Kelly 公式基本原理与扩展模型介绍 [page::2][page::3]

• Kelly公式旨在最大化资产几何增长率，原始模型基于伯努利分布计算最优下注比例。

- 扩展模型假设资产收益符合伯努利分布，推导出唯一最优投资比例，曲线显示几何收益率随投资比例变化先升后降。

• 正态分布下，假设资产价格符合几何布朗运动，求解资产组合权重使年化几何收益最大化，带有权重和非卖空约束。

不同加权方法性能测试（债券型基金） [page::5][page::6][page::7][page::8]

| 基金数量 | 评价指标 | Kelly(伯努利分布) | Kelly(正态分布) | 风险平价 | 等权 |
|----------|------------|-------------------|-----------------|-----------|---------|
| 5 | 年化收益率 | 4.94% | 6.17% | 4.75% | 4.89% |
| | 最大回撤 | -5.43% | -6.73% | -4.28% | -5.04% |
| | 年化波动率 | 2.74% | 3.97% | 2.32% | 2.86% |
| | Calmar比率 | 2.99 | 2.24 | 3.06 | 2.58 |
| | 夏普比率 | 1.25 | 1.18 | 1.40 | 1.18 |

• Kelly 组合收益最高，尤其正态分布的Kelly，但最大回撤与波动率也较大。

- 风险平价控制风险最佳，实现最高的收益风险比。

• 改进后的Kelly模型缓解配置集中度过高的问题，降低最大回撤，保持夏普比率提升。

不同加权方法性能测试（混合型基金） [page::8][page::9][page::10]

| 基金数量 | 评价指标 | Kelly(伯努利分布) | Kelly(正态分布) | 风险平价 | 等权 |
|----------|------------|-------------------|-----------------|----------|---------|
| 5 | 年化收益率 | 14.44% | 16.81% | 13.78% | 13.59% |
| | 最大回撤 | -44.91% | -45.12% | -44.44% | -45.11% |
| | 年化波动率 | 23.25% | 23.96% | 22.84% | 23.58% |
| | Calmar比率 | 1.03 | 1.14 | 1.00 | 0.93 |
| | 夏普比率 | 0.56 | 0.64 | 0.54 | 0.51 |

• Kelly加权明显提升年化收益，风险波动与等权相近，高于风险平价。

- 权重分布较风险平价更分散但波动幅度更大。

不同加权方法性能测试（股票型基金） [page::10][page::11][page::12]

| 基金数量 | 评价指标 | Kelly(伯努利分布) | Kelly(正态分布) | 风险平价 | 等权 |
|----------|------------|-------------------|-----------------|----------|---------|
| 5 | 年化收益率 | 9.80% | 10.86% | 9.16% | 9.13% |
| | 最大回撤 | -43.26% | -42.44% | -43.65% | -43.76% |
| | 年化波动率 | 22.43% | 22.55% | 22.50% | 22.53% |
| | Calmar比率 | 0.65 | 0.70 | 0.61 | 0.60 |
| | 夏普比率 | 0.37 | 0.42 | 0.34 | 0.34 |

• Kelly加权收益提高且回撤降低，收益风险比优于风险平价和等权。

- 正态分布下的Kelly表现最佳，权重偏离较风险平价更明显。

结论总结 [page::0][page::12]

• Kelly公式可提升基金组合的长期收益水平，尤其在混合型和股票型基金中表现突出。

- 正态分布下的Kelly公式收益风险比更优，伯努利分布下较为保守。

• 风险平价适合低风险债券型基金，因风险控制优异收益风险比最高。

- 改进模型解决Kelly权重集中问题，平衡收益和风险。

金融工程专题报告解析：如何利用 Kelly 公式优化 FOF 组合配置权重

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一、元数据与报告概览

报告标题：《如何利用 Kelly 公式，优化 FOF 组合的配置权重？——金融工程专题报告》
作者及联系方式： 张青、李亭函、贾依廷，均为华宝证券研究创新部分析师。
发布时间： 未明确具体日期
研究主题： 本报告聚焦于基金中的基金（FOF）组合的微观层面配置策略优化，核心是应用凯利（Kelly）公式对基金组合权重进行优化配置，特别是针对债券型、混合型和股票型基金的组合权重配置策略。
核心论点：

• 现有FOF的微观权重配置多采用等权配置，虽然简单且可实现一定的分散，但非最优。

- 相较于等权，风险平价配置能提升收益风险比，但是否还能有更优方法？

• 凯利公式以最大化长期资金几何增长率为目标，本文将其引入FOF微观权重配置领域。

- 实证结果显示，凯利加权组合的收益高于风险平价和等权，尤其在混合型和股票型基金中收益提升更明显，而债券型基金中风险平价由于其较好风险控制，表现出更优收益风险比。

• 凯利公式基于不同数据分布（伯努利分布和正态分布）进行调整，正态分布版本的收益和收益风险比表现更佳。

- 报告提醒模型基于历史数据，存在设定偏差风险。

本报告旨在为FOF产品的微观权重配置提供一种量化优化新思路。

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二、逐节深度解读

2.1 引言及投资要点（页0-2）

• FOF构建包括宏观（大类资产）、中观（行业/风格/策略）及微观（标的）三层。

- 微观层面通常是等权重分配，优点是简单、分散，但非最优。

• 风险平价方法提升收益风险比，但仍有改进空间。

- 凯利公式起源于赌博领域，寻找最优下注比例最大化长期资金几何增长，近年来被投资领域尝试采用。

• 本文尝试以不同类型基金组合作为样本，测试凯利公式在微观层面权重配置的有效性。

- 发现凯利加权组合收益较高，但风险指标（回撤、波动）也增大；混合型与股票型收益风险比优于风险平价和等权，债券型基金因需更稳健风险控制，风险平价表现更优。

• 伯努利分布版本与正态分布版本的凯利公式均被测试，正态分布版本效果更好。

- 风险提醒定量模型基于历史数据，可能存在偏差风险。

2.2 Kelly 公式介绍、伯努利分布下模型（页2-3）

• Kelly公式由J.L.Kelly于1956年提出，针对重复有正期望收益赌博的最优化下注比例。其核心是最大化最终财富的几何增长率。

- 基本模型假设博弈中获胜概率$p$，失败概率$1-p$，下注比例$f$，赌博轮数$N$中获胜$m$次，失败$n$次，财富几何增长率为：
$$g = p \ln(1+f) + (1-p) \ln(1-f)$$

• 导数求解得最优下注比例$f^* = 2p - 1$，即获胜概率大于0.5时，下注比例正，反之不下注。

- 扩展模型引入盈亏比$\alpha$，调整收益率设定，更贴合金融市场情形。

• 以示意图（图1）说明几何增长率$g$与投资比例$f$呈倒U型关系，存在唯一最优投资比例。

2.3 Kelly公式正态分布模型及多资产组合扩展（页4）

• 进一步假设资产价格服从几何布朗运动，收益率服从正态分布。

- 利用伊藤引理推导收益的几何增长率为：
$$gp = F^T \mu - \frac{1}{2}F^T \Sigma F$$，其中$F$为组合权重，$\mu$为资产年化收益预期，$\Sigma$为协方差矩阵。

• 优化目标为在权重和为1且权重非负的约束下最大化$gp$。

- 该目标函数与典型的均值-方差投资组合优化目标类似，但更强调长期资金几何增长最大化。

2.4 模型参数设定与测试方法（页5-6）

• 伯努利分布凯利模型中的胜率$p$和盈亏比$\alpha$通过历史5年滚动60交易日窗口测算。

- 正态分布凯利模型采用历史5年年化收益和波动率估计$\mu$, $\sigma$。

• 风险平价模型基于历史5年波动率。

- 测试涵盖债券型、混合型、股票型基金，分别取5、10、20只基金组合做随机抽样，每季度调整权重，重复测试20次取均值。

• 评估指标包括年化收益率、最大回撤、年化波动率、Calmar比率和夏普比率。

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三、图表及实证结果深度解读

3.1 债券型基金测试（页5-8）

• 从表1，等权组合年化收益约4.8%~5.0%，波动率2.3%~2.9%，Calmar比率2.6-3.3，风险平价回撤及波动较低，夏普比率最高约1.35，意味着收益风险比最好。

- 凯利公式（正态分布）年化收益高达6.17%~6.5%，但最大回撤扩大至6%-11%左右，波动率升至4%-5.3%，收益提升伴随风险上升。

• 权重分布（表2）显示原始凯利权重分布极端，部分基金权重达到100%，部分为0，说明配置过于集中。

- 改进后，剔除0~1约束，采用最低20%等权比例限值，极端集中过度规避（表3、表4），回撤和波动明显降低，风险控制改善，夏普比率趋近风险平价组合水平。

• 图2显示，不同加权净值走势，凯利（正态分布）表现出更高净值增值速度。

- 图3历年收益对比，凯利稳步领先，体现收益优势。

3.2 混合型基金测试（页8-10）

• 表5显示，混合型基金由于含权益资产，收益和风险双增。等权配置年化收益约13.5%-14.6%，最大回撤高达43%-45%。

- 凯利公式（正态分布）组合年化收益明显提升至16.8%-16.9%，最大回撤与其他方法近似，波动率略高，风险未显著扩大。

• 夏普比率和Calmar比率均优于风险平价和等权，说明整体收益风险比更佳。

- 权重分布（表6）显示风险平价权重更均匀，凯利权重差异较大，最高权重超过30%。

• 图4和图5显示凯利配置净值及历年收益优势明显，尤其在收益表现上。

3.3 股票型基金测试（页10-12）

• 表7显示股票基金组合年化收益9%-10.9%，最大回撤仍较高（42%-44%），波动率约22%。

- 凯利公式（正态分布）年化收益最高，夏普比率和Calmar比率也略优于风险平价和等权。

• 权重分布（表8）显示风险平价与等权极为接近，而凯利权重偏离更大，最大权重可达30%。

- 图6和图7显示凯利加权净值明显优于其他配置，历年收益也维持领先。

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四、估值与方法论解析

本报告中的“估值”更多体现为权重优化策略的比较，无传统意义的资产估值指标，而是基于凯利公式最大化长期几何增长率的理论构建投资组合权重。两种凯利公式模型：

• 伯努利分布模型：基于胜率$p$与盈亏比$\alpha$，适用于具有二元涨跌结果的简化场景。

- 正态分布模型：假定资产收益符合正态分布，利用均值向量$\mu$和协方差矩阵$\Sigma$，近似于经典均值-方差优化，但目标为最大几何增长率，即期望收益减去半个方差。

约束包括权重非负、权重和为1等，部分场景松绑约束以防止权重过度集中。通过该框架，算得最优组合权重。

风险平价法则基于各资产波动率，权重逆波动率分配，强调风险均等贡献，适合稳健配置。

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五、风险因素评估

报告识别的主要风险包括：

• 模型风险：利用历史数据估计参数，未来可能偏离历史表现，导致模型误判。

- 参数估计风险：胜率、盈亏比、均值及协方差估计带有统计误差，周期选择影响显著。

• 极端权重集中风险：原始凯利模型在豪赌式权重配置上风险较高，通过改进权重限制缓解。

- 市场风险：混合型和股票型基金回撤风险较大，尤其熊市时可能严重影响组合收益。

• 样本选择和频率风险：报告测试采用随机抽样和季度换仓，结果受样本及选取频率影响。

报告未具体提出风险缓解策略，但改进权重约束可视为一种缓解措施。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告采用随机基金样本重复测试增强稳健性，但结果仍基于有限历史区间，存在潜在时序偏差。

- 改进型凯利公式通过最低权重限制降低极端权重带来的风险，但该方法在实操中是否最优仍有待验证。

• 正态分布假设简化了资产收益特性，实际收益非完全高斯，可能带来估计偏差。

- 风险平价模型在债券型基金中表现优于凯利模型，正表明风险控制在低收益低波动资产配置中的重要性。

• 研究并未涉及费用、税收及流动性影响，可能高估实际收益。

- 明确强调本报告为理论及历史回测研究，未做产品定价或保证，提醒投资者自担风险。

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七、结论性综合

本文系统地将凯利公式应用于FOF基金组合的微观权重配置，结合伯努利分布与正态分布两类模型，针对债券型、混合型和股票型基金样本进行多样本回测，实证展示了凯利公式应用于基金权重配置的可行性与优势。主要收获总结为：

• 投资组合收益提升： 凯利公式特别是正态分布版本配置组合收益明显优于传统等权和风险平价配置，尤其适用于权益比例较高的混合型与股票型基金。

- 风险与回撤变化： 凯利配置组合伴随一定回撤及波动率增长，债券组合中风险增加较多；改进模型通过权重约束降低风险，表现更稳健。

• 收益风险比差异化： 对于低风险债券型基金，风险平价模型因较好风险控制收益风险比最高；而混合型及股票型基金中，凯利公式提供更优的收益风险比。

- 权重分布特征： 凯利公式本质属于“集中投资”，权重往往极端倾斜；改进后权重分散性更好，实用性增强。

• 图表印证论点： 图2~图7清晰展示不同配置方法下基金组合净值走势及历年收益，凯利配置组合在多数情形下净值提升和收益表现领先。

总体而言，凯利公式作为一种经典资金管理策略，有效提升多资产基金组合的长期收益潜力，尤其在权益较大基金组合中展现出明显优势，值得FOF产品在微观配置权重上的深度研究与应用。报告也提醒量化策略存在历史局限性，且风险管理在实际应用中不可忽视。

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图表示例引用

• 图1（页3）几何收益率与投资比例关系曲线

• 图2（页7）债券型基金不同加权方法净值走势

• 图3（页8）债券型基金历年收益对比

• 图4（页9）混合型基金净值走势

• 图5（页10）混合型基金历年收益

• 图6（页11）股票型基金净值走势

• 图7（页12）股票型基金历年收益

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参考文献与数据来源

全部数据与分析由华宝证券研究创新部提供，基于2015年至2020年公募基金数据及相关历史市场数据统计分析完成。所有表格数据均在报告中详细展示，具有高度透明性与复现可能。

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溯源：本报告所有结论均有明确页码标注，结合图表与正文内容解析完成，见 [page::0-12]。

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