标普500日收益率波动率长期趋势及数据描述 [page::5][page::6]

• 1960年以来，标普500的日收益率波动率呈现上升趋势。

- 图2展示了标普合成指数150年的年化真实对数收益率，显示稳定增长趋势。

• 数据来源涵盖1927年至2023年，涵盖多个市场时段和通胀率假设。[page::5][page::6]

理论模型构建：杠杆ETF相对收益与波动率 [page::7][page::8][page::9]

• 通过对数收益的泰勒展开，建立了函数$g(L)=(L-1)(u - L v/2)$，描述杠杆倍数$L$和均值$u$、波动率$v$的关系。

- 最优杠杆倍数估计为$\hat{L}^ = u/v + 1/2$，其变化受通胀率影响显著。

• 确定了满足日杠杆ETF不超越基准ETF的波动区间$[v^{-}, v^{+}]$，并通过图4验证了费用差异对界限的影响。[page::7][page::8][page::9]

模型验证及杠杆倍数估计准确性分析 [page::11][page::12]

• $\hat{L}^$较好拟合不同投资期限下的最优杠杆倍数$L^$，随周期延长，估计变得更稳健。

- 估计的收益差异$252 \cdot g(\hat{L}^)$与数值求解的$d(L^*)$高度相关，短期略有高估。[page::11][page::12]

高阶矩对回报估计的影响及预测难度 [page::14][page::15]

• 引入偏度$m3$和峰度$m4$对模型回报估计精度有提升，尤其在短周期和高杠杆场景。

- 然而，$m3$和$m4$的预测不稳定且难以实现，限制其实际应用价值。

• 长期(>10年)投资下，$u$与$v$的粗略预测较为合理，支持基于低阶矩模型的投资决策。[page::14][page::15]

线性规划用于评估模型误差和构建估计边界 [page::16][page::17][page::18]

• 设计基于不完全分布信息的线性规划，约束均值、方差和高阶矩区间，计算杠杆回报估计值$d(L)$的上下界。

- 结果表明，$252 \cdot g(L)$在实际应用中是估计$d(L)$的可靠代理，误差随杠杆倍数增大而略增。

• 该方法增强了针对不同杠杆倍数和波动率水平投资决策的稳健性和理论依据。[page::16][page::17][page::18]

外国指数数据验证及图像展示 [page::32]

• CAC 40、DAX 30、HSI等大盘指数的均值、波动率及高阶矩时间序列展示，验证方法适用性。

- 与标普500表现类似，长期波动率存在波动与预期上升的迹象。[page::32]

结论与投资启示 [page::18]

• 如果日收益率波动率持续增加且超过计算的阈值，日杠杆ETF将难以长期战胜标准指数ETF。

- 波动率低于阈值时，杠杆ETF有超越机会，但预测波动率难度大。

• 该研究为投资者在选择杠杆指数基金时提供了理论指导和风险评估框架。[page::18]

报告分析：Justifying the Volatility of S&P 500 Daily Returns

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1. 元数据与概览

• 标题：Justifying the Volatility of S&P 500 Daily Returns

- 作者：Hayden Brown

• 联系方式：haydenb550222@gmail.com

- 发布机构：无明确公布，似为独立学术研究

• 主题：围绕标准普尔500指数（S&P 500）日收益率的波动率展开，重点考察推动其波动率变化的市场机制，并分析日内杠杆ETF相较于无杠杆ETF的长期表现

核心论点总结：
本文假设市场力量决定日内波动率水平，使得杠杆倍数基金无法长期打败无杠杆指数基金。基于该假设，当前S&P 500日收益率波动率的长期上升趋势得到了合理解释，并预测其未来将继续上升直到达到某一门槛。若该假设无效，杠杆ETF则可能实现长期超越标准指数基金的表现[page::0,1,2]。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

• 关键信息：

杠杆ETF长期表现依赖于基础指数日对数收益率的均值（mean）与波动率（volatility）。在均值为正的情况下，波动率提升会因杠杆的复利效应而导致杠杆ETF回报下降。经典投资观点认为，市场投资组合长期不可超越，因此日均杠杆ETF长期不应优于无杠杆ETF。本研究目的是界定何种波动率水平下，标准SPY（S&P 500 ETF）能长期胜过杠杆ETF[page::0]。

• 推理与假设：

著眼于市场的均衡逻辑，假设市场通过调节波动率维持杠杆ETF展现不出长期超额收益，从而支持了市场“无可战胜”理论[page::0]。

2.2 文献综述（1.1节）

• 关键点：

文献中波动率定义多样，本文采用类似实现波动率（realized volatility），具体为连续交易日百分比变化的平方均值。大部分现有研究关注短期波动率，而本文致力于量化S&P 500长达60年的日波动率走势及未来趋势。先前研究发现日收益率波动率上升，而月度波动率未见明显增幅（Washer et al., 2016）。ETF持股增加本身会放大股票波动率（Ben-David et al., 2018），但具体贡献度尚未定论。
研究还指出宏观变量可预测中短期波动率（Conrad and Loch, 2015）。文中扩展之前理论，并借助线性规划（LP）方法验证结果的普适性，LP用于估计杠杆ETF与非杠杆ETF表现差异的边界，避免对收益分布做过严假设[page::1,2]。

• 逻辑阐述：

力求从长期视角解释波动率演变与杠杆ETF表现的内在关联，并用数学方法产生理论边界，提高论证的严谨性。

2.3 预备知识及数据（第2节）

• 定义与符号：

- \(Ci\)：第i个交易日的调整收盘价
- \(Xi = \frac{Ci}{C{i-1}} - 1\)：日百分比变化
- 杠杆指数LxI调整价格为 \(Ci^L = C0 \prod{k=1}^i (1 + L Xk)\)
- 日对数收益率为 \(\log \frac{Cn^L}{C0} = \sum{i=1}^n \log(1 + L Xi)\)
- 杠杆ETF考虑费用率r，复利调整后收益为 \(R{n,r}^L = \log \frac{Cn^L}{C0} + n \log(1 - \frac{r}{252})\)
- 年化收益差 \(d(L) = (R{n,0}^L - R{n,0}^1) \cdot \frac{252}{n}\)
- \(u\) 表示平均对数收益率，\(v\) 表示平均平方收益率变化
- SPY的年费率约为0.945%，而杠杆ETF费率高约0.95%[page::3,4]。

• 数据来源及描述：

- S&P 500 调整收盘价数据源于Yahoo Finance，时间跨度1927年至2023年
- 另外取香港恒生综合指数、德国DAX30和法国CAC40等国际指数[page::4]
- 通过图表分析显示，1960年后日收益率的波动率（\(\sqrt{v}\)）呈上升趋势（见图1）[page::5]
- 长期S&P复合指数的年复合实际收益率相对稳定，大致年均对数收益0.0658左右，允许叠加不同通胀调整（见图2和表3）[page::5,6]。

2.4 理论推导与模型（第3节）

• 目标函数：最大化日杠杆ETF与无杠杆ETF的对数收益差 \(\maxL R{n,r1}^L - R{n,r0}^1\)，最优杠杆倍数记为 \(L^\)。
• 数学近似：利用对数函数Maclaurin展开 \(\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\) 近似日对数收益率

- 构造函数\(g(L)\) 表征超额收益的主要贡献：
\[
g(L) = (L - 1)\left(u - \frac{L v}{2}\right)
\]

• 考虑费用影响，定义费用函数 \(f(r0,r1) \approx \frac{r0 - r1}{252}\)

- 因此，收益差可近似为
\[
R{n,r1}^L - R{n,r0}^1 \approx n \left[g(L) + f(r0, r1)\right]
\]

• \(g(\cdot)\) 为二次函数，其导数计算显示最大化点为

\[
\hat{L}^ = \frac{u}{v} + \frac{1}{2}
\]

• 该点所对应的最大收益差为

\[
g(\hat{L}^) = \frac{v}{2} \left(\frac{u}{v} - \frac{1}{2}\right)^2
\]

• 进而给出了判定条件：若 \(g(\hat{L}^) \leq f(r1, r0)\)，则无杠杆ETF优于杠杆ETF，否则相反[page::6,7,8]。
• 图表分析：

- 图3展示了 \(\hat{L}^\) 对波动率 \(\sqrt{v}\) 和不同年度通胀率的依赖关系，可见较高波动率对应较低的最优杠杆倍数，反映波动率增加抑制杠杆投资的长远表现[page::8]。
- 图4绘制了可使日杠杆ETF不超越无杠杆ETF的波动率上下界区间 \([v^{-}, v^{+}]\)，界定了波动率阈值范围[page::9]。

2.5 应用（3.1-3.5节）

• 估计与验证：

- 通过历史S&P500数据，计算不同时间长短（10周、1年、10年、30年）对应的最优杠杆倍数 \(L^\) 及其近似 \(\hat{L}^\)，两者高度相关，且随着时间窗口增长， \(L^\) 趋于稳定（图5）[page::10,11]。
- 类似地，收益差 \(d(L^)\) 与估计值 \(252 \cdot g(\hat{L}^)\) 也紧密对应（图6），但后者对长期表现略有乐观估计[page::11,12]。
- 当杠杆倍数固定，长时间区间下模拟误差小，短期和高杠杆倍数下误差偏大，说明预测模型对长期审视和中小杠杆倍数更适用（图9-10）[page::12,25,26]。
- 拓展考虑收入分布高阶矩（即偏度和峰度，通过\(m3,m4\)），构建补充函数 \(\tilde{g}(L)\) 改进估计，短期和大杠杆倍数估计明显改进（图11-14）[page::13,14,27-29]。

• 预测指标可预测性：

- 观察数据后发现：
- 长期（30年）区间的平均日对数收益 \(u\) 稳定且正值，范围约在0.05-0.1间
- 波动率指标 \(\sqrt{v}\) 长期呈上升趋势，可能从0.01升至0.015甚至更高
- 高阶矩 \(m3, m4\) 受极端异常影响较大，不易预测，建议强调基于低阶矩估计[page::14,15,30,31]。

• 跨指数适用性：

- 初步分析显示模型和方法对CAC40、DAX30、恒生指数等大盘指数同样有效，但前提是需要较准确的长期收益率预测[page::32]。

• 线性规划方法（LP）应用：

- 针对实际中无法完全观测收益分布，通过构建有约束的LP，将实际\(d(L)\)限制在上下界间，从而验证估计的合理性。
- LP约束包括收益的区间限制，二三四阶矩边界等，算法1利用函数二阶特性优化采样点
- 结果表明在合理的约束范围内，之前的 \(252 \cdot g(L)\) 估计确实处于界限内，误差量与杠杆倍数相关，巨大杠杆带来的误差更大，但对实际应用长期投资影响不大[page::16-18,33-35]。

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3. 图表深度解读

图1：S&P 500 5年滚动期内的日收益率波动率(\(\sqrt{v}\))演变趋势[page::5]

• 描述：图示从1927年到2017年，5年期滚动窗口日收益率波动率的变化

- 规律：1960年前波动率整体下降，之后呈现明显上升趋势，尤其在20世纪末及21世纪初波动率攀升

• 说明该长期趋势与文章核心论断对应，即股票市场日内波动率存在上涨趋势，为杠杆ETF表现形成约束条件。

图2：S&P复合指数150年累计真实年对数收益及其线性趋势[page::6]

• 描述：累计年真实对数收益曲线，红色趋势线斜率0.0658为长期年均收益率的近似

- 解析：长期年均收益率相对稳定，同时结合不同通胀，折算不同实际收益期望，作为 \(u\) 的参考基准。

图3：最优杠杆倍数 \(\hat{L}^\) 随波动率和不同年通胀率变化[page::8]

• 描述：横轴为波动率\(\sqrt{v}\)，纵轴为最优杠杆倍数，5条曲线对应0%-4%通胀率

- 解读：波动率越高，最优杠杆倍数急剧下降；通胀越高，最优杠杆相对偏高，即在高通胀环境中杠杆投资的激励稍强

• 该图强调杠杆投资的最优策略依赖环境波动率与通胀背景。

图4：设定手续费差异条件下，日波动率区间 \([ \sqrt{v^-}, \sqrt{v^+} ]\) [page::9]

• 描述：多条曲线对应费率差不同，横轴为 \(252-u\)，纵轴为界定区间端点波动率平方根

- 理解：当波动率处于该范围时，杠杆ETF无法优于无杠杆ETF，因此界定了投资杠杆产品的市场“安全边际”

• 说明了费率差异对波动率区间判断的重要影响。

图5 & 图6：最优杠杆倍数 \(L^\) 及年化收益差 \(d(L^)\) 与估计值\(\hat{L}^\) 和 \(252 \cdot g(\hat{L}^)\) 对比[page::11,12]

• 图5显示两者高度正相关，说明模型对最优杠杆倍数的预测准确

- 图6同样表现收益差估计较为有效，误差整体减小，长周期更显著

• 从投资实践角度，说明基于均值和波动率的简化模型有较强预测力。

图7 & 图8：前述图的误差分析细节，限于收益差较小区间[page::24]

• 统计量表明误差呈密集分布，多数情况高度接近，排除极端值后模型稳健性良好。

图9 & 图10：各种杠杆倍数对应估计值与真实收益差的误差展示[page::25,26]

• 表明长期，低杠杆倍数估计误差趋近于零，短期及高杠杆出现较大偏离

- 验证了模型应用的合理范围和局限性。

图11 & 图12 ：加入三四阶矩改善估计效果[page::27,28]

• 显示对于极端高杠杆和较短期，包含高阶矩的模型精度有显著提升

- 长期低杠杆条件下提升有限，权衡复杂性意义不大。

图13 & 图14：加入高阶矩的最优杠杆倍数及收益差估计[page::29]

• 同样展示改进的估计更加接近真实，但考虑成本与收益难成比例。

图15~18：指标 \(u,v,m3,m4\) 随时间及投资周期演变[page::30,31]

• 10年及以上周期内，均值及方差趋于稳定且有上升趋势，但偏度峰度存在极端跳跃

- 指数显示高阶矩预测难度较大，建议备择方案以低阶矩为主。

图19 & 图20：国外指数的相关指标演化趋势[page::32]

• 呈现类似特征，支持模型在国际市场的通用性，但具体参数需个案确定。

表5~10：基于LP边界方法，各杠杆倍数下估计误差与界限对比[page::33-35]

• 1698-10278个采样点模拟结果显示，\(252 \cdot g(L)\)通常在上下界之间，更偏向上界

- 大杠杆倍数误差最大，但一般低于0.05，为长期投资决策提供量化参考

• 费率、均值、波动及高阶矩约束对结果影响被妥善控制，模型稳健。

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4. 估值分析

报告中未涉及典型的企业估值或股票估值模型，主要是理论与统计分析，针对ETF杠杆倍数与波动率的数学关系及其边界，无典型DCF、市盈率估值指标。

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5. 风险因素评估

• 波动率预测不确定性：本文预测以\(u,v\)为核心，特别是波动率的未来趋势不确定，难以准确预测极端事件，影响模型实用性。

- 高阶矩事件难预测：偏度与峰度受罕见事件影响较大，增加杠杆估计风险。

• 杠杆ETF费用与操作风险：费用率变化及杠杆产品固有的追踪误差、市场冲击等因素可能导致模型偏离。

- 市场机制假设：核心假设市场会调整波动率以使杠杆ETF长期无超额收益，若市场行为或监管环境改变，则结论有效性打折。

• 模型简化假设局限：对收益分布处理简化，忽略具体分布非对称性、尖峰厚尾等，潜在估计风险。

报告未明确提出缓解策略，更多是提示在数据和假设不确定时应慎用杠杆投资。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告基于较强假设：“市场会调节波动率以禁止杠杆ETF长期超额收益”，这一假设虽逻辑自洽，但在实证上难以直接验证，且缺乏对“市场机制如何调节波动率”具体路径揭示。

- 对高阶矩的建模虽有所涉及，但其预测难度及对估计贡献有限，且实际市场中频发极端事件可能会打破模型稳定。

• 采用的线性规划方法虽然形式严谨，但依赖选取的约束与采样，计算复杂度较高，实际操作门槛较大。

- 费率影响虽纳入简化函数 \(f(r0,r1)\)，但忽略了杠杆ETF的再平衡成本、税收差异等现实因素。

• 文章大量引用统计数据，但对不同投资周期（尤其超短期）估计准确度下降，暗示模型更适合长期视角。

整体分析保持客观，未见重大内在逻辑冲突，结论基于合理推演，约束明确。

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7. 结论性综合

本文基于对数收益的数学展开与线性规划技术，建立了以平均日对数收益率 \(u\) 和日收益率波动率 \(v\) 为关键参数的模型，阐述了杠杆倍数、波动率水平与ETF长期收益表现的内在关系。实证分析利用近百年S&P 500数据，以及国际主要指数数据支持了理论框架，揭示以下关键见解：

• 长期波动率上升趋势合理且重要（图1、16、32），可能由市场内部机制驱动，以维护市场均衡，遏制杠杆ETF长期超额收益的可能。

- 最优杠杆倍数 \(\hat{L}^ = \frac{u}{v} + \frac{1}{2}\) 是有效整理市场信息的指标，随着波动率上升，最优杠杆逐步降低（图3、5、29），对投资策略指引意义重大。

• 当波动率超过阈值区间 \([v^-, v^+]\) 时（图4），无杠杆ETF表现优于杠杆ETF，未来波动率继续增高可能使杠杆ETF逐渐失去长期投资吸引力。

- 高阶矩 \(m3,m4\) 对短期及高杠杆倍数估计有加成效果，但难以准确预测且长期效应有限（图11、12、13、14、31）。

• 线性规划边界分析技术保证了估计的稳健性和可信度（表5~10），且实际误差在长期投资角度可接受。

- 整体框架能够为投资管理者估计不同杠杆ETF的长期表现和风险提供量化工具，尤其适合长期规划。

• 未来研究的方向包括引入概率分布形状约束，深入研究日波动率与长期波动率不同步的现象，以及更精准的波动率和收益分布的预测策略。

综上，作者的核心判断是：当前日波动率上升趋势是市场均衡状态的体现，限制了杠杆ETF的长期超额收益，而未来的波动率可能还将继续上升，投射出杠杆ETF在长期配置中地位可能削弱的趋势[page::0-2,5-9,11-18,32]。

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重要图表索引

• 图1：S&P 500 5年日波动率滚动趋势

- 图2：S&P 复合指数累计年对数收益趋势

• 图3：最优杠杆倍数对波动率与通胀率的依赖

- 图4：不同费用差异下波动率区间

• 图5 & 6：最优杠杆倍数与年化收益估计对比

• 图7 & 8：估计误差精细分析

- 图9 & 10：杠杆倍数固定的估计误差

• 图11 & 12：加入高阶矩后的误差控制

- 图15~18：统计指标随时间波动

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总结

该报告从理论数学模型与历史实证数据相结合的视角，有效揭示了S&P 500日收益率波动率增长背后可能的市场均衡机制，进一步勾勒了杠杆ETF在这一机制约束下的长期表现趋势。对于投资管理者而言，理解波动率与杠杆倍数之间的关系，有助于投资产品的定价与风险控制，同时应警惕波动率的不确定性与高阶矩极端事件影响。未来研究可更深入探索波动率形成机制及多阶矩预测，完善杠杆ETF投资策略框架。

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以上分析完全依据报告原始内容，所有结论均添加了对应的页码标注以供追溯和验证。

报告