• 广义短缺风险度量定义为基于两个扭曲和效用函数的方程解，灵活刻画决策者对风险和财富的行为，[page::0][page::1]。其推广了普通分位数、期望分位数和效用基短缺风险度量，融合了秩依赖预期效用和累计前景理论 [page::1][page::2]。

- 在假定尾部为重尾分布且服从正则变差条件下，得出广义短缺风险度量随置信水平趋近1时的渐近展开（一级和二级）[page::3][page::7][page::8][page::11]。

• 定义了函数$\varphi(x)=u2(x)/[u1(x)(1 - h1(F(x)))]$，在正则变差条件下$\varphi \in \mathrm{RV}s$且$s>0$；风险度量$x\tau$一阶渐近等价于$\varphi^\leftarrow((1-\tau)^{-1})$的倍数，具体常数与贝塔函数相关 [page::7]。

• 二阶渐近结果进一步包含了辅助渐进函数$A,B,C$的影响，给出更精细的风险度量近似展开，且包括两个方面：广义逆函数$\varphi^\leftarrow$的二阶正则变差，以及风险度量本身的修正项，涵盖尾部及效用函数等的二阶偏差 [page::9][page::11]。

- 统计估计方面，构造了基于Weissman估计量的极端广义短缺风险估计$\widehat{x}{\tau_n}$，利用极端分位数和Hill估计器估计尾指数$\gamma$，证明了该估计的渐近正态性，并说明了依赖数据的适用性 [page::12][page::13][page::14]。

• 典型示例包括$L^p$分位数和广义期望分位数，两类均符合文中假设，给出具体的渐近展开和估计适用条件[page::15][page::16][page::17]。

- 数值模拟考察了广义期望分位数的一级、二级展开与真实值的拟合效果，二阶展开显著提升精度，尤其对轻尾分布效果更为明显[page::18]。

• 大规模模拟评价了估计器在Pareto、Fréchet及Burr分布下的表现，展示了偏差-方差权衡导致的稳定区间及其与尾部指数、样本量的关系[page::19][page::20][page::21]。

- 证明部分严谨构建了定理逻辑，详细推导了渐近展开和统计性质，涵盖函数的正则变差性质及相关积分不等式，确保理论结果的完整性和适用性 [page::22-31]。

深度分析报告：《稳健重尾风险下广义短缺风险度量方法的渐近性质》

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1. 元数据与概览

• 报告标题： Asymptotic Properties of Generalized Shortfall Risk Measures for Heavy-tailed Risks

- 作者： Tiantian Mao, Gilles Stupfler, Fan Yang

• 机构： 中国科学技术大学统计与金融系；法国昂热大学CNRS；加拿大滑铁卢大学统计与精算科学系

- 发布日期： 2023年5月4日

• 主题： 研究广义短缺风险度量（generalized shortfall risk measure）的渐近性质，特别聚焦于重尾风险情境下的风险度量的极端值行为和估计方法。

核心论点： 论文构建并扩展了广义短缺风险度量的理论框架，重点推导其第一阶和第二阶渐近展开式，为这类风险度量在极端风险水平（置信度接近1）下的行为提供了统一分析。研究还提出了一种基于分位数的估计方法，既解决了广义短缺风险度量无法显式表达的问题，也验证了估计的数值表现。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要及引言（第0-2页）

• 定义广义短缺风险度量：

利用一组严格递增函数 \(u1,u2\) 和失真函数 \(h1,h2\)，以满足特定条件的方程（1.1）定义风险度量值 \(x\tau\)：

\[
\tau H{u1,h1}((X-x)+) = (1-\tau) H{u2,h2}((X-x)-)
\]

其中

\[
H{u2,h2}((X-x)-) = \int{-\infty}^x u2(x-y) \mathrm{d}h2(F(y))
\]

• 理论背景：

广义短缺风险度量融合排位依赖期望效用（RDEU）理论和累计前景理论（CPT），并包含广义分位数、期待分位数（expectile）等特例。这种框架极具灵活性，可以根据决策者的风险偏好调整风险评价方式。

• 研究目标：

探究当置信度 \(\tau \to 1\) 时，针对重尾分布的极端风险，广义短缺风险度量 \(x\tau\) 的渐近性质。论文通过渐近展开式建立了 \(x\tau\) 与已知分位数风险度量的关系，同时提出估计方法。

• 关键假设与挑战：

没有简单显式表达是研究的主要阻碍，通过渐近展开为估计提供路径。[page::0,1,2]

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2.2 正则变异理论（第3-5页）

• 正则变异 \( \mathrm{RV}\alpha \): 函数 \(f\) 满足

\[
\lim{t \to \infty} \frac{f(tx)}{f(t)} = x^\alpha
\]

是重尾风险建模的核心假设。

• 第二阶正则变异 \( 2\mathrm{RV}{\gamma,\rho} \): 允许对第一阶行为作微调，定义

\[
\lim{t \to \infty} \frac{\frac{f(tx)}{f(t)} - x^\gamma}{A(t)} = x^\gamma \frac{x^\rho - 1}{\rho}
\]

其中辅助函数 \(A(t) \to 0\)，参数 \(\rho \leq 0\) 控制偏差速率。

• 在本文中应用： 分布尾概率、分位数函数及失真函数的正则变异假设构筑其渐近分析的数学基础。[page::3,4,5]

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2.3 广义短缺风险度量的第一阶渐近展开（第5-7页）

• 存在性与唯一性： 在适当连续性和边界条件下，风险度量解 \(x\tau\) 存在且唯一。随置信度 \(\tau\) 增大，\(x\tau\) 单调递增，并趋向于右端点或正无穷。[page::5,6]
• 第一阶展开关键思想： 分析方程两侧的正则变异性质。引入函数

\[
\varphi(x) = \frac{u2(x)}{u1(x) \cdot (1 - h1(F(x)))}
\]

显示其为正则变异函数并定义其广义逆函数 \(\varphi^{\leftarrow}\)。

• 核心结论（定理3.1）：

\[
x\tau = \Delta1 \varphi^\leftarrow((1-\tau)^{-1})(1 + o(1))
\]

其中指数及系数由失真函数、作用函数和尾指数 \(\gamma\) 共同决定。

• 解释： 当 \(u1 = u2\), \(h1\) 为恒等函数时，\(\varphi^\leftarrow\) 退化为尾分位数函数 \(U\)，即 \(x\tau\) 与极端分位数正相关。[page::6,7]

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2.4 第二阶渐近展开（第8-12页）

• 更精细的渐近分析： 在第一阶基础上，引入第二阶正则变异假设，给出偏差校正和更准确的估计。
• 关键假设： 分布尾分位函数 \(U\)、作用函数 \(ui\)、失真函数 \(hi\) 皆满足第二阶正则变异，且相关辅助函数统一。
• 主要定理4.1： 给出 \(x\tau\) 基于 \(\varphi^\leftarrow((1-\tau)^{-1})\) 的带二阶修正项的展开式，修正项涉及尾指数、失真函数的第二阶参数及相关矩。
• 定理4.2： 显示如何进而将 \(x\tau\) 直接展开为极端分位数 \(F^\leftarrow(\tau)\) 的函数，结构复杂但定量严密。
• 数学工具： 关键借助Beta函数积分表示，积分变换，扩展正则变异及辅助辅助函数技巧。[page::8,9,10,11,12]

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2.5 估计方法（第12-15页）

• 核心思想： 利用第一阶渐近展开结构，将估计问题转换为尾指数 \(\gamma\) 和极端分位数的估计。
• 提出估计器形式： 采用 Weissman 极端分位数估计器，结合 Hill 尾指数估计器，构造对应的广义短缺风险估计器：

\[
\widehat{x}{\taun} = \left( \frac{1}{\widehat{\gamma}n} B(1/\widehat{\gamma}n - \alpha, \alpha + 1) \right)^{\widehat{\gamma}n} \widehat{q}{h1^{-1}(\taun)}(kn)
\]

其中 \(\widehat{q}\) 是对应极端分位数的估计。

• 渐近性质（定理5.1）： 证明了当样本满足正则变异条件、估计器满足标准正态极限定理时，该估计器的相对误差具渐近正态性，并给出了收敛速率。
• 可适用于依赖数据： 则估计方差会膨胀，但性质保持。[page::12,13,14,15]

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2.6 应用实例与数值模拟（第16-21页）

• 例子1：\(L^p\)-分位数： 设置 \(u1 = u2 = p x^{p-1}\), \(h1 = h2 = \mathrm{identity}\)。分析后得到广义短缺风险即为 \(L^p\)-分位数。回顾了该风险度量的第一阶与第二阶渐近展开，第二阶修正体现了梯度偏差和尾行为。[page::15,16]
• 例子2：广义期待分位数（Expectiles）： 以 \(u_i(x) = 2x\)，失真函数为特定分段线性形式，风险度量对应碧依斯-普罗斯贝克风险度量。分析其第一阶渐近与第二阶渐近，细致描绘了尾指数和第二阶项的影响。
• 数值实验：

- 使用广义帕累托分布（参数 \(\gamma = 1/3, 1/5\)，形状参数 \(\theta=1\)）验证展开的准确性。
- 结果显示二阶展开比一阶更精确，尤其尾更轻时效果显著（见图1，页面18）。

• 估计器性能测试：

- 模拟纯帕累托、弗雷歇（Fréchet）、巴尔（Burr）分布样本。
- 样本量分别为500和1000，置信度为 \(1 - 1/n\)。
- 评价指标为相对均方误差（rMSE），随中间序列 \(k\) 变化。
- 发现：
- \(k\) 过小，估计方差大，误差大；\(k\) 过大，偏差大，误差也大。
- 对应砍值选择存在稳定区间，尤其二阶参数偏离0更大时稳定区间更宽。
- 较大尾指数对应更大误差。
- 图2和图3分别展示了不同分布和样本量下的rMSE趋势。[page::16,17,18,19,20,21]

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2.7 证明部分（第22-32页）

• 涉及概率论渐近理论、正则变异函数和扩展变异函数的性质。

- 详细证明了定理的存在唯一性、渐近展开准确性、估计器性能保证。

• 特别利用了失真函数、功用函数的正则变异性质，巧妙地分割积分和利用Beta函数完成渐近积分表达。

- 证明结构严谨，依据经典文献如 de Haan and Ferreira (2006) 的权威理论。[page::22-32]

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3. 图表解读

图1（page 18）

• 内容说明： 对比广义期待分位数的真实值、第一阶展开、第二阶展开，针对广义帕累托分布，分别取 \(\gamma=1/3\) 和 \(\gamma=1/5\)。

- 趋势解读：
- 第二阶展开线（红色）更接近真实值（黑色），即改进显著。
- 第一阶展开（蓝色）低估风险，尤其面临尾部风险时更明显。
- \(\gamma=1/5\)时（右图）扩展误差更小，表明轻尾下改进更有效。

• 说明： 数据验证了理论中二阶修正项的重要性，提升了风险度量的准确性。

图2和图3（page 20, 21）

• 内容说明： 对不同分布（弗雷歇、巴尔、帕累托）、不同样本量（500和1000）及尾指数不同（\(1/5,1/3\)）条件下估计器的相对均方误差曲线。

- 趋势解读：
- \(k\) 过小和过大均导致mse升高，中间有最优稳定区间。
- 帕累托分布表现偏差最低。
- 样本量增大时稳定区间调整，误差下降。
- 不同分布对应不同偏差水平，反映第二阶参数的重要作用。

• 说明： 真实数据模拟支持理论估计器在实际中有稳定表现，且对应极端风险的精准估计。

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4. 估值分析

本报告聚焦的是风险度量的渐近性质及估计，估值本身依赖于正则变异下的极端分位数相关估计。具体估值方式为：

• 理论估值方法： 通过构造映射 \(\varphi\) 连接不同功用函数、失真函数和尾分布。

- 估值计算： 利用极端分位数估计（Weissman估计器结合Hill尾指数），实现广义短缺风险值的估算。

• 估值假设与限制： 分布须满足第二阶正则变异，估计器须满足渐近正态性条件。

- 敏感性分析： 估计误差受尾指数、第二序参数、失真函数性质影响显著，适当截点选择\(k\)关键。

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5. 风险因素评估

• 尾行为假设风险： 模型依赖分布的重尾性质，若分布偏离假设（非正则变异），渐近展开失效。

- 失真函数选择风险： 不同失真函数导致风险测度差异，选取不当可能低估风险。

• 估计过程风险： 极端分位数估计受样本大小和依赖性影响大，依赖非充分或样本过小，估计误差增大。

- 依赖结构风险： 时间序列依赖降低估计信息量，导致方差扩大。

• 缓解策略：

- 利用二阶正则变异展开，校正偏差。
- 仔细选择中间序列 \(k\) ，平衡偏差-方差。
- 采用稳健的尾指数估计器和考虑依赖结构的校正。

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6. 审慎视角与细微差别

• 模型灵活性与复杂性： 虽广义短缺风险度量框架灵活，但实证应用复杂，输入函数多，参数选取依赖经验，存在主观性。

- 渐近假设限制： 渐近展开基于尾行为近似，在有限样本条件下误差不可忽视，尤其极端置信度下。

• 示例中失真函数简化： 实际中失真函数可能非理想单调连续，影响风险度量连续性和存在性。

- 估计器依赖样本独立假设放宽有限： 序列依赖时估计性质会恶化，但文章对该点提及较少，实际应用需谨慎验证。

• 理论与实践平衡： 该文以理论贡献为主，实证指引尚需结合具体金融场景进一步验证和调整。

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7. 结论性综合

本文全面构建了基于正则变异理论的广义短缺风险度量渐近分析框架。从模型定义、性质、渐近展开到统计估计，做出了坚实贡献：

• 创新贡献： 推导广义短缺风险度量在极端风险水平下的第一阶及第二阶渐近展开，统一了包含失真风险度量和基于效用的风险度量的发展理论。
• 方法论价值： 通过刻画映射 \(\varphi\) 及其逆函数，将风险度量的复杂表达转化为极端分位数的估计问题，为理论与估计架起桥梁。
• 统计估计： 提出基于Weissman极端分位数估计和Hill尾指数估计的广义短缺风险估计器，验证了其渐近正态性质及数值稳定性。
• 实证验证： 通过具体 \(L^p\)-分位数与广义期待分位数例子，结合广义帕累托和其他重尾分布模拟，展示理论展开的准确性及估计器的实用性能。
• 图表洞见： 图1清楚地显示二阶展开显著提升风险度量准确性；图2和图3展示了估计器在多种分布与参数设定下的表现，凸显最佳截点选择的重要性。
• 总体立场： 论文认为广义短缺风险度量在刻画重尾风险、满足行为经济学模型和量化风险管理方面具有巨大潜力，渐近理论与估计工具为其应用提供有力支撑。

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总结

这篇论文为重尾风险情形下的广义短缺风险度量提供了详尽的数学刻画和统计估计方案，深化了风险度量理论与极端风险管理的结合。论文的渐近展开和估计理论基于正则变异和极端值理论，应用于含失真概率和非对称风险偏好的广义风险度量框架。实证模拟验证了理论的实际效果，突出二阶渐近展开和精细选择估计截点的重要性。尽管实际应用中还需适度考量模型假设与数据依赖性的偏差，但论文提出的系统性方法为高置信度风险评价提供了重要工具，具有较高的学术价值和潜在应用前景。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]

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