端到端神经网络架构设计及核心模块 [page::5][page::6]

• 模型由滞后变换模块、双向LSTM特征值清洗模块和多层感知机逆边际波动率估计模块组成。

- 联合学习输入收益的滞后加权、相关性矩阵的特征值非线性滤波及边际波动率转换，实现组合逆协方差估计及权重计算。

• 损失函数为未来实现的投资组合方差，端到端训练优化组合风险[page::5][page::6]

滞后变换模块发现的权重函数与数据变换解读 [page::10][page::11]

• 学习得到的滞后权重随时间呈幂律衰减, 最近40%滞后贡献一半权重，表现接近超几何加权移动平均。

- 滞后变换包含软截断功能，远期滞后收益被压缩至符号信息，增加变换的鲁棒性和阶级相关性的连续变化。

• 滞后变换使相关性测度短滞后时近似斯皮尔曼相关，长滞后时近似Phi系数[page::10][page::11]

神经网络特征值清洗的模式与表现 [page::10][page::12]

• 采用双向LSTM捕获样本协方差矩阵的特征值局部相互作用，实现旋转不变估计。

- NN映射压缩特征值谱的主体区间范围，类似截断式滤波，同时保留极端特征值区分力。

• 清洗后特征值对输入数据不敏感，类似资产无关的静态AO方法，增强了估计稳定性[page::10][page::12]

逆边际波动率估计网络的激活特征 [page::11][page::12]

• MLP网络对输入样本标准差进行非线性变换，平坦化低波动尾部，放大高波动尾部。

- 该简单分支独立处理各资产波动率，为模型提供可调节的边际波动率再缩放[page::11][page::12]

回测表现 - 无约束长短头寸结果 [page::13][page::14]

| Method | SR | Volatity | Mean Return | Neff | Turnover | Gross Leverage |
|--------|-------|----------|-------------|------|----------|----------------|
| NN | 1.011 | 0.109 | 0.110 | 15.2 | 1.125 | 3.07 |
| QIS | 0.942 | 0.111 | 0.105 | 10.6 | 0.440 | 3.81 |
| AO | 0.907 | 0.121 | 0.110 | 28.6 | 0.163 | 2.13 |
| PM | 0.902 | 0.114 | 0.102 | 10.3 | 0.534 | 4.00 |
| LS | 0.893 | 0.115 | 0.103 | 7.2 | 0.708 | 4.74 |
| MLE | 0.868 | 0.117 | 0.102 | 6.5 | 0.785 | 5.01 |

• NN策略获得最高夏普比率1.01，波动率10.9%，但伴随较高的周转率和杠杆率。

- QIS紧随其后但杠杆率更高，AO表现稳健但交易活跃度最低。

• 高周转反映NN对最新信息的敏感，交易成本需权衡[page::13][page::14]

回测表现 - 长仓约束下表现 [page::13][page::14]

| Method | SR | Volatility | Mean Return | Neff | Turnover |
|--------|-------|------------|-------------|------|----------|
| NN | 0.792 | 0.135 | 0.107 | 16.5 | 0.469 |
| AO | 0.740 | 0.146 | 0.108 | 33.2 | 0.098 |
| LS | 0.723 | 0.142 | 0.103 | 13.6 | 0.142 |
| PM | 0.721 | 0.143 | 0.103 | 17.6 | 0.131 |
| MLE | 0.721 | 0.142 | 0.102 | 13.3 | 0.143 |
| QIS | 0.719 | 0.142 | 0.102 | 13.5 | 0.138 |

• 长仓约束下模型表现趋于一致，NN仍取得最高夏普比率和最低波动率。

- AO持仓更分散且周转率最低。

• NN反应速度快，导致更高周转，体现对市场条件的敏感调整[page::13][page::14]

高度贴近实盘交易成本模拟实证 [page::16][page::17]

| | SR | Mean Return | Volatility | Max Drawdown | Turnover | Neff |
|-------|-------|-------------|------------|--------------|----------|------|
| NN | 1.046 | 0.122 | 0.117 | -0.350 | 0.589 | 33.4 |
| AO | 0.951 | 0.118 | 0.124 | -0.374 | 0.179 | 45.4 |
| PM | 0.880 | 0.109 | 0.124 | -0.387 | 0.224 | 23.9 |
| QIS | 0.859 | 0.107 | 0.125 | -0.388 | 0.230 | 19.0 |
| MLE | 0.858 | 0.107 | 0.125 | -0.385 | 0.248 | 17.9 |
| IVP | 0.678 | 0.123 | 0.181 | -0.504 | 0.058 | 728.0|
| MCAP | 0.483 | 0.094 | 0.195 | -0.542 | 0.065 | 133.1|

• 在包含交易费、滑点及杠杆成本的模拟环境中，NN实现最高夏普比率和最低最大回撤。

- NN表现随着2012年后更加突出，持续优于竞品，体现其强稳健性。

• 多变量方法远超单变量逆波动率和市值加权基准[page::16][page::17]

核心贡献与未来研究方向 [page::17]

• 提出面向GMV组合的端到端神经网络，结合物理启发的结构提升泛化能力与稳定性。

- 模型揭示超几何滞后权重分布、非线性截断、基于双向LSTM的特征值清洗逻辑。

• 可解释性强，符合金融行业对透明度的要求。

- 未来方向涉及上下文感知的协方差滤波、特征向量去噪、模块动态耦合及结合收益预测的扩展[page::17]

金融研究报告深度解析

报告元数据与总体概览

报告标题：
"END-TO-END LARGE PORTFOLIO OPTIMIZATION FOR VARIANCE MINIMIZATION WITH NEURAL NETWORKS THROUGH COVARIANCE CLEANING"

作者及机构：

• Christian Bongiorno（Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, France）

- Efstratios Manolakis（Università di Catania, Italy）

• Rosario Nunzio Mantegna（Università degli Studi di Palermo；Complexity Science Hub Vienna）

发布日期及范围：
论文涵盖1990年至2024年的美股市场数据，并测试模型至2024年12月。

核心研究议题：
本报告利用旋转不变的神经网络架构，通过协方差矩阵的清理，端到端地学习并优化全球最小方差（Global Minimum-Variance, GMV）投资组合，探索基于机器学习的协方差估计与投资组合优化的融合。

核心论点与目标：

• 设计并训练一个能够从历史收益中学得协方差清理机制的神经网络，同时联动学习时间滞后变换和边际波动率正则化。

- 该模型数学上高度解释性，映射了经典GMV投资组合的解析形式，并具备维度无关性（维度可从数百股票扩展到上千股票）。

• 在2000年至2024年的样本外（OOS）测试中，模型实现了比最先进的传统与非线性收缩（NLS）方法更低的实测波动率、更小最大回撤和更高Sharpe比率。

- 训练的模型虽为无约束（long-short）组合作出权重预测，但其学习得到的协方差表示可应用于长仓约束下的优化，性能损失极小。

• 该方法在考虑实际交易成本、滑点、交易所费用及杠杆借贷成本的现实框架下仍表现优越，且在市场极端波动期间保持稳定。

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逐节详解与分析

1. 引言（Introduction）及研究背景

• 现代投资组合理论（MPT，Markowitz 1952）确立了使用资产收益协方差矩阵对投资组合风险进行严格量化的框架。

- 投资组合优化的传统步骤分为：参数估计（主要是资产协方差矩阵）及优化执行。由于金融市场的高效性，预测收益极为困难，协方差预测则稍易，成为关注重点。

• 机器学习（尤其是神经网络）在投资组合优化中备受关注。现有方案涵盖“预测后优化”以及“端到端优化”等模型，但存在宇宙规模受限、数据泄露、基准不均、一致性较差等问题。

- 本文旨在通过端到端结构设计，实现一个映射经典GMV问题步骤的模块化神经网络，并验证其规模外推广能力。

• 关键创新为设计旋转不变的协方差估计，通过频谱调整（Eigenvalue Cleaning）提升协方差矩阵估计的稳健性。

[page::0,1,2]

2. 数学基础 （Mathematical Background）

2.1 GMV投资组合的统计性质

• 假设投资组合长时间样本内有独立同分布多元正态收益样本，GMV权重表达式：

\[
\mathbf{w} = \frac{\widehat{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \widehat{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}}
\]

• 其中 \(\widehat{\Sigma}\)是样本协方差矩阵估计。实际样本协方差存在采样误差导致的风险膨胀，样本比率\(q = n/\Delta t\)越接近1，误差越大。

- 权重可用协方差矩阵的特征分解表示，权重对每个风险模态的贡献为其对应特征向量和特征值的逆权重调节，强调了特征值清理和特征向量准确性的必要。

• 实际样本特征向量估计是受噪声污染，导致投资组合风险极大，且实际数据的非稳定性（协方差时变）和重尾（较重的四阶矩估计方差）进一步恶化估计。

- 长仓约束下GMV问题仍是凸优化，但无解析式，需数值方法求解。

2.2 协方差矩阵的谱估计与清理技术

• 样本协方差存在噪声导致矩阵估计偏离真值，旋转不变估计器（Rotation Invariant Estimator, RIE）通过调整特征值保持特征向量不变减少噪声。

- 函数\(f\)定义了从样本特征值映射至清理后特征值的谱变换，具非分离性和置换等变性等数学性质，深刻影响架构设计。

• 最优\(f^\star\)是Frobenius范数意义下的Oracle估计（需真实协方差不可实现）。Ledoit–Péché非线性收缩和其数值近似QuEST提供理论基础。

- 文中指出Frobenius范数下最优估计虽然数学上优，但并非投资组合方差意义下的最优，存在偏差。

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3. 神经网络架构设计与模块详解

3.1 滞后变换模块（Lag-Transformation）

• 设计可学习参数的时滞权重\(\alphat\)及软截断边界\(\betat\)对历史收益做时间衰减及极端值抑制。

- 返回数据按照时间被不同权重调整，软截断通过双曲正切函数调节离群点影响，参数共同学习保证灵活性。

• 实验中发现权重呈幂律衰减，显著区别于传统指数衰减，表现为“超调权重平均”（HWMA）结构。

3.2 特征值清理模块（Eigenvalue Cleaning）

• 构建基于RIE理论的谱过滤模块，以双向长短期记忆网络（BiLSTM）处理递增排序的样本特征值序列。

- 设计遵循样本特征值作为一维“库仑气体”，特征值间存在近邻交互及非负硬边界，BiLSTM有效捕捉局部到全局交互关系，避免指数级复杂度爆炸。

• 输出通过softplus激活保证正值，并归一化保持总尺度。此模块编码高维估计的复杂谱结构和样本噪声抑制。

- 网络参数规模适中且具有稳定的长短期记忆平衡可替代为轻量级GRU网络。

3.3 边际波动率估计分支

• 输入经滞后变换处理的资产日收益标准差，经3层全连接网络及softplus激活映射为逆边际波动率。

- 该模块保持结构简单，将低波动率资产评级略减，高波动率资产进行适当上调，协助调整投资权重分布。

3.4 模型训练与目标函数

• 端到端训练目标为最小化未来观测到的投资组合方差，使用无偏估计的实际OOS协方差矩阵计算投资组合风险。

- 输入为经过滞后变换的历史收益序列，输出为经过谱滤波和波动率转换的逆协方差矩阵及相应投资权重。

• 训练范围跨不同资产规模（\(n\in[50,350]\)），保证模型尺度不依赖资产数量，支持泛化扩展。

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图表与数据深入解读

图1 — NN架构示意图（第5页）

• 展示三大模块流向，输入收益数据先经滞后变换，再分支为计算样本相关矩阵和标准差的两个平行路径。

- 样本相关矩阵特征值输送至BiLSTM特征值清理模块，特征向量直接参与最终反演协方差矩阵。

• 边际波动率块输出逆波动率，三者合成估计逆协方差矩阵，计算GMV权重。

- 设计凝练体现GMV解析公式结构，清晰流程映射递归神经网络等现代网络机制。

图2 — 训练与验证损失曲线（第10页）

-展示多次独立训练的训练损失与验证损失轨迹，反映无过拟合迹象，验证损失同样连续下降保证泛化能力。
-收敛大约在60个epoch后稳定，100个epoch训练足矣保持性能。

图3 — 滞后权重与变换函数（第11页）

-上方两图揭示αt和βt的时间作用权重特征：αt符合幂律衰减，βt呈饱和递增，近似软截断强度随时间增大。
-下方变换示意图，较远滞后数据几乎被二值化（符号信息，Phi系数相关），近期数据保留近乎斯皮尔曼相关性质的连续度。
-该动态变换提升了滞后数据处理的灵活性与鲁棒性。

图4 — 特征值敏感度分析（第12页）

-左图比较MLE、QIS和本NN处理后的中位数光谱，NN清理收敛于压缩的特征值块，类似于截断硬剪枝，区别于平滑收缩的QIS。
-右图表明NN法对光谱块的估计稳定性更高，即对输入样本的敏感度更低，显示出对资产无关的稳健性，模仿平均Oracle特性。

图5 — 边际波动率转换函数（第12页）

-NN映射曲线使低波动资产波动率变换趋于平坦，而高波动资产的波动率被扩张，帮助风险增权，更精细地调整边际风控。

表1 — 无约束组合回测绩效（第14页）

| 方法 | Sharpe比率(SR) | 年化波动率 | 年化收益率 | 有效资产数 | 换手率 | 总杠杆率 |
|-------|-----------------|------------|------------|------------|--------|----------|
| NN | 1.011 | 10.9% | 11.0% | 15.2 | 112.5% | 3.07 |
| QIS | 0.942 | 11.1% | 10.5% | 10.6 | 44.0% | 3.81 |
| AO | 0.907 | 12.1% | 11.0% | 28.6 | 16.3% | 2.13 |
| PM | 0.902 | 11.4% | 10.2% | 10.3 | 53.4% | 4.00 |
| LS | 0.893 | 11.5% | 10.3% | 7.2 | 70.8% | 4.74 |
| MLE | 0.868 | 11.7% | 10.2% | 6.5 | 78.5% | 5.01 |

• NN表现出最高的Sharpe比率，波动率最小，收益率最高，有效资产数适中，换手率最高且杠杆较QIS低。

- QIS次之，但杠杆最大，换手率较低。

• 高换手率的潜在交易成本是局限，需现实环境模拟评估。

表2 — 长仓约束组合回测绩效（第14页）

| 方法 | SR | 波动率 | 收益率 | 有效资产数 | 换手率 |
|-------|-----|---------|---------|-------------|--------|
| NN | 0.792 | 13.5% | 10.7% | 16.5 | 46.9% |
| AO | 0.740 | 14.6% | 10.8% | 33.2 | 9.8% |
| 其他方法均SR约0.72，波动率约14.2%。

• 长仓约束下各清理方法差别收窄，NN依旧领先，换手率较高，表现出更敏捷的市场响应。

- 高换手率意味着更大交易成本，需进一步拟合现实交易环境。

表3 — 长仓约束及真实交易成本模拟（第16页）

• 在包含Interactive Brokers交易佣金、滑点、融资成本和交易费用的高逼真模拟中，

- NN依然取得最高Sharpe比率（1.046），最低最大回撤（-35%），次优收益与最小波动率，换手率约59%，资产持仓约33只。

• AO排名次之，表现稳定但波动率与回撤略高。

- 其他模型和无因子基准表现逊色。

图6 — 2024年份度序列绩效趋势（第17页）

• NN组合净值长期领先AO、MLE和MCAP基准，2012年后差距加大。

- 滚动波动率长期低于AO，除2020疫情期间短暂逆转。

• 年度最大回撤，NN组合普遍优于AO，体现风险控制优势。

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估值方法与技术细节解析

• 本报告不直接估值公司资产，而聚焦于投资组合风险的最小化问题，使用现代投资组合理论框架。

- 主要利用旋转不变估计器调整特征值，结合LSTM变换实现动态非线性谱清理。

• 采用端到端深度学习调参以最小化未来实际投资组合收益率方差的目标函数，即投资组合实际风险的直接优化，摒弃传统的基于Frobenius范数等间接损失。

- 利用贝叶斯与随机过程观点解释特征值互动，映射为带相互排斥力的样本特征值“库仑气体”，LSTM捕捉变量在线性以外的复杂谱结构。

• 投资组合权重计算基于估计的逆协方差矩阵的闭式公式，快速、稳定。

- 训练跨资产数量、时长窗口变化，提升模型在实际中的适应性和泛化能力。

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风险因素评估

• 采样误差与估计偏差：样本协方差误差放大投资组合风险，边际波动率及协方差矩阵不稳定影响最终组合表现。

- 非平稳性与结构变化：市场结构波动及风险因子变化导致传统估计失效，报导模型通过时间衰减并端到端学习减少此风险。

• 重尾风险分布：资产收益非高斯且重尾，部分金融学假设失效，导致传统随机矩阵理论局限；神经网络通过数据驱动自适应调整相对缓和。

- 交易成本及市场冲击：高换手率带来的滑点及经纪费用可能侵蚀净收益，模拟器中真实考虑此项，结果仍显示优越性能，但实际应用需权衡。

• 杠杆风险：无约束优化时杠杆水平较高，可能增加融资及平仓风险。长仓约束虽降低杠杆但损失部分优化优势。

- 模型过拟合：训练跨时间和资产进行，损失曲线同步下降，验证集表现优秀，减小过拟合风险。

模型从根本上减少协方差估计误差及结构性风险，同时结合完整交易成本模拟体现了全面风险管理思路。

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批判性分析与报告细节观察

• 本文强调了Frobenius范数基础的传统RMT方法在风险最小化目标上的不足，并以端到端方法改进，视角先进且理论联系实际。

- 架构通过显式嵌入GMV解析表达式、提升可解释性，避免机器学习模型黑盒问题，符合行业实践需求。

• 滞后变换模块采用学习的功率衰减与软截断策略创新，能更灵活处理多时段数据，创新点突出。

- 特征值清理采用BiLSTM角度新颖，巧妙兼顾谱局部与全局依赖，显著解决传统深度集和注意力机制维度爆炸限制。

• 换手率较高，交易成本对策虽部分模拟但实际机构投资中依然属于挑战，存在应用门槛。

- 长仓限制下优势有所收窄，意味着若实际需长仓策略，模型仍需调整与优化。

• 投资组合仅以风险最小化为目标，尚未整合收益预测，未来工作建议结合收益估计提升实用性。

- 涉及的训练窗口固定为1200天且滞后长度固定，扩展灵活性还有待进一步研究。

• 所用数据范围时间长且处理细致，减少未来信息泄露风险，整体设计严谨。

- 论文部分数学公式书写及符号有轻微排版错误，不影响内容理解但需注意。

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结论性综合总结

本文提出并验证了一种面向全球最小方差投资组合优化的端到端神经网络架构，其创新点在于融合经典GMV数学框架与现代机器学习技术，通过三大模块（滞后变换、双向LSTM特征值清理、边际波动率MLP）协同优化协方差矩阵估计并直接最小化未来投资组合风险。

系统：

• 自动学习有效时序信息的滞后衰减及异常阈值控制，将历史收益转化为更加稳健的输入特征。

- 采用基于“库仑气体”物理类比的双向LSTM，捕获样本协方差特征值间复杂局部和全局交互，实现谱变换最佳清理。

• 利用简单却有效的神经网络转换边际波动率，增强波动率分布调整灵活性。

实验表明，该模型经过24年历史数据训练可泛化到1,000只股票的规模，表现均优于包括非线性收缩（QIS）、平均Oracle及样本MLE在内的基准方法：

• 无约束组合Sharpe比率最高、风险最低。

- 强化的长仓约束条件仍保持优异表现。

• 在包含交易成本和滑点的高仿真交易环境中，收益与风险指标均优于竞争模型。

- 收益相关变量和最大回撤也表现稳定，尤其在2012年以后表现突出，说明模型对现代市场动态适应强。

此外，模型结构设计本身数学可解释，搭建了明确与经典MPT公式的桥梁，避免纯黑盒缺陷，有助实务接受和推广。

未来方向包括：

• 将特征值滤波设计成市场环境依赖的动态模型。

- 将谱估计扩展至特征向量，增强风险因子识别能力。

• 模块间联动优化，而非独立操作。

- 由纯风险最小化扩展至含收益估计的完整均值方差分析，可能通过引入可微优化层实现。

综合来看，报告展现了机器学习技术与金融经典理论深度融合的实证价值，对风险管理和投资组合优化提供了强有力的工具创新，值得进一步研究与产业应用。

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附：关键图表展示

图1 - 神经网络架构示意：


图2 - 训练与验证损失趋势：


图3 - 滞后权重和变换函数：


图4 - 特征值敏感度比较：


图5 - 边际波动率变换：


图6 - 现实交易约束下净值、波动率与最大回撤动态：


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（以上所有分析、引用严格对应报告原文内容及页码[page::0–21]）

报告