Pearson扩散过程模型构建及数学性质 [page::3][page::4][page::5]

• Pearson Type IV分布具备控制偏斜和峰度的参数，适合描述非正态收益率分布。

- Pearson扩散过程以线性漂移和二次扩散系数定义，且其不变分布为Pearson Type IV。

• 证明对应的对数收益率过程的SDE存在唯一强解，满足全局Lipschitz条件。

风险中性测度与期权定价框架 [page::6][page::7][page::8]

• 利用Girsanov定理构造等价局部鞅测度，确保贴现资产价格过程为局部鞅。

- 导出基于Pearson扩散过程的Black-Scholes类型偏微分方程，尽管无闭式解，但可用数值模拟计算期权价格。

• 证明SDE在风险中性测度下存在唯一强解，模型避免爆炸性解。

实证数据及样本划分 [page::13][page::14]

• 选用Nifty 50欧式看涨期权日常数据，样本覆盖2022年4月至2024年8月。

- 剔除流动性差合约，最终样本62442条，采用91天国债收益率作为无风险利率。

• 根据行权价与标的价划分实值、虚值和平值期权，按剩余期限分为5组。

历史参数估计法模型表现 [page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21]

| Moneyness | PIV MAE | BS MAE | HS MAE | PIV MSE | BS MSE | HS MSE |
|----------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| ITM | 36.97 | 54.66 | 44.71 | 3109 | 7791 | 4982 |
| OTM | 11.46 | 34.41 | 14.99 | 820 | 6542 | 2399 |
| ATM | 36.28 | 81.16 | 40.64 | 4018 | 15329 | 6137 |
| ALL | 24.88 | 59.19 | 28.92 | 2531 | 11155 | 4398 |

• PIV方法在滚动窗口90日和180日下均显著优于Black-Scholes与Heston模型，涵盖所有行权价和期限类别。

- 采用Diebold-Mariano检验，PIV模型的预测准确度显著优于对照模型（p值均远低于1%显著性水平）。

隐含波动率参数估计法表现及应用场景 [page::22][page::23][page::24][page::25][page::26]

• 隐含法参数拟合简化数据需求，提升模型适应性。

| Moneyness | PIV MAE | BS MAE | HS MAE |
|-----------|---------|--------|--------|
| ITM | 27.54 | 26.98 | 26.17 |
| OTM | 5.66 | 5.45 | 4.91 |
| ATM | 15.01 | 16.91 | 15.85 |
| ALL | 10.79 | 11.64 | 10.83 |

• PIV模型在平值期权及全样本中MAE性能最优，尤其适用于资金集中度高的平值标的。

- 长期期权表现方面，Heston模型表现更佳，PIV模型对短期高流动性期权表现突出。

• Diebold-Mariano检验确认PIV对ATM期权预测准确显著优于BS及HS模型。

模型创新与贡献总结 [page::26][page::27]

• 提出基于Pearson扩散过程建模的方法有效捕获了实际收益率峰度与偏度特征。

- 理论上满足无套利条件且构建完整风险中性测度。

• 实证验证在多种参数估计方法和评价指标下均优于经典和随机波动率模型，适用范围广。

- 模型为期权定价及风险管理提供新的数学工具和实务参考。

金融研究报告详尽分析

报告名称：CALL OPTION PRICE USING PEARSON DIFFUSION PROCESSES
作者：Tapan Kar, Suprio Bhar, Barun Sarkar, Sesha Meka
机构及联系方式见报告末尾[page::32]
发布时间：未显式给出，但研究覆盖至2024年8月，结合报告内容可推至2024年
主题：基于Pearson扩散过程的新型欧式看涨期权定价模型，深度对比经典Black-Scholes模型及Heston随机波动率模型的表现，实证分析印度Nifty 50指数期权数据。

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1. 元数据与报告概览

1.1 报告主题与背景

本报告围绕衍生品定价展开，重点是解决经典Black-Scholes模型基于对数收益正态分布假设的局限，引入Pearson扩散过程建模对数收益率，以提升欧式看涨期权的定价准确性。该扩散过程拥有线性漂移与二次方扩散系数，能够体现金融资产收益的偏度和尖峰厚尾特征。

1.2 核心论点与贡献

• 建立了基于Pearson扩散过程的期权定价体系（称PIV模型）。

- 证明在该框架下，风险中性测度通过Novikov条件验证，不存在套利机会。

• 证明股价过程在风险中性测度下存在唯一强解，保证数值稳定性。

- 通过印度Nifty 50指数欧式看涨期权数据的实证对比，PIV模型优于Black–Scholes与Heston模型。

• 建议市场参与者采用该模型辅助定价和风险管理。

1.3 报告结构

• Section 2：Pearson IV分布简介

- Section 3：Pearson扩散过程定义

• Section 4：对数收益模型及解的存在性唯一性

- Section 5：风险中性测度建立、定价公式导出及相关偏微分方程

• Section 6：基于Nifty 50期权数据的实证分析

- Section 7：总结与展望

• 附录：部分定理证明与相关文献综述

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2. 按章节逐节深度解读

2.1 第2节 Pearson Type IV分布

• Pearson系统曲线源自Pearson(1895)差分方程族，Pearson Type IV曲线对应二次方程根为虚根情况。

- PDF公式(3)表明，Pearson IV分布以参数$m,a,\nu,\lambda$描述位置、尺度、偏度及峰度。

• 偏斜度由参数$\nu$控制，$\nu<0$表示正偏，$\nu>0$为负偏；峰度递减与参数$m$正相关。

- 该分布涵盖金融资产收益的非正态性特征（如非对称分布与厚尾），较好拟合实际金融数据[page::3]。

2.2 第3节 Pearson扩散过程

• Forman和Sørensen (2008)定义Pearson扩散过程为：

$d Rt = -\theta (Rt - \mu) dt + \sqrt{2 \theta (a Rt^2 + b Rt + c)} dBt$，其中漂移线性，扩散项为二次函数。

• 一个特例为$b=0, a=c$，简化为

$d Rt = -\theta(Rt - \mu) dt + \sqrt{2 \theta a (1 + Rt^2)} dBt$。

• 当$\mu=0$时，稳态分布为缩放后的t分布；$\mu \neq 0$时，稳态分布为Pearson Type IV。

- 程序的二阶矩存在条件为阶数小于$1 + 1/a$，显示过程的稳健性限制。此分布性质良好，有利于表征金融收益的尖峰厚尾特征[page::4]。

2.3 第4节 模型设定与强解存在唯一性

• 股票价格定义为$St = S0 e^{Rt}$，其中对数收益$Rt$符合Pearson扩散SDE：

$d Rt = -\theta (Rt - \mu) dt + \sigma \sqrt{2 \theta a (1 + Rt^2)} d Bt$，引入$\sigma$尺度参数。

• 证明了漂移系数$u(x)$和扩散系数$v(x)$满足全局Lipschitz条件和线性增长，确保对SDE有唯一强解，且积分$\int0^T Rt^2 dt$几乎处处有限，数值稳定性好[page::5]。

- 运用Itô公式，导出价格动态SDE，包含漂移和扩散参数，表达式如(7)所示[page::6]。

2.4 第5节 风险中性测度及定价

• 看涨期权价定义为风险中性测度$\mathbb{Q}$下的贴现期望：

$C(t)=e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max(ST - K,0) \mid It]$，需保证折现价格过程为$\mathbb{Q}$下鞅。

• 使用Girsanov定理变换测度，引入漂移调节项$ut$，形式如式(11)所示，使得在$\mathbb{Q}$下，折现资产价格为局部鞅。

- 证明了该构造满足Novikov条件，$\mathbb{Q}$为等价局部鞅测度，排除套利机会[page::6-8, 27-30]。

• 导出类似Black-Scholes PDE的定价偏微分方程(12)，但扩散系数含对数收益的二次项，体现非高斯特性[page::9-10]。

- 证明该SDE在$\mathbb{Q}$下存在唯一强解，股价过程非爆炸，且数值可用模拟实现定价[page::10-12]。

• 实际定价通过蒙特卡洛数值模拟实现，未获得闭式解[page::12]。

2.5 第6节 实证分析

• 数据来源印度Nifty 50期权市场，覆盖2022年4月至2024年8月，选取期限不超过3个月的欧式看涨期权，剔除流动性较低合约，最终样本62442项。

- 以91天国债收益率作为无风险利率。

• 合约按执行价与标的价比率划分为ATM (0.97,1.03), OTM(<=0.97), ITM(>=1.03)[page::13-14]。

- 按剩余期限分五档(A:1-7天, E:61-90天等)分组[page::14]。

参数估计

• 历史法：使用90和180天滚动窗口，从过去历史价格估计Pearson模型$(\theta,a,\mu,\sigma)$、Black-Scholes波动率和Heston模型。

- 所有模型均采用极大似然估计，日数据步长$\Delta t=1/252$年。

模型表现比较

• Tables 3-4（按价内价外分类，历史法）

PIV模型在MAE和MSE两指标均显著优于BS和HS，尤其对ATM和OTM期权表现突出。

• Tables 5-6（按剩余期限分类，历史法）

PIV在各期限档表现均优于BS和HS，唯有30-60天期限中HS模型MAE更优。

• 统计显著性检验（Tables 7-8）

Diebold-Mariano检验显示，PIV对HS和BS的预测优势在所有价内价外及期限类别均以1%水平显著。

• 隐含法估计(第6.3节，Tables 9-11)

PIV模型在ATM期权及整体样本MAE表现优于BS和HS，但HS对ITM和OTM有优势。
按时间分类，PIV优于BS与HS短期选项（1-2周期权）MAE表现突出，长期期权HS表现较好。
MSE指标下，BS和HS对部分期限优于PIV。Diebold-Mariano检验确认PIV在ATM选项预测上的统计显著优越性。

整体看来，PIV模型凭借对非正态收益分布的有效刻画，在多场景下表现稳健，并在市场主流的期权类别中显示明显优势[page::13-26]。

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3. 图表与表格深度解读

3.1 Table 1-2：样本结构特征

• Table 1显示样本中超过94%的期权剩余期限小于1个月 (A-C三档)，流动性由此集中于短期期权。

- Table 2显示超过98%的交易集中于ATM和OTM品种，ITM合约较少活跃，反映市场参与者倾向于交易价外及近价期权。
这为参数估计和模型性能测试提供了针对主流市场段的丰富数据支持。

3.2 Tables 3-6：模型历史估计性能

• Table 3（90天窗口）显示PIV模式下所有价位分类的MAE和MSE均远低于BS与HS，特别是ATM选项，PIV的MAE仅36.28，HS为40.64，BS高达81.15。

- Table 4(180天窗口)同样显示PIV保持优势，尽管理由周期增长，误差略有上升。

• Table 5与6根据剩余期限分类同样验证PIV模型主导多数期限层级表现，少数远期档次HS有所优势。

图表有效印证PIV模型优势由其准确捕捉收益偏态和厚尾带来的价格偏差所致。

3.3 Tables 7-8：Diebold-Mariano显著性检验

• 表格显示各检验p值接近0，强证据拒绝预测等效性，支持PIV模型在价格预测上统计学显著优于HS和BS。

3.4 Tables 9-11：隐含参数估计法

• Table 9 MAE指标下，PIV仅在ATM及整体表现领先，相较ITM与OTM表现欠佳，反映隐含法下市场对不同价位期权的波动率预期差异。

- Table 10时间分类显示短期合约中PIV优越表现，长期HS模型更优，揭示模型适用性随期限延长有所差异。

• Table 11显著性检验确认ATM选项PIV前瞻性能显著性。

该组数据体现隐含法估计真实市场预期之复杂性，PIV模型在流动性最强区域优势明显继续得以确认。

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4. 估值分析

本研究估值采用风险中性测度下的期望贴现模型：
$$
C(t) = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max(ST - K, 0) | It].
$$
基于Pearson扩散过程构建股票价格动态，利用Girsanov定理构造等价局部鞅测度$\mathbb{Q}$，调节漂移项确保折现资产价格为局部鞅。
完成风险中性构造后，导出期权价格满足偏微分方程(PDE)，近似为Black-Scholes PDE的推广版，其扩散项随股票对数收益的平方变化，体现动态波动率和分布形状偏差。
数值解无闭式形式，采用参数估计+蒙特卡洛模拟完成定价。

估值方法鲜明区别于Black-Scholes假设的几何布朗运动及Heston模型的随机波动率，由于Pearson扩散能描述偏度和峰度，能更贴近市场反映。

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5. 风险因素评估

报告主要风险因素如下：

• 模型假设风险：Pearson扩散过程假设基于参数特定范围，实际市场波动率的剧烈跳变或极端事件可能不完全被捕捉。

- 数值实现风险：模型无闭式解，依赖蒙特卡洛模拟，存在计算误差、模拟效率挑战。

• 参数估计风险：历史窗口选择、估计方法可能带来估计偏差，影响定价准确性。

- 市场流动性风险：低流动性选项在估价时存在定价偏差，报告已采取剔除极低流动性合约手段缓解。

• 风险中性测度假设：报告说明仅证明局部鞅性质，未完全证明为真正鞅测度，理论完整性有待加强(Remark 5.6)。

但整体模型具备套利无可能性保障(通过Novikov条件验证)，为风险控制提供基础。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告对风险中性测度建立较为严谨，证明Novikov条件满足，免除套利，理论体系完整严密，但仅证实局部鞅，非全局鞅性质影响真实金融市场定价的数学保证，报告中有明确声明，显示科学态度谨慎诚实。

- 模型没有闭式期权价格表达式，依赖模拟，计算复杂度不容忽视。

• 数据选取上，虽剔除低流动性合约，但期权市场的波动极端情况是否充分反映尚未深入讨论。

- 实证对比仅限Nifty 50市场，尚缺乏跨市场或跨资产类别验证，未来扩展空间明显。

• 隐含波动率估计法中，PIV模型对部分价位类别表现不及Heston，强调市场非完全拟合状态。

- PIV模型对偏度和峰度的建模优势强，但对极端尾部风险事件（跳跃、波动率微笑等）是否足够仍需向结合Jump模型等展开。
整体来说，报告分析基础扎实，采取实际步骤确保模型实际可用，潜在不足识别充分，符合学术严谨要求。

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7. 结论性综合

本报告提出并验证了一种基于Pearson扩散过程的欧式看涨期权定价新方法（PIV模型），其核心创新在于对对数收益率的偏度和峰度进行建模，摒弃了Black-Scholes模型假设的正态收益，弥补Heston模型在某些市场状态下的不足。
理论方面，完成了从对数收益模型假设、风险中性测度构造(利用Girsanov变换、验证Novikov条件)、股价过程解的存在唯一性，到黑-舒尔斯类PDE推导的完整链条，保证了数学上的合理性和计算可执行性。
实证方面，选取印度Nifty 50指数欧式期权数据，通过历史法及隐含法两种参数估计策略，全方位比较PIV与BS、HS模型，PIV模型在覆盖比重最大的ATM期权及短期期限选项体现显著更优的定价准确性，且其提升的统计显著性通过Diebold-Mariano测试得到确认。
图表中，PIV模型在MAE和MSE指标上均优于BS和HS，尤其是在市场流动性较好、交易活跃的主流合约类别，灰度结果明确，数据充分佐证理论优势。
报告在市场实际环境下具备较强的适用性和推广价值，未来扩展可结合跳跃过程、跨市场验证及高频数据，提高模型稳健性和广泛适应性。整体视角科学严谨，结论可靠，实用和学术贡献兼具。

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附录：重要图表Markdown展示

表1：期权剩余期限分布

| 类别 | A(1-7天) | B(7-15天) | C(15-30天) | D(30-60天) | E(60-90天) |
|--------|------------|------------|-------------|------------|------------|
| 合约数量 | 32,142 | 17,507 | 9,548 | 2,965 | 280 |
| 占比(%) | 51.475 | 28.0372 | 15.291 | 4.7484 | 0.4484 |

表2：期权标的价与执行价关系（价内/价外/平值）

| 类别 | ATM | ITM | OTM |
|--------|------------|------------|-----------|
| 合约数量 | 31,617 | 1,131 | 29,694 |
| 占比(%) | 50.6342 | 1.8113 | 47.5545 |

表3（示例）：历史法90天窗口不同价位模型定价误差指标—MAE

| 价位 | PIV | Black-Scholes | Heston |
|-------|----------|--------------|----------|
| ITM | 36.97| 54.66 | 44.71 |
| OTM | 11.46| 34.41 | 14.99 |
| ATM | 36.28| 81.16 | 40.64 |
| 全样本 | 24.88| 59.19 | 28.92 |

黑体为最佳表现

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术语与模型解读

• Pearson扩散过程：股票对数收益$R_t$服从SDE，漂移为线性，扩散系数为二次函数，能生成Pearson Type IV稳态分布，具备灵活偏度与峰度参数适配数据。

- 风险中性测度$\mathbb{Q}$：改变概率测度，使得折现资产价格成为鞅，用于无套利定价。通过Girsanov变换，调整布朗运动漂移项。

• Novikov条件：保证指数鞅型随机指数的期望有限，确保测度转换合法，排除价格出现套利策略风险。

- 蒙特卡洛模拟：因无解析期权价格表达式，采用随机模拟路径计算期权贴现期望值。

• 绝对误差(MAE)与均方误差(MSE)：评价模型价格预测精度，数字越小表示模型定价与市场更接近。

- Diebold-Mariano检验：统计检验两组预测误差序列的显著性差异，判断模型预测能力高低。

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结语

此报告系统且创新地将Pearson扩散过程引入期权定价，覆盖理论证明与实证评测，提出的PIV模型针对非正态收益具较强解释力和预测能力。该方法不仅完善了经典定价理论，也为实际市场定价提供了可行工具，展示了良好前景。研究也充分说明了对随机过程建模和风险中性测度构造的严谨数学基础是金融定价创新的关键。

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报告