文章构架及核心目标 [page::0][page::1]

• 探讨同时建模金融市场、死亡率及保单行为的保险-金融统一框架，解决长期寿险产品（如变额年金）的定价问题。

- 重点惩治基于多随机时间的渐进滤波技术和仿射过程，确保定价无保险-金融套利（IFA-free）且具备计算可行性。

保险-金融市场与IFA无套利理论 [page::1][page::3]

• 建立两个滤波系统：公开信息过滤族$\mathbb{F}$和保险公司内部信息$\mathbb{H}$，前者捕获市场信息，后者包含个人寿命等保密信息。

- 采用Artzner等(2024)的IFA无套利理论，定义适用于结合保险与金融市场的等价鞅测度$P^$，并阐释其通过$IQA$度量市场一致性。

变额年金合同结构及支付说明 [page::4][page::5]

• 合同包含多期保费支付、以股价驱动的基金账户，设有最低累计保证（GMAB）、退保利益（SB）和死亡利益（DB）。

- 退保与死亡时间均作为随机停止时间描述，使用强度模型（随机离散时间下），且退保强度与死亡强度可以依赖于金融市场状态。

IFA无套利价公式及分解 [page::6]

• 合同价值拆分为支付流、GMAB、SB和DB四部分，均在$P^$条件下计算结合股价和随机停止时间的期望，详见Proposition 3.1。

滤波扩张与随机时间建模 [page::7][page::9][page::10]

• 应用渐进滤波扩张理论对单一及多个随机停止时间展开，特别基于Azéma超鞅捕获存活概率，利用条件独立或依赖的指数到达时间模型处理退保/死亡。

- 对两个停止时间退保$\tau^s$、死亡$\tau^m$，使用联合生存函数及相关分解公式实现保险契约事件的概率刻画。

离散时间仿射过程建模框架 [page::11][page::12]

• 设主驱动仿射过程$Z=(X,Y)$，$Y$影响金融市场股价，$X$及$Y$影响死亡和退保强度，股价建模为指数仿射结构。

- 在$P$测度下模拟保险相关变量，在$Q$测度下为无套利风险中性测度，保证金融市场鞅性质且保持仿射性质。

多随机时间下的仿射定价公式 [page::12][page::15]

• 提供对于单一随机停止时间的定价递归表达，包括死亡后现金流和存活支付，利用仿射特性进行迭代计算。

- 对条件独立的死亡和退保随机时间，给出累积强度的线性组合仿射表达，进而构造估价递归方程，兼顾不同时间区间与状态依赖。

变量年金各组成部分价差解析表达及数值方法 [page::16][page::19]

• 提出赎回利益和最低累计保证以及死亡利益完善的价差表达式，赎回利益利用基金账户拆分及换手率，死亡利益涉及复合期权的近似，采用傅里叶逆变换技术完成评价。

- 相关公式中嵌入资金、强度及股价指数仿射函数的递归表达，确保有效数值实现和市场一致性。

主要贡献总结 [page::20]

• 本文首次提出基于多随机停止时间的离散时间仿射过程框架，严格保证保险-金融无套利。

- 完整结合金融市场价格动态与保险风险特征，发展灵活且可解的变额年金含保证产品估价与风险管理理论。

详尽分析报告：《INSURANCE PRODUCTS WITH GUARANTEES IN AN AFFINE SETTING》

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题：Insurance Products with Guarantees in an Affine Setting

- 作者：Raquel M. Gaspar 和 Thorsten Schmidt

• 发布机构：ISEG Research (里斯本经济与管理学院) 及 Freiburg 大学数学随机系

- 发布日期：未明确标注，引用2024年文献，最晚至2025年作者论文，反映为近期研究

• 研究主题：针对嵌入担保的中长期保险产品（如可变年金）进行统一的保险-金融框架内估值，提出基于仿射过程（Affine processes）的建模方法，以风险无套利（无保险-金融套利，IFA-free）为核心，实现对金融市场、寿命及保户行为的联合建模及公式显式表达。

核心论点：

• 中长期保险产品需参与股市盈利，同时通过嵌入担保消除下行风险，带来复杂的估值问题；

- 报告提出一个广义的保险-金融市场模型，涵盖财务市场、寿命随机性与保户行为（如退保）；

• 采用仿射过程为核心建模工具，因其灵活且计算上可控，推导出变量年金及相关合同的明确估值公式；

- 允许寿命和股市动态之间存在依赖，且退保强度作为驱动仿射过程的函数，与市场表现相关；

• 使用filtration enlargement（信息滞后/扩展）技巧新颖地处理含多达两个及以上停止时间的合同估值问题，结合理论与实践。

总体，报告在理论深度和实用性之间做了较好权衡，推陈出新地将金融市场和保险市场信息通过仿射模型和逐步信息扩展的手法加以有机融合，实现了长期保险产品的无套利定价及风险管理方法创新[page::0,1,4] [page::11-13].

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（第0页）

• 指出设计中长期退休保险产品的核心难题：寿命不确定性、低利率环境和资产回报波动；

- 变量年金类产品结合股市参与和内嵌担保，因此估值风险极大，尤其是远期庞大时间窗口；

• 提出统一、灵活且具解析显式表达的保险-金融估值框架，主推离散时间设置和filtration enlargement技术；

- 仿射过程作为模型基础，可处理寿命与股市的耦合依赖，且对退保强度建模引入市场关联；

• 本文首次如此深入系统地将filtration enlargement应用于该类保险产品估值。

推断的价值主张是：既要保证估值无套利，也着眼现实计算可行，紧贴实务需求[page::0].

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2.2 保险-金融市场与无套利估值（第1-3页）

• 明确双重信息体系：公共信息$\mathbb F$（股价等）、保险公司内部信息$\mathbb H$（寿命、生理状态等）; $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{H}$；

- 定义折现后股票价格过程$S$及交易策略$\xi$，假设存在等价鞅测度集$\mathcal M{e,b}(S,\mathbb F)$，确保无金钱套利；

• 刻画保险市场：以保险配置$\psi$复合多个个体合同，个体合同利益$Xt^i$条件独立并同态，满足方差一致性（假设2.1），反映同质群体；

- 保险-金融策略为$(\psi,\xi)$组合，其价值极限定义协同价值；

• 定义保险-金融套利（IFA），无套利则满足对应的No-IFA（NIFA）条件；

- 定理2.1（引用Artzner et al. 2024）：存在适当的等价测度$P^$（兼容股票鞅测度）并且保费满足条件时，无IFA；

• 该框架通过$P^ = Q \odot P$定义，先在物理测度$P$投影保险信息，再在风险中性测度$Q$映射金融市场，实现估值无套利。

该章节奠定基础，确保后续估值以稳健的无套利及市场一致性原则指导，有极强理论保障性[page::1-3]。

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2.3 保险产品含担保的无套利估值（第4-6页）

• 详细介绍变量年金（VA）典型构造及三大核心保证条款：

- 保底累计收益（GMAB）
- 退保利益（SB）
- 死亡利益（DB）

• 设定支付时间网格$Ti$及贴现因子$\beta(t,T)$，强调贴现因子大多为确定性，与研究关注的风险事件不直接相关；

- 定义累积担保金额$K{T}^{\pi} = \sumi e^{\delta(T - Ti)}\pii$，代表保证利率$\delta$下的合约保证累积额；

• 退保罚金$p{SB}(t)$定义为时变函数，体现早期退保损失大，后期趋近于0的市场习惯；

- 寿命$\tau^m$和退保$\tau^s$随机停止时间均采用强度模型（intensity-based），基于同质群体基础和离散时间；

• 退保权只在离散时间点执行，若$\tau^s$发生在$T{i-1}<\tau^s \leq Ti$，效力在$Ti$体现；

- 给出No-IFA的综合估值规则（Proposition 3.1），变量年金价值分解为四项（支付价值$\Pit$、GMAB、死亡利益DB及退保SB），均通过等价无套利测度$P^$的条件期望表达，以保险与金融信息过滤见$\mathcal{F}t$为条件核。

本节将价格构建模块化，体现现实保险产品结构的灵活性和复杂性，并以数学严谨的形式编码风险，囊括多维度随机因素，奠定了评分与计算基础[page::4-6].

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2.4 渐进信息扩展技术（Progressive filtration enlargement）（第7-11页）

• 为处理保险信息中的随机寿命$\tau$和退保$\tau^s$，提出使用信息过滤渐进扩展技术；

- 基础假设：$\mathbb{H}$为$\mathbb{F}$通过随机时间扩展生成，且存在“互斥原子”结构（atoms property），即事件$\{\tau>t\}$在两个过滤中的交集相等；

• 引入阿泽玛超鞅（Azéma supermartingale）$Gt = P^(\tau>t|\mathcal{F}t)$，反映在较小过滤上的存活概率；

- 通过Proposition 4.1精准刻画$\mathbb{H}$条件下的随机终止时间支付价值表达式，将多维随机事件分解为“其时刻之前已知”和“其后发生概率加权期望”两项，有利于计算；

• 给出$d$个随机时间多维推广，定义一族互斥集$Pt^i$，对应每种不同的寿命及退保状态组合，推广对应Azéma型函数$Gt^i$和期望计算；

- 进一步分析两个停止时间$\tau^m$（寿命）和$\tau^s$（退保），并允许其通过“存活共存生存Copula”产生条件依赖，捕捉金融事件下的交叉风险行为，建模更贴近真实；

• Proposition 4.5给出含两停止时间的支付的条件期望计算关键公式，为后续模型定价提供理论工具。

该部分构筑结合随机时间及公共信息的有机联合计算核心，基于深厚随机过程学理论使复杂保险事件体系化、可分解，可高效估算[page::7-11].

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2.5 仿射模型框架（第11-16页）

• 仿射过程为高度灵活且带有计算可行性的随机过程，适合捕捉寿命强度和金融市场的复杂动态；

- 离散时间仿射过程被引入，具备复合跳跃机制，更贴近寿命和退保这种离散事件本质，区别于文献中常用的连续仿射过程；

• 状态变量$Z = (X,Y)$划分为市场可公开信息$Y$与隐含保险信息$X$，两者均采用仿射特性，定义其特征函数为指数-仿射形式；

- 假设股价过程$St = \exp(a0 t + a \cdot Yt)$，因此股票价格为指数仿射驱动；

• 双重测度体系下，分别对$P$与$Q$两测度下仿射过程参数进行明确定义，确保市场无套利，$Q$为等价鞅测度保持仿射性[page::11-12]；

- 对单一停止时间$\tau$，建模其累计强度$\Lambdat$作为状态过程$Z$的仿射变换，满足递归性质，提供停止时间相关支付的明确计算式（Proposition 5.1），应用不断迭代的指数-仿射映射处理期望；

• 对双停止时间（如$\tau^m$与$\tau^s$）设立条件独立假设，累计强度均由仿射变量线性组合构成，利用Copula描述两停止时间的联合分布；

- 递推定义“参数函数”$\phi, \psi$，分别对应公式中期望与递归结构，连接状态变量与指数-仿射的条件期望关系；

• 推导双停止时间下兑换现金支付期望的明确公式（Propositions 5.2, 5.3, 5.4, 5.5），涵盖带分子分母股价比率的期望计算。

仿射框架极大减轻计算复杂度，允许一体化并联立金融资产、寿命及退保模型，效率与灵活性兼备，为实际估值操作奠基[page::11-16]。

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2.6 变量年金估值细节（第16-20页）

• 根据之前理论基础，将变量年金的退保利益、死亡利益和保底利益进行细致的分解估值；

- 利用之前引入的仿射参数表达对未来支付的贴现期望，具体表达给出（Propositions 6.1、6.2、6.3），用以计算各组成部分的价值；

• 退保利益价值由级数求和式给出，表达关涉基础基金价值和退保概率差分，显式依赖仿射过程初始值和系数参数；

- 保底利益计算复杂，等价于股票期权定价问题，采用傅里叶反演积分法，基于仿射过程特征函数，实现在仿射框架的可计算性；

• 死亡利益因涉及寿命和退保交叉关系，表达更复杂，结合断点处概率变化，对相关指数类型期望递推计算；

- 充分考虑了单笔支付和多笔投资情境，明晰展现不同产品设计对应估值的计算路径。

本节体现了报告将纯数学理论与保险产品实际设计需求融合，实现估值模型向实务工具的转化[page::16-20]。

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3. 图表与图式深度解读

报告主体内容以数学推导与公式为主，无图表或图片。所有关键的数据、函数和变量均以公式形式呈现，详细定义了订单递归、条件期望及仿射参数函数，展现高度结构化与系统化。

基于该文本性质，分析重点集中于核心公式结构、递推关系以及概念诠释上的理解，如：

• Theorem 2.1及Propositions 3.1, 4.1, 4.4, 4.5为价差和无套利的基础逻辑；

- 递推公式(47), (53-54), (59)定义了关键参数$\phi, \psi, \Phi$，直观展示了仿射模型迭代计算基础；

• 傅里叶积分公式应用于期权类表征及仿射的特征函数表达(第18、19页)，确保对最大函数型期权的估价；

- 双停止时间联合概率使用Copula模型清晰定义，使得复杂多状态期望分解可行。

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4. 估值分析

• 报告采用风险中性测度下的条件期望法（Theorem 2.1中的$P^{} = Q \odot P$测度）进行估值，实现保险市场与金融市场的统一评价；

- 仿射过程法：建模状态变量的马克可夫链且特征函数为指数-仿射形式，大大提升计算效率；

• 退出时间建模：退保与寿命两类随机停止时间均采用基于仿射变量的累计强度定义，保证计算解析性及灵活控制其对金融因素的依赖；

- 多停止时间法允许公式整合复杂产品——保证、退保、死亡利益等并行实现。

• 利用仿射递归关系，重点输入参数包括：

- 仿射过程参数：$\alpha, \beta, \gamma$ (under $P$) 及 $AQ, BQ$ (under $Q$)；
- 股价指数参数$(a0, a)$；
- 累计强度线性系数$(b_0, b, c)$针对寿命和退保；
- Copula模型参数（如有）确定停止时间依赖；

• 估值整体通过迭代计算求得$\Phi, \psi$参数进而计算贴现期望，能离散时间内高效反复计算；

- 复合产品估价（GMAB等）通过期权傅里叶逆变换技术处理，兼顾市场约束和保险特性。

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5. 风险因素评估

• 主要风险因素体现在：

- 市场风险：股价变动及利率影响，建模中通过仿射过程严重依赖$Y$分量，含股价指数随时间变动风险；
- 寿命风险：寿命强度$\lambda^m$随市场和其他因素变化，且存在寿命-市场依赖，COVID-19疫情示例即支持此依赖；
- 退保风险：退保强度$\lambda^s$视为驱动过程函数，内部市场影响明显；
- 退保与寿命之间的依赖关系可能带来非线性风险扩大；
- 估值风险：估计模型参数误差，特别是仿射参数、强度过程及Copula依赖结构；

• 体系中的无套利约束使得价格模型具一定风险防控基础，但模型依赖多个层面假设；

- 文献中提及缓解发散风险的做法，包括利用等价测度的调整，强化监控退出触发机制；

• 但报告未显式描述风险缓释方案，只强调建模框架可适应并捕捉复杂风险动态，提示未来需进一步量化风险溢价或资本缓冲。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告采用离散时间，设计上切实贴合保险实际支付日程，但是否适用于连续相关资产、利率模型可能有限；

- 核心仿射模型虽灵活，仍基于强马尔可夫及指数-仿射特性，某些金融市场不规则跳跃或风险因子可能无法被完全覆盖；

• 对死亡和退保时间的条件独立假设显著简化了多个推导，报告虽提及Copula模型处理相关性，但实际复杂度及构造细节尚不充分展开；

- 成本和利润假设未充分讨论，模型主旨强调价值和无套利定价，并未深入商业实践中的成本收益权衡与资本占用；

• 使用傅里叶方法估值复杂期权具理论保障，但对数价格假设和模型参数选取敏感，没展示相关敏感度分析；

- 数据驱动实证分析缺失，尤其是COVID-19相关寿命与市场依赖量化举例仅略提未展开，后续需加强验证；

• 某些符号及公式较为凝练，复杂递推公式若无辅助计算手段，实际操作难度较大。

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7. 结论性综合

本报告提出了一个极富创新性且理论扎实的保险产品估值框架，核心优势如下：

• 通过建立严谨的保险-金融联合市场模型，确保变量年金及相关带担保产品估值无保险-金融套利，符合现代保险计量经济原则；

- 利用渐进信息扩展理论精准处理寿命和退保两个关键随机停止时间，突破传统假设限制，兼容高度市场耦合的风险因素；

• 采用离散时间仿射过程为基础动态模型，既支持离散寿命过程，又满足金融资产价格建模需要，实现联合状态的解析可解性，利于数值实现；

- 明确展示了支付、保底累计收益、退保利益、死亡利益的数学价差表达式，且在单一或多笔投资情况下，提供具体计算递推和傅里叶积分估值方法，结合现实合同条款；

• 套用Q⊙P测度框架，先用物理测度模型保险风险，再用风险中性测度解决金融市场风险，实现市场一致无套利价格；

- 报告无图表但核心数学公式清晰丰富，完整覆盖中长期保险产品估值复杂性和实用操作路径；

• 虽有一定模型假设及理论浓度，可能限制模型普适范围和实操难度，但整体为学术界和保险业提供了一个强大框架，推动保险产品定价向融合金融与保险风险的统一层面迈进。

总的来看，作者意见明确，基于严密的无套利原理，倾向使用仿射过程及信息扩展技术，对变量年金保险产品的带担保估值实行市场一致、风险敏感，且具备实计算力的准则，旨在提供一套理论完整兼实用的分析工具[page::0-20]。

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参考溯源

本分析中的结论和解读均直接基于报告正文内容，各部分标题和关键论点标注了对应页码。具体对应如下引用格式：

• [page::0,1,2,3] 关于市场架构及无套利理论基础；

- [page::4,5,6] 变量年金产品合同结构及无套利估值分解；

• [page::7,8,9,10,11] 渐进信息扩展和停时分布模型；

- [page::11,12,13,14,15] 仿射过程定义和估值递推公式；

• [page::16,17,18,19,20] 变量年金具体估值公式及傅里叶积分应用。

报告中的关键理论结果、假设条件及递归表达式均反映于各章节中，为本文分析提供完整溯源。

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以上内容为对“INSURANCE PRODUCTS WITH GUARANTEES IN AN AFFINE SETTING”报告的系统、细致、客观及深度解析。*

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