Impermanent loss and Loss-vs-Rebalancing II
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摘要
本文深入研究去中心化自动做市商（AMMs）中不可永久损失（IL）与相较再平衡损失（LVR）的关系，聚焦IL和LVR的统计属性、手续费影响、区块时间及连续时间极限。研究发现，IL和LVR在短期表现一致，中期期望相同但分布不同，长期分布和均值均显著差异。手续费引入新的时间尺度，显著减少LVR但对IL影响有限，揭示手续费对流动性提供者风险管理的关键作用[page::0][page::11][page::13][page::22][page::23]。
速读内容
- AMM基本模型构建及价格动态建模 [page::2][page::3]
- 基础AMM采用常数乘积模型 \( x y = L^2 \)，价格定义为两资产数量比。
- 价格动态分别用布朗运动（BM）与几何布朗运动（GBM）描述，短期二者分布相近，长期差异明显。
- IL与LVR的定义及数学关系 [page::7][page::8]
- IL衡量LP头寸相较持币不动（HODL）策略的价值损失，仅依赖初末价格，始终为正。
- LVR基于再平衡思想，考虑价格轨迹中每一步价值变化，量化LP卖币价格劣势，体现在路径敏感性与累计损失。
- 微分表示的LVR公式与IL在价格小变动下相同。
- IL与LVR的统计特性及时间尺度划分 [page::9][page::11][page::12][page::13]
- 短期（\(\sigma^2 T \ll 1\)）：IL = LVR。
- 中期（\(0 \ll \sigma^2 T < 1\)）：IL与LVR均值相同，但LVR分布接近正态，IL分布呈现近于幂律形式，存在大量小IL路径及极端大IL尾部。
- 长期（\(\sigma^2 T \geq 1\)）：IL和LVR期望及分布均明显不同，LVR近似对数正态分布，IL分布无显著变化，二者均值开始偏离。
- 量化因子构建/策略总结：从IL分布函数累加推导LVR分布
- 设计基于IL的概率分布函数模拟大量独立样本求和，符合中心极限定理，解释了LVR正态分布形成机制。
- 该方法清晰展示了由路径依赖（LVR）和路径无关（IL）两种风险度量产生的统计差异[page::13][page::14].
- 仲裁交易量的规模及其时间步长依赖性 [page::16][page::17]
- 仲裁交易量对价格波动率成线性比例关系，随着时间细分\(N\)增大，总仲裁交易量呈现\(\sqrt{N}\)发散，连续极限不存在。
- 实际中区块时间、手续费及池子刻度构成有限下界，避免无限发散。
- 手续费引入与对IL、LVR的不同影响 [page::17][page::22][page::23]
- 手续费设定交易无套利区间，延迟仲裁事件，构造新的仲裁时间尺度，影响价格调整频率。
- 手续费有效降低LVR，因贸易频率下降导致累积LVR减少，但对IL影响较弱，因IL只考虑始末点价格。
- 费用的正态分布性能部分抵消LVR，令LVR无法完全消除，IL在多数情况下因费用补偿收到正收益。
- 量化模拟总结与设计启示 [page::27]
- IL与LVR虽然紧密相关，但手续费仅能显著降低LVR。
- 交易费用策略应兼顾降低LVR与保证交易活跃度。
- 对抗IL可能需要进一步金融工具如期权套期保值。
- LVR缓解能有效防止流动性提供者因有毒流失而蒙受重大损失。
- 辅助分析（附录）支持关键结论
- 数值模拟和解析方法验证了IL和LVR期望值相等。
- IL分布得益于价格路径回归起点特性导致高频较小损失，LVR累积大致恒定损失。
深度阅读
以下为对论文“Impermanent loss and Loss-vs-Rebalancing II” 的极其详尽和全面的分析解读。
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- 作者：Abe Alexander, Guillaume Lambert, Lars Fritz
- 日期：2025年2月11日
报告核心论点：
本文通过数学分析和数值模拟，揭示了IL与LVR在不同时间尺度下的等价性与分化情况，明确了手续费对二者动态的不同影响，提出了三种主要时间行为模式，并探讨了套利频率、区块时间的竞争关系。作者希望提供直观易懂的理论框架，帮助理解AMM固有风险以及费用结构优化的重要影响。该研究不仅延续了作者相关前期工作，还对IL及LVR的分布函数首次做了详细描述和讨论，补充了相关文献中未覆盖的内容。[page::0,1]
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\[
xy = L^2
\]
这里，$x$、$y$分别为两种代币的数量，$L$为流动性（恒定项），体现池子对价格变化的“弹性”。
价格定义为$ p = \frac{y}{x} $，于是：
\[
x(p) = \frac{L}{\sqrt{p}}, \quad y(p) = L \sqrt{p}
\]
该公式保证交易中代币总价值的守恒，价格反比于代币数量；例如，增加$x$时，必须相应减少$y$。起始状态$ (x0, y0) $满足 $x0 y0 = L^2$，价格初始为$p0 = \frac{y0}{x0}$。[page::2,3]
\[
dPt = P0 \sigma dWt
\]
其中$\sigma$控制波动率，$Wt$为Wiener过程。其离散近似为：
\[
P{t+1} = Pt + P0 \sigma \Delta W
\]
价格变化呈独立正态分布，且允许价格取负值，适合短时间内简化分析。
\[
dPt = \mu Pt dt + \sigma Pt dWt
\]
其离散模型为：
\[
P{t+1} = Pt (1 + \sigma \Delta W)
\]
确保价格始终正值，分布为对数正态，更符合资产价格行为。漂移$\mu$在本文分析中被忽略。
- 短时刻分布极为接近（图1显示$\sigma^2 t$很小时BM和GBM分布几乎重合）。
- 长时间尺度分布有显著差别（图2显示长时间后BM保持正态分布对称，而GBM逐渐偏态，膨胀更明显）。
- BM均值固定，GBM均值呈指数增长。
- 波动在BM中表现为绝对波动，在GBM中表现为相对波动，随价格规模线性放大。
作者指出为简化数学推导与分析，模拟采用GBM，理论计算采用BM概率密度函数便于推导。[page::3,4,5,6,7]
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衡量LP在AMM中持有资产的潜在损失，定义为LP持有资产市值，相较于若直接持有资产（HODL）时的价值差距。公式：
\[
\mathrm{IL}(p, pf) = \mathrm{HODL}(pf) - V(pf) = \frac{L}{\sqrt{p}}\left(1 - \sqrt{\frac{p}{pf}}\right)^2 > 0
\]
LVR考虑的是如果LP在外部维护与AMM中持仓相同的动态资产组合并且不断重平衡，将产生的损失。区别于IL，LVR依赖价格路径和每步的资产调整：
\[
\Delta \mathrm{LVR}(p,p+\Delta p) = \frac{L}{\sqrt{p}} \left(1 - \sqrt{\frac{p}{p+\Delta p}} \right)^2 > 0
\]
---
作者依据价格为随机过程，分析三种时间刻度区间下IL和LVR表现的差异：
\[
\langle \mathrm{LVR}(T) \rangle \approx \frac{L}{4 \sqrt{p}} \sigma^{2} T
\]
\[
\Delta \mathrm{Vol} \propto \frac{L}{2 p^{3/2}} |\Delta p|
\]
---
\[
p{lower} = p{AMM}(1-f), \quad p{upper} = \frac{p{AMM}}{1-f} \approx p{AMM} (1 + f)
\]
- 在价格区间内价格必须“等待”足够大波动越过边界后套利事件才能发生。
- 平均套利步数$\langle N{arb}\rangle$因无套利区大小和波动率$\sigma$、区块时间$\Delta t$而异：
\[
\left\langle N_{\mathrm{arb}}\right\rangle \propto \max\left(1, \frac{f}{\sigma \sqrt{\Delta t}}\right)
\]
- 当$\Delta t \gg \frac{f}{\sigma}$，无套利区效应弱，套利活跃。
- 当$\Delta t \ll \frac{f}{\sigma}$，套利活动被延迟，套利次数大幅减少。
\[
\text{LVR} \propto
\begin{cases}
\sigma^2 T, & \Delta t \gg \frac{f}{\sigma} \\
\frac{\sigma^3 T}{f} \sqrt{\Delta t}, & \Delta t \ll \frac{f}{\sigma}
\end{cases}
\]
\[
\text{Vol} \propto
\begin{cases}
\sigma \sqrt{T} \sqrt{N}, & \Delta t \gg \frac{f}{\sigma} \\
\frac{\sigma^2 T}{p f}, & \Delta t \ll \frac{f}{\sigma}
\end{cases}
\]
---
核心结论总结如下：
未来展望：建议针对非毒性流动性变化、动态手续费最优设计、多样化价格过程等进行深度研究。[page::23,27]
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论文并无传统财务估值模型（如DCF、P/E）讨论，估值相关内容可视为流动性价值损失的定量刻画，侧重统计学意义和风险分布特征。重点：
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本报告主要聚焦于AMM流动性提供者的两类核心风险：
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本文全面系统地剖析了AMM中的无常损失（IL）和损失对比重平衡（LVR）两者之间的关系及其受时间尺度、价格动态模型及手续费影响的变化规律。主要发现包含：
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整体而言，本文为AMM风险分析领域提供了一个结构清晰、理论与实验并重的框架，特别针对IL与LVR的统计性质和手续费影响做出细致的数学与模拟论证。研究结果对DeFi协议设计者优化流动性激励机制、平衡协议收益与风险提供了有力的理论支持与实践指引。[page::0–35]
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如需针对某章节、公式或图表做更深入剖析，欢迎进一步提问。
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一、元数据与概览
- 标题：Impermanent loss and Loss-vs-Rebalancing II
- 作者：Abe Alexander, Guillaume Lambert, Lars Fritz
- 机构：Panoptic Labs；Utrecht大学理论物理与极端物质中心
- 日期：2025年2月11日
- 主题：研究自动做市商（AMMs）中两大关键流动性提供者风险指标——无常损失（Impermanent Loss, IL）与重平衡损失对比（Loss-vs-Rebalancing, LVR）——的统计性质、费用影响、区块时间及连续时间极限等关键因素的关系与动态。
报告核心论点：
本文通过数学分析和数值模拟，揭示了IL与LVR在不同时间尺度下的等价性与分化情况，明确了手续费对二者动态的不同影响，提出了三种主要时间行为模式，并探讨了套利频率、区块时间的竞争关系。作者希望提供直观易懂的理论框架，帮助理解AMM固有风险以及费用结构优化的重要影响。该研究不仅延续了作者相关前期工作，还对IL及LVR的分布函数首次做了详细描述和讨论，补充了相关文献中未覆盖的内容。[page::0,1]
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二、逐节深度解读
2.1 自动做市商（AMM）与价格动态建模
2.1.1 常函数做市商（CFMM）
- 定义：使用最简洁的CFMM模型，即恒定乘积公式：
\[
xy = L^2
\]
这里，$x$、$y$分别为两种代币的数量，$L$为流动性（恒定项），体现池子对价格变化的“弹性”。
- 价格关系：
价格定义为$ p = \frac{y}{x} $，于是：
\[
x(p) = \frac{L}{\sqrt{p}}, \quad y(p) = L \sqrt{p}
\]
该公式保证交易中代币总价值的守恒，价格反比于代币数量；例如，增加$x$时，必须相应减少$y$。起始状态$ (x0, y0) $满足 $x0 y0 = L^2$，价格初始为$p0 = \frac{y0}{x0}$。[page::2,3]
2.1.2 价格动态：布朗运动（BM）与几何布朗运动（GBM）
- 布朗运动（BM）基于加性随机过程：
\[
dPt = P0 \sigma dWt
\]
其中$\sigma$控制波动率，$Wt$为Wiener过程。其离散近似为：
\[
P{t+1} = Pt + P0 \sigma \Delta W
\]
价格变化呈独立正态分布，且允许价格取负值，适合短时间内简化分析。
- 几何布朗运动（GBM）是乘性随机过程：
\[
dPt = \mu Pt dt + \sigma Pt dWt
\]
其离散模型为：
\[
P{t+1} = Pt (1 + \sigma \Delta W)
\]
确保价格始终正值，分布为对数正态，更符合资产价格行为。漂移$\mu$在本文分析中被忽略。
- 两者区别与联系：
- 短时刻分布极为接近（图1显示$\sigma^2 t$很小时BM和GBM分布几乎重合）。
- 长时间尺度分布有显著差别（图2显示长时间后BM保持正态分布对称，而GBM逐渐偏态，膨胀更明显）。
- BM均值固定，GBM均值呈指数增长。
- 波动在BM中表现为绝对波动，在GBM中表现为相对波动，随价格规模线性放大。
作者指出为简化数学推导与分析，模拟采用GBM，理论计算采用BM概率密度函数便于推导。[page::3,4,5,6,7]
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3 IL与LVR的定义与哲学背景
3.1 无常损失（IL）
衡量LP在AMM中持有资产的潜在损失，定义为LP持有资产市值，相较于若直接持有资产（HODL）时的价值差距。公式：
\[
\mathrm{IL}(p, pf) = \mathrm{HODL}(pf) - V(pf) = \frac{L}{\sqrt{p}}\left(1 - \sqrt{\frac{p}{pf}}\right)^2 > 0
\]
- 关键点：IL只依赖价格初末状态，不在乎中间路径，永远非负。
- 含义：即使价格涨跌互抵，若中间波动存在，仍会有损失风险。[page::7,8]
3.2 损失对比重平衡（LVR）
LVR考虑的是如果LP在外部维护与AMM中持仓相同的动态资产组合并且不断重平衡，将产生的损失。区别于IL，LVR依赖价格路径和每步的资产调整：
- 计算差异$ \Delta \mathrm{LVR}$为LP在AMM中的资产变动与影子组合重平衡成本的差。
- 公式给出：
\[
\Delta \mathrm{LVR}(p,p+\Delta p) = \frac{L}{\sqrt{p}} \left(1 - \sqrt{\frac{p}{p+\Delta p}} \right)^2 > 0
\]
- 该损失反映LP在交易时选价（卖出价格往往介于交易前后价格之间）所产生的额外损失。
- 疗法提示：提高价格冲击（减少流动性）或“在终端价格卖出”可缓解LVR。[page::8,9]
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4 无手续费套利阶段下的IL、LVR与套利量关系
作者依据价格为随机过程，分析三种时间刻度区间下IL和LVR表现的差异：
4.1 短时间极限 $(\sigma^2 T \ll 1)$
- IL与LVR完全一致，基于同一表达式，体现价格步幅极小时二者无差异。
4.2 中间时间尺度 $(0 \ll \sigma^2 T < 1)$
- 克服短时刻下的假设体现为价格路径的累计效应。
- 数学推导揭示单步LVR和价差方差成正比，利用Ito引理，LVR均值表现为：
\[
\langle \mathrm{LVR}(T) \rangle \approx \frac{L}{4 \sqrt{p}} \sigma^{2} T
\]
- LVR累积各步损失，分布近似高斯（中央极限定理效应体现，如图4左）。
- IL仅比较起点和终点，分布高度偏斜（大部分路径IL很低，少部分路径损失极大），均值和LVR相当（图4右）。
- 分布函数经过变量替换得出，也说明多数轨迹遭遇低于平均的IL。[page::10,11,12,13]
4.2.1 LVR分布是多次独立IL样本和的中极限定理产物
- 作者通过抽样验证（图5），观察集合IL样本和的分布正态收敛，与理论预期吻合。
4.3 长时间极限 $(\sigma^2 T \geq 1)$
- 价格路径更可能大幅偏离起点，GBM和BM差异拉大。
- LVR分布转为偏态类似对数正态，IL分布变化不大。
- 均值开始出现较大差异，且LVR一般低于IL。
- 指出增加多个IL服从截断幂律分布的和，有可能生成类似对数正态，但不完全一致。
- 详见图6及总结表1。[page::13,14,15]
4.4 套利交易量（Volume）
- 套利量涉及交易的代币数量变化，单步变动约：
\[
\Delta \mathrm{Vol} \propto \frac{L}{2 p^{3/2}} |\Delta p|
\]
- 期望套利量随单步骤大小为线性增长而非二次方（与IL,LVR不同），导致连续时间极限下，套利量发散。
- 即将时间切分为$N$步叠加，套利量随$\sqrt{N}$发散。
- 通过模拟（图7）验证该行为。
- 现实中区块时间、手续费以及锁定价差等机制构成自然下界，解决理论发散问题。[page::16,17]
---
5 费用引入后套利动态变化
5.1 手续费与无套利区
- 手续费$f$使AMM价格存在无套利区间：
\[
p{lower} = p{AMM}(1-f), \quad p{upper} = \frac{p{AMM}}{1-f} \approx p{AMM} (1 + f)
\]
- 套利者只能在价格越界至无套利区外进行套利。
- 模拟贪心随机游走揭示：
- 在价格区间内价格必须“等待”足够大波动越过边界后套利事件才能发生。
- 平均套利步数$\langle N{arb}\rangle$因无套利区大小和波动率$\sigma$、区块时间$\Delta t$而异：
\[
\left\langle N_{\mathrm{arb}}\right\rangle \propto \max\left(1, \frac{f}{\sigma \sqrt{\Delta t}}\right)
\]
- 当$\Delta t \gg \frac{f}{\sigma}$，无套利区效应弱，套利活跃。
- 当$\Delta t \ll \frac{f}{\sigma}$，套利活动被延迟，套利次数大幅减少。
- 该动态通过蒙特卡洛与界限测试模拟并与理论拟合良好（图8、9、10、11）。[page::17~21]
5.2 含费情形下的IL、LVR及套利量表现
- 手续费带来无套利区，显著减少套利机会，疏散LVR形成。
- 统计分析证明：
\[
\text{LVR} \propto
\begin{cases}
\sigma^2 T, & \Delta t \gg \frac{f}{\sigma} \\
\frac{\sigma^3 T}{f} \sqrt{\Delta t}, & \Delta t \ll \frac{f}{\sigma}
\end{cases}
\]
\[
\text{Vol} \propto
\begin{cases}
\sigma \sqrt{T} \sqrt{N}, & \Delta t \gg \frac{f}{\sigma} \\
\frac{\sigma^2 T}{p f}, & \Delta t \ll \frac{f}{\sigma}
\end{cases}
\]
- 模拟显示手续费大幅抑制LVR均值，IL均值影响较小，但部分路径IL因手续费获益转正（图12~14）。
- 费用结构是管理套利过程、减少LVR损失的有效工具，但无法根治IL，仍需对冲策略[page::22~26]
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6 结论与未来研究方向
核心结论总结如下：
- 无论IL还是LVR，对极小概率价格变动表现一致。但随时间增长和波动加大，两者分布和平均值呈现显著差异。
- 中间时间尺度下IL和LVR均线性增长，平方量级依赖波动，但分布差异巨大，LVR趋近正态，IL偏态。
- 套利量增长行为不同，线性依赖波动率且在细时间切分下发散，手续费产生自然截断。
- 手续费在引入无套利区间后降低套利频率和LVR平均值，IL则主要受手续费收益正贡献影响。
- 减少LVR可大幅缓解交易流动性提供者因信息流产生的损失，尽管IL风险依然存在。
- 绝大多数价格路径的IL表现优于平均，手续费可令LVR和IL综合后性能提升。
- 完善手续费策略与对冲机制是促使AMM可持续发展的关键。
未来展望：建议针对非毒性流动性变化、动态手续费最优设计、多样化价格过程等进行深度研究。[page::23,27]
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三、图表深度解读
图1 & 图2 (page 4, 5)
- 显示BM和GBM两种价格动力模型在短时间与长时间尺度下尾部分布差异。
- 短期分布几乎重合，长期GBM表现出长尾及偏态，符合资产价格的非对称行为。
图4 (page 11)
- 对应40000次模拟的LVR（左）与IL（右）频率分布。
- LVR分布紧凑近似正态，平均约2501。
- IL分布极端偏斜，大多数结果趋近0，少数极端高值拉高均值至2515，体现IL大概率低于平均但存在极端尾部风险。
图5 (page 14)
- 10000个随机IL样本求和后分布直方图。
- 显示求和服从中心极限定理规律，呈近似正态分布。
- 验证LVR作为多步IL累积的统计性质。
图6 (page 15)
- 长时间尺度下LVR与IL分布比较。
- LVR左图偏态明显，均值约104万，IL均值达160万以上，差异巨大。
- 显示时间维度和波动率升高显著加大两指标差异。
图7 (page 17)
- 左：交易量随波动率线性增长。
- 右：交易量随时间离散步数平方根倍数发散。
- 模拟数据与理论预测吻合。
图8-11 (page 18-21)
- 展示手续费引入无套利区导致套利次数统计的复杂随机游走模型。
- 通过价格路径与障碍状态的对比，平均套利次数由二次均方关系变为线性关系。
- 模拟数据与解析/拟合结果高度符合。
图12-14 (page 24-26)
- 多次1000步AMM仿真统计不同手续费下LVR、IL及手续费收集分布。
- 展示费用降低LVR均值，同时IL均值几乎无变化。
- 手续费阈值调整影响套利流动性和LP收益分布。
图15-17 (page 32-34)
- 对比IL和LVR在随机价格轨迹上的统计分布与理论解析。
- 显示二者均值一致，IL分布右偏较强，LVR较集中。
- 解析式推导确认两者在无费用且中间时段的平均约等关系。
图24 (page 24)
- 多面板展示一组统计结果，直观比较各种指标及手续费影响。
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四、估值分析
论文并无传统财务估值模型（如DCF、P/E）讨论，估值相关内容可视为流动性价值损失的定量刻画，侧重统计学意义和风险分布特征。重点：
- IL与LVR均是基于价格路径模型（BM/GBM）与流动性数学描述的风险指标。
- 以概率密度与分布函数形式揭示损失分布，而非传统估值框架。
- 采取了短、中、长时间尺度分层分析，体现风险随时间展开特征。
- 仿真验证理论模型精确性。
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五、风险因素评估
本报告主要聚焦于AMM流动性提供者的两类核心风险：
- 无常损失（IL）：价格剧烈波动导致的实际资产价值损失，尤其价格长时间偏离初始点带来高风险尾部。
- 损失对比重平衡（LVR）：动态重平衡操作中产生的频繁小额损失，尤其套利行为频繁时该风险显著。
- 套利交易带来的价格冲击和频率风险。
- 手续费结构影响套利频率与深度，费用过低易导致高套利损失，费用过高或影响流动性。
- 区块时间与价格更新频率引入时序约束，影响套利时间尺度与损耗累积。
- 报告对风险缓释措施提出建议，包括设置合理费用层级、动态手续费调整以及对冲策略配合，减少长期IL及LVR损失。
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六、批判性视角与细微差别
- 报告作者选择BM为理论计算基础，虽便于推导，但其允许负价格的缺陷在长期波动大时可能不够现实。虽然GBM弥补这一不足，但分析难度加大。
- IL与LVR在平均值相等的结论依赖于无费用和理想市场假设，现实中手续费和不完全套利行为可能使LVR表现更复杂，甚至两者均值偏离。
- 统计分布尾部的极端IL值显示流动性提供者面临巨大非对称风险，而本文提示避免此巨大损失的方案较少，主要依赖额外对冲工具。
- 图表与数值结果依赖大量模拟试验，文中未详述部分参数敏感性和市场行为差异可能带来的影响，需要谨慎推广。
- 对手续费对套利行为的阻碍和限时套利模式假设较强，现实市场可能出现更复杂的交易真空和信息不对称效应。
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七、结论性综合
本文全面系统地剖析了AMM中的无常损失（IL）和损失对比重平衡（LVR）两者之间的关系及其受时间尺度、价格动态模型及手续费影响的变化规律。主要发现包含：
- 在极短时间内，IL与LVR完全等价，是同一风险维度的两种表述。
- 在中间时间范围，两者均值相当但分布迥异，LVR呈高斯分布而IL高度偏斜，说明大多数价格路径IL小于平均。
- 长期波动显著时，两者均值和分布差异扩大，LVR趋于对数正态，IL保守正态近似。
- 套利交易量随时间步密度分裂出发散行为，手续费引入无套利区间平滑套利频率，减少LVR均值。
- 手续费机制有效减少LVR带来的损失，但对IL无显著缓解作用，只有结合对冲策略才能降低IL巨大尾部风险。
- 绝大多数价格走势下LP面临比理论均值更低的IL风险，说明手续费对净收益正贡献的重要性。
- 模型理论严谨、结合大量模拟，图文数据解读完整，实用价值高，适合深入理解AMM内生风险与优化策略。
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整体而言，本文为AMM风险分析领域提供了一个结构清晰、理论与实验并重的框架，特别针对IL与LVR的统计性质和手续费影响做出细致的数学与模拟论证。研究结果对DeFi协议设计者优化流动性激励机制、平衡协议收益与风险提供了有力的理论支持与实践指引。[page::0–35]
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如需针对某章节、公式或图表做更深入剖析，欢迎进一步提问。
