Markowitz方差公式的隐含假设及其局限性 [page::1][page::6][page::7]

• Markowitz将组合随机收益线性表示为证券随机收益的加权和，隐含假设所有证券的连续交易量均为常数，忽视了交易量的波动性。

- 该假设简化了组合方差表达式，但限制了其对现实市场的描述能力，可能导致组合风险评估偏差。

• 作者通过观察市场真实交易数据，指出因忽略交易量波动，Markowitz方差可能显著高估或低估组合风险。

基于市场交易数据重构组合收益序列的方法 [page::2][page::3][page::4][page::5]

• 投资者持有固定组合不交易，通过观察市场上证券的交易价格和交易量序列，构造等价组合交易时间序列。

- 利用该归一化交易量和对应价格，实现组合价格的VWAP及随机收益的定义，体现了真实市场交易动态。

• 组合随机收益表达式中额外引入了随机权重因交易量波动而变动，偏离Markowitz的线性表达，通过该方法捕捉了市场交易量波动的影响。

市场基础组合方差的定义及与Markowitz方差的差异 [page::7][page::8]

• 作者给出基于组合交易价值和交易量的协方差计算，组合方差公式包含交易价值变异系数与交易量变异系数，以及两者协方差项。

- 通过Taylor展开，以Markowitz方差为零阶近似，加入交易量波动修正项定量刻画误差来源。

• 结果表明，交易量波动导致传统Markowitz方差在风险估计上可能产生严重偏差，提醒投资者关注交易量波动的影响。

结论与投资启示 [page::8]

• Markowitz组合理论的经典表达建立在忽视交易量波动的基础上，这一简化推动了组合优化的发展，但存在风险低估或高估的隐患。

- 金融市场的真实交易量波动对组合风险的影响不可忽视，投资者和资产管理者应考虑使用市场基础的组合方差评估来实现更准确的风险管理。

• 该研究从市场微观结构视角修正组合方差理论，促进组合风险度量的理论完善与实务应用。

对报告《Unwitting Markowitz’ Simplification of Portfolio Random Returns》的详尽分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 标题： Unwitting Markowitz’ Simplification of Portfolio Random Returns

- 作者： Victor Olkhov

• 发布机构及背景： 独立研究者，莫斯科，俄罗斯；报告基于对Markowitz 1952年论文的理论性分析与扩展，涉及经典投资组合理论的数学基础。

- 日期： 版次未标明具体发表时间，但参考文献包含2025年的工作，说明为近期研究。

• 主题： 该报告聚焦于现代投资组合理论创始人Markowitz在其1952年论文中对随机投资组合收益的简化处理，特别是其对交易量波动忽视所导致的理论限制，提出投资组合收益方差估计中被隐含的简化假设和其可能产生的误差。

核心论点： Markowitz标志性的投资组合随机收益与证券收益线性关系及其方差表达式是基于一个未被刻意说明的假设——即所有交易的成交量在给定区间内均为常量。真实市场中交易量是随机波动的，该波动对投资组合收益的波动性影响显著，忽略这一点会使得传统的Markowitz投资组合方差估计偏离市场实际情况。报告提出基于市场真实交易量波动的投资组合方差估计方法，并指出Markowitz方差可能显著高估或低估真实风险。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要 (Abstract)

摘要明确表达了研究目的：质疑并修正Markowitz（1952）关于投资组合随机收益及方差的经典公式，指出其隐含了成交量固定的假设；进而提出一种基于市场实际交易量波动的模型，能够准确刻画市场投资组合收益和风险特征。强调了Markowitz近70年来未被注意的这一简化假设可能导致风险度量误差。

• 关键词： 投资组合方差、投资组合理论、随机成交量。

- JEL分类： 计量经济学、货币理论、国际金融、金融机构与市场等。

该段落奠定了文章整体的技术和经济视角基调。[page::0]

2.2 引言 (1. Introduction)

引言部分回顾Markowitz 1952年投资组合理论核心公式：

• 标准收益公式：

\[
R(t,t0) = \sum{j=1}^J Rj(t,t0) Xj(t0)
\]

• 随机收益表示：

\[
R = \sum{j=1}^J Rj Xj(t0)
\]

• 方差由协方差矩阵构成：

\[
\thetaM(t,t0) = \sum{j,k} \theta{jk} Xj Xk
\]

批判点在于指出Markowitz在从平均收益转向随机收益时，未显性说明所作的关键假设，即交易量的恒定性。同时暗示这种假设掩盖了市场真实中的随机交易量波动，对实际风险估计造成局限。

作者有意只研究公式推导与理论限制，未涉及具体资产组合选择问题，强调该简化模型可能导致对市场波动的误读。[page::1]

2.3 Markowitz的无意近似 (2. Unintentional Markowitz’s approximation)

本节通过构建投资者不再交易已有投资组合，观察市场交易数据的时间序列来反推投资组合收益及波动的方法。

• 定义均值收益：

\[
Q{\Sigma}(t) = \sum{j=1}^J Rj(t,t0) Cj(t0)
\]

等于所有证券平均收益按初始投资值权重加总。

• 引入理论交易时间区间 \(\Delta\)，划分为N个子区间，假设连续交易间隔固定 \(\varepsilon\)，实现交易时间离散化。
• 定义交易的价格、成交量和成交额为时序数据：\(Cj(ti)\), \(Uj(ti)\), \(pj(ti)\)，满足基本计算关系：

\[
Cj(ti) = pj(ti) \cdot Uj(ti)
\]

并计算过去区间内的成交量加总和成交额均值。

• 通过成交量加权平均价格（VWAP）方法定义证券的“平均价格”：

\[
pj(t) = \frac{C{\Sigma j}(t)}{U{\Sigma j}(t)} = \frac{\sum pj(ti) Uj(ti)}{\sum Uj(ti)}
\]

• 返回到投资组合时间序列，确认对每只证券的VWAP与成交量的依赖，为后续提出的投资组合价格及随机收益刻画奠定基础。

报告明确提出：只有假设所有交易量不变时，Markowitz的线性收益公式成立，否则存在额外依赖于交易量随机性的项未被纳入传统分析[page::2][page::3]

2.4 投资组合交易时间序列构造 (3. Time series of trades with the portfolio)

本节创新性地构造“投资组合作为单一证券”的交易时间序列，具体定义如下：

• 证券初始单位价格与数量关系：

\[
Cj(t0) = pj(t0) \cdot Uj(t0)
\]

• 投资组合总价值与总份额：

\[
Q{\Sigma}(t0) = \sumj Cj(t0); \quad W{\Sigma}(t0) = \sumj Uj(t0)
\]

• 投资组合每份额价格定义为证券价格与相应份额的加权和：

\[
s(t0) = \sumj pj(t0) xj(t0); \quad xj(t0) = \frac{Uj(t0)}{W{\Sigma}(t0)}
\]

• 利用比例因子 \(\lambdaj = \frac{Uj(t0)}{U{\Sigma j}(t)}\) 标准化市场成交量与成交额，使得正规化后交易总量与投资组合持有份额一致。
• 投资组合层面成交额与成交量定义为各证券正规化成交额与量加总：

\[
Q(ti) = \sumj cj(ti), \quad W(ti) = \sumj uj(ti)
\]

其中 \(cj(ti) = \lambdaj Cj(ti)\), \(uj(ti) = \lambdaj Uj(ti)\)。

• 重要等式总结为投资组合交易量总和等于其份额总数，交易价格通过类似VWAP方式定义：

\[
s(t) = \frac{Q{\Sigma}(t)}{W{\Sigma}(t)} = \frac{1}{W{\Sigma}(t0)} \sumi s(ti) W(ti)
\]

该方法极具创新意义，将多资产组合归一化为单资产的价格与成交量视角，明确了交易量随机性的重要性。[page::4][page::5]

2.5 投资组合的均值与随机收益定义 (4. Mean and random portfolio returns)

本节再次强调：

• 投资组合随机收益定义为单交易时点交易价格相对于起始时点价格的比率：

\[
R(ti,t0) = \frac{s(ti)}{s(t0)}
\]

• 将投资组合价格拆解为旗下证券价格的加权和：

\[
s(t) = \sumj pj(t) xj(t0)
\]

并且回归到Markowitz均值收益表达式，即（1.1）：
\[
R(t,t0) = \sumj Rj(t,t0) Xj(t0)
\]

• 然而针对随机收益，作者揭示了Markowitz经典公式遗漏的一项，即成交量的随机波动对随机收益分解的影响。
• 新的随机收益表达式为：

\[
R(ti,t0) = \sumj Rj(ti,t0) \cdot \frac{xj(ti)}{xj(t0)} \cdot Xj(t0)
\]

其中，

\[
xj(ti) = \frac{uj(ti)}{W(ti)} = \frac{Uj(t0)}{U{\Sigma j}(t)} \cdot \frac{Uj(ti)}{W(ti)}
\]

• 只有当所有 \(\{Uj(ti)\}\) 恒定时，上式中 \(\frac{xj(ti)}{xj(t0)} = 1\)，随机投资组合收益回归为Markowitz的简化公式。

由此提出标志性的结论：Markowitz表达式固然简洁，但其背后的核心假设即交易量恒定性，是市场中极难满足的理想化条件[page::5][page::6][page::7]

2.6 以市场数据为基础的投资组合方差 (5. Market-based portfolio variance)

本节介绍新型基于市场成交数据的投资组合方差表达：

• 定义投资组合市场方差为：

\[
\Theta(t,t0) = \frac{\psi^2(t) - 2 \varphi(t) + \chi^2(t)}{1 + \chi^2(t)} R^2(t,t_0)
\]

• 其中，参数定义：

- \(\psi^2(t)\)：成交额波动的变异系数平方；
- \(\chi^2(t)\)：成交量变异系数平方；
- \(\varphi(t)\)：成交额与成交量的协方差标准化。

这些参数分别按成交时间序列统计计算，例如：
\[
\psi^2(t) = \frac{\mathrm{cov}\{Q(t),Q(t)\}}{Q^2(t;1)}, \quad \chi^2(t) = \frac{\mathrm{cov}\{W(t),W(t)\}}{W^2(t;1)}
\]

其中支撑具体计算的历史交易数据均被用作统计样本。

• 该模型通过对成交量波动的显式考虑，扩展了对投资组合风险的刻画；传统Markowitz方差为零订单近似（成交量波动系数\(\chi = 0\)）。
• Taylor展开式（5.8）表明，成交量波动参与项可能导致投资组合风险的显著低估或高估，显示了传统模型敏感性的边界效应。

通过该市场方差度量，投资组合风险将更贴近真实市场环境中交易行为的随机性影响。[page::7][page::8]

2.7 结论 (6. Conclusion)

总结阐述了两项要点：

• Markowitz投资组合随机收益线性表达内隐假设导致的理论局限以及该假设的经济含义。

- 作者提出了基于真实市场交易量波动的方差估计框架，能更准确反映组合风险，指出Markowitz方差可能显著偏离市场真实风险。

• 提醒投资者和组合管理者，在风险度量时最好考虑成交量波动的风险贡献，避免因简化模型引发的误判。

此结论对于精细风险管理和学术研究皆具有启发意义。[page::8]

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3. 图表深度解读

报告全文未包含图表、表格或图片，全部分析基于文本数学公式和推导结果。

• 关键数学表达式： 均围绕等式(1.1)-(1.4)、(2.1)-(2.6)、(3.1)-(3.12)、(4.1)-(4.4)、(5.1)-(5.8)等，涵盖了投资组合和证券的价格、成交量、成交额，及其对应的收益率和协方差。

- 没有视觉图示，故图表分析替代为对上述方程的解构与含义阐释。

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4. 估值分析

该报告并非典型的财务估值报告，未涉及传统的目标价、DCF估值、多因素模型估值等投资建议或估值方法。其核心是理论模型的数学推导和对经典理论的批判性修正。

• 估值分析主要体现为方差度量模型构建：Markowitz方差模型的经典形式与基于实际市场成交量波动的方差模型的对比。

- 通过统计计算成交额和成交量的方差及协方差，实现对投资组合方差的动态刻画。

• 反映了不同假设条件下风险估计的敏感度和偏差范围。

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5. 风险因素评估

报告实际上聚焦于风险度量模型的准确性和潜在偏误本身，识别的“风险”是理论风险估计误差，体现为：

• 因忽略连贯交易量的随机变化而产生的风险低估或高估。

- Markowitz模型隐含以固定成交量为假设，这在真实市场中几乎不成立，导致传统风险度量偏差。

• 市场交易量的高度随机性和波动性增添投资组合收益本身的变异性，未被传统理论捕捉。
• 潜在影响： 盲目采用Markowitz方差可能严重误判投资组合的真实风险水平，影响投资决策和风险管理的有效性。

- 报告未明确缓解策略，但隐含建议投资者应采用考虑成交量随机性的市场方差模型来校准风险。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告的批判在于拆解Markowitz公式中未明言的经济假设，极具学术价值。

- 对Markowitz经典理论的挑战基于对成交量随机性的实证经济合理性，没有对其基本理论架构整体进行否定。

• 报告未强调各种市场环境中成交量变化的具体统计特征，也缺少实证数据验证，理论推导尚需结合实际数据进一步确认。

- 该理论框架对流动性、市场微观结构的分析侧重，可能在复杂市场结构中存在进一步假设或限制。

• 文章继续保持客观态度，未将该修正直接推广为投资组合构建策略，而是作为理论模型框架下的关键补充。

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7. 结论性综合

本报告严谨地揭示了Markowitz 1952年投资组合理论中的一个重要但未被注意的隐含假设——证券交易的成交量在选定观测区间内保持不变。该假设简化了投资组合随机收益的线性表达，使得投资组合方差可用证券的方差与协方差的加权和简单计算。报告指出该简化在实际市场条件下并不成立，市场成交量的高度随机波动对投资组合的回报风险有重要影响，传统的Markowitz方差计算忽略了这一点。

通过构造基于市场成交时间序列的投资组合交易模型，作者提出了一套更加贴切反映市场动态的投资组合随机回报和方差计算框架，显式包含了成交量的随机性。推导出新的投资组合回报表达式和方差公式，展示成交量波动因子对风险估计的贡献。通过数学表达式(5.1)等，阐明了成交量波动对组合风险可能产生的放大或减弱效应。

报告强调尽管Markowitz理论极大推动了投资组合管理的理论和实践发展，但忽视这一成交量交易量随机性的简化可能导致风险的严重估计偏差，投资管理者和学术研究者应对此保持警觉，并考虑更细致的风险评估方法。

从公式与推导的逻辑严密性来看，报告补充了经典投资组合理论中一个关键而易被忽视的变量，将市场微观交易结构与宏观风险计量有机结合，为未来资产配置模型与风险管理开辟了新方向。

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总结

Victor Olkhov的报告《Unwitting Markowitz’ Simplification of Portfolio Random Returns》系统剖析了Markowitz经典投资组合理论中对随机收益表达的隐含简化假设——固定交易量，提出了基于实际市场成交量波动的投资组合随机收益与方差的改进模型。这种基于市场交易数据的风险度量法更贴近真实金融市场动荡特征，提示经常使用Markowitz方差模型的投资者必须认知其局限，谨慎评估由成交量波动带来的风险变异。

该研究理论严谨，公式详尽，为投资组合风险分析提供了重要补充和方向指引，具有较高的学术和应用价值。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8]

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