商品组合风险的双向分解框架与数学原理 [page::4][page::6][page::7]

• 基于资产的风险分解通过协方差矩阵与资产权重确定整体风险及边际风险贡献，满足欧拉分解原则。

- 基于因子的风险分解引入风险因子矩阵和特定风险分解，允许正交因子提升风险分解的有效性。

• 因子权重与资产权重通过Moore-Penrose逆矩阵建立对应关系，因子协方差及特定风险矩阵构成组合整体风险结构。

因子相关性与协方差矩阵估计方法选择 [page::9][page::10][page::11]

| 因子 | Bond | Inflation | Liquidity | Currency | Cycle |
|------------|--------|-----------|-----------|----------|--------|
| Bond | 1.00 | 0.23 | -0.37 | 0.07 | -0.11 |
| Inflation | 0.23 | 1.00 | 0.25 | 0.04 | -0.12 |
| Liquidity | -0.37 | 0.25 | 1.00 | -0.11 | 0.06 |
| Currency | 0.07 | 0.04 | -0.11 | 1.00 | -0.16 |
| Cycle | -0.11 | -0.12 | 0.06 | -0.16 | 1.00 |

• Bond因子与Inflation、Liquidity高度相关，部分冗余，导致因子风险贡献负值，故实务中选取Inflation、Liquidity和Currency三个因子进行分析。

- Ledoit-Wolf压缩法相比样本经验协方差和因子模型，更能有效降低估计条件数，提升协方差矩阵稳定性。

多种风险管理组合构建与风险贡献特征 [page::18][page::20][page::22]

• 最小方差组合资产配置集中于波动率较小品种，风险贡献受限，难以控制风险因子贡献。

- 最大分散化组合提高分散率，风险贡献分布多样，包含波动率较高和中等品种。

• 风险等权组合实现各资产风险贡献均衡，权重与等资产权重相近，总体波动居中。

- 四种组合在2014-2017年净值走势相近，最小方差波动最小，风险等权介于最小方差与等权之间。

基于风险预算的动态组合策略研究 [page::22][page::24][page::25]

• 风险预算组合目标函数针对资产或因子的风险贡献度匹配预定预算比例，通过优化实现风险相对分配控制。

- 风险预算策略不能控制组合总体风险绝对水平，但有效控制因子贡献相对大小。

• 通过因子风险等权以及风险预算权重设定，实现对不同风险因子贡献的灵活配置，特定风险因子作为独立因子考虑。

实证策略表现与换手率控制 [page::26][page::27][page::31]

• 基于因子风险预算的无限制组合换手率较高，加入换手率限制后持仓更集中，风险贡献度更稳定。

- 单因子暴露组合设计通过极化风险预算权重实现对个别宏观风险因子的单一暴露，优化结果受限于约束条件和特定风险。

• 动态滚动风险预算策略根据当期风险因子暴露动态调整组合，表现出持续跟踪因子风险的能力，滚动风险预算组合1年化收益率达12.9%，夏普比率0.44，显著优于同期商品指数。

商品组合的风险分析与风险管理——深度分析报告

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1. 元数据与报告概览

• 标题：《商品组合的风险分析与风险管理》

- 作者： 李晓辉，高级分析师（金融工程）

• 机构： 上海东证期货有限公司，东证衍生品研究院

- 时间： 2017年12月14日

• 主题： 商品期货组合风险识别、分解与管理，基于资产与风险因子的风险预算策略研究

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核心论点： 本报告主要分析了商品组合的风险来源及其分解方法，提出资产基础和因子基础的两类风险分解技术，剖析了基于多因子模型的风险管理优势，强调风险因子正交性对于组合风险预算的重要性。报告同时通过丰富的实证，验证多目标函数的组合构建方式（包括最小方差、最大分散化、风险等权等），并开发了基于风险因子的风险预算策略，以期更有效地控制投资组合的风险暴露，提升组合收益风险表现。作者最终得出结论，风险因子视角提供了更清晰和更有效的风险控制框架，且滚动风险预算策略展现较优的年化收益和夏普比率，表明基于风险因子的管理方法具有较强实用价值。[page::0, 4, 33]

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2. 报告章节深读与剖析

2.1 商品组合风险的来源

报告指出，传统的马科维茨模型假设风险来自于资产本身，适合资产数量较少且相关性不强的情形。但实际商品组合数量多且资产相关性强时，基于资产的分析难以有效控制组合风险。而Barra因子模型视角将风险来源定义于风险因子，因子风险具有正交性（独立性），风险贡献可更加明确，从而有助于精细化风险预算管理。[page::0, 4]

2.2 组合风险分析理论推导

2.2.1 基于资产的风险分解

组合风险用资产权重向量 $\mathbf{x}$ 和资产协方差矩阵 $\pmb{\Sigma}$ 描述：

$$
\sigma(\mathbf{x}) = \sqrt{\mathbf{x}' \pmb{\Sigma} \mathbf{x}} = \sqrt{\sum{i}^{N} \sum{j}^{N} xi xj \operatorname{Cov}(ri, rj)}
$$

资产 $i$ 的边际风险贡献（Marginal Contribution）为：

$$
MCa(xi) = \frac{(\pmb{\Sigma} \mathbf{x})i}{\sqrt{\mathbf{x}' \pmb{\Sigma} \mathbf{x}}}
$$

风险贡献度（Risk Contribution）为权重乘以边际：

$$
RCa(xi) = xi \cdot MCa(xi) = \frac{xi (\pmb{\Sigma} \mathbf{x})i}{\sigma(\mathbf{x})}
$$

该分解满足欧拉分解原则，即所有资产风险贡献度总和等于组合整体波动率。该方法适合资产数量较少时使用，但资产数量较大且样本量较小时，历史协方差矩阵估计偏差大，优化结果敏感且计算复杂。例如商品组合资产数量较少时适用，但股票F OF组合则不适。[page::4, 5]

2.2.2 基于因子的风险分解

多因子模型表述资产收益 $ra$ 为因子暴露矩阵 $\mathbf{A}$ 与因子收益 $\mathbf{f}$ 的乘积加上特定风险 $\pmb{\varepsilon}$：

$$
\mathbf{r}a = \mathbf{A}\mathbf{f} + \pmb{\varepsilon}
$$

其中，协方差矩阵分解为因子协方差和特定风险：

$$
\pmb{\Sigma} = \mathbf{A} \pmb{\Omega} \mathbf{A}' + \mathbf{D}
$$

组合收益率向量与因子权重向量 $\mathbf{y} = \mathbf{A}' \mathbf{x}$ 相关，解线性方程 $\mathbf{B}\mathbf{x} = \mathbf{y}$ 中因子权重映射资产权重存在非唯一通解，反映了资产权重的自由度由特定风险部分 $\tilde{\mathbf{y}}$ 控制。

风险贡献度可被分解为普通风险因子和特定风险因子两部分，且同样满足欧拉分解原则：

$$
R = \sumi RCf(fi) + \sumj RCf(\tilde{f}j) = \sigma(\mathbf{x})
$$

作者深刻阐述基于风险因子分解等价于基于资产分解，核心区别在于基的不同和转化关系。因子模型因其风险因子间较低相关性，使风险分解更精准且优化更有效。[page::6, 7, 8]

2.2.3 理解风险贡献度正负值

通过公式：

$$
RCa(xi) = \frac{xi \sumj \rho{ij} \sigmai \sigmaj xj}{\sigma(\mathbf{x})}
$$

风险贡献度正负由资产权重及协方差（相关系数）决定。在仅允许多头时，贡献度一般非负。负值出现时意味着资产风险与组合相反，可能源于资产与其他资产间负相关。无做空限制时负贡献度更常见。

风险因子权重可正可负，边际风险涉及协方差与暴露矩阵广义逆乘积，只有在因子暴露与组合协方差结构充分条件下才能保持风险贡献度预期符号。[page::8, 9]

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2.3 实证分析

2.3.1 风险因子选择及相关性

采用南华商品组合19品种（PTA、白糖、甲醇等）等权组合进行分析。初步采用5宏观因子（Bond、Inflation、Liquidity、Cycle、Currency）时，因子贡献度多有负值，与因子间较强相关阻碍风险贡献清晰度。相关性矩阵显示 Bond 和 Inflation、Liquidity 高相关，因而选取 Inflation、Liquidity 和 Currency 三因子表现更为稳健合理。[page::9, 10]

（图表1展示因子相关性矩阵）

采用20000组随机权重仿真验证风险贡献分布，确认Bond因子贡献多数为负，Cycle接近零，因而筛选出三个因子以简化风险模型。（图表2-4展示随机权重与风险贡献箱线图）[page::10]

2.3.2 协方差矩阵估计方式对比

采用样本经验协方差、Ledoit-Wolf压缩协方差及因子模型估计协方差三种估计方法比较。因子模型在非对角元估计误差显著偏大，特定风险占比较高（约57%），主要因假设特定因子收益独立不成立及因子解释度不足（调整 $\bar{R}^2$仅43%）。

Ledoit-Wolf方法有效降低协方差估计条件数，提升矩阵的稳定性和优化鲁棒性。整体选择Ledoit-Wolf方法并用2年日度数据以确保估计准确性和计算效率。（图表5-7显示协方差非对角项、对角项及条件数曲线）[page::11, 12]

2.3.3 等权重组合实证风险分解

等权组合中，资产风险贡献度最大为波动率高的橡胶、焦炭、螺纹钢，小的有玉米、黄金。因子风险贡献波动更大，货币因子（Currency）2016年4月前占主导，随后流动性(Liquidity)和通胀(Inflation)增加。波动特征反映宏观环境敏感性及商品价格动态。（图表8-11显示资产与因子风险贡献分布）[page::13, 14]

2.3.4 商品指数风险分解实证

以南华商品综合指数和监控中心商品综合指数为例：

• 南华指数主要风险贡献源自铜、螺纹钢、橡胶、焦炭等黑色系品种，风险贡献度近年黑色系占比上升。风险分散度分析（基于香农熵）显示风险分布较为集中，前五品种累计贡献约70%。（图表12, 13）

- 因子分解显示2011-2015年宽货币环境中，Currency因子贡献最大，之后Liquidity因子作用增加，与宏观资金面及美元指数走势一致（图表14-16）。

• 监控中心指数风险贡献较南华指数更分散，配置偏向豆粕和白糖等农产品，收益风险结构相对多元（图表17-19）[page::14-17]

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2.4 组合风险管理

2.4.1 常见主动管理组合构建

• 最小方差组合（MV）

目标最小化组合风险，约束权重非负且和为1。实证中MV组合集中配置低波动资产如玉米、黄金，忽略波动大品种，因子风险贡献主要为特定风险，整体合规组合风险低但因子风险覆盖不足。（图表20-23）

• 最大分散化组合（MD）

目标最大化分散化率（加权均值波动率与组合波动率比值）。分散于多种波动水平适中的品种，因子风险贡献更均衡。（图表24-27）

• 风险等权组合（ERC）

确保每资产贡献相同风险，目标方程是最小化风险贡献差异，约束非负权重和为1。组合资产权重与等权重接近，因子风险贡献表现类似。（图表28-31）

净值表现显示MV风险最低，ERC风险次之，等权风险最大，收益率差异不大，ERC位列中间，符合经典理论预期。（图表32-33）[page::18-22]

2.4.2 风险预算组合

• 基于资产的风险预算

通过设定风险预算向量 $\mathbf{b}$，目标函数最小化资产风险贡献占总风险比与预算的差异。约束非负权重和为1，使用序列二次规划求解。但风险预算解析解不存在，优化结果依赖组合Beta（敏感度）调节，并受资产间相关性影响。等权风险是风险预算特例。[page::22-24]

• 基于因子的风险预算

风险预算向量定义于因子空间，仅涉及普通因子权重，忽略无法确定的特定因子。激励函数相似，约束为权重归一且非负。实操中需注意优化问题存在无解、收敛慢，因引入了暴露矩阵，优化条件数增大，换手率高。[page::24]

2.4.3 换手率限制的风险预算组合

交易成本隐含在换手率中，优化目标加入换手率限制（$TO_t \leq 0.33$），使组合更稳健、控制交易频率。该控制降低了组合权重波动，使得换手率更加合理，有利于实际应用。[page::24-26]

2.4.4 典型因子风险预算组合

• 因子风险等权组合

将Inflation、Liquidity、Currency及特定风险预算均分，维护相对稳健风险暴露。无换手率限制时换手率较高，加入限制后换手率显著下降，持仓更加集中且波动率降低。配置黄金等品种偏高。（图表34-38）

• 单因子暴露组合

通过高权重单一因子预算攫取单因子波动，类似“主题投资”组合。通常多因子模型特定风险不为零，单因子暴露完美实现难度较大。

• 滚动风险预算组合

依据因子风险贡献比例动态调整组合暴露，组合1保持暴露于最大贡献因子，组合2回避最大贡献因子。组合1年化收益12.9%，夏普0.44，表现优于组合2（4.2%年化，夏普0.09）及因子等权组合（4.2%年化，夏普0.10），且远超同期主流商品指数。（图表39-55）[page::25-32]

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3. 图表深度解读精华

• 图表1（风险因子相关矩阵）：显示Bond与Inflation及Liquidity高度相关，表明Bond与其它因子信息重叠，选择因子需剔除冗余以增强因子间正交性。[page::10]
• 图表2-4（随机权重风险贡献分布）：验证风险贡献度随权重分布的波动趋势，Bond因子风险贡献大面积负值，不适合做主因子，最终选用三个因子简化分析。[page::10]
• 图表5-7（协方差估计对比）：因子模型估计协方差矩阵非对角项偏小，导致协方差矩阵偏差较大；Ledoit-Wolf压缩法显著降低协方差矩阵条件数，提高矩阵稳定性及投资组合优化可靠性。[page::11-12]
• 图表8-9（等权组合资产风险贡献）：橡胶、螺纹钢、焦炭等波动大品种风险贡献较高，风险易集中。资产风险分布具备长期趋势稳定特点。[page::13]
• 图表10-11（等权组合因子风险贡献）：因子贡献波动明显，显示经济和货币环境对因子影响，组合风险间接反映宏观经济变迁。[page::13]
• 图表12-13（南华指数风险贡献排序与累积）：前五资产贡献近70%，风险较为集中，也反映指数对主导品种敏感度较强。[page::14]
• 图表14（南华指数因子风险贡献）：由Currency到Liquidity再到Inflation的主导因子转换，反映宏观经济形势的变化对组合风险的影响。[page::15]
• 图表15-16（南华指数与美元及流动性因子走势）：高度相关的风险因子与宏观指标同步，验证因子模型的实际有效性。[page::16]
• 图表20-23（最小方差组合）：权重高度集中于低波动资产，风险集中，因子风险无法被广泛覆盖，易导致因子风险敞口控制欠缺。[page::18-19]
• 图表24-27（最大分散化组合）：风险贡献较均衡，配置更均匀，兼顾风险分散化支持多样化风险敞口。[page::19-20]
• 图表28-31（风险等权组合）：实现风险贡献均衡，持仓较均衡，且因子风险贡献结构与等权组合类似，保持较好风险分散。[page::20-21]
• 图表32-33（组合净值及业绩对比）：最小方差组合风险和波动率最低，收益稳定但略低；风控等权组合介于等权和最小方差之间，符合预期风险分布规律。[page::21-22]
• 图表34-38（风险等权组合限制换手前后）：换手率限制提高交易成本控制，调仓更理性，因子风险贡献稳定性提升。[page::25-26]
• 图表39-40（因子风险等权与传统组合表现对比）：因子风险等权组合表现优于传统等权和资产风险等权组合，展示基于因子视角的风险预算策略优越性。[page::27]
• 图表41-48（单因子暴露组合）：资产权重集中于对应因子敏感品种，因子风险贡献显著，但特定风险仍存在，体现现实复杂性。[page::28-29]
• 图表49-51（单因子暴露组合净值与业绩）：Liquidity因子因子表现最佳，Currency居中，Inflation和特定风险因子表现较差，说明不同因子风险补偿差别明显。[page::30]
• 图表52-55（滚动风险预算组合表现）：滚动策略1收益最高（年化12.9%），夏普0.44，明显优于其他策略和主流商品指数，表明动态风险预算对组合优化的实际价值。[page::31-32]

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4. 估值与投资策略分析

尽管本报告不直接进行估值，但风险预算组合优化可视为最优权重分配的数学表达，目标在于在控制风险暴露结构的同时优化风险调整收益。基于风险因子的投资组合构造提供了对组合风险的结构化视角，是现代资产配置的重要手段，且实证显示采用滚动风险预算动态调整因子暴露能带来超额收益及风险控制。

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5. 风险因素评估

主要风险因素包括：

• 协方差矩阵估计误差导致优化灵敏度过高；

- 多因子模型解释力有限，特定风险比例大，无法完全捕捉资产收益风险；

• 风险预算优化问题中具体约束的无可解性和收敛性问题；

- 换手率控制对交易成本及执行风险的影响。

报告通过Ledoit-Wolf法降低估计误差，采用换手率约束控制交易成本，动态切换因子暴露降低非系统性风险暴露，这些均为有效缓释策略。[page::11, 24-26]

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6. 审慎观察与细节偏差

报告中提到因子模型仅解释43%的收益波动，可能导致风险因子未包含全部系统风险，特定风险占比较大，信用风险和极端事件或未充分覆盖。

风险预算相关优化存在难解与收敛性问题，尤其加入换手约束后，优化可能无最优解，需实际部署中谨慎设计参数和约束。

部分图表显示负风险贡献或负因子贡献，实际说明相关性假设未完全成立，应关注风险正负贡献的经济含义和潜在组合对冲机会。

此外，报告中因子选择和风险预算权重均为经验设定，未来可通过机器学习等方法优化因子选择和预算调整，进一步提升模型表现。[page::9, 24]

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7. 结论性综合

本报告系统阐述了商品期货组合风险的内涵与管理机制，分别从资产和风险因子两个维度详尽推导组合风险分解方法，提出欧拉分解为核心数学工具。实证部分确认因子模型因其正交性能够更精准分解风险，且Ledoit-Wolf法在稳定协方差矩阵估计方面具有突出效果。

常见的主动组合构建方法（最小方差、最大分散化、风险等权）各有利弊，但在因子风险视角下，基于风险预算构造组合能灵活管理风险因子暴露，控制因子间风险贡献的相对大小，显著提升组合收益表现。

滚动风险预算策略更为动态地捕捉宏观经济与市场环境变化带来的风险暴露迁移，显著优于传统静态策略，展示其在实际商品CTA投资中的潜力。

图表深入揭示了：

• 协方差估计的敏感性及修正体现了风险测度的准确性基础；

- 资产与因子风险贡献波动揭示商品市场风险驱动核心；

• 基于因子的风险预算实现了对组合风险结构的有效干预与动态控制。

综上，报告强调商品组合风险管理应转向基于风险因子、动态预算、技术稳健的实操框架。当前传统资产风险角度存在冗余与相关性陷阱，而多因子风险预算模型有助于提升组合风险调整后的表现，以及交易成本与换手率控制能力，适合CTA及多资产商品投资。未来可继续关注因子选取精炼、特定风险捕获技术及换手率约束优化等方面，为复杂证券组合风险管理提供理论与实务支撑。[page::0-33]

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附：主要图表精选展示

• 因子相关性矩阵

• 随机资产权重对应风险贡献度箱线图

• 资产协方差估计不同方法对比

• 等权重组合资产风险贡献

• 南华商品指数风险贡献（资产前五和因子构成）

• 最小方差组合资产权重与风险贡献

• 风险等权组合资产权重与风险贡献

• 因子风险等权组合与传统组合净值对比

• 滚动风险预算组合净值表现

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总体评价

此报告结构框架科学，理论与实证结合紧密，条理清晰地深入探讨了商品组合的风险来源与管理方法。风险因子模型和欧拉分解的理论运用，结合实证的多角度风险分析、组合构建与业绩展示，为商品期货组合风险控制提供了有力工具和实务策略。尤其动态风险预算策略提出和验证，为未来行情快速变化环境下的风险管理指明方向。报告也诚实面对因子模型解释度不足及优化难点，提出了换手率约束解决方案，体现了较强的实操针对性和学术严谨性。

建议未来研究增补更多因子、探索非线性风险指标应用，并结合机器学习技术进一步提升因子模型性能和优化算法效率，增强风险管理的前瞻性和适应性。

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【全文引自】 上海东证期货有限公司《商品组合的风险分析与风险管理》，李晓辉，2017年12月14日。[page::0-36]

报告