• 流动性提供者面临的永久损失（Impermanent Loss, IL）被明确定义为持有资产池与单纯持有对应代币收益的差额，并通过恒定乘积池公式精确表达IL与价格变动的关系 [page::1]。

- 利用Ross等经典理论，将任意两次可导函数的payoff静态复制为纯债券与欧式期权组合，进而应用于IL函数，说明IL可用欧式call与put期权静态复制 [page::0][page::1]。

• 因加密市场缺乏连续行权价的衍生品，提出在有限价格区间$[Pi,Ps]$使用Long Strangle策略：购买一个看涨期权和一个看跌期权固定行权价，形成成本可控的对冲方式[page::2]。

- Long Strangle策略覆盖池中初始投资资本$c$，通过满足以下不等式实现永久损失的非负收益保障：

$$
\frac{c}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{Pi P0}} - \frac{1}{P0}\right) \leq qp, \quad
D - \min\{IL(Kc), IL(Kp)\} \leq rp c, \quad
-\frac{c}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{Ps P0}} - \frac{1}{P0}\right) \leq qc,
$$

其中$qc, qp$为购买欧式看涨期权和看跌期权的数量，$D$为期权总成本，$rp$为资产池月回报率。[page::3]

• 图表说明：

- 永久损失随价格变动的曲线明显显示在价格远离初始点时亏损加大，呈对称式曲线。

- 结合上述Long Strangle对冲策略后的总PNL曲线对比显示，期权覆盖显著缩小了永久损失范围，实现了较好的风险缓释。

• 结论指出，尽管理论上静态复制可以完全对冲永久损失，但因加密市场期权流动性不足及交易成本，实务应用需考虑市场可得性，策略主要适用于价格变动在预设区间内时的风险控制[page::3]。

研究报告详尽分析：关于恒定乘积自动做市商池（CPM）价值复制与无常损失对冲

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一、元数据与报告概览

• 报告标题：《Réplica del valor de un pool (CPM) y hedging de pérdidas impermanentes》（恒定乘积池（CPM）价值复制与无常损失对冲）

- 作者：A. Muñoz González, J.I. Sequeira, Ariel Dembling

• 机构：

- Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires
- IMAS-CONICET, Argentina

• 主题：针对去中心化交易市场中自动做市商池（AMM，特别是Uniswap、Balancer这种恒定乘积市场制造者模型CPMM）中发生的无常损失（Impermanent Loss，IL）进行理论分析，提出用欧式期权组合静态复制池价值的策略，实现对IL的对冲。

- 核心论点：
- 文章建立了恒定乘积池的无常损失的数学表达，分析了其形成机制。
- 通过运用期权复制理论，将CPM池的价值用欧式看涨和看跌期权结合纯折现债券的静态复制表达出来。
- 提出用买入看涨和看跌期权的“长跨式”（Long Strangle）策略，在预定价格区间内静态对冲无常损失。
- 讨论实际市场中由于加密货币衍生品流动性不足导致策略实施受限，但理论框架为未来衍生品市场发展及流动性提供了指导。

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二、逐节深度解读

1. 简介与研究背景（引言）

• 分析重点：

- CPM（Constant Product Market Maker，恒定乘积市场制造者）是Uniswap、Balancer等去中心化交易所采用的核心做市机制，其核心为保持池中两种资产数量乘积不变（xy=k）。
- 流动性提供者（LP）面对的主要风险之一是无常损失，即由于价格变动，LP从池中撤资时的资产价值低于如果直接持有代币的价值。
- 研究的重点是为LP设计对冲无常损失的期权组合策略。

• 推理依据：

- 使用自动做市商的游戏理论与数学金融的期权理论框架为基础，尤其借鉴了Ross及Breeden & Litzenberger关于静态期权复制的经典理论[page::0]。

2. 静态复制理论（章节2）

• 核心内容总结：

- 文章引入了Ross等人的期权复制分解公式，将任意两次可导的函数$f(PT)$（资产期末价格的函数）表达为债券持仓和不同敲定价的欧式看涨、看跌期权线性组合。
- 复制公式分四项：纯债券、同一执行价的看涨-看跌期权、低于执行价的看跌期权分布、执行价以上的看涨期权分布。

• 推理说明：

- 该静态复制允许无风险复制任意收益函数，为无常损失函数的期权组合复制提供了理论工具。
- 进一步，在无套利条件下，期权价格反映未来资产价格分布，可用现有期权价格计算对应复制组合的风险中性价值[page::0],[page::1]。

3. 无常损失定义及公式推导（章节3）

• 关键论点：

- 无常损失定义为LP从池中取出的资产相较于初始资产按当前价格持有的损失。
- 将CPM的恒定乘积条件$x y = k$及价格关系$P=\frac{y}{x}$代入，导出了流动性池价值和代币持有价值关于价格$P$的函数形式：
- $V{Pool}(P) := V{Pool}(P0) \sqrt{\frac{P}{P0}}$
- $V{Hold}(P) := \frac{V{Hold}(P0)}{2} \left( \frac{P}{P0} +1 \right)$
- 无常损失表达式为：
$$
IL(P) = V{Pool}(P) - V{Hold}(P) = V{Hold}(P0) \left( \sqrt{\frac{P}{P0}} - \frac{1}{2} \left( \frac{P}{P0} + 1 \right) \right)
$$
- 该表达式在初始价格处损失及其一阶导数均为零，体现了无常损失的稳定点。

• 推理基础：

- 利用基本的代数变换和微分计算，得出无常损失的价格敏感度，是设计对冲策略的关键数学基础[page::1]。

4. 图表解读——无常损失曲线（图1，第2页）

• 图表描述：

- 汇报展示了一张无常损失随资产价格变化的曲线，图中标有初始价格点（蓝点），横轴为资产终价格（美元），纵轴为损益（美元）。

• 趋势解析：

- 无常损失曲线呈现明显的凹型，价格远离初始点时无常损失增加，表现为LP的潜在亏损。
- 在初始价格处损失为零，符合理论推导。

• 文本联系：

- 该图形形象地展示了流动性提供者面临的风险，说明价格波动带来的损失不可忽视。
- 是之后提出期权对冲的理论和策略背景基础[page::2]。

5. 无常损失的期权对冲策略（章节4）

• 核心论点总结：

- 由于无常损失的函数形式满足前述期权复制理论，理论上用连续分布的看涨和看跌期权比例持仓可完全复制无常损失。
- 实际受限于加密货币市场衍生品流动性不足，策略简化为在价格区间$[Pi,Ps]$内使用两个执行价看涨和看跌期权的“长跨式”（Long Strangle）组合进行静态对冲。

• 数学表达：

- 使用数量$qc$的看涨期权（行权价$Kc$），和数量$qp$的看跌期权（行权价$Kp$），期权总成本$D = qc dc + qp dp$。
- 到期时对冲策略的盈亏（PnL）为：
$$
qc(PT - Kc)^+ + qp(Kp - PT)^+ - D
$$
-流动性池和对冲策略联合的总PnL为：
$$
fT^{pool+str} = rp c + payoff{str} - D + IL(PT)
$$
其中$rp c$是池支付的回报。

• 推理与假设：

- 欲使总PnL非负，选择合适的$qc, qp$、执行价及成本是关键。
- 理论上理想的q为$IL''(K)$，但现实中改为区间端点的执行价，满足一定的不等式约束即可保证区间内对冲[page::2]。

6. 图表解读——对冲策略PnL对比（图2，第3页）

• 图表描述：

- 图中展示了无常损失PnL（蓝线）与对冲策略PnL（红线）随价格演变的对比。

• 趋势解析：

- 对冲策略PnL曲线整体位于无常损失曲线上方，表明策略在大部分价格区间内降低了潜在亏损，亏损幅度明显减小。
- 曲线在区间中心附近接近零，体现策略覆盖了核心价格波动区间。

• 联系文本：

- 通过图示直观证明了长跨式策略在预设区间内可有效对冲无常损失，验证了数学不等式条件的实用性。
- 体现了虽然成本$D$存在，但整体风险得到有效缓释[page::3]。

7. 对冲策略的约束与条件（章节4-5）

• 关键不等式条件：

- $$
\begin{cases}
\frac{c}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{Pi P0}} - \frac{1}{P0} \right) \leq qp \\
D - \min\{IL(Kc), IL(Kp)\} \leq rp c \\
-\frac{c}{2}\left( \frac{1}{\sqrt{Ps P0}} - \frac{1}{P0} \right) \leq qc
\end{cases}
$$
- 其中$qc, qp$为期权购买数量，$D$为成本，$rp$为池收益率，$c$初始资本。

• 意义解析：

- 这些不等式保证在价格区间$[Pi,Ps]$内，期权的买入数量足以对冲外生价格变动带来的无常损失。
- 第二条反映期权成本不能超出池带来的收益保障整体非负。

• 实际限制与讨论：

- 该理论策略受限于加密市场上期权产品缺乏深度和流动性，数据可用性不足，买入连续执行价的期权组合成本高昂。
- 文章建议以单点执行价的两档期权为替代，实用性更强[page::3]。

8. 结论与市场现实考量（章节5）

• 总结：

- 研究建立了无常损失的明确数学形式，并提出了基于欧式期权静态复制的对冲方法。
- 证明了理论上通过适量看跌和看涨期权买入组合，可在指定价格区间覆盖无常损失风险。
- 鉴于市场衍生品流动性限制，该策略目前在加密货币市场的应用受限，但为未来加密衍生品市场发展提供了应用基础。

• 对市场的启示：

- 随着加密期权市场的发展，提供LP风险管理工具是市场成熟的必然趋势。
- 此研究框架可作为设计更复杂对冲与风险管理产品的理论基石[page::3]。

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三、图表深度解读

图1：无常损失曲线（第2页）

• 描述：图示了无常损失随ETH美元价格变化的关系，无常损失在初始价格$P0$处为0，价格远离$P0$时迅速变为负值（亏损）。

- 趋势解读：
- 曲线明显呈现对称性，价格远高或远低于初始价格时，损失加大。
- 体现流动性池面临的核心风险，即价格大范围波动时，LP价值相对持币策略显著降低。

• 图-文联系：

- 直接验证了无常损失数学表达的合理性。
- 为后续期权静态复制与对冲策略提出理论依据。

图2：对冲策略与无常损失的PnL对比（第3页）

• 描述：显示无常损失PnL（蓝色）与运用期权对冲后策略的PnL（红色）随价格变化的对比。

- 趋势解读：
- 红色PnL曲线多数时间保持高于蓝色，无常损失减少。
- 策略在价格区间内大幅缩小了亏损，验证了长跨式对冲的有效性。

• 图-文联系：

- 证明了不等式条件足以实现在价格区间内对冲无常损失的设计目标。
- 反映了对冲策略成本和收益的权衡，提示实际应用中的资金配置需求。

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四、估值方法与金融模型解析

• 静态复制模型：

- 引用了经典的期权静态复制公式，将任意二维可微价格函数表示为欧式期权跨执行价密集组合与债券组合。
- 复制基于无套利价差平衡和期权价格隐含的未来价格分布。

• 无常损失纳入期权模型：

- 通过对无常损失函数的二阶导分布，理论上需买入密集执行价的puts和calls。
- 实际采用两个执行价的看跌和看涨期权组成的“长跨式”策略对冲，显著简化了复杂性。

• 核心参数与假设：

- $c$是初始投资资本，$P0$初始价格，价格区间$[Pi, Ps]$确定对冲有效区间。
- 期权价格和成本为$D$，池收益率$rp$需能覆盖对冲成本才能确保收益正值。
- 假设期权市场价格合理且有足够流动性以建立策略。

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五、风险因素评估

• 市场流动性不足：

- 文章指出加密期权市场流动性差，连续多档执行价期权难以获得，导致理论复制难以执行。

• 策略成本风险：

- 对冲期权的总成本$D$可能超过池收益，造成净亏损风险。

• 价格极端波动风险：

- 策略有效区间限定，价格超出该区间时对冲失效，仍面临损失。

• 基础模型假设风险：

- 无常损失函数的准确性基于CPM模型完备，市场实际可能受交易摩擦、费用、滑点等影响。

• 缺乏动态对冲：

- 本文提出为静态复制，未涉及动态调整策略，对市场快速变化敏感度有限。

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六、批判性视角与细微差别

• 理论与实践的隔阂：

- 文章理论框架严谨，但对市场现实的适用性持谨慎态度。强调了流动性、交易成本的约束。

• 策略设计局限：

- 长跨式的双点执行价策略为折中，未完全复制无常损失曲面的风险敞口，可能存在局部对冲不足。

• 模型假设的单一资产对价格关系：

- 采用恒定乘积模型，适用范围为特定AMM。不同AMM模型可能存在不同无常损失特性。

• 对冲收益率假设依赖性：

- 假设池给出稳定收益率$r_p$，实际会受市场行情和交易活动波动影响，可能导致成本覆盖问题。

• 未考虑交易手续费对LP净收益影响：

- 交易手续费可对无常损失缓解起积极作用，但本文未纳入此因素建模。

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七、结论性综合

本文系统论述了恒定乘积做市商模式下流动性提供者面临的无常损失问题，利用传统期权静态复制理论，从数学上揭示了无常损失作为资产价格函数的内在结构，并构建了无常损失用欧式看涨与看跌期权结合纯折现债券组合静态复制的模型。进一步，针对加密市场衍生品的流动性不足，提出实际可行的长跨式期权组合策略，通过限定价格变动区间，购买两个执行价的看涨和看跌期权，成功构筑了对冲无常损失的静态结构。

图1可视化了无常损失的典型形态，价格偏离初始点即迅速引发资产价值的相对下降，加剧了风险暴露。图2则直观验证了长跨式策略在选定价格范围内显著缩小无常损失导致亏损，提高了LP的资金安全性。

报告的估值方法基于DCF（折现债券）加以密集期权组合的价格结构，融合了数学金融经典文献[1][5]，为这一新兴领域提供了理论基础和实践指引。风险识别全面，论述中展现了策略应用的有限性与未来发展潜力。整体来看，文章不仅深化了无常损失机制理解，也为加密资产流动性风险管理提供了创新思路。

作者态度谨慎，明确指出理论策略的市场实现受到衍生品市场结构制约，期待日后随着市场完善推动策略落地。

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参考文献

报告结尾详细罗列了关键引用文献，包括Ross（1976年）、Breeden & Litzenberger（1978年）、Hanson（算法博弈论）、Carr & Madan（期权波动率理论）等，理论根基稳固且切合主题现实。

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综述总结

本报告为去中心化金融中流动性提供者量化管理无常损失风险提供了极具价值的数学模型及对冲策略。通过期权组合复制方法，描绘了实现无常损失静态对冲可能的路径，在资产价格动作的区间定义中借助长跨式期权策略调控风险敞口。尽管实际操作面临流动性和成本的双重挑战，报告明确其理论与实践的界限，为未来加密衍生品市场的发展及LP风险控制奠定了坚实基础。

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报告