• AMM价格模型假设 [page::0][page::1]：

- 参考市场价格$pt$服从几何布朗运动。
- AMM价格$\tilde{p}t$受手续费参数$\gamma$限制在区间$[\gamma pt, \frac{1}{\gamma} pt]$，形成无套利区间。
- 套利者仅在AMM价格触及上下界时交易，推动价格跳变。

• AMM价格过程的数学构造与唯一性 [page::2][page::3][page::4]：

- 利用一列停时$Tm$，将AMM价格的对数$Ut$定义为$B_t$（对数参考价）加减常数$c=\log(1/\gamma)$的分段极值过程。
- 该过程连续且有限变差，严格满足边界约束且在内区间保持常数。
- 命题1证明了该构造的唯一性，即满足条件的价格过程唯一定义。

• 利用布朗运动局部时间描述AMM价格动态 [page::5][page::6]：

- 引入三角波函数和相关局部时间，AMM价格与Brownian local times紧密关联。
- 通过将AMM价格过程与一个以局部时间为基础的马尔可夫链连接，展现价格跳变的对称性及跳跃率为$1/4c$。

• 时间变换方法剖析AMM价格过程 [page::6][page::7][page::8]：

- 利用局部时间的逆过程和命中时间构造了一系列马尔可夫跳跃过程，刻画AMM价格跳跃行为的概率分布。
- 关键结果通过Ray-Knight定理等经典工具完成推导。

• 中心极限定理及渐近性质 [page::9]：

- 证明AMM价格过程在合适的归一化后，局部时间累计差分收敛于正态分布。
- 其跳时与局部时间强相关，且跳跃时间均值和方差可明确计算，体现过程的统计稳定性。

金融研究报告深度分析报告：

《An Arbitrage Driven Price Dynamics of Automated Market Makers in the Presence of Fees》
作者：Joseph Najnudel、Shen-Ning Tung、Kazutoshi Yamazaki、Ju-Yi Yen
发布时间及机构未明，内容聚焦于自动做市商（AMM）在手续费存在条件下的价格动态模型研究
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一、元数据与报告概览

本报告题目为《An Arbitrage Driven Price Dynamics of Automated Market Makers in the Presence of Fees》，是四位作者联合完成的学术论文，聚焦于区块链去中心化交易平台核心机制—自动做市商（AMM）中的价格形成与动态演变，尤其在手续费存在的环境下如何体现套利行为驱动的价格跳动。报告以数理概率方法为基础，结合布朗运动与局部时间等工具，构造并分析AMM价格过程，目标是精确刻画AMM价格与参考市场价格之间的联系及动态约束。报告毫无疑问面向金融数学及量化交易领域的研究者和专业人士，致力于解析AMM定价与套利相互作用的复杂动态机制，填补手续费与连续套利模型的组合解析研究空白。

报告核心立论如下：

• 以几何布朗运动（GBM）模型模拟参考市场的真实价格动态；

- 引入手续费参数，定义AMM价格在参考价上下受限区间内波动，形成无套利区间；

• 利用局部时间与反射布朗运动理論，严格定义AMM价格动态过程，展现在边界时如何触发套利行为导致价格跳跃；

- 分析过程的时间变换表示、极限行为，并论证其模型的良定性和唯一性；

• 论证细化了连续时间套利下手续费对价格影响的数学结构，首次系统揭示AMM价格动态的概率性质。

图1展示了AMM价格(log)和市场价格(log)及其上、下界随时间的演变样本轨迹，生动演示了价格如何在手续费产生的区间内约束并被边界推升或压制的动态特性。该报告没有传统的投资评级或目标价，属性偏理论模型与概率分析研究，侧重对AMM套利驱动价格机制的深度数理理解。

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二、逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 关键点总结：

报告开篇阐述AMM作为基于区块链技术的创新性订单撮合机制区别于传统集中式订单簿的根本机制。AMM基于固定的流动性池决定价格，而非买卖意图撮合。流动性提供者（LPs）可低门槛参与，但面临套利带来的不利选择风险，主要是套利者利用AMM滞后价格与参考市场价格之间的差异牟利，造成LP亏损。该风险通过“损失-再平衡”（LVR）指标被广泛研究。

• 推理依据：

文中引用过去两篇研究报告[4][5]以说明套利对LP负面影响的实证及理论分析背景，并巧妙构建模型基础在此已有成果之上。

• 假设简介：

定义了三个核心假设：
a) 参考市场价格为无摩擦的几何布朗运动（GBM）。
b) AMM收取固定比例交易费$(1-\gamma)\%$，手续费水平覆盖1bp至100bp的常用档次，明确结合Uniswap v3现实参数。
c) 假设套利者能持续监控并即时执行套利以消除价格偏差。

• 关键推导：

利用以上假设，界定了AMM价格与参考价格的关系，尤其是价格被限制在以$\gamma$为比例上下界的无套利区间内，只有边界时才触发套利交易，带来价格跳跃。数学不等式确保价格动态受约束。

总结：引言层搭建了该研究的背景，框架及核心假设，为后续数学建模和推导奠定基础。

2.2 AMM价格过程建模（Section 2）

• 关键论点：

设市场价格$pt$为$e^{Bt}$，其中$Bt$为标准布朗运动，$\tilde{p}t$为AMM价格，满足带手续费驱动的上下约束：$\gamma pt \leq \tilde{p}t \leq \frac{1}{\gamma} pt$。

• 数学转化：

引入对数变量$Ut = \log \tilde{p}t$，$Bt=\log pt$，$c = \log(\frac{1}{\gamma})>0$，约束化为
$Bt - c \leq Ut \leq Bt + c$ 。
$Ut$只在触及下界$Bt - c$或上界$Bt + c$时才会随$Bt$移动，否则保持不变，实现了“推拉”动态。

• 过程构造与停时：

利用一列停时$Ti$划分价格上下震荡区间与幅度反转点，定义$Ut$为反射布朗运动的组合“sup”和“inf”过程，具体细节刻画了当$Bt$先到达上界或下界时的不同轨迹序列。

• 命题1（唯一性与性质）：

论证$Ut$是满足初始条件、约束区间限制、以及在界限区域单调性的唯一有限变差连续过程。这涵盖过程连续性与停时界面无跳变的严密证明。

总结：此节精确构造并严格证明了AMM价格对数$Ut$的数学模型，体现交易手续费作为区间约束的影响，展现套利驱动的“边界推送”价格机理。

2.3 基于三角波函数与局部时间的等价构造

• 关键技术：

通过定义三角波形函数$F$，并利用Itô-Tanaka公式将该函数作用于另一布朗运动$Wt$，分拆为布朗运动成分$\betat$与有限变差部分$Vt$（由局部时间$Lt^x$在多个分点的差额构成）。

• 重要性质：

$Vt$与$\betat$之差被夹在$[-c,c]$区间，体现反射边界；$Vt$的增减与局部时间特征绑定，反映$Ut$过程的构造。

• 同分布性：

利用命题1的唯一性论证，$(Bt,Ut)$与$(\betat, Vt)$在分布上等价，实现价格过程与三角波加局部时间过程的等价刻画。

总结：该转化深入利用随机分析技术，将复杂的反射边界问题拆解为经典布朗运动与局部时间的叠加构造，提供了直观与精确的概率模型基础，增强了模型分析的工具性和理解性。

2.4 时间变换分析与跳转率计算

• 逆局部时时间变换：

定义局部时间的线性组合$\mathcal{L}t$和其反函数$\sigma\ell$，时间变换Brownian运动$(W{\sigma\ell})$形成跳跃Markov链，状态空间为偶数间隔点集$E$，仅允许相邻跳跃。

• 跳跃率计算：

通过Ray-Knight定理和BESQ(2)过程链接局部时间分布，利用指数随机变量表达无跳概率，推导出跳跃率为$1/2c$，每个方向跳跃率对称为$1/4c$。

• 简化Markov链：

通过模$4c$与缩放，将Markov链简化为两状态$\{-1,1\}$链，跳跃率及驻留时间差分直接关联$V{\sigma\ell}$，即AMM价格过程的累积推送。

总结：时间变换捕获了过程跳跃行为和边界反射本质，跳跃率计算严格体现手续费参数$c$对价格跳跃频度的控制关键作用。

2.5 基于击中时间的时间变换与极限定理

• 定义击中序列$(Hk)$：

描述$Wt$从一个边界点跳跃$2c$距离另一边界的时间点，研究$Vt$在这些时点的分布与累积。

• 局部时间增量独立性及分布：

局部时间增量服从分布为$2c$倍标准指数变量，借助Ray-Knight定理，局部时间分布特性得到详尽描述。

• 中心极限定理及大数定律：

$V{H{2k+1}}$经过适当中心化和归一化后趋向于正态分布，$H{2k+1}$按时均分布收敛，二者结合推导$V{H{2k+1}}/\sqrt{H{2k+1}}$收敛于标准正态。

• 比较一般时刻归一化极限：

通过夹逼$Vt$在布朗运动上下界，论文指出一般时刻归一化下同样满足正态极限定理，加强了过程扩散性和随机波动特征的典型性。

总结：击中时间分析揭示AMM价格过程跳跃积累的统计行为和涨跌波动尺度的极限分布特性，为理解长期价格行为的稳定性和波动提供了数学基础。

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三、图表深度解读

图1 深度解析

• 描述：

图1绘出以对数刻度的AMM价格$\log \tilde{p}$（蓝线）、市场价格$\log p$（黑色）、以及对应的上下界$\log(\gamma p)$（红线）和$\log(\gamma^{-1} p)$（绿色）在时间轴上的演变轨迹。

• 数据趋势：

观察显示市场价格黑线有连续波动和起伏，AMM价格蓝线始终被上下界包围，且在蓝线触碰红/绿界时，价格有明显向内跳跃（被推动）现象，表现平稳或保持恒定。上下界波动体现手续费影响产生的安全区间，AMM价格被限制在该区间内波动。

• 图文联系：

此图直观说明了模型对价格动态的定义：AMM价格是“受限”且“受推挤”于参考价格附近的过程。文中对$Ut$的数学刻画正是在该图的动态框架中实现。图示支持了“边界推动”套利执行时AMM价格改变、边界内保持静止的论点。

• 局限性与假设：

作为模拟示例，图1假设理想连续布朗轨迹，及完美套利即时修正，现实中突发性非连续交易及价格冲击等未体现，但符合数学理想化模型标准。



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四、估值分析

本报告主要从概率和随机过程数学视角构建AMM价格模型，不涉及传统意义上的企业估值、现金流折现或市盈率估值。其“估值”实为价格过程的界定与动态特征的数学刻画，利用布朗运动及局部时间理论，构建反射区间过程，定量描述价格限制及套利调整行为。

主要数学“估值”参数为手续费$\gamma$（映射为对数空间的界限$c=\log(1/\gamma)$），直接影响价格波动区间宽度与跳跃率。跳跃率的逆比关系揭示了手续费对价格调整频次的敏感度。

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五、风险因素评估

论文围绕理论模型建构与数学证明，未展开传统金融意义上风险讨论，但体现了如下潜在“风险”因素：

• 模型假设风险：

假设市场价格为无摩擦GBM且无交易成本，套利者无限迅速发现且执行套利，远离现实市场中价格冲击、滑点、延迟和信息不完全的复杂情形。

• 手续费设定风险：

手续费$\gamma$固定且交易全部由套利者驱动，忽略其他用户行为及流动性变动，可能导致模型在现实操作中对价格动态描述有偏差。

• 连贯性和市场完美性的隐含风险：

数学中连续路径和严格约束的模型，现实存在断裂、离散交易、共振效应等非理想现象，可能使套利驱动的价格动态发生偏离。

论文无缓解策略描述，体现为模型定位为第一性原理和概率建模，非具体市场策略报告。

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六、批判性视角与细微差别

• 理论创新性高但假设理想化：

该模型以几何布朗运动为基准，体现套利行为对AMM价格的压制和约束，却忽略市场摩擦、流动性变化及交易策略多样性的复杂影响，限制了模型的实际直接应用范围。

• 手续费固定假设可能限制适用：

手续费在1~100bps范围内固定，现实AMM费率可能动态调整且交易构成多元化，模型中假定所有交易由套利驱动属于最坏情形设定，适用性有待拓展。

• 数学证明严密，但模型表现形式或存在反直觉之处：

价格过程保持恒定于边界之间且仅边界调整的构造，虽精确刻画了罚款约束与套利效应，但可能过度简化价格反应的连续性和部分市场机制。

• 内部逻辑紧密，一致性良好：

报告严密使用布朗运动局部时间理论且充分利用了Skorokhod反射过程，逻辑闭环自洽，未见明显内在矛盾。

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七、结论性综合

本报告以系统的概率论与随机过程视角，首次提出并完整构造了“带手续费的套利驱动自动做市商价格动态”模型。基于几何布朗运动的参考市场价格，AMM价格通过手续费参数$\gamma$的定义，形成了以$(\gamma pt, \frac{1}{\gamma} pt)$为区间，有界的反射价格过程。套利者通过即时交易推动AMM价格在边界处跳跃，维持价格不超出无套利区间。

利用局部时间、Skorokhod方程、布朗运动反射过程及三角波函数等数学工具，实现了价格过程$U_t$的唯一构造和严格证明。更进一步，借助局部时间的逆变换和击中时间序列，引入了可跳跃Markov过程和中心极限定理，展示了价格过程跳跃行为的统计规律及其长期分布近似正态，为AMM价格动态的理论理解和风险管理建立了坚实基础。

图1是模型动态性质的形象体现，展示了参考价格与AMM价格连结及价格受手续费影响形成的稳健区间。手续费参数对价格区间宽度和跳跃率的影响深刻，指导未来手续费设计与套利风险评估。

该论文填补了连续套利与手续费共同作用下AMM价格动态概率模型的理论空白，为学术界和实务界理解DeFi自动做市商机制、评估LP风险以及设计更优流动性池结构提供了创新工具和洞见。

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参考文献标注

报告引用了7篇核心文献，包括AMM机制、区块链应用、套利模型、局部时间理论与布朗运动经典文献，充分连接了现有研究和数学基础[page::0-10]。

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附录

图1：AMM价格及参考价格对数轨迹及手续费产生的上下界约束



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总结：
本报告为高端金融数学研究报告，严谨展示了自动做市商价格动态中套利和手续费交互的数学结构，突出局部时间与反射布朗过程的应用，既有理论深度，也对实务有启发意义，适合深入挖掘AMM机制金融风险及策略开发。

报告