模型构建与数学求解框架 [page::3][page::4][page::5][page::6][page::7]

• 利用带有多个延迟参数的统计延迟微分方程构造短期利率模型，推广了Merton及Vasiček模型。

- 通过Laplace变换和“分步法”得到模型的强解和解析表达式，确保解的唯一性和可解析性。

• 解析求解了延迟微分方程中特征函数相关问题，导出债券价格、远期率和短期利率的分布特性。

债券定价与短期利率分布特征 [page::12][page::13][page::14][page::15][page::16]

• 给出零息债券价格的指数仿射表达式，其中包含延迟项，增强了经典利率模型的表达力。

- 证明短期利率条件分布为正态，提供了均值和方差的闭式计算公式。

• 明确了模型收敛性条件和短期利率稳态分布存在的充分条件。

即时远期利率及其风险中性动态 [page::16][page::17][page::18]

• 推导了基于延迟模型的即时远期利率表示，揭示其满足Heath-Jarrow-Morton框架下的风险中性SDE。

- 公式中涉及关键函数D与R，且体现了远期利率的因延迟引入的记忆效应。

初始隐含短期利率的反演方法 [page::17][page::18][page::26][page::27][page::28]

• 通过市场零息债券价格反推出模型初值函数φ的隐含形式。

- 基于不同延迟参数数值重建历史短期利率轨迹，发现隐含φ与真实短期利率趋势存在一致性但不完全匹配。

• 多组参数校准结果表明除延迟参数外其他参数较稳定，不同延迟下模型均保证极限分布存在。

量化策略及参数估计 [page::25][page::26]

• 以美国6个月期国债利率为代理变量，结合周期图方法识别延迟参数，利用线性回归估计模型参数。

- 显著降低均方误差，延迟模型对短期记忆特征的捕获使残差无自相关显著下降。

市场校准与Caplet定价表现 [page::29][page::30][page::31][page::32]

• 在新SONIA利率市场数据下进行caplet价格校准，并与经典Vasicek、Bachelier和Black模型比较。

- 模型拟合短期caplet表现最佳，特别是跨越不同期限的price convexity/concavity变动能够捕捉。

• 校准的延迟参数约为2年，验证其在市场数据中的有效性和实际应用潜力。

结论及未来研究方向 [page::32][page::34]

• 首次给出了带延迟的Vasiček模型零息债券和caplet定价完整解析。

- 除固定收益外，此类延迟模型有潜力应用于其他领域如气候金融等。

• 展望引入多因子延迟过程及Levy驱动过程，拓展模型的解析力和实际覆盖面。

线性短期利率模型及多重延迟因素: 详尽分析报告

---

1. 元数据与概览

• 报告标题：Linear short rate model with several delays

- 作者：Álvaro Guinea Juliá（Comillas Pontifical University ICAI, Madrid）与 Alet Roux（University of York）

• 发布日期：2025年6月26日

- 研究主题：提出含多重时间延迟的短期利率随机微分方程模型，推广经典的Merton模型和Vasicek模型，用以描述短期利率动态及其衍生品定价。

• 核心论点：

- 该模型引入对短期利率历史值的依赖（延迟记忆项），非马尔可夫性。
- 短期利率满足带延迟的随机微分方程，且利率呈正态分布。
- 零息债券价格为短期利率的仿射函数，系数满足带延迟的微分方程组，可解析求解。
- 模型兼容Heath-Jarrow-Morton的风险中性动态，可以定价包括基于隔夜利率的caplets。
- 模型通过实证校准对SONIA caplets和美债收益率曲线表现良好。

该报告旨在解决现有模型未能捕捉利率的历史依赖性及延迟影响的问题，提出具解析解并适合实际数据校准的解决方案。[page::0,1,2]

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 关键点：

- 利率受央行决策影响，表现出周期性高低波动，受到通胀和经济增长响应，导致利率具有过去依赖性（记忆效应）。
- 实证数据示例为美国三个月国债利率的变化及其自相关函数（图1），证明利率存在短期记忆。
- 介绍现有延迟差分方程模型在金融中的应用，包括延迟版本的CIR、Aït-Sahalia短期利率模型及标的资产期权模型。
- 强调提出的模型基于带延迟项的Ornstein-Uhlenbeck过程，属于Vasicek模型的推广且能生成负利率。
- 模型拟合短期利率时间序列中的短记忆行为，延迟延展了经典模型的适用性。

• 推理依据：

- 利率历史依赖体现为延迟微分模型的合理来源。
- 文献回顾佐证延迟模型在不同资产估值中的前沿研究。
- 与现有研究相衔接，强调本模型的创新点和现实意义。[page::0,1]

2.2 模型构建与解析解（Sections 2-3）

• 模型定义：

- 利率过程 \( rt \) 满足延迟随机微分方程：

\[
d r{t} = \left(a(t) + b rt + \sum{j=1}^N cj r{t-\tauj} \right)dt + \sigma(t) dWt,
\]

初始条件为区间 \((-\infty,0]\) 上确定函数 \(\phi(t)\)。
- 参数细节：
- \(a(t), b, cj, \sigma(t)\) 为模型参数，\(\tauj\) 表示不同的延迟时长，满足 \(\tauN > \cdots > \tau1 > 0\)。
- \(Wt\) 是风险中性概率空间下的布朗运动。
- 该模型特例涵盖了Merton模型（无乘数项）和Vasicek模型（单延迟无延迟系数），且延迟项可视作短期记忆调节。

• 解析解：

- 利用方法步骤（method of steps）将延迟随机微分方程拆解为无延迟的分段问题，进而解析求解。
- 定义辅助函数 \( R(t) \)，形式复杂，包含多重索引符号和Heaviside函数，满足对应的延迟微分方程。

\[
R^{\prime}(t) = b R(t) + \sum{j=1}^N cj R(t - \tauj), \quad t > 0, \quad R(t) = \mathbb{1}{\{0\}}(t), t \le 0,
\]

求解采用拉普拉斯变换和多项式展开。

- 利率的显式解为：

\[
rt = R(t) r0 + \int0^t a(s) R(t-s) ds + \sum{j=1}^N cj \int{-\tauj}^0 R(t - s - \tauj) \phi(s) ds + \int0^t \sigma(s) R(t-s) dWs,
\]

展示出延迟带来的复杂历史依赖结构。

• 推理依据：

- 拉普拉斯变换技术用以处理带指数函数的延迟微分算子，确保解的唯一性和解析表达式。
- 采用随机Fubini定理整理随机积分顺序，验证过程为方程解。

• 关键数据点：

- 函数 \(R(t)\)通过多层迭代的延迟组合体现经济学上的深远记忆效应。
- 参数不同取值还原经典模型，例：\(b<0, N=1, c1=0\)对应Vasicek模型。

2.3 拉普拉斯变换与特征函数（Section 3）

• 定义基于辅助过程 \(\gammaj\) 的指数-仿射转移函数，计算条件期望函数。

-系统的两个关键函数\(A\)和\(D\)满足带延迟的微分方程：

\[
D'(\ell) = b D(\ell) + \sum{j=1}^N cj D(\ell - \tauj) + d1,
\]
\[
A'(\ell) = a(T - \ell) D(\ell) + \frac{1}{2} \sigma^2(T - \ell) D^2(\ell) + d0,
\]

初值条件包含Heaviside函数。

• 解决方案：

- 利用多重积分和拉普拉斯变换的反演，结合偏多项式展开，获得\(D\)的封闭表达式，包含分段指数与多项式项。
- 特殊情况 \(b=0\) 简化为基于次方函数的表达式。

• 直观解读：

- 该结构自动调节历史影响权重，符合市场利率动态。
- 解析解允许更高效计算债券价格及相关衍生品。

2.4 零息债券价格（Section 4）

• 零息债券价格表达式为：

\[
B(t,T) = \exp\left(A(T-t) + D(T-t) rt + \sum{j=1}^N cj \int{t-\tauj}^t D(T-s-\tauj) rs ds \right),
\]

• \(A\)和\(D\)由前述带延迟微分方程确定。

- 此表达式是广义仿射短期利率模型的自然推广。

• Itô微分形式显式展示债券价格波动率仅依赖确定函数 \(D\)，由此可推导债券期权的闭式定价公式。

2.5 短期利率的分布及稳定性（Section 5）

• 利率条件特征函数显示 \(rT\)在任何时刻均为正态分布，参数（均值和方差）亦有解析形式：

\[
\mu{t,T} = \int0^{T-t} a(T-u) R(u) du + R(T-t) rt + \sum{j=1}^N cj \int{t-\tauj}^t R(T-u-\tauj) ru du,
\]

\[
\sigma{t,T}^2 = \int0^{T-t} \sigma^2(T-u) R^2(u) du,
\]

• 模型具有“有限记忆性”，即未来分布条件于近过去 \([t-\tauN, t]\) 内的利率。
• 稳定性分析：

- 利用特征方程

\[
h(\lambda) = \lambda - b - \sum{j=1}^N cj e^{-\lambda \tauj} = 0,
\]

判定根实部最大值 \(\nu0\) 是否小于零来判断系统渐近稳定。
- 依据Hale等人的结果，满足

\[
b + \sum{j=1}^N cj \neq 0, \quad |b| \ge \sum{j=1}^N |cj|, \quad b < 0,
\]

方程解渐近稳定，且短期利率存在极限定理，实现长期稳态正态分布。

• 此特性对于实证估计及金融应用的可靠性关键。

2.6 即时远期利率动力学（Section 6）

• 即时远期利率定义为

\[
f(t,T) = -\frac{\partial}{\partial T} \ln B(t,T),
\]

• 利用前面定义的函数 \(D\) 和 \(R\)，即时远期利率满足一个仿射的风险中性SDE：

\[
df(t,T) = - \sigma^2(t) D(T - t) R(T - t) dt + \sigma(t) R(T - t) dWt,
\]

初值有明确解析表达式。

• 因而该模型一次性满足Heath-Jarrow-Morton（HJM）框架的风险中性动态，兼容主流利率建模理论。

2.7 隐含短期利率（Section 7）

• 模型需要假设延迟区间的函数 \(\phi\)，该初值函数未被直接观测。

- 利用市场零息债券价格反推 \(\phi\)，特别是在延迟 \(\tau1\) 范围内，模型对应Hull-White模型。

• 利用市场远期利率曲线 \(f^M(0,s)\)，从零息债价格完美复制得到

\[
\nu(s) = \frac{\partial f^M(0,s)}{\partial s} - b f^M(0,s) - \frac{\sigma^2}{2b}(1 - e^{2bs}),
\]

进而由

\[
\phi(s) = \frac{1}{c1} (\nu(s + \tau1) - a(s)),
\]

获得市场隐含初始短期利率路径。

• 参数 \(a,b,c1,\sigma\) 利用 \(\tau1\) 以上债券价格校准。

2.8 Caplets定价（Section 8）

• 进一步扩展模型到隔夜无风险利率的caplets定价，结合Lyashenko和Mercurio关于扩展零息债券和扩展远期测度的理论。

- 定义扩展零息债券 \(B^(t,T)\)，并依此构建扩展远期测度 \(\mathbb{Q}^{T^}\) ，其中驱动布朗运动变换后仍为贝尔曼过程。

• 解析推导了回顾型（backward looking）和前瞻型（forward looking）利率的动态，证明两者均为扩展远期测度下的鞅过程。

- 解析得出基于短期利率模型的caplet价格闭式公式（类Black-Scholes形式），显式表达了期权隐含波动率的结构，并展示波动率因延迟参数呈动态衰减趋势。

• 实证中可通过调整延迟参数改善对不同到期日caplet隐含波动率微笑和斜率的拟合。

2.9 数值实验与应用（Section 9）

• 参数估计(9.1)：

- 以美国六个月国债利率为短期利率代理，使用2015-2025年日频数据。
- 采用最大似然/线性回归方法估计模型参数。
- 利用滋频图(periodogram)辅助确定延迟参数 \(\tauj\) 。
- 结果表明，引入延迟显著降低拟合均方误差（MSE），且残差自相关性明显降低，延迟参数成功捕获短记忆特征（图2, 3）。

• 隐含短期利率推断(9.2)：

- 根据美联储2024年4月19日的零息收益率曲线推断隐含初始函数 \(\phi\)。
- 测试多组延迟参数，发现隐含 \(\phi\) 与历史美国短期利率走势大致吻合，参数估计稳定，表明模型解释历史利率变化的能力。
- 零息债券拟合误差较小，尤其是超过延迟阈值 \(\tau1\) 之后的 maturities（见Figure 5及Table 1）。

• Caplets校准(9.3)：

- 利用LSEG数据中基于SONIA的三个月远期利率caplets进行模型校准与预测。
- 设定短期和长期两个数据集，基于相对加权最小平方误差进行优化。
- 比较Bachelier、Black、Vasicek及本模型，发现本模型在短期成熟度数据拟合优势明显，在整个数据集表现最佳。
- 延迟参数 \(\tau1\) 接近2年，与经验数据中利率转折点吻合，模型能区分短长期利率不同的变化动态（图7至13及Table 2-5）。
- 可视化分析显示模型对caplet价格曲线的整体趋势和波动捕捉良好，特别是不同到期时间段的行为差异。

---

3. 图表深度解读

图1（页面1）

• 内容：展示2020年5月至2024年5月美国三个月国债利率时序图和其样本自相关函数。

- 分析：
- 利率呈现明显波动，近年经历了大幅上升及平稳期。
- 自相关函数缓慢衰减，表明存在显著的短期记忆效应，提示历史利率对当前利率的影响非瞬时。

• 支持文本：图例证实利率需引入延迟记忆以合理建模。

图2（页面26）

• 内容：不同延迟参数数量模型的均方误差（MSE）比较。

- 分析：
- 随着引入更多延迟参数，模型MSE趋于降低，表明延迟提高模型拟合能力。
- 初始无延迟模型的误差最高。

• 结论：引入延迟参数有效改善模型拟合。

图3（页面26）

• 内容：对应不同延迟参数模型残差的Ljung-Box自相关检验的p值。

- 分析：
- 无延迟模型残差存在显著自相关（p值低于0.05）。
- 引入至少一个延迟后，p值大幅上升，无法拒绝残差独立假设。

• 结论：延迟参数捕获了短期记忆，残差更趋近“白噪声”。

图4（页面27）

• 内容：2024年4月19日美国收益率曲线。

- 分析：
- 典型的倒挂收益率曲线基调，短期利率高于长期。
- 数据为官方市场估计，建立零息债券价格基础。

• 意义：为后续隐含利率和模型校准奠定数据基础。

图5（页面28）

• 内容：多组不同延迟\(\tau1\)对应的隐含初值函数 \(\phi\)。

- 分析：
- 隐含函数随不同延迟参数呈现不同曲线，但整体反映了近年利率先升后稳的市场态势。
- 隐含函数明显非完全独立于延迟参数。

• 局限：隐含 \(\phi\) 与实际利率存在一定偏差，提示在未来工作中可以考虑随机初值函数。

图6（页面29）

• 内容：(a)模型与市场零息债券价格对比；(b)两者绝对误差。

- 分析：
- 模型价格与市场高度吻合，尤其在短端债券。
- 误差主要聚集于长端，符合非完美模型现实。

• 结论：模型实现了较高的债券价格拟合精度。

图7-13（页面30-34）围绕caplet定价和误差分析

• 显示市场caplet价格分布和不同模型拟合误差对比。

- 核心发现：
- 本模型在短期caplets拟合上远优于传统Bachelier、Black和Vasicek模型。
- 延迟参数\(\tau1\)表现为约2年，与数据中观察到的转折点吻合。
- 长期错误表现上稍逊于Bachelier，但整体误差更小。
- 误差随成熟度呈现分段走势，对应caplet价格的凸凹形状特征。
- 该模型能够自适应两端不同波动性特征。

---

4. 估值分析

• 方法：模型的零息债券价格和期权期权价格均由解析的指数-仿射形式推导。

- 关键假设：
- 利率服从带延迟的Ornstein-Uhlenbeck过程，噪音为标准布朗运动。
- 利率历史记忆通过延迟参数显式刻画。
- 利用带延迟的系统微分方程正确定义参数函数 \(A(\cdot)\) 和 \(D(\cdot)\)。

• 估值结果：

- 零息债券价格具有封闭公式结构，依赖于解得的函数 \(A, D\)，保证计算效率。
- Caplet价格公式采用经典Black-Scholes框架，log-normal对数收益率假设成立。
- 延迟参数使得模型能灵活调整隐含波动率曲面，捕获市场特征。

• 敏感性：

- 不同延迟参数及系数调整对期权价格影响显著。
- 延迟参数校准为关键，直接影响历史依赖和波动结构。

---

5. 风险因素评估

• 主要风险：

- 延迟参数估计误差可能导致模型预测偏差。
- 关于确定函数 \(\phi\) 的初始设定为确定性，可能与现实不符，影响模型稳定性和拟合效果。
- 模型限定在布朗运动驱动下，未覆盖跳跃和其他Levy过程可能带来的市场风险。
- 利率正态分布假设可能对极端利率事件刻画不足。

• 潜在缓解策略：

- 采用随机初值函数\(\phi\)，引入更多现实随机性。
- 模型扩展包含Levy过程等非高斯噪声。
- 多因子延迟模型以提升拟合能力。

• 数值稳定性：

- 稳定性分析为模型可用性提供理论保障。
- 参数需满足一组严格约束确保过程渐进稳定，进而保证极限定理成立。

---

6. 审慎视角与细微差别

• 报告设定延迟参数为常数，实际中这可能是时变的，且对模型性能影响较大。

- 初值函数 \(\phi\) 的确定性假设较强，报告中亦提及未来可考虑随机函数改进。

• 模型未直接涵盖跳跃、市场摩擦和信用风险等现实因素，适用性有限于纯利率环境。

- 多延迟参数模型参数选择基于频谱法，但其经济意义及动态稳健性尚需进一步实证验证。

• 模型复杂性随着延迟数量增加快速提高，存在降维和数值计算挑战。

- 某些形式的Laplace反演与多重求和表达式虽解析，但实际数值实现及计算效率存在潜在瓶颈。

---

7. 结论性综合

本文构建了包含多个延迟项的线性短期利率模型，成功推广了经典的Vasicek和Merton模型，赋予模型历史依赖记忆能力。通过数学解析方法，推导了模型解的显式公式，以及零息债券价格和衍生品caplet的封闭表达式。短期利率过程服从正态分布，且在满足一定稳定性条件下，存在良好的极限分布。模型兼容HJM框架，适用于现代利率市场，尤其是隔夜风险无利率caplet的定价。

通过美国市场数据的数值实验验证，该模型在捕捉短期利率的短记忆及收益率曲线结构上表现优异，纳入延迟参数显著提升拟合精度并降低残差自相关，模型校准结果显示延迟参数约为2年，且能有效刻画利率隐含波动的转折点，优于Bachelier、Black及Vasicek基准模型。隐含短期利率函数的再现则显示模型较好反映了利率历史动向，但可改进部分为初值函数的随机化处理。

图片及数据图示（如图1展示利率波动与自相关，图2-3体现延迟提升拟合效果，图5-6揭示隐含函数及零息债拟合，图7-13详述caplet价格拟合和误差）均充分佐证了模型的实用价值和数学严谨性。附录详细讨论了从真实世界概率向风险中性概率的结构保持测度变换，完善了理论基础。

总结而言，该多延迟短期利率模型为利率建模和衍生品定价提供了一种新颖且解析友好的工具，兼具理论深度和实际适用性，其研究成果对金融数学和数量金融领域的延迟过程建模具有重要开拓意义。

---

参考标注

所有结论均可追溯于相应页码，示例如[page::3,4]，[page::26,27]等。

---

附：部分关键公式与图表展示

• 短率过程方程：

\[
d r{t} = \left(a(t) + b rt + \sum{j=1}^N cj r{t-\tauj} \right)dt + \sigma(t) dWt
\]

• 零息债价格：

\[
B(t,T) = \exp\left(A(T-t) + D(T-t) rt + \sum{j=1}^N cj \int{t-\tauj}^t D(T-s-\tauj) rs ds \right)
\]

• 短率条件分布特征函数：

\[
\phi{T|t}^r(u) = \exp\left(i u \mu{t,T} - \frac{1}{2} u^2 \sigma{t,T}^2\right)
\]

• 延迟函数 \(R(t)\) 形式见正文第4页；
• 延迟参数带来的估计模型MSE与残差自相关p值变化（图2,3）：

• 美国收益率曲线，与隐含初始函数\(\phi\)示例图（图4,5）：

• 零息债券定价拟合及误差（图6）：

• Caplets拟合误差与价格趋势（图7-13，选取图9与10示范）：

---

总结：该报告对带延迟的线性短期利率模型提供了全面且细致的理论推导、解析解表达、分布性质剖析以及资产定价应用。通过实际数据验证演示了模型在捕获短期利率记忆行为和利率衍生品定价中的优良性能，为金融数学领域带来重要参考和推动。

[page::0-40]

报告