• 研究背景与模型设定[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4]:

- 以经典的Cramér–Lundberg风险模型为基础，加入均值回复型Ornstein–Uhlenbeck过程模拟市场及客户数波动，构造跳跃扩散式风险过程。
- 再保险策略定义为比例再保险，策略取值范围为[0,1]，且为自适应到当前状态的信息。
- 优化目标为期望终端财富效用与破产概率的线性加权，权重由参数β控制，其边界分别对应单纯效用最大化和单纯破产概率最小化。

• 破产概率与代理损失函数的转换[page::5][page::6]:

- 破产概率通过表示为指标函数的期望形式关联分类问题，但非平滑指标使得直接优化困难。
- 用参数化的tanh型平滑代理损失函数替代指标函数，实现代理目标的可微优化。

• 算法化再保险策略与神经网络表达能力[page::7][page::8][page::9]:

- 提出用深度前馈神经网络作为函数逼近器，表达自适应比例再保险策略，输出经过logistic映射确保在(0,1)区间。
- 理论证明了在有限样本空间及多目标加权函数下，算法化再保险策略能任意接近最优策略。尽管理论非构造性，但为神经网络训练寻优提供数学基础。

• 数值实验设定与参数[page::10]:

- 采用指数分布理赔，泊松理赔到达，参数基于文献继承，风险厌恶指数α=0.3，调整因子β=0.4，OU过程参数具体列于表1。
- 神经网络结构为两层隐层，每层32节点，tanh激活，输出层为sigmoid激活，训练集与测试集均规模巨大以保证拟合质量。

• 代理损失对破产概率拟合效果验证[page::11]:

- 计算无再保险时破产概率约34.1%，代理损失函数随着参数γ增大稳定逼近该破产概率，γ=10时表现良好。

• 不同β权重下最优再保险保留水平函数[page::12]:

- β=1（纯效用最大化）策略保留比例恒定。
- β=0（纯破产最小化）策略表现为初期高保留率，随后快速下降并收敛于较低水平。
- β=0.4基准模型中，策略在某阈值后保留比例有上升趋势，体现效用权重对策略的影响。

• 期望效用与生存概率的Pareto权衡曲线[page::13]:

- 通过调节β生成Pareto前沿，展示在提升期望效用的同时必然牺牲生存概率或反之的矛盾关系。
- 所有最优再保险策略均优于无再保险方案（以星号标记）。

• 结论[page::13]:

- 方法有效将期望效用最大化与破产概率最小化转化为单目标可微优化。
- 深度学习方法具有良好的数值表现，适应复杂风险模型和多目标控制需求。
- 拓展研究建议涵盖更多优化目标、复杂多维模型和鲁棒策略开发。

金融科研报告详尽分析报告

报告标题： Reinsurance with Neural Networks
作者： Aleksandar Arandjelović, Julia Eisenberg
发布机构： 维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳工业大学统计及数学方法研究所
发布日期： 未给出具体年月，但引用范围及技术表明为2020年代初期最新研究
主题： 以深度学习方法优化再保险策略，具体针对保险公司的盈余控制和破产概率管理问题，结合Cramér-Lundberg模型与扩展风险过程的数学建模。

---

1. 元数据与报告概览（引言与摘要）

报告关注的问题是保险公司在面对保险理赔风险与市场相关盈余波动时，如何通过购买再保险同时控制最终期望财富和破产概率。研究的核心是基于一个多目标优化问题，目标函数是期望终端财富的效用与修改的Gerber–Shiu罚函数的加权组合。论文提出利用神经网络的方法近似求解该最优再保险策略问题。模型采用经典的Cramér-Lundberg盈余过程（带有跳跃的复合Poisson过程）并加入了均值回复型Ornstein–Uhlenbeck过程作为扩展扰动，通过数值实例验证方法有效性。报告强调多目标优化（终端财富效用与破产概率）结合深度学习方法的创新点。

关键词涵盖最优控制、深度学习、风险过程、破产概率与Pareto解对应关系等，符合现代保险数学与金融风险管理的交叉研究领域核心关注点。

总结来说，本报告在保险风险管理的理论与数值求解层面提供了结合机器学习的创新思路，旨在解决传统数值方法难以处理的多维、非线性最优控制问题。[page::0,1,2]

---

2. 逐节深度解析

2.1 引言与背景分析

• 经典Cramér-Lundberg模型提供保险公司盈余的数学建模框架，用定常漂移与复合Poisson过程模拟盈余动态。

- 作者指出现实风险不仅来自理赔数量和规模的跳跃，还包括客户数量变化、随机利率以及市场相关性等因素，构成多源随机扰动。

• Gerber（1970）模型引入布朗运动扰动，使得模型具有一维马尔科夫性质，能更真实地反映保险盈余，但优化复杂度大增。解决方案传统依赖粘液能力解法（viscosity solutions）求解Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。

- 传统最优控制目标通常聚焦于最小化破产概率，此外还有分红、资本注入及终端财富效用等指标，但同时考虑多目标优化的研究相对有限。

• 作者的研究针对一个三维问题（时间、跳跃状态、扩散状态），构建多目标目标函数，采用反馈控制（基于部分状态的策略），实现更灵活的控制。反馈控制策略便于机器学习建模。

- 本文任务通过神经网络寻找反馈控制策略的最优解，填补了多目标损害控制策略求解的研究空白。[page::0,1,2]

2.2 数学模型描述（第2节）

• 模型设定了离散时间框架内的保险盈余过程，盈余受保费收入、再保险成本、理赔率及小额扰动（例如小额理赔或保费波动）影响。

- 设有一个$\mathbb{F}$-适应的随机过程$Y$捕捉信息流，承保人控制比例再保险比例$bi\in [0,1]$。

• 盈余更新方程：

$$ X{i+1}^b = Xi^b + pi - c(bi) + Li - bi \sum{j=Ni+1}^{N{i+1}} Zj $$
其中$pi$为保费，$c(bi)$为再保险支付，$Li$为扰动，$Zj$为理赔率。

• 使用连续效用函数$u$对终端财富进行度量，且定义可接受策略集$\mathcal{A}$为使期望效用有限的策略。

- 关键目标函数（编号(2)）：
$$ \sup{b \in \mathcal{A}} \left\{ \beta \mathbb{E}[u(Xn^b)] - (1-\beta) \mathbb{P}(\min{0\leq i \leq n} Xi^b < 0) \right\} $$
通过参数$\beta \in [0,1]$权衡效用最大化与破产概率最小化。$\beta=1$仅效用最大化；$\beta=0$仅破产概率最小化。这个线性组合形式将多目标优化转化为单目标优化。

• 该模型具高度通用性，允许跳跃过程自激发、扰动为一般扩散过程等扩展，适应现实中复杂的保险及金融市场情形。

- 采用经验风险最小化方法和统计学习理论框架，通过给定的样本数据及参数化预测函数族拟合最优控制，从而实现基于数据驱动的最优再保险策略学习。

• 本节展示了经典优化方法因指标中断裂型指示函数存在困难，而需引入替代损失函数的必要性，为后续代理损失函数（surrogate loss）的设计奠定基础。[page::3,4]

2.3 破产概率与二元分类问题（第2.1节）

• 破产概率表述为指标函数的期望$\mathbb{E}[\mathbb{1}{(-\infty,0)}(Fb(Y))]$，$Fb(Y) = \mini Xi^b$。

- 破产概率优化等价于寻找最优分类器$Fb$，区分破产和非破产事件。此二元分类任务具有典型机器学习问题属性。

• 直接优化指标函数困难，因其非光滑非凸特性，难以运用梯度方法。

- 提出采用平滑的代理损失函数$g\gamma$, 例如参数化tanh形式，连续逼近指标函数，利用$\gamma$控制逼近精度。

• 代理函数示例图（图1，page 6）清晰展示了不同$\gamma$下的平滑程度，$\gamma$越大越接近硬分类。

- 理论证明了代理损失函数的极限期望收敛到实际破产概率，即：
$$ \lim{\gamma \to \infty} \mathbb{E}[g\gamma(Fb(Y))] = \mathbb{P}(\mini Xi^b<0) $$
（需假设零点无质量点，即破产边界状态非离散）。

• 这一代理方法突破了指标函数不可微的局限，使得深度学习和随机梯度下降可行。

- 该代理罚函数本质为一种广义Gerber-Shiu函数，具有丰富的精算数学内涵，巧妙连接多目标优化与机器学习技术。[page::5,6]

2.4 神经网络算法化再保险策略（第3节）

• 神经网络作为策略函数映射$Y0,...,Yi$到比例$bi$，其模型类为深层前馈网络 $\mathcal{NN}{k,l,n}(\psi)$，隐藏层使用非线性可微激活函数$\psi$，输出层采用logistic函数确保输出取值落在$[0,1]$符合比例再保险定义。

- 算法化策略定义了策略如何随状态信息反馈调整，带来了动态适应性和灵活性。

• 该设计也适用于其他复杂再保险形式，诸如超额损失等，后者可通过网络学习阈值映射实现。

- 引入了经典的“泛函空间中的神经网络通用逼近定理”，证明算法化策略能在理论上任意逼近最优策略。

• 关键理论定理（Theorem 3.3）证明：对于有限样本空间，存在算法化神经网络策略使得目标函数值任意逼近最优值。该证明利用Doob–Dynkin引理、L2空间拟合和激活函数性质构造逼近序列，结合测度论保证收敛。

- 该理论为后续采用神经网络求解多目标优化问题（含破产概率代理项）提供数学保证。

• 讨论了非构造性限制，即定理保证存在解但未给出具体训练算法的收敛保证，对此指出经验风险最小化结合SGD训练是现实解决路径。

- 相关的网络结构与激活函数选用、稳健训练策略、对多任务优化容纳能力也有学术基础支持，鼓励后续对更复杂网络及任务拓展。

• 该章节再保险优化从经典数学转为现代机器学习范畴，完成了重要理论桥接。[page::7,8,9]

2.5 数值实验（第4节）

实验设定（参数与模型假设）

• 盈余过程是Cramér–Lundberg模型加上Ornstein–Uhlenbeck过程作为附加扰动。理赔率$Z$ 服从指数分布，且理赔次数$N$为离散Poisson过程，二者独立。

- 设定保费采用期望值原则收取，带有安全费用载荷，适合再保险公司费用定价原则。

• 采用指数效用函数，风险厌恶参数$\alpha$，方便数学处理和经济解释。

- 设定具体参数包括初始资本$C=1$，时间期限$T=10$，时间步$10$步；理赔率均值$\mu=1$，到达率$\lambda=1$，保险人和再保险人安全载荷分别$\eta=0.5$，$\theta=0.7$；OU过程均值回复速率$\xi=0.2$，均值回复水平$\kappa=0$，跳动参数$v=0.05$。

• 神经网络结构：两层隐藏层，各32个单元，激活函数为tanh，输出层为logistic函数，输入为盈余。训练采用Adam优化器，初始学习率1e-3，batch大小$2^{14}$，训练2000个batch，测试集大小$2^{25}$，配备学习率退火和早停，保证训练质量。

- 该设置结合了经典统计学保险模型与现代机器学习高效算法，平衡了理论严谨与实践可行性。

验证代理损失函数修正破产概率的有效性（图2，page 11）

• 计算无再保险策略（$bi \equiv 1$）下破产概率约为34.1%。

- 对比不同参数$\gamma$的代理损失函数的期望值，随$\gamma$增大接近真实破产概率。

• 证明代理损失函数作为离散、多目标优化问题损失的有效近似。

- 图2图像清晰展现该收敛趋势，为后续使用代理损失训练再保险策略提供理论及经验支撑。

再保险策略随$\beta$与资本变化（图3，page 12）

• $\beta$是效用最大化与破产概率最小化的权重。三组策略对比$\beta=0$纯破产概率最小化，$\beta=1$纯效用最大化和$\beta=0.4$基准。

- 纯破产概率最小化策略在正盈余区间内执行严格风险规避（低留存率），符合学界文献。

• 纯效用最大化策略留存率恒定，不考虑风险，策略较为激进。

- 权衡策略则表现出资本起始阶段较激进，达到一定资本后留存率下降，以兼顾风险，展示多目标优化的灵活性。

• 说明以模型融合风险和效用目标对策略动态调整的合理解释。

Pareto解示意及收益风险权衡（图4，page 13）

• 图4展示不同$\beta$下的预期效用与生存概率（1-破产概率）之间折中关系组成的Pareto前沿。

- 明显能看出随着预期效用提高，生存概率下降，反之亦然。模型解决了一个典型多目标优化权衡问题。

• 图5星号点显示完全无再保险策略性能较低，证明优化再保险策略的经济意义。

- 通过训练得到的曲线为Approximate Pareto front，表示神经网络近似策略在不同权重下的有效性。

• 结果限定于具体参数设置且有训练误差，但实证效果证明技术方向开阔未来研究空间。

---

3. 关键图表解读

图1（page 6）: 代理损失函数 $g_\gamma$ 随参数变化

• 三条不同$\gamma$的曲线展现$tanh$型平滑函数如何近似硬指标函数，当$\gamma$越大，函数越陡峭，越像指示函数。

- 表明通过可调节平滑度，可以控制训练的数值稳定性与优化准确度的权衡。

• 该图像为神经网络能优化非光滑目标提供平滑替代的直观示例。

图2（page 11）: 无再保险时代理损失值与真实破产概率比较

• 横坐标为$\gamma$，纵坐标为期望代理损失值，随着$\gamma$增大，代理损失逐渐逼近真实破产概率~34.1%。

- 早期$\gamma$偏小时，代理损失明显高估破产概率，且表现为逐步递减趋势。

• 证明上述平滑函数的代理有效性及如何选取合适$\gamma$参数（本研究取$\gamma=10$）为后续策略学习提供依据。

图3（page 12）: 选取不同$\beta$值时最优策略留存率与初始资本关系

• 横轴为初始资本值，纵轴为留存比例。

- $\beta=0$（纯破产概率优化）曲线呈现典型跳跃形态，正资本底部留存较低保障安全。

• $\beta=1$（纯效用最大化）曲线常数，忽略风险。

- $\beta=0.4$曲线则介于两者间，表现出多阶段特征：微调留存率以权衡风险与效用。

• 突显模型对风险管理与收益目标的有效融合，以及策略对资本态势的敏感度。

图4（page 13）: Pareto折中曲线 — 生存概率与效用期望间的折衷

• 曲线显示随着$\beta$变动，生存概率与期望效用存在权衡关系，形成近似Pareto前沿。

- 星号表示无再保险的性能点，明显处于明显劣势区域，体现采用优化策略的实用价值。

• 曲线光滑、分布合理，反映训练与模型拟合的较高质量。

- 为决策者提供风险-收益权衡的可视化依据，辅助保险公司策略选择。

---

4. 估值分析与优化方法

• 报告无明确现金流贴现或传统账面估值分析。核心估价体现在期望效用函数及惩罚函数加权。

- 优化采用经验风险最小化（Empirical Risk Minimization），结合带平滑代理的损失函数，适用于分类与回归的联合目标。

• 训练方法为随机梯度下降及其变体Adam，适合大规模非凸优化。

- 神经网络作为函数逼近器学习反馈策略，实质为无模型或半模型机器学习求解方法，区别于经典偏微分方程（HJB）解析解。

• 估值范围隐含在所选参数条件与模型假设内，优化目标是最大化组合效用，而非传统市场估价。

- 解释了存在哪些数值误差：代理函数误差、数据集大小限制及神经网络逼近误差。

---

5. 风险因素评估

报告主要风险涉及：

• 模型风险：假设的独立性和变动过程（Poisson过程，OU扰动）的具体参数设定可能与实际不符。

- 代理损失误差风险：替代函数逼近指标函数存在偏差，尤其当随机变量取零值概率非零时。

• 训练优化风险：神经网络可能陷入局部极小，训练未必全局最优。

- 数据有限性风险：离散时间点和离散样本大小限制逼近能力。

• 策略可解释性风险：复杂的深度神经网络策略难以解释，增加操作风险。

报告虽未明确列出缓解机制，但理论中允许控制误差大小，后续可用更大样本、更复杂网络和正则化等技术应对。模型假设上的弹性也允许未来扩展研究降低系统性风险。

---

6. 批判性视角与细节

• 该方法的非构造性本质是理论保证存在最优策略，但缺乏对训练过程收敛性的严格数学证明，需要依赖数值实验验证。

- 代理损失函数参数$\gamma$的选取对训练效果影响较大，存在权衡难题。

• 文中仅测试了部分模型参数，缺少对模型鲁棒性的深入分析，例如参数不确定性、不同风险厌恶程度对策略的影响。

- 仅采用离散时间和有限维状态，真实市场可能存在更多动态和维度变量，扩展难度未充分讨论。

• 纯比例再保险假设使模型较为简化，现实中超额损失等其他再保险形式更常见，尚待进一步探索。

- 训练过程的样本生产依赖模型模拟，若模型本身误差较大，则策略学习的科学有效性将受限。

• 未明确讨论参数估计误差和市场模型风险对策略稳定性的潜在影响。

---

7. 结论性综合

本报告提出了一种基于神经网络的创新框架，用于解决保险公司再保险策略的多目标优化问题，融合了最大化终端财富期望效用和最小化破产概率的目标函数。报告理论上证明该方法在有限样本的经验风险最小化框架下具备泛函逼近能力，并通过平滑代理损失函数避免非平滑指标损失带来的优化困难。数值模拟验证了该方法在Cramér–Lundberg模型与Ornstein–Uhlenbeck扰动的复合风险模型中的有效性。

具体的数值结果显示，代理损失函数能够较好逼近破产概率；优化得到的反馈控制策略在固定风险偏好参数情况下适应盈余水平调整留存率；通过调节多目标权重参数$\beta$，模型可在效用和安全性之间找到Pareto有效的折衷策略，且优于无再保险策略。图表清晰诠释了代理损失逼近性质、多目标权衡结果以及最优策略的盈余敏感性。

整体而言，报告成功将经典保险风险优化问题与现代深度学习技术结合，展示了机器学习在复杂非线性多目标风险管理中的潜力与可行性。研究为保险业应用数据驱动再保险策略优化提供了理论与方法基础，开辟了未来探索更广泛模型与策略形式的方向。

---

总结：报告全面系统地衔接了保险精算数学模型、风险过程理论、多目标风险度量引入、深度学习算法设计与理论泛函逼近证明，辅以充分数值实验，体现跨学科研究的深刻看法和实践价值，是保险风险管理领域引入现代人工智能方法的典范研究实例。

[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]

报告