ΛVaR定义及性质 [page::4][page::5]

• ΛVaR是基于变动置信水平函数Λ的风险度量，较VaR更灵活，Λ取减函数时具备鲁棒性与可引理性。

- ΛVaR一般不满足现金加法和共单调加法，区别于货币风险度量。

最优保险设计的分步优化框架 [page::6][page::7]

• 通过ΛVaR与VaR的关系，最优保险问题可转化为：先固定x计算对应VaR水平的最优合同，再选择最优x。

- 对于赔付函数集ℱ，整体优化分解为内层VaR优化与外层Λ函数调整。

停损型保险合同的最优解及存在条件 [page::8][page::10][page::11]

• 最优停损免赔额d确定为VaR在安全加载调整水平θ处的分位点。

- 若某阈值M小于ΛVaR(X)，则d为最优免赔额，否则无保险最优。

• 存在正且有限免赔额的充分必要条件涉及θ>FX(0)与Λ在M附近的大小关系。

- 免赔额结构与VaR最优结果类似但条件更宽松。

一般赔付函数的最优策略及结构 [page::12][page::13][page::15]

• 优化结果限定为有限上限的停损型赔付，具体形式为赔偿超过d部分但不超过VaRΛ(x)与d差额。

- 相比单纯停损，增加了灵活的赔付上限，增强决策弹性。

• 当Λ为常数时，恢复已知VaR最优结构。

Λ'VaR保险费原则下的最优结构 [page::15][page::16][page::17][page::18]

• 若将保险费定义为Λ'VaR赔付的风险度量，则最优策略为全保或不保，即“bang-bang”策略。

- 优化最小ΛVaR(Tf)为ΛVaR(X)和Λ'VaR(X)的较小值。

• 引入期望加风险加载的混合保费原则时，最优赔付为有限赔付形式，具体阈值依赖Λ、Λ'及安全加载θ。

模型不确定性下的鲁棒最优保险设计 [page::26][page::27][page::29][page::30][page::31]

• 似然比约束下，鲁棒ΛVaR转化为Λβ VaR，其中Λβ = βΛ + 1 - β，β越小表示不确定性越大。

- 鲁棒最优赔付函数为Λβ VaR对应的有限停损型，鲁棒免赔额随不确定性加大而增长，显示更加谨慎的保险态度。

• 仅依赖第一二矩信息的均值方差不确定集内，鲁棒ΛVaR最优免赔额有闭式表达，分安全加载大小两类情况。

- 与VaR鲁棒最优策略对比，ΛVaR策略泛化了置信水平的灵活选择，且在高安全加载下保留无保或全部保险的经典形态。

数值实验分析 [page::33][page::34][page::35][page::36]

• 以Pareto分布为背景，解析ΛVaR函数参数（k, ℓ）及尾指数α对最优阈值Λ(x)的影响。

- 发现重尾风险的保险需求非单调，显示风险的尾部关注度与厚尾性质互相关联影响。

• 模型不确定性加剧（β减小）时，保险金额对应的Λ_β VaR显著提升，说明保障水平提高。

- 不同保费加载下，ΛVaR下最优免赔额随加载提升显著增大，风险厌恶者倾向保留更多风险。

结论与研究展望 [page::37]

• 利用ΛVaR风险度量，最优保险设计问题具备解析解的统一框架，涵盖停损合同和一般协议。

- 结果涵盖模型不确定性和保险费原则多样化，扩展了经典VaR理论。

• 后续可研究异质概率认知下的保险费原则及多保险商竞争环境中最优设计。

深度分析报告：Optimal insurance design with Lambda-Value-at-Risk

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Optimal insurance design with Lambda-Value-at-Risk

- 作者：Tim J. Boonen, Yuyu Chen, Xia Han, Qiuqi Wang

• 日期：2025年8月19日

- 主题：基于Lambda-Value-at-Risk（ΛVaR）风险度量的最优保险设计问题，涵盖保险合同设计、风险度量、模型不确定性及相应的最优解结构。

• 核心论点：

- 研究以ΛVaR作为风险度量的最优保险问题，特别关注基于期望价值的保险费率原则下的停损型保险合同，并推导了最优免赔额的闭式表达及其存在的必要充分条件。
- 拓展到广义停损险，证明有限停损险仍然是ΛVaR框架下的最优结构。
- 当使用以Λ'VaR定义的保险费率原则（包含纯Λ'VaR和含风险负载的混合形式）时，最优保险合同形式分别为“全保”或“无保”以及有限损失赔付。
- 探讨模型不确定性影响，分别考虑似然比限制和已知头两阶矩的情况下，描述了对应的最优免赔额及合同结构。
- ΛVaR问题通过等价转换为VaR问题，借此获得诸多结果。

• 主要结论：ΛVaR范围内，通过对双参数Λ函数的控制，可以设计出更灵活的最优保险；模型不确定性增加时会倾向于更高的保险覆盖；此外，证明了泛函形式上的普适性与理论上的非平凡性。

该报告在保险风险管理领域提供了对基于非标准风险度量ΛVaR的保险设计理论的首要且系统性的研究，兼具创新性与实用价值。[page::0,1]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言 (Section 1)

• 报告介绍了最优保险理论的发展起点：Borch (1960)、Arrow (1963) 以均值-方差和期望效用为基础，随后研究由行为经济学偏好或风险度量（如VaR和CVaR）驱动的保险问题。

- ΛVaR作为VaR的泛化，由Frittelli等人提出，区别于VaR的置信水平固定，ΛVaR利用随损失变化的非固定函数Λ(x)，提高灵敏度和适应性。它是单调风险度量，但不满足现金加法或共单调加法。

• 目前关于ΛVaR的研究涵盖定义特性、估计、回测、稳健性以及风险分配等方面，且已经看到在保险设计中的应用前景。

- 论文突破点：前人如Balbás等（2023）仅讨论有限支持的Λ并用线性规划求解，本报告更一般地处理降序Λ和一般损失分布，并涵盖多样化的赔付函数和费率原则，系统研究ΛVaR最优保险设计问题，达到理论深化与模型推广的目的。[page::1,2]

2.2 研究模型与定义 (Section 2)

• 以概率空间下的非负随机索赔X为对象，定义ΛVaR为：

\[
\Lambda\mathrm{VaR}(X) = \inf \{ x \ge 0 : \mathbb{P}(X \le x) \ge \Lambda(x) \}
\]

• Λ为降序函数且值域在[0,1]，区别于固定置信水平α的VaR，获得灵活的置信水平控制。

- 保险合同表示为赔付函数 \( f \) 满足Huberman等人的激励相容条件，即赔付函数单调且1-Lipschitz连续，确保无事后道德风险，且保留损失 \( R(x) = x - f(x) \) 单调递增。

• 保险费率原则 \(\Pi\) 可灵活指定，报告中涵盖期望价值费率原则和基于Λ'VaR的风险加载费率原则。

- 目标：确定最优函数 \( f \in \mathcal{F} \)，使ΛVaR最小化决策人最终风险：

\[
\inf{f \in \mathcal{F}} \Lambda\mathrm{VaR}(X - f(X) + \Pi(f(X))).
\]

• 利用Lemma 1，将ΛVaR优化问题转化为针对不同参数 \( x \) 下VaR问题的组合优化，形成逐层求解方式，极大简化技术难点。[page::4,5,6,7]

2.3 期望价值费率下最优结构 (Section 3)

• 首先关注停损合同，形式为 \( f(x)=(x-l)+ \)，其中\( l \)为免赔额。

- Theorem 1给出最优免赔额的闭式解：

\[
l^ =
\begin{cases}
d^{} = \mathrm{VaR}{\theta^}(X), & \text{if } M < \Lambda \mathrm{VaR}(X), \\
\infty, & \text{否则},
\end{cases}
\]

其中 \( M = d^ + (1+\theta) \mathbb{E}[(X-d^)+] \) ，体现预期费用加安全负载的权衡。

• 免赔额存在的必要充分条件（Theorem 2）：要求安全载荷对应的置信度超过损失为零区间概率，且Λ函数对\( M \)点附近值要大于损失分布函数，松弛了传统VaR条件，保证了更广泛的合同存在性。

- 对于更一般合同 \(\mathcal{F}\)，Theorem 3推导出类似的有限停损合同形式的最优解，上限由ΛVaR相关VaR确定，这一解形式与VaR-case（Chi和Tan，2011）一致但更具灵活度。

• 保费安全加载越大，合同免赔额越大，体现风险负载对风险转移意愿的影响。[page::8,9,10,11,12,13,14,15]

2.4 ΛVaR费率原则下最优结构 (Section 4)

• 研究当保险费率使用Λ'VaR时的最优问题。

- Proposition 2指出，最优合同退化为“全保”或“无保”形式（二元策略），此结构只由ΛVaR和Λ'VaR的相对大小决定。

• 现实中此“bang-bang”方案难以接受，因此引入混合费率原则，将期望与Λ'VaR结合，确保安全载荷分配更合理。

- Theorem 4提供混合费率方案对应的最优合同为限制损失型保险，即

\[
f^(x) = x \wedge \mathrm{VaR}{\Lambda(x^)}(X),
\]

免赔额度和安全载荷的调节让决策人在风险转移和费用之间达成更灵活的平衡。

• 结果进步在于结合了两个Λ函数的灵敏控制，实现了风险测度与险种价格的二重调节。[page::15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26]

2.5 模型不确定性影响 (Section 5)

• 强调实际中损失分布难以准确掌握，深化模型不确定情形下的保险设计问题。

- 似然比不确定性（5.1）
- 不确定性集合对概率测度施加Radon-Nikodym导数上界限制。
- Lemma 2和Theorem 5将ΛVaR函数转换为加权组合后ΛβVaR形式，保留了单调递减性。
- 最优合同结构与确定性情况类似，但置信水平函数提升，显示出因应不确定性，购买更多保险的意愿增强。

• 头两阶矩不确定性（5.2）

- 只知均值μ和标准差σ的情况下，建立分布集约束，利用Han和Liu（2024）结果降维。
- 通过Proposition 3实现ΛVaR稳健优化问题与VaR稳健优化问题的等价转换。
- Lemma 4借鉴了Liu和Mao（2022）的结果，给出VaR情况下免赔额最优解。
- Theorem 6结合前述工具，给出ΛVaR下的免赔额最优解，敏感于风险载荷、安全系数和Λ函数形状，平衡风险偏好与预算限制。
- 表明当安全载荷较大时，投保人趋向于承担更大部分风险，说明经济意义上的风险分担演化。

整体而言，模型不确定性通过提升置信水平函数Λ，增加了保留损失的限制，推动了保单向更谨慎方向调整。[page::26,27,28,29,30,31,32,33]

2.6 数值示例分析 (Section 6)

• 主体环境为Pareto分布的损失模型，广泛用以模拟灾难性事件损失。

- Λ函数形式采用指数衰减模型，调节参数k和幅度ℓ，描述风险容忍度与尾部关注度。

• 数值结果：

- Λ(x)随尾指数α呈现先降后升趋势，显示更重尾风险在一定区间内引发更大保费需求，尾部风险关注度与分布特征交织影响转移比例。
- 提升安全载荷θ，减低理赔风险转移，符合理性经济行为。
- 在似然比不确定性模型下，不确定度指标β下降，推动Λβ(x)增大，引导更多保险覆盖，体现稳健优化的预期。

• 结果即贴合理论推导，又彰显ΛVaR灵活建模的优越适应性。

- 进一步通过对Λ'VaR费率方案的数值示范，揭示双Λ函数协同调控下的保险策略调整特性。[page::33,34,35,36]

2.7 结论 (Section 7)

• 论文确认ΛVaR最优保险合同多表现为有限停损或极端形式（全/无保），且两端对应的免赔额和限额均可闭式计算，结合期望值费率或Λ'VaR风险加载费率两种格式。

- 利用ΛVaR与VaR的等价转换技术，实现问题的归约和求解，结果涵盖VaR作为特例，推广性强。

• Λ函数的动态设计体现了风险偏好的可调整性，为保险设计提供新维度调控工具。

- 提出后续研究方向：考虑异质信念下的保险供给和多保险市场结构，拓展现行单一保险人的框架边界。[page::37]

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3. 图表深度解读

图1 (第14页，图示)

• 内容：展示了函数 \( G(x) \) 与 \( x \) 的关系曲线，与 \( \mathrm{VaR}{\Lambda(x)}(X) \) 的交叉及其区间，上界 \(\bar{x}\) 和最优点 \( x^ \) 被标出。

- 解读：\( G(x) \) 在区间 \( [0, \bar{x}) \) 持续下降，代表随着置信水平提升，期望理赔下降与风险平衡的关系，超出区间后则趋近于VaR曲线，代表停止转移风险时的风险阈值。

• 联系文本：该图解释Theorem 3中的最优解存在性和取值结构，图形清晰呈现了风险度量函数与定价机制之间的非线性关系。[page::14]

图2 (第35页)

• 内容：Λ(x)对参数α（Pareto尾指数）的变化曲线，分不同k（指数衰减率）和ℓ（幅度）设置呈双组图。

- 解读：随着α增加（尾变轻），Λ(x)先减少后上升，反映风险配置受尾部重度和整体分布影响的复杂互动。k和ℓ调控Λ函数的灵敏度，展示了风险容忍度对保险购买比例的影响。

• 联系文本：数值验证了理论上ΛVaR灵活调节信心水平的能力，解释了保险转移比例非单调变化的现象，丰富了模型适应真实风控需求的理解。[page::35]

图3 (第35页)

• 内容：Λ(x)及其差值 Λ(x) - θ 关于安全加载参数θ的变化。

- 解读：结果显示随着θ升高，整体风险保留水平升高，保险转移减少，经济学逻辑合理，同时突出费率对保险激励的敏感性。

• 联系文本：呼应了理论中安全载荷对最优免赔额及合同结构的影响，提供直观经济行为的量化印证。[page::35]

图4 (第36页)

• 内容：Λβ(x)对不确定性参数β的变化，分别在不同k、ℓ设置下展示。

- 解读：随着β减小（不确定性增大），Λβ(x)呈递增趋势，说明决策者因对损失分布的不确定而提高置信水平，倾向于加大风险转移。

• 联系文本：该图验证了Section 5中模型不确定性对最优合同阈值上调的理论，凸显稳健风险管理的实践意义。[page::36]

图5 (第36页)

• 内容：Λ(x)对参数α的走势，类似图2，但针对Λ’VaR费率原则的场景。

- 解读：变化趋势基本一致，二次费率结构下的最优合同也显示对风险尾部和参数变动的敏感，确认了两类费率原则结构上的一致性。

• 联系文本：补充说明ΛVaR费率下的风险转移决策动力学，与期望值费率条件对比分析结果。[page::36]

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4. 估值分析

该研究未直接关联传统金融估值体系如DCF或估值倍数方法，而是通过风险度量（ΛVaR和VaR）作为核心，来界定风险转移结构与合理保费，属于保险精算与风险管理领域中风险度量优化的范式。估值在本文中表现为：

• 通过不同的保险费率原则（期望值+安全加载，基于Λ'VaR风险度量）对赔付函数定价。

- 基于风险度量的优化目标，实现风险的最小化，间接反映保险合同价值的合理性。

• 闭式解的免赔额即对应最优风险和保费平衡点，视作保险短期内的“价值界”。

- 对模型不确定情形，同理利用极值模型调整风险度量再估算，体现估值的稳健性。

因此，估值核心在于风险转移形式和相应风险度量的映射，不依赖现金流贴现，但逻辑中结合了保险定价方法，体现实际应用的精算理念。[page::7,8,15,19,27,31]

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5. 风险因素评估

• 风险测度形式与限制：ΛVaR不满足现金加法和共单调加法，限制了其归属于传统货币风险度量类别，可能导致保险设计中策略的非唯一性及复杂性。

- 模型不确定性：概率测度不确定性带来更保守的分配策略，令免赔额提升，风险承受压力增加。

• 费率原则变化：不同费率原则下（如Λ'VaR vs 期望值）导致合同形式极端化或中间限额，反映保险市场风险规避各异。

- 数学假设：
- 赔偿函数需满足激励相容，避免事后道德风险，但现实中赔偿规则复杂。
- 依赖损失分布的连续性与可微假设，部分应用在非光滑或极端损失环境下可能遭遇挑战。

• 可能存在的矛盾：理论中无风险转移时的“买全保”与实际费率均衡可能冲突，需综合市场机制考虑。

- 风险缓解：通过参数化Λ函数及安全载荷调整，为决策者和保险人提供调节风险转移策略的工具，具备一定的风险管理机制。

总体，作者系统识别并揭示了多种保险设计中的风险驱动因素，并提出相应风险管理方法，确保研究具有实际指导意义。[page::1,4,9,15,27]

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6. 批判性视角与细微差别

• 创新与传统比较：基于ΛVaR的保险设计丰富了VaR及CVaR的传统风险测度范式，兼具柔性和稳健性；然而ΛVaR的非现金加法特性增加了理论复杂度和现实可操作难度。

- 模型假设的适用范围：期望值费率原则虽然简单但未必反映实际保险市场风险加载结构，Λ'VaR费率则更具应用前景，论文对两者均有考虑，体现了适度的稳健性。

• 结果的实际可行性：“bang-bang”策略虽数学最优，但现实中较难采纳。作者对此提出安全载荷混合费率，确实增强了合理性。

- 模型不确定性的假设：似然比约束的选取及矩约束模型的宽泛性可能对不同保险市场有效性不一，后续应结合更多实证研究。

• 文中部分推导较为技术性，需要读者具备扎实的数理金融、概率及最优化背景才能充分理解，但逻辑严密，辅助图表及证明较完整，增强信服力。

- 遗漏与未来方向：单一保险人设定忽略了竞争性保险市场分割及动态调整，作者也在结论里正视并建议进一步研究。

整体而言，论文在理论上具备深度和广度，也明确认知边界与潜在局限，提出的结果以及对比论证较为慎重客观。[page::3,4,18,37]

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7. 结论性综合

本文系统研究了基于Lambda-Value-at-Risk (ΛVaR) 的最优保险设计，核心贡献体现在：

• 理论创新：首次系统而全面地将ΛVaR风险度量引入最优保险合同设计，建立了其与VaR的紧密联系，突破VaR固有的固定置信水平限制，引入变动置信水平的风险管理框架。

- 最优合同结构：针对不同费率原则，证明了最优合同多为有限停损性质或“全保/无保”的极端形式；期望费率下，免赔额闭式表述并给出其存在的充分必要条件，扩展了传统VaR模型的条件。

• 模型不确定性处理：考察似然比约束和矩不确定集下的稳健最优保险策略，倚赖Λ函数的调整反映风险和不确定性增加时保单调整的内在机制，提供稳健风险管理方案的理论依据。

- 方法论贡献：通过ΛVaR与VaR的表示转换，降低了ΛVaR最优化的技术门槛，实现闭式解与较易计算的岭值问题分解。

• 数值验证：以Pareto分布为例，结合Λ函数参数展示风险偏好、尾部厚度、安全载荷与不确定性的综合影响，验证模型对现实风险特征的适应性及保险覆盖需求的定量调节。

- 应用前景：为保险产品设计、风险分担、监管资本配置提供理论支持，帮助决策者更精准适配不同风险偏好、不确定条件和市场费率环境。

综合来看，作者在理论探索、模型拓展和实证验证三方面均体现了卓著成果，打开了ΛVaR及其稳健版本在保险优化设计领域的广阔应用空间，为风险测度驱动的保险理论发展奠定坚实基石。

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参考文献溯源

• 重要定理、模型定义、假设与结论均标明页面，例如Theorem 1-6详见[page::8-15,26-32]，模型不确定性分析[page::26-33]，数值分析及图表[page::33-36]。

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总结

本报告对Optimal insurance design with Lambda-Value-at-Risk一文进行了全面而细致的剖析，涵盖研究动机、模型构建、理论推导、图表解读、估值分析、风险因素评估及批判性视角，系统地梳理了ΛVaR在保险最优化中的应用框架、优势及局限。特别强调了ΛVaR与VaR之间的关系转换技巧，以及模型不确定性对保险设计的深远影响，突出了该研究在风险管理和保险精算领域的创新价值和实用意义。

其理论与实践意义兼备的成果具备较宽泛的扩展潜力，未来可研究异质信念、多保险人市场结构和动态保险调整方案，将为保险科学和金融工程领域带来持续推进力量。[page::0-38]

报告