• 研究背景与问题：欧式期权定价中考虑经济状态由连续时间马尔可夫链切换，导致BSM及Heston模型内参数随状态不同而变化，无法获得封闭式解[page::0][page::2][page::3]。

- 现有方法局限：传统定价方法如Monte Carlo模拟、FFT、树模型运算量大，且频繁参数变动导致需重复计算，难满足衍生品实时定价需求[page::1]。

• 物理信息深度学习 (PIDL) 与残差学习框架 (RL) ：PIDL融合偏微分方程物理定律于神经网络结构，通过残差连接避免深层网络退化问题，提升训练效率与泛化能力。所提PIRL网络利用PDE物理嵌入，实现刻画期权动态的损失函数，有效约束模型输出[page::1][page::5][page::6][page::7]。

• 模型构建与训练数据设计：

- BSM模型参数采样范围：$S0\in[40,100]$, $r\in[0.01,0.025]$, $\sigma1\in[0.1,0.3]$, $\sigma2\in[0.1,0.4]$, $T\in[0,4]$ ，用于生成二维状态$(t,T,St,r,\sigma1,\sigma2)$训练集[page::8]。
- Heston模型参数采样范围更宽：包括相关系数$\rho \in[-0.85,-0.55]$, 均值回复速率 $\kappa\in[1.4,2.6]$等，输入包含$(t,T,(St,vt),r,\kappa,\theta,\sigma1,\sigma2)$[page::9]。

• 超参数调优与模型选择：

- BSM最佳架构：8层深，16神经元，测试损失最低。
- Heston最佳架构：6层深，32神经元，达成较低误差。

| Hidden Layers | Hidden Units | Physics Loss | Total Loss | Test Loss |
|---------------|--------------|--------------|------------|-----------|
| 8 | 16 | 0.0013 | 0.0015 | 0.0006 |
| 6 | 32 | 0.0036 | 0.0039 | 0.0071 |

[page::10]

• 结果对比与性能验证：

- BSM模型PIRL定价结果与解析表达式高度一致，支持大范围参数，单次定价即时完成，显著优于解析方法3小时批量需求，误差指标MAE约0.009-0.02，MSE小于0.0015。



- 25000样本点拟合曲线几乎匀线，验证模型稳定性与准确性。



- Heston模型PIRL结果通过蒙特卡洛模拟验证，涵盖价内(ITM)、临近价(ATM)、价外(OTM)期权，各参数设定下预测均落入98%置信区间，误差控制良好。



- 标准Heston模型(无状态切换，$\sigma1=\sigma2$)下PIRL定价同样表现优异，展现模型泛化能力。

• 量化策略与因子构建：该报告无涉及量化因子或投资策略生成部分，主要专注于期权定价数学建模与深度学习方法实现。

- 结论摘要：
- PIRL方法高效、灵活，支持参数广泛分布，适合复杂经济状态切换模型欧式期权定价。
- 经验证，PIRL定价兼顾准确性和计算速度优势，显著优于传统数值方法，具实时应用潜力。
- 可拓展至更复杂资产定价模型及路径依赖期权。
- 训练期需架构精心设计和参数调优，目前仍依赖实验经验。

[page::15][page::16]

金融研究报告深度分析报告

European Option Pricing in Regime Switching Framework via Physics-Informed Residual Learning

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1. 元数据与概览

• 报告标题：《European Option Pricing in Regime Switching Framework via Physics-Informed Residual Learning》（通过物理信息残差学习框架研究的再生切换环境下欧式期权定价）

- 作者：Naman Krishna Pande, Puneet Pasricha, Arun Kumar, Arvind Kumar Gupta

• 所属机构：Indian Institute of Technology Ropar（印度理工学院罗帕尔分校）数学系

- 主题：该文关注使用物理信息残差学习（Physics-Informed Residual Learning, PIRL）方法来定价在经济状态（regime switching）变换模型下的欧式期权。研究的核心在于，传统闭式解无法获得的情况下，PIRL如何通过结合深度学习与物理模型(PDEs)高效解决期权定价问题。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要

• 关键论点：

- 文章提出基于PIRL的欧式期权定价方法，针对状态切换（Regime Switching）模型，这是一种传统方法难以获得闭式解的情形。
- PIRL模型在训练完成后，不需要重新训练即可实现快速计算，极大提升了效率和灵活性，适用于广泛的参数和模型规格。

• 推理依据：

- 结合了深度学习的表达能力和数学物理模型中 PDE（偏微分方程）的刚性约束，使模型更有泛化能力且对训练数据依赖减少。

• 关键词：欧洲期权, 状态切换, 物理信息残差学习, 期权定价, 数值解法, PDE。

2.2 引言

• 背景：

- 期权作为金融衍生品具有对冲和投机双重功能，Black-Scholes-Merton（BSM）模型虽然划时代，但存在局限。
- 研究社区开发了更复杂的模型，例如随机波动率模型、跳跃扩散模型，以及状态切换模型（利用马尔可夫链反映经济环境的变化）。

• 状态切换模型意义：

- 经济状态可导致资产价格参数（如波动率）发生切换，符合现实经济的非平稳动态特征。

• 现有困难：

- 复杂模型通常缺乏闭式解，数值计算成本高，在金融市场中尤为不便，尤其是行情快速变化时需及时计算。

• 技术进展：

- 推介物理信息深度学习 PIDL，将数学模型结构（PDE）内嵌至深度学习结构中，从而减少训练数据需求，提高模型准确性和泛化能力。

• 相关文献：

- 引用了PIDL在物理问题（如薛定谔方程、交通流模型）和金融（BSM、Heston模型等）中的应用。

• 研究空白与贡献：

- 当前，状态切换与物理信息相结合在金融期权定价中的应用尚不充分，本文提出首个基于PIRL的欧式期权定价框架，[page::0,1]

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2.3 模型框架（第2节）

• 假设市场无摩擦，资产价格$St$受到经济状态$Xt$（两状态马尔可夫链，牛市状态1和熊市状态2）影响。

- 期权价值为风险中性测度下贴现的期权收益期望。

• BSM状态切换模型：

- 资产动态为带状态依赖的GBM：
$$ dSt = \mu{Xt} St dt + \sigma{Xt} St dWt $$
- 价格满足两个耦合的偏微分方程（PDE系统），包含转换率$\lambda{ij}$连接两个状态。
- 边界条件涵盖期权到期和无限价的限制。
- 当$\lambda{ij}=0$或$\sigma1=\sigma2$时，模型退化成经典BSM。

• Heston状态切换模型：

- 引入随机波动率$vt$，且$vt$本身也受到状态切换影响。
- 随机方程包含均值回复、波动率的波动（Vol of Vol）等参数，且两个状态下$\sigmai$不同。
- 同样构建出两个状态下耦合的PDE系统。
- 模型边界条件更复杂，涵盖波动率极限。
- 当转换率为0时降为标准Heston模型。

• 这种耦合多状态系统确保了对经济现实中波动的建模更为准确。[page::2,3,4,5]

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2.4 物理信息残差学习（PIRL）（第3节）

• PIRL结合了深度学习和包含物理约束PDE的知识，避免单纯ML泛滥数据问题，实现“灰盒”模型。

- 残差学习结构：
- 利用ResNet的残差连接改善深层网络训练难题（梯度消失、退化问题）。
- 网络设计允许跳层连接增强信息流通，训练更深、更精准。

• 模型具体结构：

- 输入参数包括时间、资产价格、模型参数等。
- 多层全连接层，每层输出与输入连通，形成残差路径。

• 训练损失函数设计（第3.1节）：

- 损失由物理损失（偏微分方程误差）、到期边界误差和边界条件误差三部分组成。
- 物理损失保证输出满足PDE方程，边界条件误差保证满足期权定价边界。
- 采用L-BFGS-B优化算法训练该网络，Pyhton+Tensorflow实现。

• 这使得训练后的模型无需重复训练即可快速输出新的不同参数下的期权价格，极大提升计算效率。[page::5,6,7,8]

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2.5 训练和校准（第4节）

• 训练数据生成：

- BSM模型下状态向量为资产价格，参数如利率、两状态波动率等，均在一定范围内随机采样（见表1）。
- Heston模型下状态向量为资产价格与波动率的二元组，参数包含长期均值、均值回复速率、波动率状态切换等，均随机采样（见表2）。

• 转换率$\lambda{12}, \lambda{21}$固定为指定值（如2和1或2和3）。

- 网络结构调优：
- 通过实验不同隐藏层数量（如2层-8层），每层神经元数（16、32、48）测试性能。
- 对比物理损失和总损失以及验证集损失，选择最优架构，BSM为8层16单元，Heston为6层32单元（见表3、4）。

• 训练样本规模：

- BSM：$NA = 20000$，测试样本5000，训练时长约18分钟。
- Heston：$NA=30000$，测试样本10000，训练时长未详。

• 数据准备和超参数选择依赖经验和实验，目前尚无自动最优方法。[page::8,9,10]

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2.6 数值结果验证（第5节）

5.1 BSM状态切换模型验证

• 选定最佳网络架构后，对单参数组合进行定价，与文献的解析解对比。

- 图2显示PIRL估计的期权价格在到期(期权价值为行权价减基础资产价的正值)和期初时均与解析解高度吻合。

• 观察到PIRL自然满足边界条件（$Vi(S\to\infty,t) \to 0$），即使没有在训练中明确设定此条件。

- 广泛采样25000个参数并计算，PIRL模型与解析结果表现出极小的误差且计算效率显著更高：解析解平均耗时3小时，PIRL训练仅18分钟，训练后即时推断（图3）。

• 误差统计表（表5）显示MSE和MAE均处于极低水平，验证了PIRL的定价准确度。

5.2 Heston状态切换模型验证

• 同样选择最优网络架构，利用蒙特卡洛模拟生成验证数据。

- 仅改变期权到期时间，固定其他参数，体现PIRL对不同期限定价动态的学习能力。

• 结果显示PIRL价格基本落在蒙特卡洛的98%置信区间之内，精度良好（图4）。

- ITM期权价格初期下降后上升的复杂走势被PIRL准确捕捉。

• 通过调整状态切换波动率参数相同，PIRL能退化为标准Heston模型，依然保持较好拟合效果（图5，表7）。

- 总体误差控制在可接受范围，展示了PIRL在更复杂模型中的适用性及高效性。[page::10,11,12,13,14,15]

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3. 图表深度解读

• 图1（第6页）：PIRL网络结构示意图

- 展示了4层隐藏层的残差连接，每层输出与最初输入相连，实现梯度信息的顺畅传播。
- 视觉上易于理解PIRL如何缓解深层网络问题。

• 表1（第8页）：BSM模型训练参数取值范围

| 参数 | 取值范围 | 备注 |
|:----:|:--------:|------|
| $S0$ | [40, 100] | 初始标的价格 |
| $r$ | [0.01, 0.025] | 风险利率 |
| $\sigma1$ | [0.10, 0.30] | 状态1波动率 |
| $\sigma2$ | [0.1, 0.40] | 状态2波动率 |
| $T$ | [0,4] | 到期时间 |
| $t$ | [0, T] | 当前时间 |

• 表2（第9页）：Heston模型训练参数范围

| 参数 | 范围 | 描述 |
|------|-------|------|
| $S0$ | [40,100] | 初始股价 |
| $v0$ | [0.01,0.1] | 初始波动率 |
| $\rho$ | [-0.85, -0.55] | 两布朗运动相关系数 |
| $r$ | [0.015, 0.025] | 无风险利率 |
| $\kappa$ | [1.4, 2.6] | 均值回复速率 |
| $\gamma$ | [0.01, 0.1] | 长期均值 |
| $\sigma1$ | [0.1, 0.45] | 状态1波动率波动 |
| $\sigma_2$ | [0.35, 0.75] | 状态2波动率波动 |
| $T$ | [0,4] | 到期时间 |
| $t$ | [0, T] | 当前时间 |

• 表3（第10页）：BSM模型网络训练与测试误差

- 测试损失最低为8层16单元：测试损失约0.0006，优于其他配置。
- 说明网络深度和宽度对精度影响明显，残差连接有效缓解训练深层网络难题。

• 表4（第10页）：Heston模型网络训练结果

- 最优配置为6层32单元，测试损失最低（约0.0071），过浅或过窄网络误差明显增加。

• 图2（第12页）：BSM模型不同经济状态下的期权价格曲线

- (a)(b) 到期时期权价格与理论收益完全重合，展现准确边界条件。
- (c) 期初（$T-t=1$年）期权价格，PIRL与解析解完全对齐。
- 说明PIRL捕捉了整个期限的价格动态。

• 图3（第13页）：基于25000随机参数样本PIRL预测结果与解析解对比散点图

- 数据点分布几乎聚集在对角线上，代表预测精度极高。
- 体现PIRL模型泛化能力及训练充分性。

• 图4（第14页）：Heston模型不同时间到期、不同价内程度的期权价格

- PIRL曲线紧贴蒙特卡洛模拟点及置信带，捕捉期权价格动态。
- 特别是ITM期权价格先降后升的复杂行为被精准模拟。

• 表6（第14页）：Heston模型下不同期权类型的误差

- MAE普遍低于0.1，MSE同样较小，说明模型定价精度足够金融工程实用。

• 图5（第15页）：无状态切换Heston模型价格对比，PIRL显著拟合蒙特卡洛数据。

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4. 估值方法分析

• 本文主要依赖物理信息神经网络（PIRL）拟合由状态切换的BSM和Heston模型定义的偏微分方程。

- 传统估值方法：
- BSM状态切换：解析解通过特征函数求积分法（傅里叶逆变，见附录A）得到。
- Heston状态切换：蒙特卡洛模拟，基于Euler-Maruyama离散解轨迹的均值计算。

• PIRL未直接计算传统估值公式，取而代之的是基于PDE残差训练深度网络，训练一次后可快速生成不同参数的估值。

- 估值的关键假设包括：
- 状态切换参数稳定，转换率固定。
- 相关性和波动性按模型预设变化。

• 报告未涉及敏感性分析，但通过广泛参数随机采样表现网络鲁棒性。

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5. 风险因素评估

• 报告内未显式展开对PIRL方法或模型假设的风险评估。

- 潜在风险包括：
- 模型假设风险：状态切换模型假设市场状态可用有限马尔可夫过程表示，可能忽略市场更复杂非马尔可夫性。
- 训练风险与泛化风险：PIRL性能依赖大量训练数据和精心调参，架构选择仍依靠试验，存在过拟合或欠拟合风险。
- 算法风险：PIRL基于梯度优化，可能陷入局部最优，训练监控不充分影响结果稳健性。
- 计算稳定性和边界条件适配风险：尽管PIRL能够自然满足边界条件，但极端参数和市场冲击下其表现未明确。

• 报告亦未提出具体缓解策略，主要依赖经验调参和多样化训练数据。

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6. 批判性视角与细微差别

• 优势：

- PIRL融合物理方程约束，减少对大量标注数据的依赖。
- 快速推断能力对实际交易市场极具价值。

• 局限：

- 架构选择和超参调优依赖人工实验，尚无自动化有效方案。
- 训练数据虽涵盖广泛参数，但现实市场环境更复杂，如跳跃、非连续状态等尚未纳入。
- PIRL适用范围局限于欧式期权，路径依赖型期权需要进一步探索。

• 内部一致性：

- 文中模型假设及方法逻辑清晰，数值结果充分验证理论，整体结构严谨无内在矛盾。

• 技术拓展点：

- 可尝试结合LSTM、Transformer等架构，提升动态路径依赖定价能力。
- 深入研究跳跃扩散或其他非高斯过程扩展。

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7. 结论性综合

本文系统地提出并验证了基于物理信息残差学习（PIRL）的状态切换模型下欧式期权定价方法。核心贡献在于：

• 利用深度残差网络，嵌入BSM和Heston状态切换PDE方程，实现对欧式看跌期权价格的高效近似。

- 训练后可实现即时推断，对金融市场训练后参数敏感度低，适合高频、实时定价需求。

• 在BSM模型下，与解析积分解对比，定价误差极小，训练过程耗时远低于传统数值方法。

- 在Heston模型下，PIRL预测价格紧密落在蒙特卡洛模拟置信区间内，表现出色。

• 多样参数采样表明模型具备良好泛化能力，适用ITM、ATM和OTM等不同状态期权。

- 报告中的图表（图2、3、4、5）及表格（表1-7）的数据均支撑以上结论：
- 图2和3展示PIRL在BSM模型下的准确及高效性。
- 图4和5展示PIRL成功推广到更复杂的Heston模型且稳定性良好。
- 表3和表4明确了最优深度和宽度，保障训练效果。
- 表5、6、7的误差统计印证了PIRL定价精度。

• 总体来看，作者展示了PIRL作为金融量化工具在复杂状态切换框架下快速精准期权定价的潜力，提供了传统数值方法的高效替代方案。

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注：所有结果和结论均严格基于该报告原文内容，引用详细页码见文末注明，如[page::2,10,14]等。

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感谢阅读本深度分析报告。若需技术细节或代码实现协助，报告团队已开放代码请求。

报告