BSM模型理论基础与假设 [page::3][page::5][page::6]

• 期权定价基于标的资产服从几何布朗运动，无风险利率常数，无交易费用及税收，市场无套利。

- BSM公式推导通过构造无风险投资组合，满足Black-Scholes偏微分方程。

• 看涨期权定价公式和看跌期权平价关系明确，标志性公式奠定现代衍生品定价基础。

市场隐含波动率与BSM模型局限 [page::7][page::8]

• 以2014年8月5日50ETF期权为例，隐含波动率显示随剩余期限变化波动，非恒定。

- 50ETF隐含波动率伴有显著偏度和峰度，说明收益率分布并不符合BSM对数正态假设。

Practitioner Black-Scholes模型构建与实证 [page::8][page::9][page::10]

• PBS模型通过确定性波动率函数(DVF)以行权价K和剩余期限T进行隐含波动率建模。

- DVF包含常数项、多项式项及交叉项，采用最小二乘目标函数拟合。

• 不同误差函数权重分布影响拟合稳健性，PBS拟合后隐含波动率曲线更平滑，易捕捉波动微观结构。

Gram-Charlier模型的数学原理与期权定价修正 [page::10][page::11][page::12]

• G-C模型基于标的资产对数收益率的高阶累计量（偏度、峰度）对分布进行四阶展开。

- 期权价格由标准BS价格加上偏度、峰度调整项组成，调整项对偏离正态分布的市场情形有较好解释。

• 模型提供了隐含波动率的近似解析表达，可依据偏度峰度修正BS隐含波动率。

G-C模型定价误差实证分析 [page::12][page::13]

• 设定不同偏度±2和峰度±3参数，模拟期权合约价差，发现价格差异最高超过0.015。

- 市场极端价格波动场景下，偏度和峰度的影响尤为明显，个股期权高阶矩偏离指数更大。

• 实践中逐步消除简单套利机会后，市场关注由波动率预测转向高阶风险因子的交易。

附录详述BSM模型推导与数学基础 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::18]

• 提供Martingale方法、二叉树方法推导BSM公式全过程。

- 系统介绍累计量与Gram-Charlier级数展开理论基础，为G-C模型推导提供数学支撑。

金融研究报告详尽解析 — 期权BSM模型及其改进模型研究

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一、元数据与概览

• 报告标题：《BSM及其改进版期权定价模型》

- 研究组与作者：广发证券发展研究中心金融工程研究小组，主要作者为俞文冰（首席分析师）、罗军（首席分析师）等

• 发布日期：2021年（具体时间未明，但文中数据获取至2014年，最新内容应是2021年之前）

- 主题：介绍并深入解析经典期权定价模型Black-Scholes-Merton（BSM）模型及其两种主要改进模型：
- Practitioner Black-Scholes (PBS)模型
- Gram-Charlier (G-C)模型

• 核心议题：传统BSM模型假设的局限性，尤其是隐含波动率假设的不足，引入偏度(skewness)和峰度(kurtosis)对期权定价的影响，以及如何通过PBS和G-C改进对隐含波动率和价格进行更精准的拟合和预测。

- 目的：强调BSM模型的经典地位和不足，展示基于BSM的改良模型在实证中的有效性，同时普及期权定价的数学方法与金融工程思想。

• 主要信息传递：

- BSM模型建立的基本假设及推导方法
- BSM模型的实际局限，尤其是对隐含波动率并不为常数及标的资产收益非正态分布的实际观察
- PBS模型通过确定性隐含波动率函数（DVF）方法，引入行权价和剩余期限的函数关系，更好地拟合市场隐含波动率
- G-C模型通过累积量和Gram-Charlier展开将偏度和峰度引入模型，改善BS模型对极端价格变动的刻画
- 结合真实市场数据验证改进模型的优越性

• 评级和价格目标：无明确股票或投资标的评级和目标价，报告侧重理论模型研究和实证验证

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二、逐节深度解读

1. 报告摘要与BS模型简介（第0页）

• 内容说明BS模型作为经典期权定价模型，因其诸多假设如波动率常数等现实中难以满足而亟需改进。

- 引入两个改进模型：PBS和G-C；

• PBS模型假定隐含波动率为行权价和剩余期限的确定函数，利用确定性波动率函数（DVF）建模，提升了隐含波动率曲线刻画；

- G-C模型从更高阶矩（偏度、峰度）出发，展开收益率分布，对严重价外期权有一定偏差，但大幅改善了对价格大波动的刻画；

• 指出BSM及其改进体现了金融工程的核心方法，比简单的公式更有建树；

- 警示风险：模型基于历史数据和合理假设，可能与未来实际情况有所差异[page::0]。

2. 目录索引（第1页）

• 详细罗列了报告的章节安排：

- BSM模型历史发展（Bachelier等先驱）
- BSM假设和推导
- BSM局限及改进（PBS模型和G-C模型）
- 附录提供推导细节（鞅方法、二叉树、累计量及G-C展开）

• 章节结构清晰，体现研究的系统性[page::1]。

3. 前言及BSM模型先驱（第3-5页）

• 通过Facebook网友的评价突出BSM模型在金融理论中的地位和优雅；

- 介绍了历史上的BS模型先驱：

- Bachelier公式（1900年）：
- 创新点：提出了股价和波动率的概念，使用“fair game”（无套利思想）与随机过程，首次用正态分布建模证券价格。
- 缺陷：假设价格（而非收益率）服从正态分布、无利率考虑。
- 衍生版本包含利率但仍旧是基于正态分布假设。

- Sprenkle、Boness和Samuelson公式（1960s）：
- 引入折现因子，开始考虑风险厌恶和股价的对数正态分布。
- 形式已接近BSM，解决期权定价中的效用函数问题。
- Samuelson强调期权本身的风险增长率，奠定衍生品内在差异。

• 总结了分子对整个BSM理论形成的奠基意义，并指出历史模型对现实的不足和经济假设的冲突[page::3-5]。

4. BSM模型假设与推导（第5-7页）

• 关键假设：

- 标的资产价格服从几何布朗运动，率$\mu$，波动$\sigma$恒定
- 无风险利率常数
- 标的资产无股息
- 无交易费用与税
- 市场无套利，连续可调仓对冲

• 推导重点：

- 从构造对冲组合$\Pi = V - \Delta S$，令无风险$\Rightarrow$组合回报=$r\Pi dt$
- 利用伊藤引理展开期权价格变化，消除随机项，得出黑-斯方程（PDE）
- PDE解出边界条件，获得BS定价公式

• 结论：

- 连续调仓无摩擦环境下，给出公允期权价格避免套利机会
- 现实中波动率未知且市场摩擦存在，需调整

• 实证观察：

- 通过2014年上交所50ETF期权数据，反解隐含波动率发现它明显不是常数（图1展现隐含波动率随剩余期限波动）
- 50ETF波动率、偏度、峰度的非零值显示收益率分布远非正态（图2展示随时间变化的波动率、偏度和峰度）

• 这为修正模型提供了强烈动机[page::5-7]。

5. 期权隐含波动率的改进模型

5.1 Practitioner Black-Scholes模型（PBS模型） (第8-10页)

• 核心思路：

- 隐含波动率不是常数，而是行权价和剩余期限的确定函数，即$\sigma{i\nu} = f(K,T)$，称为确定性波动率函数（DVF）

• DVF常用形式：

- 常数形式$a0$
- 二次多项式$a0 + a1 K + a2 K^2$
- 包含剩余期限和交叉项的多项式多样式

• 建模步骤：

1. 观察波动率形状，选择合适的DVF形式
2. 从市场期权行情反解隐含波动率
3. 选定误差函数（如最小二乘）拟合DVF参数
4. 将估计隐含波动率带入BS公式定价

• 误差函数问题及权衡：

- MSE（均方误差）偏重大价内和远期合约
- 相对误差MSE对价外期权权重大，易波动
- 隐含波动率均方误差存在异方差且偏估计

• 实证：

- 采用2014年8月50ETF期权合约数据，PBS的隐含波动率曲线比BS更加平滑和合理（图3展示BS与PBS隐含波动率，PBS拟合曲线更均匀）

• 结论：

- PBS模型可更好描绘隐含波动率曲线特征，利于衍生品定价和风险管理[page::8-10]。

5.2 Gram-Charlier模型（G-C模型）（第10-13页）

• 理论基础：

- 利用累计量（cumulant）展开理论，将收益率对数的分布函数做Gram-Charlier（G-C）四阶展开
- 引进偏度$c{1T}$与峰度$c{2T}$，调整期权定价公式
- 标的资产仍为几何布朗运动，但允许收益分布偏离正态

• 模型数学推导：

- 利用累计量定义，计算$R{t+1}^T$（多期收益对数和）的累计量
- 密度函数展为标准正态的密度及其高阶导的线性组合
- 得出带偏度和峰度调整项的期权定价公式$C_{GC} = BS + [...]$（BS即经典BS定价项，后续项为修正）
- 推导近似隐含波动率表达式$\delta(d)$，显示隐含波动率依赖于偏度和峰度

• 实证分析：

- 使用1.65行权价，约5个月剩余期限的50ETF期权数据
- 价格差异最高达0.015，说明偏度和峰度显著影响期权价值
- 图4、图5直观呈现不同偏度、峰度条件下G-C与BS模型定价差异规律和幅度

• 实际意义：

- 在价格波动大时（如个股期权），高阶矩尤为重要
- 市场初步消除简单套利后，更关注波动率和更高阶风险度量的交易策略演进

• G-C模型为更细致、实际的期权定价理论提供理论支持[page::10-13]。

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三、图表深度解读

图1：隐含波动率与剩余期限（第7页）

• 描述：显示50ETF期权隐含波动率随剩余期限变化（单位：天）

- 趋势：
- 隐含波动率整体介于0.20-0.35之间
- 隐含波动率非单调曲线，出现波峰波谷，证明显含波动率绝非常数

• 联系文本：

- 反驳BS模型隐含波动率恒定的假设，为PBS模型的必要性提供实证依据

• 数据来源：Wind资讯，广发证券发展研究中心[page::7]

图2：50ETF波动率、偏度、峰度图（第8页）

• 描述：显示每日波动率、偏度、峰度随时间的变化（2013-2014年）

- 趋势：
- 波动率（红色）整体在0.05-0.2之间波动
- 偏度（绿色）及峰度（蓝色）明显偏离零，且波峰波谷突出

• 意义：收益率分布显著偏离正态，为G-C模型针对高阶矩调整提供市场基础

- 数据来源：Wind资讯，广发证券发展研究中心[page::8]

图3：BS与PBS隐含波动率（第10页）

• 描述：BS模型与PBS模型在不同行权价下的隐含波动率比较图

- 趋势及解读：
- BS隐含波动率曲线不够平滑，局部异常显著
- PBS隐含波动率曲线更加平稳且形状合理

• 结论支持： PBS模型在隐含波动率建模更具有实用性和准确性[page::10]

图4：不同偏度水平下G-C与B-S模型的定价差异（第13页）

• 描述：行权价在1.2到2.1范围内，不同正负偏度值(±2)下，G-C模型与BS模型期权价格差异

- 趋势：
- 价格差异可正可负，峰值约0.016
- 偏度为+2时，价格差异在1.3-1.55行权价区间为正，接近峰值；偏度为-2时，在1.65-1.8峰值为正

• 意义：

- 强调偏度调整对期权价格的方向和幅度影响
- 偏度能改善BS模型对部分价外期权的误差

• 数据来源：Wind资讯，广发证券发展研究中心[page::13]

图5：不同峰度水平下G-C与B-S模型的定价差异（第13页）

• 描述：不同行权价对应峰度±3条件下，价格偏差对比

- 趋势及解读：
- 峰度为正时，价格差异呈双峰模式，中间价位有显著负差
- 峰度为负时，价格偏差波动区间宽广且偏正

• 结论：

- 峰度对价格的影响波动较大，需要纳入风险管理考虑

• 数据来源：Wind资讯，广发证券发展研究中心[page::13]

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四、估值分析

本报告不涉及具体的公司估值或行业估值，主要提供BSM及其衍生模型的期权价值定价方法和对隐含波动率建模的改良。

• BSM模型通过风险中性测度和对冲组合理论定价欧式期权，解PDE给出封闭解；

- PBS模型采用最小二乘拟合确定隐含波动率函数的参数，通过修正后的波动率提高价格预测准确度；

• G-C模型根据分布的四阶展开调整期权价格，隐含波动率表达式也根据偏度峰度进行线性修正；

- 报告重视模型实证的准确性及适用于市场实际波动的能力。

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五、风险因素评估

• 模型假设偏离风险：BSM及改进模型均基于历史时序数据和简化假设，可能未能完全反映未来实际市场波动和风险。

- 市场不完全与摩擦风险：连续无摩擦调仓的假设在真实市场难以成立，导致模型套利空间估计过理想。

• 数据偏差风险：隐含波动率推算基于当期期权价格，可能受市场流动性、报价错误及极端事件影响。

- 高阶矩估计误差：G-C模型需显著数据支持偏度与峰度参数估计，估计误差可能引致定价偏差。

• 参数稳定性问题：PBS模型误差函数存在权重偏差，影响拟合稳定性，尤其在快到期或价外期权。

- 计算复杂度与理解门槛：高阶修正模型计算和理解复杂度增加，可能限制实际运用及风险管理透明度[page::0,19]。

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六、批判性视角与细微差别

• 本报告，作为金融工程研究机构的作品，展示较为权威严谨；

- 但对PBS模型权重选择的讨论显示，模型拟合仍存在权衡难题——不同误差函数影响拟合稳定性，暗示结果非绝对确定；

• G-C模型虽然引入了偏度峰度，但由于基于Gram-Charlier展开，可能存在收敛性和负概率风险；

- 模型实证主要基于2014年50ETF期权市场，时间较早，当前市场结构及波动行为可能已有变化；

• 报告中多次提及“合理假设”与“历史数据”的局限，体现出对模型应用中不确定性和风险的认知，表现客观审慎；

- 报告未涉及与具体金融资产或宏观经济因素联动的扩展，未讨论模型在极端系统性风险下的表现，存在一定局限；

• 总体上，强调BSM模型经典性同时提出改进合理且实用，是对模型发展的有效总结，但某些模型的具体适用边界和市场环境仍需谨慎理解。

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七、结论性综合

本报告系统阐述了Black-Scholes-Merton（BSM）期权定价模型的理论基础、假设及其局限，强调了BSM模型对现代金融理论的奠基作用。基于对2014年上交所50ETF期权数据的实证分析，报告发现BSM模型中的隐含波动率假设存在重大不足，表现为隐含波动率随剩余期限和行权价波动明显（图1、图2），同时标的资产收益率分布具有显著非正态特征，存在偏度和峰度。

为改进这些不足，报告重点介绍了两种基于BSM的改良模型：

• Practitioner Black-Scholes (PBS)模型

通过确定性波动率函数（DVF）将隐含波动率建模为行权价和剩余期限的函数。实证显示PBS模型能更有效拟合市场隐含波动率曲线（图3），减小估计不稳定性，提升定价准确性。

• Gram-Charlier（G-C）模型

利用累计量理论和Gram-Charlier四阶展开引入偏度与峰度调整期权定价，特别在极端价格变动中表现更佳。实证中G-C相较BS模型价格有显著偏差，偏度和峰度的不同水平可引起0.015以上的定价差（图4、图5），体现了高阶矩对风险估计的重要贡献。

报告还附加了BSM模型多种推导方法（鞅方法和二叉树方法）的公式推导与解释，强调金融工程的数学思想和模型理论的深厚底蕴。报告在论述中保持对模型假设局限的诚实态度，提示模型依赖历史数据且不一定能完美预测未来。

综上，BSM模型虽为期权定价的开山之作，但其基础假设在实际金融市场受限，尤其是波动率的稳定性和收益率分布的正态性。PBS和G-C模型通过引入确定性波动率曲面和收益率的偏度峰度调整，提供了更高阶和更实际的修正方案。真实市场数据验证了这些改进模型能有效提高期权定价的准确度和现实性，为市场交易、风险管理、高阶风险量化提供了更加有力的工具和理论支持。

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参考图表展示（部分）

• 图1：隐含波动率与剩余期限

• 图2：50ETF波动率、峰度、偏度图

• 图3：BS与PBS隐含波动率

• 图4：不同偏度水平下G-C与B-S模型定价差异

• 图5：不同峰度水平下G-C与B-S模型定价差异

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以上解析力求全面覆盖原报告的理论脉络、公式推导、模型改进与实证分析，深入剖析图表数据与关键词，提供专业金融分析视角，确保报告的内涵得以充分准确表达。[page::0,1,3-20]

报告