引言与背景介绍 [page::0][page::1]

• 2020年4月油价历史首次出现负值，CME和ICE短期内将WTI期权定价模型从Black模型切换为Bachelier模型，旨在适应负价格及极端波动环境。

- Additive Bachelier模型继承Bachelier框架，利用Additive过程扩展以更好捕捉市场波动率微笑及波动率曲面特征，且仅需三个具备金融含义的参数：波动率期限结构、波动率波动(vol-of-vol)、偏度参数。

Additive Bachelier模型构建及定价公式 [page::2][page::3][page::4]

• 模型定义：期货价格由初始值加Additive过程驱动，过程特征函数明确定义，涵盖VG和NIG等模型。

- 定价公式：推出两种欧洲看涨期权闭式计算表达式，一为基于Fourier变换的Lewis公式，一为带随机波动成分的Bachelier定价公式的扩展。

• 模型保证无套利性，特征函数存在解析区间，支持高速蒙特卡洛模拟。

Implied波动率及其性质 [page::4][page::5][page::6]

• Implied波动率唯一存在且可通过显式方程定义，且具有分离性，整体波动率被分解为期权期限结构波动率与对称性受偏度参数控制的波动率微笑函数。

- 偏度参数$\eta$控制微笑的对称性，$k$参数负责波动率曲面的凸度(vol-of-vol)。

• 明确推导波动率微笑在ATM附近的Taylor展开及对极端履约价格的渐近行为。

模型标定方案及数据集描述 [page::6][page::7][page::8][page::9]

• 引入层级标定(cascade calibration)方法：先使用最活跃的贴现率及远期ATM价格标定参数$\sigma_t$，后标定ATM期权波动率，最终利用OTM期权标定$\eta$和$k$。

- 数据涵盖2020年4月至8月WTI期权日级市场价格，存在市场流动性不足及节假日缺失，标定覆盖有效交易日和标的范围详尽。

• OTM期权样本量虽受限，标定仍具稳定性。

标定结果全样本表现及单日期详细比较 [page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15]

• 报告贴现金融市场极端波动对贴现率构成的影响，首期期权贴现率与OIS基准存在显著差异，故剔除第一到期日数据参与标定。

- 参数$\eta$和$k$随时间变化平滑且稳定，初期剧烈波动后趋于平稳。

• 4月29日标定对比：Additive Bachelier对ATM波动率和波动率曲面拟合优于纯Lévy和Additive Logistic模型，拟合误差(MSE)显著更低，且参数与多期限Lévy模型相近，表现稳定且连贯。

- 模型较为简洁，仅三个参数便能捕捉市场主要特征，适合高波动和负油价情形。

结论 [page::16]

• Additive Bachelier模型在保留Bachelier模型优势基础上引入跳跃与厚尾，解析性质强，采用层级标定实用性高。

- 模型能够应对极端负价格和市场剧烈波动，参数估计稳健，符合实证数据，特别适合COVID-19期间石油期权市场。

• 具备快速蒙特卡洛欧式及路径依赖期权定价能力[page::0][page::10][page::12][page::14][page::16].

The Additive Bachelier model with an application to the oil option market in the Covid period: 深度分析报告解构与评述

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1. 元数据与报告概览

本研究报告题为《The Additive Bachelier model with an application to the oil option market in the Covid period》，由Roberto Baviera和Michele Domenico Massaria两位学者于2025年6月12日发表于米兰理工大学数学系。报告主要围绕原油期权市场在新冠疫情期间的极端波动背景下，介绍一种创新的基于Bachelier模型的衍生模型——Additive Bachelier模型，并展示其在WTI原油期权定价及隐含波动率曲面拟合的优越性能。

核心论点在于应对2020年4月WTI原油市场期货价格首次出现负值带来的定价挑战，传统的Black模型失效，市场暂时采用Bachelier模型。作者提出的Additive Bachelier模型，以三个具有清晰经济意义的参数（波动率期限结构$\sigmat$、波动率的波动(vol-of-vol)参数$k$、偏斜参数$\eta$）为基础，不仅确保无套利条件，且简洁有效，能够精准拟合隐含波动率曲面，支持快速路径依赖产品的蒙特卡罗定价，并具备层级递归校准能力（cascade calibration）。总体而言，模型实现对疫情早期极端市场行情的有效捕捉和稳定校准，凸显其实用价值。

关键词涵盖“隐含波动率曲面”、“Bachelier模型”、“Additive过程”、以及“层级校准”等[JEL分类：C51, G13][page::0]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言：疫情驱动油市极端波动，Bachelier模型关键应用

2020年春新冠肺炎蔓延全球期间，油市动荡加剧，期货合约价格历史性出现负值，迫使芝加哥商品交易所（CME）及洲际交易所（ICE）临时由Black模型切换至Bachelier模型。经典Black-Scholes模型假设标的价格服从对数正态分布，无法覆盖负价，Bachelier模型则采用正态分布允许负价格。该背景引出本文创新——以Additive过程广义Bachelier模型，利用跳跃及重尾分布特征提升市场真实行为捕捉能力，实现对期货和期权市场特别是波动率曲面的统一描述。

作者强调市场缺乏既支持负价又能完整拟合波动率曲面的模型，Additive Bachelier模型解决此问题，结合了理论与实践的优点，包括闭式解、无套利保证、解析隐含波动率表达式及简便的层级校准流程，能满足交易员级衍生品管理需求[JEL分类、文献引用，Black-Scholes 1973; Carr 和 Torricelli 2021; Cont 和 Tankov 2003][page::1]

2.2 模型定义与数学框架

模型认为，远期价格$Fs$演化为$F0 + fs$，其中$fs$为Additive鞅过程，实现对价格增量的加性描述。特征函数表达为：

$$
\ln\phit(u) = \psi\Big(i u \eta \sigmat \sqrt{t} + \frac{u^2}{2} \sigmat^2 t; k, \alpha\Big) + i u \eta \sigmat \sqrt{t}
$$

参数$\sigmat$为正且连续，满足$\sigmat^2 t$递增且趋零；$\eta\in \mathbb{R}$调控偏斜，$k>0$调控波动率波动程度，$\alpha\in[0,1)$为模型类别选择（VG模型对应$\alpha=0$，NIG模型对应$\alpha=1/2$）。$\psi$函数定义为基于Normal Tempered Stable类函数的特征函数指数。

本质上，该Additive Bachelier模型是对经典Bachelier布朗运动的推广，允许複杂动态与跳跃特性，既保持解析操作便利，又增丰富市场适配能力[JEL分类、Sato 1999][page::2]

2.3 欧式期权定价闭式解

报告提出两种欧式看涨期权定价闭式公式：

• 利用路径积分和傅里叶变换理论，给出价格表达（Lewis公式推广），该积分位于特征函数的解析区域内保证收敛性。
• 另一式为基于随机变量$G$的混合Bachelier价格，$G$的拉普拉斯指数由$\psi(u;k,\alpha)$定义，嵌入了波动率随机性，使得期权价格呈现额外形状与波动率微笑。

此定价方法不仅在理论上保证模型的快速且准确估价，也支持其层级校准——先对流动性最高的期货ATM波动率拟合，再调整微笑曲线参数$\eta,k$，实现金融产品区分级校准，方便落地运用[page::3,4]

2.4 隐含波动率结构与性质

隐含波动率$\mathcal{I}t(x)$定义为使得该模型期权价等于Bachelier期权价的波动率。作者证明：

• 对任何到期期限$t$和行权价$moneyness$ $x$，隐含波动率存在且唯一。
• 隐含波动率具有“可分离性”（Separability）：$\mathcal{I}t(x) = \sigmat I(y)$，其中$moneyness$经过标准化$y = \frac{x}{\sigmat \sqrt{t}}$，函数$I(y)$无时间依赖，仅受$\eta,k$影响。
• $I(y)$光滑($\mathcal{C}^2$)，其对称性由偏斜参数$\eta$控制。$\eta=0$时为关于ATM价格对称的波动率曲面。
• ATM隐含波动率为$\sigmat I0$，其中$I0$与$\eta,k$相关，$I0'$衡量波动率的斜率（skew），表达式明晰且理论合理。
• 极端moneyness下，$I(y)$逼近具有明确的衰减速率，概率分析且满足无套利限制。

这组结果赋予模型高参数可解释性和对隐含波动率微笑深刻解析，确保适应极端波动环境，且参数直接映射市场特征，便于实际操作和风险管理[page::4-6]

2.5 层级校准策略（Cascade Calibration）

该模型支持层级递归式校准：

1. 第一级：基于期权数据精确拟合折现率和ATM期货价格波动率的期限结构。
2. 第二级：确定模型参数$\sigmat$，调节整体波动率水平，保证ATM期权价格完全匹配市场。
3. 第三级：利用市场OTM期权价格拟合两个关键非线性参数$\eta,k$，完成波动率曲面形状的完整拟合。

利用$moneyness$的归一化，实现$\mathcal{I}t(x) = \sigmat^{ATM} \mathcal{T}(\chi)$形式，其中$\mathcal{T}(\chi)$无期限依赖，%实现各期限间参数分离优化。

该校准方法不仅提高拟合效率，还保障模型对高流动性产品的优先精准拟合，满足场内做市商和风险管理者对不同衍生品流动性差异的现实需求，同时加强模型稳定性和调节能力[page::6-8]

2.6 数据样本与实证方法

选取芝加哥商品交易所自2020年4月23日至8月31日期间WTI原油期权市场数据，在新冠疫情导致价格极端波动、CME唯暂时使用Bachelier模型时段。数据涵盖9种合约到期，幅度宽广的行权价格(2.5美元至245美元)，包括每日交易数据（除美国节假日），以联邦基金有效利率(OIS)作为无风险利率。

统计分析揭示该时期市场流动性整体偏低，特别是一些远期和长期到期期权的成交量有限，促使研究过程中对首一期权到期的高度价差单独处理，以避免校准偏差。

统计表格详述了时间窗口、各期限交易合约数量及OTM期权分布，为后续校准及模型验证提供扎实数据基础[page::8-9]

2.7 实证校准及参数演化

2.7.1 折现率与参数时间序列分析

图1显示折现率与OIS利率在整个观察期限分段比较，首一期权到期折现率明显偏高，指示市场在极短期存在较强风险溢价和流动性压缩。基于此，首期权在校准中剔除。

图2、图3呈现模型参数$\eta$和$k$整体稳定但具缓慢演化趋势，疫情早期出现波动峰值，随后趋稳。$\eta$偏斜参数呈现轻微正偏，$k$波动率波动参数靠近1，符合对市场波动结构合理预期，且全部参数表现出跨期相对稳定，验证模型稳健性及参数持续有效性[page::10-12]

2.7.2 单日深度校准与模型对比（2020年4月29日）

选取2020年4月29日单日数据，择期后首到期剔除，进行详细多模型比较校准：

• Lévy Bachelier模型（标准参数固定）
• Lévy-fixed-ttm模型（针对每期限单独校准参数，非整体一致）
• Additive Logistic模型（另一Additive过程类别）
• Additive Bachelier模型（本文提出）

结果显示：

• Lévy-fixed-ttm校准误差最低，但是缺乏整体一致性。
• Additive Bachelier模型能精准拟合ATM波动率期限结构（图5），且隐含波动率微笑拟合逼近Lévy-fixed-ttm（图6），结构更简洁。
• Lévy Bachelier与Additive Logistic模型拟合效果欠佳，隐含波动率曲面与市场严重背离。

均方误差（MSE）分析（图7）彰显Additive Bachelier模型对于短期（1年内）期权准确性较强，为结构简洁与拟合性能间的平衡方案。参数$\eta,k$曲线（图8）对比显示Additive Bachelier参数可视为Lévy-fixed-ttm在各期限参数的平均或一致估计，体现模型跨期参数稳定优势[page::12-15]

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3. 图表深度解读

图1：折现率相较OIS利率价差分析

• 蓝色折线代表首期权到期折现率价差，价差接近或超过数百个基点，反映市场临近到期合约流动性紧张。
• 绿色折线为其余到期价差均值，稳定在约2个基点，显示其他期限市场较理性，折现价格接近无风险。
• 此差异强调疫情首期权市场风险溢价爆发，反映市场短期极端条件。
• 该特征促使模型校准时剔除首期权，提升整体拟合质量[page::10]

图2-3：参数$\eta$和$k$时序演变

• 图2 $\eta$缓慢从负值转向正值，范围约[-0.15,0.4]，体现波动率微笑对称性调整。
• 图3 $k$集中于[0.5,1.3]区间震荡，体现波动率持久度。
• 两者稳定性凸显模型适用性及现实意义，尤其在高波动环境下维持稳健估计。
• 参数演变周期与市场主要到期节点对应，增强模型动态适应能力[page::11-12]

图4-8：2020年4月29日单日校准及模型对比

• 图4确认首期权到期折现率与OIS比价差显著，因此首期权剔除符合实践原则。
• 图5显示Additive Bachelier和Lévy-fixed-ttm准确拟合ATM波动率，而其他模型偏离大。
• 图6多到期隐含波动率微笑曲面对比，Additive Bachelier紧密贴合市场数据，且与Lévy-fixed-ttm吻合良好。
• 图7均方误差曲线突出Additive Bachelier模型对1年内期权表现优越，误差显著低于Lévy标准和Additive Logistic。
• 图8参数$\eta,k$对比进一步验证Additive Bachelier参数为统一版本，兼顾拟合效果与模型简洁性[page::12-15]

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4. 估值分析

本报告基于扩展Bachelier模型框架，不直接采用Black-Scholes及其对数正态价格分布假设，而使用Additive过程定义线性价差。

估值方法侧重于：

• 利用特征函数对应的Fourier表达（Lewis公式推广）实现闭式欧式期权定价。
• 隐含波动率通过数值解方程与标准Bachelier模型价差匹配得出，确保隐含波动率存在及唯一性。
• 参数分离与归一化允许对期限结构和波动率微笑分开拟合，实现精准层级校准与市场自适应。
• Monte Carlo模拟在路径依赖奇异期权定价中效率兼备，模拟算法简单快速，媲美经典Bachelier模型。

该估值体系因解析简洁且参数少，适合波动剧烈及价格负值可能的能源商品市场，提供市场参与者实际可用的模型估值方案[page::2-8]

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5. 风险因素评估

报告中未专门划分风险章节，但从叙述可归纳主要风险因素：

• 市场极端波动风险：疫情爆发导致的负价格及剧烈波动会对参数稳定性及模型校准提出挑战。报告通过剔除首期权等手段缓解。
• 模型结构风险：Additive过程假设及参数固定（如$\eta,k$恒定）可能无法长期捕捉所有市场行为，特别极端事件非典型跳跃。
• 流动性风险：报告多次提及市场整体流动性偏低，少量报价影响价格及波动率精确度，影响模型参数估计。层级校准策略部分缓解该风险。
• 估值错配风险：与Lévy-fixed-ttm模型比较显示，Additive Bachelier对远期期权拟合相对弱，潜在导致远期限价值计算误差。

未见报告提供对各风险的概率评估及缓解策略，但其层级校准和参数分析已体现对市场条件变化的关注与部分防范措施[page::9-15]

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6. 批判性视角与细微差别

• 参数假设简化风险：模型设定$\eta,k$不依赖时间而固定，有助稳定与简洁，但可能削弱对不同期限市场微笑形状细微变化的灵敏捕捉。这在较长期权拟合上表现为较大误差。
• 首期权剔除策略的权衡：虽然剔除短期内折现率显著偏差期权，保证校准稳定，但此举可能忽视极短期波动风险，影响极短期期权估值的准确性。
• 模型较稳健但不足完全包容所有市场动因：Additive Bachelier与Lévy-fixed-ttm相比，虽然参数统一、结构优雅，但拟合精度有所牺牲，特别极端条件下表现或欠佳。后者虽拟合更精准，却缺乏整体一致性与理论严密性。
• 隐含波动率可分离结构实用性大，但假定波动率和波动率波动之间独立性较强，实际可能有更复杂的交互效应被忽视。
• 未见报告中对冲策略或风险管理应用的详细示例，实际应用中模型估值与风险监管结合仍面临挑战。

总的而言，本文模型与实证方法在市场极端不确定时期提供了切实可行的定价框架，但需注意参数稳定性及模型假设的适应边界[page::1-15]

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7. 结论性综合

本文系统地构建并验证了Additive Bachelier模型，扩展经典Bachelier模型以适应WTI油市新冠疫情期间极端价格波动与负值现象。在此框架下：

• 模型仅用三参数，分摊解释波动率水平（$\sigma_t$）、偏斜（$\eta$）及波动率波动（$k$），充分体现了参数的经济直观意义。
• 层级递归校准方法有效实现先流动性高产品定价准确，再微笑曲面细调，满足实际市场分层流动性的需求。
• 解析定价公式（Lewis公式推广）兼顾效率与准确性，对欧式期权和路径依赖产品均有优势。
• 通过对2020年4月至8月WTI期权数据校准，模型展现较高稳定性，能够拟合ATM波动率期限结构并较好再现隐含波动率曲面。
• 与Lévy及Additive Logistic等相关模型相比，在市场极端环境下Additive Bachelier实现了拟合效率与模型简洁性的最佳平衡，且更符合整体市场规律。
• 尽管如此，对极短期期权价差及较长期限拟合还存在改进空间，模型未来可在参数时间依赖及极端跳跃行为建模方向继续发展。

图表深刻揭示市场流动性、折现率偏离程度及模型参数演化规律，为能源金融领域及极端环境定价提供了一种有效工具。

综上，Additive Bachelier模型作为传统Bachelier模型的Parsimonious且解析可控的延伸，为疫情期间油市期权定价提供了坚实理论依据和实用价值推荐，具有重要的理论贡献与较强的实务指导意义。[page::0-15, 26]

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附录：关键金融术语及概念简析

• Bachelier模型：1900年提出的资产价格模型，假设价格增量服从正态分布，允许负价格，适合利率和商品期货市场。
• Additive过程：一类独立增量且不必等分布的随机过程，包括跳跃和重尾特征，用以更好描述资产价格的统计特征。
• 隐含波动率曲面：对不同到期和行权价的期权隐含波动率的三维或二维映射，反映市场对不同风险和不确定性的定价结构。
• Cascade Calibration：层级校准策略，先拟合流动性强产品的模型参数，后依次拟合复杂和低流动性的合约，确保参数解释和稳定性。
• Fourier定价方法：利用资产价格特征函数的傅里叶逆变换实现期权定价，计算高效且能处理跳跃扩散模型。
• Vol-of-vol：波动率本身的波动率，衡量波动率动态变化程度。
• Sticky Delta：隐含波动率曲面的特性，指价格变动时隐含波动率保持相同的delta（对价格敏感度）水平不变。

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总结

该报告以严谨的数学框架结合丰富的实证数据，提出一种既保留经典Bachelier模型结构简洁性，又具备捕捉疫情期间油市复杂波动特征的Additive Bachelier模型。通过理论分析与市场校验，展现其在极端环境下的无套利保证、参数可解释性、定价准确性及校准稳定性，是能源衍生品风险管理与定价领域的重要进展。

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