• 集中流动性基础理论：流动池遵循的基础不变量为$x\cdot y = k$（恒定乘积曲线），并且滑点和有效价格由池内代币的余额及其变化造成[page::2][page::6]。

• 流动性放大机制（Bancor v2虚拟曲线）：利用放大系数$A$构造新的“虚拟”流动性池，虚拟余额为$A$倍，并得到对应的不变式和滑点表达式，虚拟曲线可以模拟一个更大流动性的池，但真实代币余额有限制[page::8][page::11]。

• 实际曲线构建（Bancor v2真实曲线）：通过引入水平和垂直的平移参数，将虚拟曲线映射到真实的代币余额空间，保留了同样的滑点和收益曲线，确保交易量和价格边界的合理性[page::20][page::24]。

• Uniswap v3参数化形式：将真实曲线参数重新表达为价格区间的平方根参数，以及一个规模因子$L$，此参数化体现了tick边界作为实用设计，支持智能合约高效实现和可靠的边界查询[page::30][page::33]。

• Carbon DeFi方案：提出了一种特殊参数化，仅以单边代币余额作为原生参数，侧重协议对价格边界的准确调整需求，以提升系统稳定性和安全性[page::52][page::55].

• 各协议流动曲线的核心参数对照表（Table 1）[page::70]，实现对Bancor v2、Uniswap v3以及Carbon DeFi三种参数体系的解析等价转换。

- “自然”参数化本质：通过对流动曲线进行$-45^\circ$旋转和归一化变换，将曲线转化为单位双曲线形式，使集中流动性的价格边界和核心点映射至双曲线上的特定点[page::72][page::74]。

• 双曲三角函数描述：集中流动性的价格区间以双曲角$\phi$表示，$\phi$等于两条代表价格上下界的射线与单位双曲线之间的面积，且有$

e^\phi = C = \frac{\sqrt{P{high}}}{\sqrt{P{low}}}
$，将自然参数与传统参数完全对应[page::81][page::83][page::84]。

• 关键指标精炼表达：包括滑点、交易量和价格边界等都可以用超曲线函数、放大因子和价格根号差等统一参数表示，简化并统一了集中流动性理论[page::68][page::70][page::84]。

- 交易行为等价性分析：不同实现—虚拟曲线、真实曲线和参考曲线之间的交易滑点、边界、交易量均严格对应，保证策略分析和回测结果跨协议具有一致性[page::22][page::29][page::45][page::63]。

• 原始文献和数学工具兼具：报告兼顾了最初的定义与现代几何代数、三角函数技术，增强了对去中心化自动做市机理的理论理解与后续开发的指导价值[page::0][page::2][page::72][page::82]。

DEFI’S CONCENTRATED LIQUIDITY FROM SCRATCH — 深度解析报告

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1. 元数据与概览

• 标题：DEFI’S CONCENTRATED LIQUIDITY FROM SCRATCH

- 作者：Mark B. Richardson (Bancor Protocol), Stefan Loesch (Topaze Blue)

• 时间：编辑于2024年8月25日，最初发表于2024年7月4日

- 机构：Bancor Protocol及Topaze Blue

• 主题：集中流动性（Concentrated Liquidity）机制的数学理论基础与实现方法，涵盖Bancor、Uniswap等主要DeFi项目的算法细节及其变形参数化；以及对三大经典参数化及其因三角函数变换而衍生的三条“自然形式”方程的系统剖析。为Token Engineering Academy 2024年度学习季编写，内容面向本科水平，兼顾技术可读性和学术严谨。

报告核心信息：
本报告通过代数与几何方法，从基础数学原理起步，系统梳理包括Bancor（2020、2022年）、Uniswap V3（2021年），以及Carbon DeFi的集中流动性曲线定义和实现，特别强调它们的等价性及参数转换关系。文中还首次公开基于双曲三角函数描述的三条“自然”不变量公式，为集中流动性算法提供了几何和代数基础，突破传统AMM模型限制，解决了设计参数多样性和复杂性的混乱现象，对DeFi开发者和研究者具备极强指导意义。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与基础概念（第1-2章）

• 关键点：

- 目标是从零开始推导Amplified（集中流动性）Bonding Curves，涵盖原始矩形双曲线不变量及其推导过程。
- 强调不同文献版本断层性，提出系统梳理并以更易懂的学习指南形式重构理论知识。
- 聚焦双维、等权、不变量 $x \cdot y = k$ 的基础曲线，构成基石。

• 数学基础：

- 经典AMM公式 $x^{\alpha} \cdot y^{\beta} = x0^{\alpha} \cdot y0^{\beta}$ ，行业普遍采用 $\alpha = \beta = 1$ 简化为 $x \cdot y = k$ 。
- 该不变量等式代表流动性池中两个代币储备乘积保持不变，所有供需交易均沿此曲线进行，确保价格自动调整。
- 交易量 $\Delta x, \Delta y$ 满足曲线的约束条件，且 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 符号相反（买入一方增加时，另一方相应减少）。

• 图表：

- 图1、图2为基础坐标系和初始点示意。
- 图3展示标准矩形双曲线 $x \cdot y = x0 \cdot y0$ ，该曲线的形态和性质如价格报价的基础。
- 图4演示交易在该曲线上如何沿价格曲线移动，明确了贸易量变化方向。

• 关键公式解读：

- 显式交易量计算公式（Equations 4-11）体现了量价关系：
$$ \Delta x = - \frac{\Delta y \cdot x \cdot y}{y \cdot (y + \Delta y)} $$
$$ \Delta y = - \frac{\Delta x \cdot x \cdot y}{x \cdot (x + \Delta x)} $$
- 导数计算展示即时边际价格：
$$ \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{y}{x}, \quad \frac{\partial x}{\partial y} = -\frac{x}{y} $$
- 这种隐式曲线和边际价格导数的关系体现了AMM中价格的自动调整机制。

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2.2 集中流动性不变量及Bancor虚拟曲线(第3章)

• 背景与动机：

- 交易量越大，池子规模越大，滑点越小。小池可借助虚拟扩容（Amplification Factor $A$）模拟大池，以改善交易体验。
- $A$ 是放大系数，虚拟坐标：$xv = A \cdot x0$，$yv = A \cdot y0$。

• 核心公式：

- 放大后的不变量：
$$ xv \cdot yv = A^2 \cdot x0 \cdot y0 $$
- 交易量计算推导与标准形式一致，但涉及虚拟余额代替实际余额。
- 价格边界对应极限点 $\min(xv), \max(yv)$ 和 $\max(xv), \min(yv)$，分别对应模拟池中代币耗尽的情况，确定价格区间边界。

• 图表：

- 图6~11展示了虚拟曲线与原曲线的叠加对比关系，绿色矩形区块反映虚拟曲线“放大”区域。
- 图14~15（交易示意图）明确显示虚拟曲线可处理更大交易量，滑点更优。

• 重要价格尺度：

- 定义关键价格：
$$ P{\mathrm{high}} = \frac{A^2}{(A -1)^2} \cdot \frac{y0}{x0}, \quad P0 = \frac{y0}{x0}, \quad P{\mathrm{low}} = \frac{(A-1)^2}{A^2} \cdot \frac{y0}{x0} $$
- 这三个价格构成核心价格区间，其几何平均为中点价格。

• 资本效率：

- “资本效率”指标来自价格比的第四次方根比率，表达为：
$$ \frac{P{\mathrm{high}}}{P{\mathrm{low}}} = \frac{A^4}{(A-1)^4} $$
- 但报告指出这是误导性指标，关注点是价格边界和其对称性。

• 实际曲线映射：

- Bancor v2真实曲线通过对虚拟曲线进行横竖偏移（$H, V$）映射回实际余额空间，进而使得放大机制真实反映在代币余额上，保持价格边界及斜率不变。
- 官方方程:
$$ (x + x0 (A-1)) \cdot (y + y0 (A-1)) = A^2 \cdot x0 \cdot y0 $$

• 结论：虚拟与真实曲线交易结果等价（交易量、价格），只差坐标系偏移，侧重实际余额展示和合约可实现性。[page::2-29]

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2.3 Uniswap v3的实际与虚拟曲线(第4章)

• 重新参数化

- 基于价格边界 $P{\mathrm{high}}$, $P{\mathrm{low}}$ 重新定义真实曲线，实现在智能合约中直接利用价格边界参数。
- 真实曲线表达式引入了 $L$ 参数（聚合流动性量）与价格边界的平方根，对应Uniswap的价差区域（Ticks）：
$$ \left(x + \frac{L}{\sqrt{P{\mathrm{high}}}}\right) \cdot \left(y + L \cdot \sqrt{P{\mathrm{low}}}\right) = L^2 $$

• 虚拟曲线特征

- 虚拟曲线定义为标准曲线附加价格边界参数，便于与旧AMM系统兼容。
- 交易价格、滑点等均可从虚拟曲线计算，方便第三方集成。

• 图表示意

- 图21展示了虚拟和真实曲线交易过程等价，但坐标系存在平移差异。

• 价格区间与平移关系

- 实际解释了虚拟与真实曲线价格区间、接口、偏移的关系；维护价格区间的同时允许交易规模的提升。

• 参考曲线

- 解析价格区间边界的代币余额坐标，展开Uniswap的内部参数之间的几何代数关系。

• 技术适用性

- Uniswap v3参数化更贴合其整体用户和开发者架构设计，强调价格区间直观性及计算效率影响。[page::30-46]

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2.4 Carbon DeFi的重新参数化(第4章后段)

• 设计背景

- Carbon DeFi以价格报价而非仅仅跟随市场定价为核心，需对曲线缩放参数动态调整，且只依赖于单一代币余额，大幅不同于传统模型。
- 其设计保证高效且符合防御性编程理念，防止精度缺失与安全隐患。

• 曲线数学表达

- 曲线以灵活的单维参数表达真实曲线，定义为：
$$ \left(x + \frac{z}{a(a+b)}\right) \cdot \left(y + \frac{z b}{a}\right) = \frac{z^2}{a^2} $$
- 其中 $a, b, z$ 通过价格边界和y轴截距等定义。

• 交易公式与价格导数

- 明确了交易量计算、边际价格导数表达式，与前两个系统结构类似。

• 曲线间映射及比例关系

- 虚拟曲线与真实曲线通过同样的加减偏移映射，数学形式一致。

• 图表补充

- 图36~43介绍了Carbon DeFi实际与虚拟曲线的映射、参数定义与平移关系。

• 结论

- Carbon DeFi曲线为其系统独特需求定制，但依然是经典集中流动性曲线同源多形态之一。[page::47-63]

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2.5 “自然”的参数化表达 (第5章)

• 不变量的统一结构

- 报告发现三大系统放大系数和重要坐标之间存在一个关键的常数 $C$，其代数表达“优雅”，统一了各类参数表达。
- 其中
$$ C = \frac{A^2}{(A-1)^2} = \frac{P{\mathrm{high}}}{P0} = \frac{P0}{P{\mathrm{low}}} $$

• 坐标系转换与归一化（旋转-45度，归一化为单位双曲线）

- 采用线性变换，将原始坐标系$(x,y)$旋转-45°再归一化，使绑定曲线映射至标准单位双曲线形式：
$$ \hat{t} = \frac{x + y}{2\sqrt{x0 y0}}, \quad \hat{u} = \frac{y - x}{2\sqrt{x0 y0}} $$
- 转换后的曲线满足单位双曲线方程：$\hat{t}^2 - \hat{u}^2 = 1$
- 虚拟曲线与参考曲线转换后落点重合（图53），体现内在结构一致性。

• 双曲函数关联

- 通过$\hat{u}$坐标定义hyperbolic angle（双曲角）$\phi$，其与价格边界紧密相关，表达流动性集中程度。
- 反双曲正弦函数表达$\phi$，体现为$\hat{u}$区间的积分（面积），模拟双曲几何中角度概念。
- 最终自然参数化表达：
$$ e^{\phi} = C = \frac{P{\mathrm{high}}}{P{\mathrm{low}}}^{1/2} $$

• 三角函数身份

- 给出$\sinh(\phi), \cosh(\phi), \tanh(\phi)$在价格比率上的解析表达，揭示其和价差之间的深层联系。

• 图示

- 图54，图55辅助理解单位双曲线几何特征、双曲三角函数与集中流动性的关联性。[page::67-83]

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3. 图表深度解读

图1-4： 基础笛卡尔平面及双曲线初始点，演示经典恒定乘积的曲线形态与交易量变化方向，直观画出AMM工作机制。

图5： 通过积分地图解释价格函数边际导数推导过程，展示价格变化连续可导数学性质。

图6-11： Bancor的虚拟曲线放大效果示意，虚拟余额空间较真实余额空间成比例放大，视觉化交易区间扩展。

图12-16： 显示虚拟曲线边界与参考曲线切线的几何对应，凸显价格区间边界的定义及基于切线斜率保存价格区间完整性。

图14-15 & 19-20： 交易路径与积分面积对比，显现虚拟曲线交易量优势但价格效果等价，主要体现流动性集合能力提升。

图21 & 23-26： Uniswap v3重新书写表示，实际与虚拟曲线偏移差异，强调价格边界（Tick boundaries）作用，场景适用性强。

图27-29 & 36 & 42-45 & 60-63： Carbon DeFi特殊参数化解释，着力单维价格调整策略，维护价格区间但扩大实际交易容量，兼顾防御性编程。

图50-53 & 54-55： 曲线经过旋转和归一化变换后，映射至标准单位双曲线，支持使用双曲三角函数描述流动性移动区间，促进数学统一性理解。

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4. 估值分析

本报告核心是理论数学模型，未涉及传统意义上的公司或资产估值分析，故无估值方法（DCF、PE、EV/EBITDA等）及目标价。报告通过参数化模型诠释流动性算法价值及性能提升（滑点控制、交易容量放大），侧重算法层面的“价值”重塑。

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5. 风险因素评估

• 技术复杂度与理解门槛

多种参数化和变换形式易产生误解，开发者若不了解理论基础，可能导致实现错误。报告对此旨在系统盘点与解析，是缓解此风险的理论支撑。

• 数值精度与智能合约实施风险

数学变换涉及根号、对数、微积分，智能合约必须考虑固定点精度、舍入误差，报告指出Carbon DeFi针对此进行了特别设计，避免安全隐患。

• 曲线参数选择与交易策略风险

放大因子$A$决定价格区间，选择不当可能导致价格剧烈滑点或资产锁定风险。报告虽无直接风险缓解策略，但通过详尽数学说明，为合理设计参数提供理论依据。

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6. 审慎视角与细微差别

• 理论与实现割裂

从理论出发的数学表达虽然严谨，但实际智能合约部署须简化并兼顾性能、安全，报告多次讨论不同参数化的选择基于系统设计权衡。

• 多种参数化“互为等价”但理解和维护成本不同

报告指出Uniswap v3的参数化虽适合其设计，亦强调其他系统可能更优，暗示无万能方案，开发需根据系统需要精准选型。

• 双曲函数引入开辟了新视野，但同时增加了理解难度

报告为数学深度优先，或限制少数读者群，普通开发者重视应用可能需辅以更多教育资源。

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7. 结论性综合

该报告对当前DeFi领域中集中流动性（Concentrated Liquidity）算法进行了史无前例的数学系统论述，系统涵盖了六种主要的表达形式，包括Bancor的2020和2022版本、Uniswap v3版本以及Carbon DeFi版本。这些表述虽形式各异，但通过代数、几何和三角函数变换（特别是双曲三角函数），实现了彼此的严密等价映射。

• 核心贡献

- 从基础双曲曲线不变量 $x \cdot y = k$ 出发，逐层引入流动性放大系数，构造虚拟与真实曲线映射，并全面描述价格区间和边界。
- 阐明并统一了不同曲线形式下的价格边界、资本效率、边际价格的几何和代数关系。
- 引入线性代数变换，将曲线映射为标准单位双曲线，使得复杂的分布式交易机制与双曲三角函数直接对应，开创了一种“自然”的数学解析框架。
- 明确了 hyperbolic angle ($\phi$) 作为流动性区间的自然度量，及其反双曲正弦（arsinh）函数与价格区间的内在联系。

• 实际意义

三大DeFi项目（Bancor v2、Uniswap v3、Carbon DeFi）各自的曲线公式虽看似不同，实则是同一数学对象的不同面貌，其参数可借助报告提供的“罗塞塔石”（对照表）互译。此消彼长统一视角，有助于开发者消除理解断层，避免实现失误，加深系统间技术交互和升级的基础信心，推动行业标准化进程。

• 图示及公式综合说明

- 通过图示（如Fig.1-55等）直观展现各曲线的构造、变换、边界与交易行为。
- 关键公式解析囊括了交易交换量计算、边际价格导数、价格区间边界定义、资本效率公式及其几何意味。
- 特别利用双曲Cosh、Sinh和Tanh函数将价格区间与流动性覆盖度量形式统一，极大简化理解与推导复杂度。

最终，本报告不仅为DeFi AMM模型贡献了详尽且高度统一的数学理论架构，也为贯穿DeFi全生态的流动性设计和优化实践提供了精准的理论指引和结构工具，堪称当前领域最权威、详实的学术资料。[page::0,1,2-84]

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附：【报告中关键表格】

| 参数/概念 | Bancor v2 | Uniswap v3 | Carbon DeFi |
|------------------------|---------------------------------|----------------------------------------------------|-------------------------------------------------|
| 放大因子 | $A$ | $L/\sqrt{P{\mathrm{high}}}$及相关参数 | $z, a, b$等基于价格边界重参数化 |
| 价格边界高、低、中点 | $P{\mathrm{high}}, P{\mathrm{low}}, P0$ 由$A,y0,x0$表达 | $P{\mathrm{high}}, P{\mathrm{low}}$明确定义于合约 | $P{\mathrm{high}}=(a+b)^2$, $P{\mathrm{low}} = b^2$ |
| 实际曲线表达 | $(x+x0(A-1)) \cdot (y+y0(A-1)) = A^2 x0 y0$ | $\left(x + \frac{L}{\sqrt{P{\mathrm{high}}}}\right) \cdot \left(y + L \sqrt{P_{\mathrm{low}}}\right)=L^2$ | $\left(x + \frac{z}{a(a+b)}\right) \cdot \left(y + \frac{z b}{a}\right) = \frac{z^2}{a^2}$ |
| 价格区间边界 | 理论推导坐标 | 明确价格边界利用ticks表现 | 直观参数对应截距与价格区间 |
| 交易滑点与量计算 | 基于虚拟余额和实际余额的映射 | 交易利用虚拟坐标计算 | 优化单代币余额结构 |
| 曲线几何变换与双曲三角函数 | 单位双曲面映射与$\phi$定义 | 归一化后坐标一致，$\phi$与价格比对应 | 相同理论框架适配不同架构实现 |

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注释

所有引用均严格附加 [page::x] 以保证文本结论的来源透明且溯源明确。

本报告是DeFi领域极为前沿的数学与金融工程交汇成果。其对AMM的高度抽象和多角度分析，为资深技术与研究人员提供了极具价值的数学工具和系统视野，辅助构建更高效、更安全的去中心化交易基础设施。

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