• 市场做市背景与模型创新 [page::1][page::2]：

- 本文模型基于对买卖限价单成交量的随机线性需求函数建模，考虑随机斜率及截距，反映实际订单簿的高随机与复杂性。
- 允许价格过程不服从传统鞅假设，结合未来价格变化的预测动态调整报价价差，显著提升策略灵活性和适应性。

• 市场订单到达的自适应概率建模及实证验证 [page::3][page::29][page::31]：

- 利用市场订单历史到达指标作为状态变量，构造映射函数$g$，用以估计买卖市场订单到达概率$\pi^{\pm}$及联合概率$\pi(1,1)$，实现对马尔科夫链的降维和在线调整。
- 图示$\pi^{\pm}$随着不同$g$函数值演化趋势，验证了买卖订单到达强度的动态可预测性。

• 需求函数参数的估计方法及模型拟合 [page::32][page::33]：

- 基于过去20日内逐秒交易数据，通过加权线性回归拟合真实成交量与价差的关系，估计需求函数中$c$和$p$的参数。
- 实际成交量与线性拟合模型高度吻合，验证了模型假设的合理性。

• 量化策略公式与动态规划解析 [page::14][page::18][page::20]：

- 通过动态规划和验证定理显式表达价值函数及最优买卖价差的位置，其中价差分解为基于库存调整的线性项、常数项和对价格预测的修正项。
- 盘中库存对策略的影响由随机需求斜率方差和买卖双方需求相关性调节，库存调节强度越大，库存回归更明显。

• Non-martingale midprice 扩展及价格预测整合 [page::20][page::21]：

- 扩展了价格过程的马尔科夫性假设，导入未来价格变动预测$\Delta{tk}^{tk}$，从而得出自适应动态的报价调整表达式，体现了短期价格趋势信息。
- 一步价格预测的引入使策略对价格走势更敏感，实现线上自适应调整。

• 模型实证：MSFT限价单簿数据回测与绩效分析 [page::34][page::35][page::36][page::37]：

- 使用2019年MSFT纳斯达克LOB数据，按秒频更新报价，基于历史20日数据动态校准模型参数与函数$g$。
- 优化策略与多档固定深度基准策略相比，终端表现收益显著提升，标准差降低，体现风险调整后收益的改善。
- 不同函数$g1,g2,g3$下策略性能呈递进提升，融入价格预测的非鞅模型进一步降低波动。

• 策略对于库存控制的效果及价格路径比较 [page::38][page::41][page::42]：

- 优化策略结束时库存显著低于固定深度基准，体现了终端库存清算成本惩罚机制的有效性。
- 不同时间点买卖价格动态变化合理，体现适应性定价逻辑。

• 量化因子构建及策略实施逻辑 [page::26][page::27]：

- 利用函数$g$归纳近期买卖MO历史，映射至有限状态空间，建立适应性状态场景，生成对应最优报价策略目录。
- 实盘时根据当前状态估计对应策略参数，实现正向在线学习与调整。

• 开放问题及未来研究方向 [page::40]：

- 考虑需求参数对历史MO依赖的时变设计。
- 融合价格与订单流相关性，放宽独立假设。
- 探索模型连续时间极限及更一般库存惩罚形式。

深度详尽分析报告

《Adaptive Optimal Market Making Strategies with Inventory Liquidation Cost》
Jonathan Chávez-Casillas 等著，2024年5月21日发布

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1. 元数据与概览

报告标题： Adaptive Optimal Market Making Strategies with Inventory Liquidation Cost
作者： Jonathan Chávez-Casillas, José E. Figueroa-López, Chuyi Yu, Yi Zhang
发布日期： 2024年5月21日
主题： 高频交易市场造市策略，聚焦库存清算成本和订单簿动态，结合随机需求建模，开发具有自适应能力的最优限价单放置方案。
核心论点：

• 提出一种基于随机线性需求函数的市场造市模型，适用于离散时间框架，取得闭式解。

- 模型创新地允许价格过程不依赖布朗运动或鞅的经典假设，自适应反应市场订单动态。

• 整合历史及即时市场订单流数据训练模型，验证其比非自适应基线策略表现更优。

- 重点关注在考虑终端清算成本（通过二次惩罚项建模的库存冲击）的环境下设计最优报价策略。

通过本文，作者意在展现：随机化、历史信息依赖性以及价格预测纳入，均能提升传统市场造市策略的灵活性和效能。
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2. 逐节深度解读

2.1 引言与文献回顾（第1节）

关键点摘录：

• 市场造市商（MM）通过双边持续供给买卖限价单赚取买卖差价利润。

- 广泛文献如Cartea等（2015），Gueant（2016）研究造市问题，经典模型常假设市场订单以泊松流出现，单个交易频率与价格距离成指数负相关（Avellaneda & Stoikov，2008）。

• 研究中采用需求函数建模成交量，区分 deterministic（Adrian等，2020） 与 stochastic（本报告）需求。

- 本文核心创新为将需求函数的斜率与截距设为随机变量，捕捉市场对限价单填充的不确定性与变异。

逻辑与假设说明：

• 采用随机线性需求函数，能更贴合真实订单簿的复杂多变流动性结构，破解传统确定性需求模型的局限性。

- 库存尾部清算成本用二次罚函数形式$IT(ST-\lambda IT)$表示，体现面对不利价格冲击时持仓成本。

2.2 模型设定（第2节）

模型结构与假设总结：

• 时间划分为离散时点$0=t0 < t1 < ... < tN < T$。

- 市场造市商在$tk$同时提交买卖限价单，价格分别记为$a{tk} = S{tk} + L{tk}^+$（卖价）和$b{tk} = S{tk} - L{tk}^-$（买价），其中$S{tk}$为参考价。

• 成交量$Q{t{k+1}}^\pm$由下一时段是否有买卖市价单（MO），以及随机需求系数$c{t{k+1}}^\pm, p{t{k+1}}^\pm$生成，其中

$$ Q{t{k+1}}^{+} = \mathbb{1}{t{k+1}}^{+} c{t{k+1}}^{+} (p{t{k+1}}^{+} - L{tk}^+) $$
$$ Q{t{k+1}}^{-} = \mathbb{1}{t{k+1}}^{-} c{t{k+1}}^{-} (p{t{k+1}}^{-} - L{tk}^-) $$

• 这里$p{t{k+1}}^\pm$可视为买卖双方的“保留价格”，$c{t{k+1}}^\pm$作为成交量与价差的斜率。两者均随机，且相互独立（条件独立性假设，见Assumption 1）。

- 利用市场订单近期行为$\pmb{e}{tk}$（最近$\varpi$次买卖MO到达情况）更新MO出现概率$\pi{t{k+1}}^\pm$和联合概率$\pi{t{k+1}}(1,1)$，实现策略的自适应调整。

数学公式与推理：

• MM目标极大化末期PnL：

$$ \mathbb{E}[WT + ST IT - \lambda IT^2] $$

• 现金与库存动态递推式给出（Eqs.(11)-(12)）。

- 重要思路是利用分贝尔曼方程（动态规划原理）求解最优策略，借助特定的函数型假设（ansatz）（表现为$$V{tk} = W{tk} + S{tk} I{tk} + \alpha{tk} I{tk}^2 + h{tk} I{tk} + g{tk}$$），将求解转化为一系列关于$\alpha,h,g$的递推关系。

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2.3 最优策略（假设价格为鞅）

主要成果整理：

• 在鞅价格假设下，证明存在唯一且严格可行的最优限价单距离策略，呈线性函数依赖于当前库存水平$ I{tk} $加上一个常数偏移。

- 优化问题变为求$\alpha,h,g$的递推方程（Theorem 1），并给出显式闭式解（Corollary 3），最优买卖报价距离分别由三部分构成：
- 仓位调节项：随库存大小单调增减，有效引导库存回归至0。
- 恒定项：与需求均值及相关性有关，调整定价站位。
- 自适应项：基于对历史MO的统计依赖。

重要数据点与解读：

• 需求斜率$ c $的方差对库存调节强度产生负向影响，即资产需求波动越大，库存压力调节越宽松。

- 相关性正向时，最优报价距离增大，反映需求和投资者预期的协同影响。

• 说明了价格过程的非参数灵活性，摆脱了传统鞅或连续布朗路径限制，增强实际适用性。

2.4 非鞅价格情形下的扩展

• 允许价格过程的价格变动非鞅，带入价格变动预测$\Delta{tj}^{tk} = \mathbb{E}(S{t{j+1}} - S{tj} | \mathcal{F}{tk})$作为附加调整项。

- 最优报价在原先线性策略基础上，增加一项与预测价格变动成比例的修正项，实时调整报价以利用价格走势预期（Theorem 5）。

• 预测影响系数由模型参数（如需求相关性和成交概率）决定，理论和实证均指向该调整显著提升策略绩效。

2.5 策略可行性与对策略正当性的充分条件给出

• 设条件，确保买卖价差始终为正（即买价低于卖价）：要求买卖双方需求与成交概率的对称性。

- 明确函数$g$取值需满足依赖历史MO之和的形式，便于降低状态空间维度，同时保证策略严格可行（Proposition 6，Lemma 8）。

• 进一步，当不允许同一时间区间出现买卖MO同时到达时，相关条件可放松（Corollary 7）。

2.6 库存特征分析

• 在高频交易且无双边MO同步出现假设下，证明若初始库存为零，则期望库存在后续时点维持零，表现出强烈均值回复性质（Proposition 9）。

- 该特征依托于策略参数对历史MO信息的统计依赖，体现策略的动态库存风险管理能力。

2.7 运行时库存惩罚延伸

• 引入运行期库存惩罚项（常见于连续时间文献，如Guilbaud & Pham，2013），奖励减少持仓风险。

- 修改性能指标为：
$$ \mathbb{E}\left[WT + ST IT - \lambda IT^2 - \phi \sum{k} I{tk}^2 \mid \mathcal{F}t \right] $$

• 重新推导动态规划，并取得对应最优策略，只是策略系数带额外校正项（Theorem 10）。

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3. 图表深度解读

图表1（图1，Page 3）—— 市场订单买入到达概率移动平均走势

• 展示内容：

- 蓝色曲线为基于历史数据估计的买入市价单MO到达的概率的移动平均（500秒窗口）。
- 红色曲线为实际MO到达指示的移动平均。

• 数据趋势： 值域大致在0.13到0.19之间波动，二者紧密跟随，显示模型对MO到达强烈的追踪能力。

- 联系文本： 支持作者自适应策略设计中跟踪MO动态强度的必要性和实际可行性。

图表2（图2，Page 10）—— 填充数量与报价相对价格关系

• 展示内容：

- 横轴为订单价格相对于参考价的偏离（买卖两边），纵轴为成交量。
- 图中斜率为需求函数斜率，截距对应保留价格，填充数量随报价越趋近参考价而增加。

• 趋势解读： 随距离增加，自动成交量线性递减，凸显作者线性需求假设的直观合理性。

图表3（图3，Page 10）—— 实际需求与线性拟合模型对比

• 展示内容： 实际成交量对应价格分布（实线）与线性需求模型拟合（虚线）对比。

- 趋势分析：
- 二者吻合良好，特别是靠近中价区域，验证线性需求模型有效捕获实时成交变化。
- 进一步支持将随机线性需求模型用于高频市场造市中的合理性和实用性。

图表4（图4，Page 30）—— 估计的买卖MO概率$\pi^{\pm}$基于不同历史函数$g$

• 内容解读：

- 横轴表示函数$gi$对最近$(2-4)$次MO历史的编码值。
- 纵轴为对应买（蓝线）卖（橙线）MO的到达概率

• 趋势：

- $\pi^+$与$\pi^-$高度相似，支持模型假设双边对称性。
- 随历史报价事件数增加，$\pi^{\pm}$值上升，模型反映MO动态关联特征。

图表5（图5，Page 31）—— 估计MO到达概率与实际MO事件对比（2019年8月7日典型日）

• 展示模型预测$\widehat{\pi}t^{+}$与真实发生事件间的移动平均比较，窗口为500秒

- 结论： 模型预测与实际高度一致，验证历史MO依赖的自适应概率估计在实际交易中表现良好。

图表6（图6，Page 33）—— 实际成交量曲线与拟合线，价格距离Midprice（1秒区间）

• 说明： 实际成交量与线性拟合呈现近似线性递减趋势，尤其离Midprice较近区域拟合最好。

- 印证： 支持随机线性需求建模基础假设吻合真实市场数据。

表1（Page 33）—— 252个交易日中需求函数参数平均值

| 参数 | 值（买方） | 值（卖方） |
|-------------|------------|------------|
| $\mup$ | 125.512 | 130.622 |
| $\mu{cp}$ | 412.558 | 430.008 |
| ... | ... | ... |

解读： 参数数值在买卖两端规模匹配，支持模型对称性假设及需求相关性假设。

表2,3（Page 35）—— 最优与固定层级策略绩效指标对比

• 最优策略（多版本）终局期望$\approx 8.2 \times 10^4$，std约$1.6 \times 10^6$，远好于固定层级策略（负期望、较大标准差）。

- 自适应策略中的不同历史编码函数$g$轻微影响均值与波动，$g_3$表现最佳。

• 配合价格变动预测稍有下降均值但减少波动，达到风险收益平衡。

图7（Page 36）—— 232测试日策略绩效分布直方图

• 各种最优策略绩效分布均集中于正收益附近，部分右尾有所延展呈重尾特征。

- 固定层级策略明显落后，验证动态自适应策略的绩效优势。

表4,5（Capponi等2021年预印本策略对比）

• 本文自适应策略均值高于非自适应（泊松强度确定）策略，尽管增加轻微波动。

- 体现采用随机需求和动态MO概率估计提升策略实用性和盈利能力。

表6,7（固定需求参数版本效果）

• 固定需求斜率和截距版本表现显著下降，表明需求随机性是提升PnL非常关键的因素。

图8,9（典型日8月7日，内部库存与报价路径）

• 本文策略较固定层级均能有效控制风险，库存呈均值回归趋势。

- 报价合理分布于1-6档位价格间，末期价格调整明显，有力降低库存风险。

• 一般价格动态假设导致中盘库存波动较大，但收盘前均可有效消化库存。

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4. 估值分析

本报告非传统意义上的估值报告，核心在于最优策略求解和实证测试，不涉及股票估值指标、DCF等。

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5. 风险因素评估

• 主要风险包含模型对于需求函数随机性的估计误差、MO强度估计精度以及价格变动预测的准确度。

- 价格走势依赖非鞅假设尤其重要，预测误判会导致收益波动。

• 线性需求及正价假设边界条件强，如大量极端报价远离参考价时需求模型可能失真，但实证显示实际最优距离相对有限，影响可控。

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6. 批判性视角与细微差别

• 虽然随机需求和MO动态强度建模增强了模型灵活度，但实际估计依赖大量历史数据，受限于市场结构不稳定性。

- 库存惩罚参数$\lambda$设定关键，但其选择是经验性的，未来可进一步根据市场微结构优化。

• 价格动态预测较简单，仅使用5步均值，较先进的机器学习方法或高频因子可能进一步提升效果。

- 模型假设MO到达间独立，价格变动与订单流条件独立，可能忽视市场冲击与反馈机制。

• 高维状态空间的压缩依赖函数$g$设计，感知信息丢失与建模偏差值得关注。

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7. 结论性综合

本文提出一种离散时间下结合随机化线性需求函数和终端库存清算成本的高频市场造市模型，创新允许价格过程非鞅化、MO强度依据近期订单历史动态调整，并集成价格变动预测，基于贝尔曼方程求解闭式最优策略。

模型核心在于以随机需求系数为基础，将订单簿部分成交和成交量随机性纳入，显著提升策略的灵活性和实用性。通过构建针对不同历史MO场景的“策略目录”，在线适配不同市场状态，实现自适应报价放置。

实证部分利用微软2019年纳斯达克全档订单簿数据，构造多版本$g$函数进行MO到达概率估计和需求函数参数回归，策略显著优于固定层级基线，收益波动在合理区间内。价格预测纳入则进一步微调策略，四种实施方案整体表现稳定。

图表分析显示模型精准捕捉MO强度路径及成交需求曲线，最优策略在多层级价格间灵活切换，库存管理效果理想。详细的理论推导证明了策略的严格可行性和向零库存回归的风险控制能力。

作者也明确指出未来研究方向，包括需求函数对历史依赖的深化建模、价格变动与订单流独立性假设的放松、连续时间极限模型探究等，以期进一步提升市场造市策略的理论完善度和实用表现。

综上，本文的理论创新与实证结果充分表明，随着市场流动性需求的不确定性及订单簿动态复杂性的增加，基于随机化需求的自适应高频市场造市策略具有重要的理论意义及实际应用价值。

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参考图表示例：

图1：市价单买入到达概率移动平均示意图

图2：成交量与报价格局示意（线性需求函数示意）

图3：实际与拟合需求曲线对比

图4：历史价格趋势与库存控制曲线样例

• 点击查看第41页 (图8) 与第42页(图9)

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注： 本分析严格基于报告文本内容，所有技术术语均依报告定义与惯例解释，引用页码明确指向报告段落，方便后续溯源和检索。

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