研究框架与数学模型 [page::0][page::3][page::4][page::5]

• 投资者针对多个投资目标构建多资产组合，分别对应具体目标，资金转移附带心理成本（mental costs），反映不同目标间资金流动的惩罚，费用方向非对称。

- 资产价格服从含因子的随机微分方程，组合财富过程包含转移资金的非负约束，且目标截止时间导致状态变量数目变化。

• 以汉密尔顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程系统形式表达价值函数，采用黏性解理论和随机佩隆法(stochastic Perron’s method)证明唯一性和连续性。

数值分析与重要现象 [page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22]

• 两目标模型下，数值方法基于有限差分和罚函数法实现，覆盖正相关(ρ=0.5)与负相关(ρ=-0.9)两类情况。

- 自由边界呈现复杂形态（凸起和缺口），决策区域分别对应资金在目标间转移的区域，转移方向受心理成本和资产相关性影响显著，且最优投资策略依赖两个财富变量。

• 组合间多维分散投资需求突出，资金富余组合可保持股票风险敞口对冲缺口组合风险，负相关资产市场下分散效益更显著，自由边界缺口消失。

- 目标重要性调整（权重加倍）使得资金优先满足高优先目标，低财富区间决策区缩减为线段，存在推迟低优先目标资金配置直到高优先目标期限临近的现象。

数学理论贡献与技术难点 [page::23][page::24][page::28][page::31][page::33]

• 采用随机佩隆法构造随机上包络和下包络，分别为黏性子解和超解，利用比较原理实现值函数连续唯一性证明。

- 主要技术挑战在于状态变量因目标截止逐步减少、转移资金带来的非对称梯度约束，以及财富非负的状态域约束。

• 设计了特定的严格经典亚解辅助证明，对边界处的黏性解性质展开细致分析，并借鉴变换和阻止跳跃策略缓解转移资金叠加难题。

案例参数及回测场景 [page::10][page::11][page::13]

• 两股市场，短期目标$G1=5,000$，长期目标$G2=4,000$，期限$T1=1,T2=2$，无风险利率$r=0$，无折现，心理成本分别为$\lambda=0.3,\theta=0.1$。

- 投资比例编码用于简化策略展示，非借贷、不允许卖空约束下，最终最优策略体现不同财富状态间的动态调整。

金融研究报告《Goal-based portfolio selection with mental accounting》详尽分析报告

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1. 元数据与概览

• 标题：Goal-based portfolio selection with mental accounting

- 作者：Erhan Bayraktar 和 Bingyan Han

• 发布日期：2025年6月10日

- 主题：多目标投资组合选择，结合目标式投资理念与行为金融中的心理账户（mental accounting）效应

• 机构：未明确给出，作者背景推断为金融数学或数量金融领域专家

核心论点：

该报告提出一个连续时间投资组合选择框架，结合了目标式投资和心理账户行为。投资者针对各个特定目标建立独立投资组合，通过对各个目标间资金划转设置“心理成本”（mental costs，类似交易成本但不是真实金钱的损失）来反映资金的非完全可替代性。研究使用偏微分方程框架（特别是Hamilton-Jacobi-Bellman方程系统），并通过随机Perron方法证明价值函数的唯一性和连续性。数值分析展示了投资决策中的复杂边界结构、多目标间依赖性、以及多重层次的资产及目标多样化策略。

报告的主要信息是：传统投资组合理论假设资金的完全可替代性与明确的风险厌恶系数已被行为金融和实际财富管理挑战。投资者更能准确表达目标和优先级而非风险偏好参数。引入心理成本的多目标框架更贴近实际投资决策，且带来不同于经典模型的投资策略特征。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要和引言（第0页-第1页）

• 关键观点：

- 介绍基础：经典均值-方差理论和期望效用理论基于风险厌恶参数明确且资金完美可替代性原则。
- 挑战：实际投资者难以精确估计风险厌恶，资金的心理分类导致了心理账户现象，破坏了完美可替代性。
- 通过心理成本惩罚资金在不同目标间的转移，体现投资者对资金标签的重视。
- 心理成本与交易成本类似，但不导致实际金钱损失。
- 投资组合在不同目标的截止时刻关联切换，状态变量数量随时间动态变化。

• 推理依据：

- 通过现实典型案例（Thaler的渔夫故事）说明资金的“风吹草动效应”，冲击资金的同等可替代性假设。
- 行业实践（如Schwab、Betterment）支持目标式多组合管理，有明确优先次序。

• 关键术语和方法：

- 动态规划与HJB偏微分方程系统。
- 约束粘性数值解法（有限差分与罚函数法）。
- 随机Perron方法确保理论的严格数学支撑。
- 粘性解（viscosity solution）框架处理非平滑性和约束边界。

2.2 模型设定与数学刻画（第3页-第5页）

• 模型结构：

- 投资者设定$K+1$个投资目标$Gk$，每个有明确截止时间$Tk$，且$T1<\cdots{K+1}=T$。
- 每个目标关联独立的财富过程$Xk(t)$，其中$X{K+1}$为“基础”目标，也关联更长期的必需资金或遗产需求。
- 投资标的包括风险自由资产和$n$只股票，由$m$维因子过程$Y(t)$驱动价格变动。
- 资金只能在基础组合$X{K+1}$和其他目标组合之间划转。
- 划转过程$(Lk,Mk)$为非负、非减的右连续有左极限（RCLL）的适应过程，分别记录从基础组合到第$k$目标和反向转移的累积划转金额。

• 状态变量维度动态变化：

- 在时间$[T{k-1},Tk]$，激活目标为$k,\ldots,K+1$，对应状态变量为$(xk,\dots,x{K+1},y)$。
- 随目标截止，状态变量维度减少，反映“棄权”目标退出管理。

• 控制变量：

- 投资比例$\alphak(t)$在每个组合内均投资于股票，禁止卖空及借贷。
- 划转资金遵循心理成本参数$\lambdak$, $\thetak$，体现资金转移的心理负担。

• 目标函数：

- 线性损失形式，罚函数包含未达目标的缺口及心理成本，用贴现率$\beta$折现。
- 目标权重$wk$用于体现目标重要性。

• 假设：

- 市场参数如漂移$\muY$, 波动$\sigmaY$, 股票漂移$\mu$, 波动$\sigma$均满足Lipschitz条件，且波动矩阵逆存在。
- 离散状态与有界目标金额。
- 心理成本非负且至少一边正。

2.3 HJB方程系统（第5页-第8页）

• 形式化：

- 价值函数$Vk(t,x{k:K+1},y)$满足分段定义的HJB方程，对应不同活跃目标区间。
- 方程包括Hamiltonian部分$H$，优化投资比例$\alpha{k:K+1}$，带有神经网络复杂的二阶偏微分算子$\Sigma$。
- 由心理成本产生双侧梯度约束：
$$
-\thetai \leq \partial{K+1}Vk - \partiali Vk \leq \lambdai, \quad i=k,\ldots,K
$$
反映转移资金的心理成本限制。
- 目标截止时刻$Tk$，$Vk$与$V{k+1}$相关联，状态变量降维，满足边界条件。
- 贫困点$0$的特殊边界条件给出价值函数在破产时的明确值。

• 数学性质：

- 价值函数为粘性解，满足对应定义中的子解与超解性质，且边界、截止条件有特殊处理。
- 报告重点证明了价值函数为该系统的唯一约束粘性解，且在分段时间域内连续且有界。
- 该证明依赖随机Perron方法，主要技术挑战包括状态变量降维、非负性约束、双侧梯度限制。

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3. 数值实验分析（第9页-第22页）

3.1 实验设置与基本参数（第9页-第10页）

• 简化设定：

- 仅考虑两个投资目标$G1=5000$, $G2=4000$，截止时间分别为$T1=1.0$，$T2=2.0$。
- 市场包含两只股票，二维布朗运动驱动，参数$\mu=(0.2,0.3)^\top$，风险自由利率$r=0$，折现率$\beta=0$。
- 卷积标准差矩阵$\sigma$带入相关系数$\rho$。
- 心理成本$\lambda1=0.3$, $\theta1=0.1$。

• 投资比例与划转定义：

- 投资比例$\alphak \in \mathbb{R}^2$，非负且合为1（无借贷卖空）。
- 资金划转分为从$X2$向$X1$ (划转$L$) 和反向划转$M$，分别带心理成本惩罚。

3.2 相关系数$\rho=0.5$时的行为特征（第11页-第18页）

• 目标2剩余时间阶段（$t\in[T1,T]$）：

- 计算$V2(t,x2)$的最优投资策略，财富低时集中投资收益率高的第二只股，财富高时逐渐分散投资，临近目标时降低风险。
- 表1展示了在$2.0\sim4.0$千美元财富区间对应的投资比例变动。

• 目标1到期时刻$T1$的资金划转边界（见图1）：

- 蓝色区域表示从$X2$向$X1$划转资金，粉色区域表示相反划转。
- 投资者仅在特定阈值以上/以下才进行划转，形成复杂的边界形状。
- 这些阈值受心理成本$\lambda1$, $\theta1$及相关系数影响，划转呈非线性依赖。

• 双目标同时激活时的投资策略：

- 投资策略依赖两个变量$(x1,x2)$，非单变量函数。
- 图2和图3中分别显示了对于不同财富对的投资策略的编码。
- 对三种情形进行剖析：
1. 两目标资金皆不足时，长目标组合偏好股票投资，短目标更激进；
2. 长目标资金充足时，长目标优先作为现金储备，短目标激进配置；
3. 短目标资金充足时，出现“凸起”区域，系统偏好减低投资风险，利用长目标补充。

• “凸起”和“凹槽”现象分析：

- 体现了资金划转与组合间风险对冲动态的复杂互动。
- 正相关背景下，长短目标资金充裕时可出现“凸起”，显示转移资金的风险管理取舍。
- 短目标重要性增强时，图7和图8展示边界收缩至线段，策略亦相应调整。

3.3 相关系数$\rho=-0.9$时的对比观察（第18页-第21页）

• 负相关增强了组合分散效应，降低价值函数，缩小边界“凸起”区域，直至消失。

- 投资组合趋于保持风险分散，即使某一目标资金充足，依然积极持股，对冲另一目标的风险。

• 资金划转时机和范围也发生变化，体现了财务环境参数对资金切换策略的重要影响。

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4. 估值框架及数理证明方法（第22页-第31页）

4.1 估值思想

• 估值目标即最小化总成本（目标未达缺口及心理转移成本）的期望损失。

- 价值函数作为动态规划最优成本，满足HJB方程系统，融合转移不起交易成本但带心理惩罚的特点。

• 估值方法依赖于求解该HJB系统。

4.2 难点与技术创新

• 多目标导致状态变量高维且随期限动态减少，有效降低状态空间。

- 转移心理成本引入梯度限制，导致偏微分方程非标准且双边约束，不同于经典交易成本模型。

• 使用随机Perron方法构造上下包络（stochastic super-/subsolutions），避免直接使用动态规划原则（DPP）证明。

- 重点围绕粘性解理论，对边界、期限点和状态约束问题做出了适当定义和证明调整。

4.3 粘性解与比较原理

• 详细定义了在分步时域和状态约束下的粘性子解和超解。

- 逐步证明上包络为子解、下包络为超解。

• 设计严格的经典次解（Lemma 7.1）用于比较原理证明。

- 以渐进方法逐级倒退应用比较原理，最终证实价值函数的唯一性，且分段时域内连续有界。

• 处理了由于多目标资金转移引致的梯度双侧约束（心理成本）对应的技术复杂性。

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5. 风险因素评估

• 心理成本参数$\lambdak, \thetak$对划转决策阈值和策略边界形状影响巨大。

- 市场相关性$\rho$调节了资产间多样化获益及转移风险。

• 模型中禁止卖空和借贷的限制约束了投资策略。

- 模型未纳入极端市场冲击、行为偏误动态调整等复杂风险。

• 时间不确定性、参数估计误差等未被明确考虑。

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6. 批判性视角

• 模型假设资金只能在基础组合与其他组合之间划转，较实际用户可能更为简化，忽略多重资金流动路径。

- 心理成本线性设计，未考虑动态调整和行为时间依赖性，模型的现实适用性需进一步实证检验。

• 假设无卖空、无借贷以及固定市场系数，在实际波动率和风险溢价变化时模型适应性有限。

- 数值解法依赖参数选取，可能出现局部最优和计算复杂度大问题。

• 叙述强调模型的数学精确性和存在唯一解，实务中的参数估计与应用需谨慎。

- 缺少针对模型无偏性、模型对比其他行为模型（如损失厌恶、多期动态权重）分析。

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7. 图表深度解读

7.1 表1（第11页）

• 描述：列示目标2(长目标)在目标1到期后不同财富水平$x2$下的股票1和股票2的投资比例。

- 趋势：财富较低时股票2比例为100%，且股票1为0；随财富提升，逐步增加股票1配置；当财富接近目标值时两只股票配置都降低风险至0。

• 联系文本：说明单目标最优策略中风险递减的典型行为，与双目标动态下策略互动形成对比。

7.2 图1（第12页）

• 描述：在目标1截止时，两个目标财富空间的转移区域（蓝色为从长目标到短目标转移，粉色反之）。

- 解读数据与趋势：标明资金划转触发区间，显示划转的“阈值”和“停机”点，反映非线性和有界的心理成本限制资金灵活度。

• 与文本联系：验证心理成本影响阈值的观点，且体现资金流向的不对称性。

7.3 图2和图3（第16页和第17页）

• 描述：分别为时间点$t=0.8$时，长目标和短目标组合的最优股票投资策略编码，横纵轴为短期和长期财富。

- 趋势：短目标财富低时长目标变得更激进，反映对未满足目标的补充投资策略；且两目标投资策略表现出相互依赖而非独立。

• 联系文本：展现多目标依赖和多层次风险对冲，验证心理账户行为的复杂性。

7.4 图4至图6（第18-20页）

• 描述：对应负相关$\rho = -0.9$情况下的资金划转边界与最优投资策略。

- 分析：负相关导致风险分散效应加强，资金转移区域缩小，多样化投资更优，且凸起现象消失。

• 联系文本：体现资产相关性的关键作用，说明环境变量对行为约束边界有结构化影响。

7.5 图7和图8（第21-22页）

• 描述：短目标权重$w1=2.0$时的资金划转边界及短目标投资策略。

- 分析：短目标更为重要时，资金转移区域进一步收窄至某些线段，显示“极限支持”行为；延迟划转现象出现，投资策略保持风险暴露，等待划转时机。

• 联系文本：验证目标重要性对资金流动控制的显著影响，不同权重对应不同行为边界。

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8. 结论性综合

本报告构建了一个结合目标投资和心理账户行为的连续时间多目标投资组合选择框架，克服了传统投资组合理论资金完全可替代性和风险厌恶参数难以测度的限制。通过引入心理成本变量对资金跨目标划转行为实施惩罚，模型捕捉了投资者真实心理偏好的资金不可完全调动特征。

数学上，报告建立了一个多状态变量的Hamilton-Jacobi-Bellman方程系统，结合转移罚函数带来的梯度约束，采用随机Perron方法定义和证明价值函数为该方程组的唯一约束粘性解。该技术突破了因为目标截止时间不同导致状态降维和复杂边界条件的挑战。

数值模拟采用有限差分和罚函数技术，展示了资金转移区域的复杂边界形态如凸起与凹槽，突显非线性资金流动及多目标间相互依赖的投资策略。不同目标权重调整展示方案在行为上的明显区别，资产相关性变化体现了系统风险披露和投资多样性对策略的结构性影响。

总体而言，报告为基于行为金融理念的多目标投资组合管理提供了理论与实证的双重贡献，具备指导财富管理平台设计和理解投资者心理行为的潜力。未来可以从实证层面验证心理成本参数的标定，以及拓展非线性心理成本或动态调整机制以加强模型实用性。

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参考文献中提及的重要方法与理论：

• 随机Perron方法：Bayraktar & Sirbu (2013, 2015)

- 目标式投资（Goal-based investing）相关文献：Das et al. (2010, 2022), Capponi & Zhang (2024), Gargano & Rossi (2024)

• 粘性解理论框架及比较原理：Crandall et al. (1992)

- 交易成本与心理成本模型联系：Magill & Constantinides (1976); Davis & Norman (1990); Shreve & Soner (1994)

• 数值方法参考Azimzadeh (2017)

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总结

此报告为金融数学及行为金融交叉领域提供了深刻而严谨的框架，抓住了投资目标优先级和资金心理账户导致的非传统资金流动特征，同时确保了数学定义的严密性与数值实现的可操作性，适合理论研究和金融工程应用的桥梁角色。

报告