• 研究背景与问题定义 [page::0][page::1][page::2]：

- 做市商通过设定买卖价格赚取点差，但面临市场动态不确定与库存风险。
- 传统做市研究假设底层价格动态已知，本文引入不确定性考虑，利用Wasserstein距离构建鲁棒优化框架。

• 模型设定与随机策略构建 [page::2][page::3]：

- 市场订单采用带参数依赖的概率分布表示，$\Delta N^{+}(\epsilon^{+})$ 和 $\Delta N^{-}(\epsilon^{-})$ 分别表示买卖单数。
- 政策由确定性扩展为随机策略，定义在非负实数域的概率密度函数$\pi(\epsilon|S,Q)$，并引入熵正则化参数$\eta$促进策略多样性。

• 鲁棒优化问题及主要结果 [page::4][page::5]：

- 利用Wasserstein DRO框架，定义基于经验分布的Wasserstein球$\mathcal{U}{n,\delta}^{\pm}$作为不确定集。
- 证明最优策略$\pi^{}$呈现显式指数形式，依赖于参数$\alpha^{,\pm}, \beta^{*,\pm}$，这些参数通过带约束的二阶矩优化问题获得。
- 优化目标函数在满足方差条件$(\beta{n}^{+} - (\alpha{n}^{+})^{2})(\beta{n}^{-} - (\alpha{n}^{-})^{2}) \geq \delta^{2}$时为凹函数，保证求解效率。

• Wasserstein球半径的最优选择方法 [page::5][page::6][page::7]：

- 通过引入Wasserstein鲁棒剖面函数$\mathcal{R}(\alpha,\Sigma)$，刻画参数空间内的统计置信区域。
- 设计置信区域$\Lambda{\delta}$，通过控制$\delta$保持对真实分布包含概率$1-\chi$。
- 理论分析显示，最佳$\delta$随着样本量$n$收敛速率达到$\mathcal{O}(1/n)$，兼顾统计稳健性与模型准确性。

• 关键数学证明概要 [page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19]：

- 采用对偶性方法转化优化问题，明确策略的指数表达形式。
- 精确刻画参数$\alpha^{\pm}$和$\beta^{\pm}$的可行范围及其构成的凸性。
- 证明目标函数的凸凹性质，并解析Wasserstein鲁棒剖面的分布特性，为策略设计提供严格理论支撑。

Wasserstein Robust Market Making via Entropy Regularization — 全面深入分析报告

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1. 元数据与概览

• 报告标题：《Wasserstein Robust Market Making via Entropy Regularization》

- 作者：Zhou Fang, Arie Israel

• 机构：德克萨斯大学奥斯汀分校数学系

- 发布日期：2025年3月7日

• 主题：基于Wasserstein距离的稳健市场做市问题，结合熵正则化优化方法。

核心论点与目标

本报告提出了一种结合Wasserstein距离的分布鲁棒优化（Distributionally Robust Optimization, DRO）框架，以增强市场做市策略对于基础资产价格动态不确定性的鲁棒性。具体地，作者采用熵正则化的随机策略方法，将传统的市场做市问题提升为一个凸优化问题，并设计了一种合理选取Wasserstein球半径的方法，从而改进策略的稳定性和性能。

• 市场做市问题内核：设置买卖价格间隔（bid-ask spread），通过频繁交易获利，同时管理库存风险。

- 技术亮点：首次将Wasserstein DRO技巧与熵正则化政策结合，用于市场做市问题。

• 核心成果：

- 证明问题可转化成凸优化。
- 给出最优随机策略的闭式表达（带模型不确定性）。
- 设计一种基于“Wasserstein robust profile”的半径选择策略，确保策略对未知真实分布的置信度。

报告总体表达的是，面对不确定的市场订单到达动态，传统确定性模型不足以应对，需用分布鲁棒方法结合数据驱动优化以获得更稳定的市场做市决策[page::0,1,2]。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

引言回顾了市场做市的经典定义及发展，指出市场做市需平衡风险与利润，经常采用随机控制框架，但传统研究多假设价格动态明确且可知。然而现实中信息往往不完备或不准确，尤其是关于订单到达率（order arrival intensities）的动态分布。报告提出利用Wasserstein距离的DRO框架建模订单到达的分布不确定性，基于这种鲁棒优化设计更稳定的做市策略。

核心创新是结合熵正则化来实现随机策略的探索性，避免传统确定性策略的局限，提高策略鲁棒性及灵活性[page::0,1]。

2.2 模型设定（Model Setup）

• 市场订单到达建模：

以Poisson过程描述市场买入和卖出订单的随机到达，且到达强度依赖当前的bid和ask spreads \(\epsilon^-, \epsilon^+\)。

• 关键随机变量：

- \(\Delta N^+(\epsilon^+)\)：给定ask spread时的买单数，服从未知分布 \(\mathbb{Q}^+(\epsilon^+)\)。
- \(\Delta N^-(\epsilon^-)\)：给定bid spread时的卖单数，服从未知分布 \(\mathbb{Q}^-(\epsilon^-)\)。

分布族均依赖于spread变量，体现了价差对订单到达概率的影响。

• 目标函数：

\[
\max{\epsilon^+,\epsilon^-} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^+ \otimes \mathbb{Q}^-} \left[ (S+\epsilon^+) \Delta N^+(\epsilon^+) - (S - \epsilon^-) \Delta N^-(\epsilon^-) - \gamma (Q + \Delta Q(\epsilon))^2 \right],
\]

其中库存更新为 \(\Delta Q(\epsilon) = \Delta N^+(\epsilon^+) - \Delta N^-(\epsilon^-)\)，参数：
- \(S\): mid-price（中间价）
- \(Q\): 当前库存
- \(\gamma\): 库存持有惩罚参数
这个目标旨在权衡利润（价差乘订单数）与库存风险（平方惩罚）[page::1,2]。

• 扩展到随机策略：

为克服确定性策略形式的限制，定义随机策略 \(\pi(\epsilon|S,Q)\) 作为给定状态下bid-ask spread的概率密度函数。此外引入熵正则项 \(-\eta \int \pi(\epsilon) \log \pi(\epsilon) d\epsilon\)，调控策略分布的探索性，避免策略陷入局部确定值。

随机市场做市目标转化为：

\[
\max\pi \int \pi(\epsilon) \mathbb{E}[... ] d\epsilon - \eta \int \pi(\epsilon) \log \pi(\epsilon) d\epsilon,
\]

其中“...”为净收益减库存风险的表达式[page::2]。

• 引入分布鲁棒优化：

当前假设分布 \(\mathbb{Q}^\pm(\epsilon^\pm)\) 未知，仅有其经验样本 \(\widehat{\mathbb{Q}}n^\pm\) 及一种推断的元分布 \(\mathbb{Q}0^\pm\)，通过均值位移和方差缩放模型连接。

不确定集合定义为Wasserstein球：

\[
\mathcal{U}{n,\delta}^\pm = \{\widetilde{\mathbb{Q}}^\pm : W2(\widetilde{\mathbb{Q}}^\pm, \widehat{\mathbb{Q}}n^\pm) \leq \delta \},
\]

使得优化满足最坏情况下的策略性能，提升策略鲁棒性[page::3]。

2.3 鲁棒优化问题正式化（页3-4）

• 目标函数中，订单数的随机幅度采用元分布 \(\mathbb{Q}0^\pm\) 的缩放和位移表示：

\[
\Delta N^\pm(\epsilon^\pm) = h^\pm(\epsilon^\pm) \Delta\widetilde{N}^\pm + f^\pm(\epsilon^\pm),
\]

其中函数 \(f^\pm, h^\pm\) 已知，用于从元分布生成特定spread下的分布。

• 鲁棒市场做市问题表达为：

\[
\max\pi \inf{\tilde{\mathbb{Q}}^\pm \in \mathcal{U}{n,\delta}^\pm} \int \pi(\epsilon) \mathbb{E}^{\tilde{\mathbb{Q}}^+ \otimes \tilde{\mathbb{Q}}^-}[ \text{收益项} ] d\epsilon - \gamma \int \pi(\epsilon) \log \pi(\epsilon) d\epsilon,
\]

明确了对买卖订单分布同时考虑偏差的情形，并愿意接受最坏分布，保障策略安全边际[page::4]。

2.4 主要理论结果（Theorem 1）

• 优化问题（12式）的最优随机策略\(\pi^\)表示为带参数优化的凸指数族分布：

\[
\pi^(\epsilon) = \frac{M^(\epsilon)}{\int M^(\epsilon) d\epsilon},
\]

其中

\[
\begin{aligned}
M^(\epsilon) &= \exp\bigg\{ \frac{1}{\gamma} \Big[ (A - 2\eta C h^+(\epsilon^+)) \alpha^{,+} - (B - 2\eta C h^-(\epsilon^-)) \alpha^{,-} \\
&\quad - \eta (h^+(\epsilon^+))^2 \beta^{,+} + 2\eta h^+ h^- \alpha^{,+} \alpha^{,-} - \eta (h^-(\epsilon^-))^2 \beta^{,-} \Big] \bigg\} L(\epsilon),
\end{aligned}
\]

其中

\[
L(\epsilon) = \exp\left\{ \frac{1}{\gamma} \left[ (S+\epsilon^+) f^+(\epsilon^+) - (S-\epsilon^-) f^-(\epsilon^-) - \eta C^2 \right] \right\}.
\]

• \(\alpha^{,\pm}\), \(\beta^{,\pm}\)为优化变量，求解附带的有限维优化问题，约束这些是分布的不确定集合下的均值和方差，范围由经验数据带Wasserstein半径决定。
• 该优化问题在满足一定矩条件下凸性得到保证：

\[
(\betan^+ - (\alphan^+)^2)(\betan^- - (\alphan^-)^2) \geq \delta^2,
\]

即经验分布的两个二阶中心矩乘积需大于半径平方[page::4,5]。

2.5 Wasserstein球半径选择（Section 4）

• 引入Wasserstein robust profile\(\mathcal{R}(\alpha,\Sigma)\)来度量首末和二阶矩对应的分布距离：

\[
\mathcal{R}(\alpha, \Sigma) = \inf \left\{ W2^2(\widetilde{\mathbb{Q}}^+ \otimes \widetilde{\mathbb{Q}}^-, \widehat{\mathbb{Q}}n^+ \otimes \widehat{\mathbb{Q}}n^- ) \mid \mathbb{E}[\mathbf{u}] = \alpha, \mathbb{E}[\mathbf{u} \mathbf{u}^T] = \Sigma \right\},
\]

其中 \(\mathbf{u} = (u^+, u^-)\)，矩阵 \(\Sigma\) 包含二阶矩，确保覆盖真实分布相关统计量[page::5,6]。

• 通过构建置信区域 \(\Lambda\delta\)，并定义置信水平 \(1-\chi\)，满足

\[
\mathbb{P}(\pi^ \in \Lambda\delta \mid \mathbb{Q}_0^\pm) \geq 1 - \chi,
\]

可以确定半径 \(\delta\) 的最优选择，确保所设鲁棒集合覆盖真实分布的概率足够大。

• 理论结果定量化了该置信区间随样本量\(n\) 收敛速率为 \(\mathcal{O}(1/n)\)，并通过中心极限定理推导分布性质[page::6,7]。

2.6 证明部分主要逻辑（Appendices）

• 定理1证明：

- 利用强对偶性，将内层inf max翻转，简化为对策略和最坏分布的双重优化。
- 内层策略最优为指数族分布，参数取决于分布的第一、第二阶矩。
- 外层关于这些矩的约束由Wasserstein球定义下的概率分布不确定集合限制。
- 证明了内核式中的函数凸性（通过Hessian矩阵分析），确保整体问题凸优化性质[page::10–16]。

• 定理2证明：

- 详细推导了robust profile函数 \(\mathcal{R}(\alpha, \Sigma)\)的对偶表达式和最优参数。
- 利用矩估计和协方差矩阵的逆推断约束条件及收敛速度。
- 验证了矩条件下的收敛与覆盖概率，提供了统计意义上的置信边界[page::16–19]。

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3. 图表深度解读

本论文主要以公式推导与理论证明为主体，未包含传统意义上的图表或图片，但通过数学表达式呈现了模型结构和优化目标。对关键表达式进行解读：

• 优化目标式（第2-3页），将市场做市的利润-库存风险映射为涉及随机订单数量与价差的期望，明确了问题的随机控制本质及其挑战。
• 引入熵正则化后目标表达式，突出了策略概率分布的多样性控制，体现了探索与利用的平衡。
• 鲁棒优化中的不确定集合定义（以Wasserstein距离为度量），体现了从经验数据到分布不确定性的映射，结合统计学置信区间概念。
• Theorem 1的最优政策表达式，是指数型族分布形式，清晰揭示了策略依赖于订单均值和方差的统计信息，且这些统计信息在Wasserstein球的不确定范围内优化。
• Theorem 2的置信区域设计及其统计解释为半径选择提供了实际方法，结合了概率覆盖率的统计保证。

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4. 估值分析

本报告的估值问题本质上为市场做市策略的最优期望收益（价值）最大化问题，嵌入在风险惩罚和分布不确定性中。估值方法可视为：

• 利用分布鲁棒优化（DRO）框架，以Wasserstein距离定义的不确定集合作为模型参数扰动范围，保障策略在最坏分布下依然表现稳健。
• 最优策略为熵正则的随机策略，换言之，策略估值对应最优目标期望，剔除对单一分布的依赖，考虑多种可能分布下的最小收益。
• 通过矩估计和Wasserstein球参数，解决了估值中分布未知的不确定性，从而量化了“稳健”市场做市策略的价值。
• 在数学优化中将问题转化为有限维约束优化，方便计算和解的寻找。
• 重要参数和假设：

- 熵正则参数 \(\eta\) 促进策略探索，防止过拟合单一点。
- 库存惩罚 \(\gamma\) 管控风险平衡。
- Wasserstein半径 \(\delta\) 控制不确定集合大小，影响策略鲁棒性与保守程度。

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5. 风险因素评估

报告也强调了若干关键风险点：

• 模型假设的不确定性：

- 订单到达的真实分布 \(\mathbb{Q}^\pm(\epsilon^\pm)\)未知，只用估计及样本，存在模型误差和数据偏差风险。

• Wasserstein球半径选择错误风险：

- 半径 \(\delta\)过小，可能导致策略过拟合经验分布，鲁棒性差。
- \(\delta\)过大，则策略过于保守，可能丧失潜在收益。

• 熵正则参数 \(\eta\) 选择敏感性：

- 该参数决定策略是否能有效探测不同价差组合，过大会过度平均策略，过小则策略过于确定。

• 独立性假设：

- 订单买卖方向独立建模，在极端市场冲击时不一定成立。

• 库存风险评估基于惩罚项简单二次型：

- 现实中库存风险更复杂，惩罚项可能不足以捕捉所有风险。

报告虽未显性给出缓解措施，但提出统计置信区间与robust profile方法即是应对不确定性的手段，确保策略能够覆盖真实分布，降低模型风险[page::3,4,6]。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告较为理论化，缺乏实证分析，实际市场数据的应用效果、计算效率待验证。
• 独立性和参数已知假设较强，\(f^\pm, h^\pm\)函数假设已知连续且准确，实际采集和校准比较困难。
• 熵正则化参数与Wasserstein半径需细致调节，理论上虽优，但参数敏感性未充分展开。
• 强对偶性和凸性证明基于数学假设，面对实际复杂市场可能存在偏差，未充分考虑市场微观结构和高频数据特性。
• 目前模型只能处理二维订单变量，若扩展多资产或多价格层次存在更大计算挑战。
• 文中部分证明段落复杂难懂，表达中偶有数学符号不完整或排版错误，但整体逻辑连贯，数学基础扎实。

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7. 结论性综合

本报告系统提出基于Wasserstein DRO和熵正则化的鲁棒市场做市策略创新框架，核心是将市场订单数量的分布不确定性通过Wasserstein球建模，并结合随机策略寻优以提升做市策略的使用安全边际和灵活性。其理论贡献包括：

• 明确市场做市策略可被表示为带熵正则的随机策略分布，优化目标具有凸结构，便于算法设计。
• 通过矩估计及置信区间理论，将策略设计与统计样本连接，实现了理论上的分布鲁棒性保障。
• 最优策略具备封闭形式指数族表达式，参数依赖于未知分布的均值方差信息，其不确定区间由样本及Wasserstein半径限制。
• 采用Wasserstein robust profile理论，设计了数据驱动的最优鲁棒半径选择方法，兼顾策略的保守性和收益性能。
• 证明了策略在样本量增大时以\(\mathcal{O}(1/n)\)速率收敛于真实风险。

该研究框架为高频市场做市，特别是在模型和数据不确定性较大时提供了先进的优化方法论，具有显著的理论价值。尽管缺少实证与计算实现细节，且参数调整敏感，但其严谨的数学分析为未来稳健金融策略设计及算法实现奠定了坚实基础[page::0–7,10–19]。

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参考式结构深度理解

| 章节 | 关键内容 | 数学工具和金融术语 |
|--------------------|----------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------|
| 摘要与引言 | 介绍市场做市、分布不确定性、Wasserstein DRO、熵正则化 | 市场做市，高频交易，随机控制，分布鲁棒优化 |
| 模型设定 | Poisson市场订单到达，订单数分布引入随机策略和熵正则化 | 期望最大化，策略概率密度，Wasserstein距离 |
| 鲁棒优化问题 | 定义Wasserstein球不确定集合，构建最坏情况优化策略 | Wasserstein-2距离，DRO，熵 |
| 主要理论结果 | 最优策略封闭表达，利用矩估计在Wasserstein球内求解 | 指数族分布，凸优化，矩约束，最优参数 |
| Wasserstein半径选择| 利用robust profile定义置信区域，统计置信度约束 | Wald检验，中心极限定理，置信区间，统计推断 |
| 证明详细过程 | 强对偶性，矩范围推导，凸性证明，逐步数学推导 | 凸函数，Hessian矩阵，核范数，偏导，sup-inf解析 |

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总结

本报告针对市场做市在分布不确定性条件下提出了基于Wasserstein距离的鲁棒优化方法，结合了熵正则化实现随机策略，数学严谨，创新性强。其理论成果为金融市场做市策略设计提供了一个新的稳健优化框架，具有较高的学术和应用价值。

未来的研究需关注：

• 实证数据验证、参数校准与算法实现。

- 多资产、多状态扩展及计算效率提升。

• 对各模型假设的松弛及实际市场违背情况分析。

本报告为稳健金融优化问题做出了重要贡献，是深入理解不确定环境下市场做市策略设计的宝贵参考资料[page::0–19]。

报告