研究背景与方法创新 [page::0][page::1]

• 继承并扩展了均值-方差-偏度-峰度模型，采用半正定松弛技术刻画组合的高阶矩，尤其是偏度及更高奇次矩。

- 利用迹运算将组合矩表示为余矩阵与权重向量乘积，构造矩阵变量近似高阶权重组合，形成半正定约束的优化框架。

高阶矩迹表示与模型结构 [page::2][page::3][page::4][page::5]

• 组合的二阶矩、三阶矩、四阶矩等利用Kronecker积与迹算子表达，导出适合半正定规划的矩阵形式。

- 定义多个辅助矩阵变量近似权重的高阶直积，构建半正定矩阵块M^{(2k)}以保证优化变量的依赖关系。

• 通过约简矩阵大小和利用对称性，提升计算效率，但模型仍难扩展至超过16个资产。

组合优化模型与实证分析 [page::6][page::7][page::8]

| 组合模型 | μ1 | 0.5μ2 | 0.33μ3 | 0.25μ4 |
|---------------------------------|----------|----------|----------|----------|
| 仅含一二四阶矩效用函数 | 0.021344 | 0.058997 | 0.042933 | 0.079988 |
| 含一二三四阶矩效用函数 | 0.021384 | 0.059668 | 0.043715 | 0.081078 |
| 含一二四阶矩且三阶偏度约束 | 0.021431 | 0.060483 | 0.044647 | 0.082404 |

• 数值检测显示，引入偏度后，优化组合在偏度指标上明显提升，同时均值、方差与峰度水平均增加。

- 偏度约束条件可进一步提升偏度水平，但效果受到松弛模型的有效范围限制。

• 图1展示了不同模型下优化组合在均值-方差平面的位置关系。

• 图2展示了优化组合在偏度-峰度平面的位置分布，反映偏度约束的提升作用。

优缺点与适用范围 [page::5][page::8]

• 优点：允许通过凸优化技术有效纳入高阶矩（偏度）信息，增强投资组合的灵活性和描述能力。

- 缺点：半正定矩阵规模大限制了资产数量的规模，偏度建模依赖方差与峰度，且偏度近似仅在有限区间内有效。

金融研究报告深度解析

——《Semidefinite Relaxation of Higher Portfolio Moments》

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一、元数据与报告概览

• 报告标题： Semidefinite Relaxation of Higher Portfolio Moments

- 作者： Dany Cajas

• 发布机构/日期： 首版于2025年5月，最新版于2025年6月

- 研究主题： 高阶投资组合矩（主要关注偏斜度及其它奇数高阶矩）之半正定松弛方法及其在投资组合优化中的应用

• 关键词： 金融、投资、半正定规划、投资组合优化、偏斜度

- JEL分类号： C61（优化与数值方法），G11（投资组合选择）

核心论点与目标：
作者提出了一种基于半正定松弛（semidefinite relaxation）的高阶投资组合矩方法，重点解决投资组合偏斜度（第三阶矩）及更高奇数阶矩的表达和优化问题。通过引入矩阵变量及迹算子，作者将复杂的高阶矩表达转为半正定规划形式，使得利用凸优化工具解决含偏斜度等高阶矩的投资组合优化问题成为可能。该方法的适用性限定于偏斜度在某一范围内时松弛紧致，应用于实证资产数据后验证了偏斜度的提升及其代价。报告目标是向读者展示该数学框架、优化模型及数值验证，促进对高阶矩组合优化的理解和应用。

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二、逐节深度解读

1. 引言 (Introduction)

• 内容总结：

报告梳理了高级矩投资组合优化领域三十年来的主要发展，涵盖Konno等人的均值-方差-偏斜度模型，Athayde与Flôres对偏斜度和峰度的研究，以及作者本人此前关于偏斜度拆分及峰度凸优化近似的多项贡献。强调现有方法求解复杂度高且实现困难，提出本研究的半正定松弛新方法。

• 推理依据与逻辑：

从学术文献发展脉络出发，凸显本方法对复杂非凸（尤其三阶矩、四阶矩）问题的松弛优势和计算效率提升。文中强调利用迹运算和矩阵变量表达高阶矩的重要思路，进而构建包含偏斜度的半正定约束优化模型。[page::1]

2. 高阶矩的迹算子表达 (Trace Formulation of Higher Moments)

• 内容总结：

传统高阶矩用Kronecker积结合高阶矩张量表达，导致维度爆炸。作者通过引入comoment矩阵$\Sigma{2k}$，及消除重复项的线性变换矩阵$Lq$和$Sq$降低运算量，进而提出用迹算子（trace operator）表达各种阶数矩的统一形式。

• 关键数据与数学构造：

$\muk = x'Mk(x \otimes \cdots \otimes x)$，其中$x$为资产权重向量，$Mk$为k阶comoment张量。
迹算子表达如$\muk = \mathrm{Tr}(Mk (x \otimes \cdots \otimes x) x')$，矩阵尺寸为$n^{k-1} \times n$。
利用消除矩阵和求和矩阵简化矩阵维度；此步骤对提高计算可行性至关重要。[page::2][page::3]

3. 半正定松弛与优化模型 (Optimization with Higher Moments)

• 内容总结：

为处理Kronecker积的非线性组合，定义一系列辅助半正定矩阵$X^{(2k)}$及$X^{(2k-1)}$分别近似偶数和奇数次幂的权重Kronecker积组合。组装矩阵$M^{(2k)}$融合这些变量，通过半正定约束保证一致性和有效松弛。

• 数学详解：

$M^{(2k)}$为区块半正定矩阵，结构含1、x向量、以及这些辅助矩阵的矢量化（vec）。
约束$M^{(2k)} \succeq 0$确保变量矩阵合理性，保证高阶矩的代表性。
优化目标包括完整的前四矩使用$M^{(4)}$版半正定松弛，并通过迹算子实现风险调整收益最大化或约束式优化。权重集合$\mathscr{X}$可设定组合限制。

• 假设与限制：

- 半正定矩阵规模指数增长，保证实现仅对资产数目不超过16较适用。
- 偏斜度模型不能单独使用，必须附带方差和峰度。
- 松弛仅在部分偏斜度范围有效，超出该范围近似差。[page::3][page::4][page::5][page::6]

4. 数值实验 (Numerical Examples)

• 实验设计：

- 16支标普500股票，2009年到2024年间月收益率，构建180个月×16资产数据集。
- 三种投资组合优化模型：
1. 考虑一、二、四阶矩的效用函数
2. 加入三阶矩（偏斜度）项
3. 一、二、四阶矩效用加三阶矩下界约束。

• 数据与结果解读：

表1呈现三种模型下的组合各阶矩值。偏斜度引入显著提升三阶矩（0.0429提升至0.0446），同时也伴随期望收益、方差和峰度的上升，暗示偏斜度提升带来的风险-收益权衡变化。

图1（平均-方差平面）显示加入偏斜度时，组合回报与波动同时提升，图2（偏斜度-峰度平面）更直观展示偏斜度提升的效果及其峰度伴随上升的趋势，且模型对大偏斜度值的近似不再紧致。

• 软件工具： Python 3.12, CVXPY, MOSEK。
• 结论：

半正定松弛方法有效提升组合偏斜度，但最大提高有限，并伴随其他矩的增加，强调权衡关系和方法局限性。[page::6][page::7][page::8]

5. 结论 (Conclusions)

• 总结观点：

该半正定松弛框架为复杂奇数阶矩的组合优化表达开辟了新路径，结合矩阵迹的表达，使经典的非凸问题可通过凸优化技术加以求解。

• 优缺点归纳：

优点：
- 通过凸优化技术处理包含偏斜度和峰度的组合优化问题。
缺点：
- 半正定矩阵规模限制，难以应用于大规模资产池。
- 必须同时考虑方差和峰度，无法单独对偏斜度建模。
- 松弛仅在偏斜度较低范围有效，超过该范围模型松弛失效。

• 数值实证： 方法能提高偏斜度但幅度有限，且伴随预期收益及风险矩的上升。[page::8]

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三、图表深度解读

表1：不同模型的投资组合矩值

| 模型 | μ1 (期望收益) | 0.5μ1 - 0.25μ2 (部分) | (系数) μ3 (偏斜度) | (系数) μ4 (峰度) |
|----------------------------------------------|---------------|-----------------------|--------------------|------------------|
| 0.5μ1 - 0.25μ2 - 0.078μ4 | 0.021344 | 0.058997 | 0.042933 | 0.079988 |
| 0.5μ1 - 0.25μ2 - 0.125μ3 - 0.078μ4 | 0.021384 | 0.059668 | 0.043715 | 0.081078 |
| 0.5μ1 - 0.25μ2 - 0.078μ4, μ3 ≥ 8.9e-5 | 0.021431 | 0.060483 | 0.044647 | 0.082404 |

• 解读：

明显可见引入偏斜度项后，组合偏斜度值和所有相关矩包括期望收益率均有所提升，验证了理论模型具有实质效用，但偏斜度增加伴随其他风险暴露上升的现实考量。[page::7]

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图1：均值—方差平面上的最优组合分布

• 描述：

图中以散点和星形标记呈现三种模型的最优组合在月均收益（纵轴）与月收益标准差（横轴）上的位置，散点色彩用于表达预期收益与标准差比率。

• 解读趋势：

引入偏斜度的模型（橙色、红色星星）相比未考虑偏斜度的模型（蓝色星星）带来稍高预期收益与更大波动率，表现出风险和收益的权衡变化，图示空间三组模型的相对分布也说明引入偏斜度增加了组合的多样性及风险特征间的互补。

• 联系文本论点：

支持文本关于偏斜度引入导致组合波动率和期望收益提升的结论，体现设计模型有效但需警惕风险扩张。[page::7]



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图2：偏斜度—峰度平面上的最优组合分布

• 描述：

该图展现最优组合在月偏斜度（纵轴）与月峰度（横轴）维度上的分布。色彩条表示偏斜度与峰度的相对比例。

• 解读趋势：

载入偏斜度模型的组合（橙色及红色标记）明显偏移至更高偏斜度区，峰度也有相应提升，色彩梯度显示偏斜度与峰度的同步提升趋势。红色约束模型进一步推动偏斜度上限，但数值增长有限，体现半正定松弛近似有效区间的限制。

• 联系文本论点：

凸显作者指出松弛紧致仅限于一定范围内，超出此范围模型近似变差，辅助理解模型局限性及实际操作中的约束设计意义。[page::8]



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四、估值与数学模型分析

本报告属于方法论及模型建构，对传统估值无直接涉及。其核心是构建新的优化模型，采用：

• 半正定规划（Semidefinite Programming, SDP）作为主要优化框架，使非凸高阶矩问题转换成凸优化问题。

- 矩阵变量近似Kronecker积的权重产品，且通过正定约束保障数学表达的有效性和稳健性。

• 迹算子表达投资组合矩，将计算高阶矩转为矩阵内积，简化计算流程。

该模型的关键假设包括权重向量在给定凸集$\mathscr{X}$内，矩阵$M^{(2k)}$及相关辅助矩阵满足半正定约束，确保解空间的可行性及模型松弛性质。风险厌恶系数$\lambda_i$权衡不同阶矩效用权重。

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五、风险因素评估

• 模型规模限制： 半正定矩阵尺寸随资产数量指数增长，实务中资产数目超过16时计算难题凸显，限制实际应用范围。

- 近似松弛范围有限： 该模型的偏斜度松弛仅在一定区间有效，模型难以准确表征超出该范围偏斜度的可能组合，削弱了偏斜度极端提升的分析能力。

• 偏斜度非独立建模： 必须联合方差与峰度考虑，高阶矩建模不可拆分，增加优化复杂性。

- 可能存在数据来源及样本外推广风险： 数值实验基于特定样本和市场，模型泛化至其他资产或市场环境还需谨慎验证。

报告虽未专门针对风险提出缓解策略，但数值结果和模型设计隐含避免过度偏斜度提升的风险提示。

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六、批判性视角与细微差别

• 报告作者多次强调模型使用范围有限（资产数16或更少，偏斜度值区间限制），体现审慎态度，展现透明揭示局限性，值得肯定。

- 文中对模型计算复杂度的阐述较详细，但缺少对如何进一步扩展至更大规模资产池的讨论。

• 偏斜度提升伴随期望收益和风险同时增加，说明效用权重设置需平衡，未涉及风险调整收益的深度测算。

- 未提供对比其他高阶矩优化模型的定量比较，缺少方法优劣的完全展现。

• 可能隐含对半正定松弛“紧致”概念的数学细节介绍较少，普通读者或需更多扩展材料理解。

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七、结论性综合

本报告系统呈现了一种利用半正定松弛技术表达并优化高阶投资组合矩，尤其是第三阶偏斜度的创新方法。采用迹算符和矩阵变量创新地重构了复杂高阶矩的非线性表示，将非凸组合优化问题转为适合凸优化框架的半正定规划问题。通过对16资产的实证样本测试，验证了该方法能够有效提升投资组合的偏斜度，在一定范围内保持数值逼近的紧致性。

图表深刻反映了引入偏斜度后组合期望收益、波动率（方差）、偏斜度及峰度均呈现提升，体现了高阶矩优化对组合风险收益结构的复杂影响。报告还指出了方法的显著局限——计算规模限制、偏斜度松弛区间限制以及偏斜度不能孤立使用，明确了未来研究方向和应用边界。

总体来看，作者立场明确，贡献具体，既提出理论模型，也辅以数值实验支撑，展现半正定规划在投资组合高阶矩优化领域的独特价值和实际应用潜力，适合金融工程和数量投资领域内深入研究和推广。

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参考文献

报告附带多篇权威文献支撑，包括Konno等早期工作、作者自身多篇前期论文、半正定规划相关核心文献及数值工具说明（CVXPY、MOSEK）等，翔实且具有权威性，为本研究方法提供了坚实学术基础。[page::10]

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以上为报告的全面且细致的解析，涵盖报告结构所有重要章节、方法论阐述、数值展示和图表解读，剖析了核心方程、模型假设及实证验证，为理解该半正定松弛在高阶投资组合优化中的应用提供了完整且深入的视角。

报告