨且符合系统动力学的哲学，助力理解价格体系稳定性与状态转移风险。[page::29-33]

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5. 风险因素评估

报告中识别并讨论的风险包括：

• 路径依赖风险：由双稳含义导致相同初始市场环境下价格发展方向无法完全预测，系统输出存在不确定性。

- 市场脆弱性风险：在亚稳态区间，市场对随机扰动异常敏感，价格波动加剧，可能导致价格跌至吸收态（零价）或远离均衡。

• 状态转移稀有但不可忽视：隐马尔科夫模型表明，价格状态间转移概率极低意味着价格突然崩塌或恢复的事件虽罕见，但一旦发生影响深远。

- 模型假设与参数敏感：虽然模型捕捉核心微观机制，代理假设为“零智能”，忽略诸多现实复杂行为，可能低估实际复杂性风险。

报告未直接提供缓解机制，但结果强调微观交易规则的调整对市场稳定性产生决定性影响，提示加强市场微观监管与设计以降低不良分岔风险。[page::23,24]

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6. 审慎视角与细微差别

• 模型局限：代理为“myopic”和“随机”决策简化了人类交易行为，忽视信息学习、策略调整和市场情绪，可能限制结果的现实外推。

- 路径依赖与随机扰动的角色：报告强调系统双稳态根植于确定性规则非随机噪声，但微小随机因素触发状态跃迁，暗示现实市场中不可控因素可能放大不确定性。

• 双稳态代表极端市场结果：零价状态为市场崩溃模拟，但现实中零价为极端情境，需结合基本面与政策因素。

- 不完全的混沌说明系统可预测性：统计量暗示系统属于“边缘混沌”，给予市场参与者一定预测空间，支持适度稳定的市场预期。

• 分岔点估计的不确定性：不同方法对分岔点估计稍有差异，表明敏感依赖于参数选择和时间节点，提示对实际应用需谨慎调试。

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7. 结论性综合

本报告透彻剖析了基于代理的人工限价委托簿股票市场的价格动力学，揭示了由均质、零智力自主交易者通过微观交易规则驱动的系统存在非随机性内在双稳态特征：

• 双稳态分岔现象通过多次模拟与统计学分析得以验证，即使起始条件完全相同，系统仍然会走向两个截然不同的稳定市场价格状态：零价吸收态和持久的正价波动态。

- 模拟轨迹及相关ADF检验表明正价态为平稳随机过程，零价态为吸收不动点，两者波动性与路径长度存在显著差异，映射出市场不同的风险与稳定区域。

• 通过Poincaré映射揭示该系统存在明显的多稳态动力学结构和亚稳态区域，这种动力结构深入反映在Fractal Dimension、熵测度和Lyapunov指数中，标明系统具低维准混沌特性和间歇性复杂行为。

- 使用分类算法成功预测轨迹零价概率，显示价格时间演化及当前水平可有效预警市场崩溃风险。

• 通过多元HMM模型刻画价格与买卖不平衡的两隐状态及其转移矩阵，支持双稳态模型并深入分析市场微观结构与宏观价格状态的联系。

- 报告强调市场价格的非线性路径依赖，本质上归因于微观交易规则之间的相互作用与反馈效应，挑战需异质代理和外生冲击方才能解释复杂市场现象的传统观点。

• 该研究为理解和预测限价委托簿市场价格走势和崩溃风险提供了全新视角和方法论，促进人工市场理论与实际高频市场的桥接和深度融合。

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整体而言，该报告是一篇系统严密且具高度创新性的金融市场微观动力学研究，充分利用仿真、统计检验和隐状态模型，开启了人工市场微观规则赋能宏观复杂价格行为理解的新篇章。[page::0-24]

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报告