• 研报背景与动机 [page::0][page::1]：

- 无套利（NA）是金融数学中的核心条件，与存在等价鞅测度（EMM）在离散时间模型中等价。
- 连续时间模型中NA不一定等价于存在EMM，Delbaen和Schachermayer提出“无免费午餐收敛风险”（NFLVR）概念，后者等价于存在等价σ-鞅测度，且NA推出ACLMM存在。
- 一般情况下，存在ACLMM不必然意味着没有套利，本文探讨其紧密程度，特别在一般扩散模型中。

• 一般扩散市场模型框架与定义 [page::3][page::4]：

- 研究单资产的普适Markov扩散过程，状态空间为区间J，主要特征是尺度函数$\mathfrak{s}$和速度测度$\mathfrak{m}$。
- 举例说明该类模型包括Engelbert-Schmidt条件下的SDE、带粘性和偏斜的布朗运动等，体现模型的丰富性与广泛适用性。
- 关键假设：过程是半鞅，尺度函数的逆是dc函数。

• 主要理论结果概述（有限与无限时间区分） [page::5][page::6][page::11]：

- 定理3.6（有限时间内）：NA等价于存在ACLMM且尺度函数为dc函数且所有有限边界为不可及或吸收边界。
- 定理3.7（无限时间内）：NA与存在ACLMM等价，移除尺度函数与边界条件。
- 非典型扩散设置(非规范空间)的对应定理4.2和4.3，结论同理。
- 证明过程利用了尺度函数的正则性与Jacod定理，并通过时间变换和随机分析工具展示关键等价关系。

• 反例与条件必要性分析 [page::8][page::9][page::10]：

- 构造尺度函数非dc的扩散模型示例，证明若去掉dc条件，则存在ACLMM但NA不成立，强调dc条件不可去除。
- 又构造存在反射边界的案例，展示边界条件不可去除。
- 这两个例子突显了定理条件的紧致性与理论边界。

• 量化因子 / 策略构建内容总结

- 研报核心聚焦理论分析，未涉及具体金融量化因子构建或量化策略设计，主要贡献为理论严格的无套利条件刻画及其与ACLMM存在性的关联。

金融数学领域研究报告详尽分析

报告题目：“NO ARBITRAGE AND THE EXISTENCE OF ACLMMS IN GENERAL DIFFUSION MODELS”
作者：David Criens 与 Mikhail Urusov
发布机构：大学数学系（所属高校：弗赖堡大学和杜伊斯堡-埃森大学）
发布日期：未具体标明，文献引用截止至2023年，推断为2023年或之后
主题：单资产一般扩散市场模型中无套利（NA）与绝对连续局部鞅测度（ACLMM）存在性之间的关系研究

---

1. 报告概览

该论文研究单资产连续时间市场模型中最经典的金融数学命题之一——无套利（NA）条件与绝对连续局部鞅测度（ACLMM）存在性的内在联系。经典理论中，NA条件通常与某种等价鞅测度（EMM）存在相联系，离散时间资产定价理论已证明两者等价。然而，在连续时间广义模型、特别是一般扩散过程模型下，NA条件并不总是等价于存在ACLMM。该研究的核心贡献在于：

• 针对单资产一般扩散模型，精准刻画NA与ACLMM之间的关系；

- 建立NA与“存在ACLMM + 规模函数（scale function）的差凸 (dc) 正则性条件 + 边界点不存在反射性”（finite boundary points must be inaccessible or absorbing）条件的等价性，针对有限时间区间；

• 对无限时间区间，证明NA条件等价于仅存在ACLMM，不再需额外条件；

- 构造反例说明上述正则性条件及边界条件的必要性，凸显有限时域问题的复杂性与精确性；

• 讨论非典型（非范式）一般扩散过程中的类似定理；

通过此研究，作者厘清了多个备受金融数学界关注的理论漏洞，为基于连续时间广义扩散模型的资产定价理论提供了严谨的数理基础，同时也指出了当下定价模型中那些关键的边界和函数光滑性假设。[page::0,1,5]

---

2. 逐节精读与剖析

第1节 引言

• 关键论点：论文缘起于经典No Arbitrage（NA）理论及其与Equivalent Martingale Measure（EMM）存在性的关系。离散时间与有限状态空间，NA与EMM等价；但在连续时间下，此等价关系破裂，Delbaen和Schachermayer引入“无免费午餐带渐进风险”（NFLVR）概念，能够恢复与等价$\sigma$-鞅测度存在性的联系；同时，NA只保证存在ACLMM，但ACLMM存在性不总等价于NA。

• 推理依据：回顾前人文献，包括 Harrison-Kreps, Dalang-Morton-Willinger, Delbaen-Schachermayer 等，对连续时间NA理论的奠基。指出他们使用更弱的ACLMM不一定是NA成立的充分条件，让作者产生探讨ACLMM与NA间距离的动机。

• 核心假设：一般扩散市场模型是指一维（单资产）路径连续、规律且具强马氏性质的半鞅资产价格过程，该模型涵盖大部分经典Itô扩散及其具有特殊边界行为（粘滞、偏斜等）的扩展。

• 结论：提出将通过对规模函数和边界的正则条件限制，填补NA与ACLMM存在性的理论差距。[page::0,1]

---

第2节 NA条件的回顾与具体定义

• 关键论点：

- 官方法定义了Admissible策略（定义2.1），确保交易组合不会无穷亏损，保证策略的实际执行性；
- NA定义要求无可行的Admissible策略能够无风险且正收益地获得利润；
- 引入ACLMM定义，即存在测度$\mathsf Q$, 使得$\mathsf Q \ll \mathsf P$，且资产价格是$\mathsf Q$下的局部鞅。

• 推理依据：

- Theorem 2.4重申NA蕴含ACLMM存在，但反之不成立；
- 通过Example 2.5构造一个具体的反例，显示存在ACLMM时仍出现套利；
- Theorem 2.6说明，对于有限时间且任一随机起点的市场模型，NA等价于存在每个shift market模型的ACLMM，这比仅存在单个ACLMM测度更强。

• 数据和细节：

- Example 2.5详细构造了具有分段动力学的过程$Y$，并说明其不具强马氏性，但在有限停时存在套利策略和ACLMM测度，强调有限时域对ACLMM衡量NA的不足。

• 结论：单纯ACLMM存在性不足以保证NA，但多点shift ACLMM存在性可保证NA；探索有限时长下ACLMM存在性的无限制仍不能充分保证NA成立。[page::1,2,3]

---

第3节 典型广义扩散模型中的NA与ACLMM

3.1 模型设定

• 资产价格由一般扩散过程$X$表示，路径连续，符合强马尔科夫性质，状态空间$J \subseteq \mathbb R$。

- 核心数学工具为扩散的规模函数$\mathfrak s$和速度测度$\mathfrak m$，可将随机动力学由这两个确定性对象刻画。

• 正式定义了正则连续强马可夫过程的内涵及性质。

3.2 主要结果

Theorem 3.6：对任意$T \in (0, \infty]$，以下等价：

• (a) 在有限或无限时长$T$内市场满足NA；

- (b) NA对任一始点成立（内点）；

• (c) 存在ACLMM（至少在某始点），规模函数$\mathfrak s$是dc函数（差凸函数），各有限边界点要么不可达，要么为吸收边界；

- (d) 对任意始点均存在ACLMM，且边界点性质同上。

• 重要区别：若仅对部分始点有ACLMM，则需规模函数为dc函数的额外假设；若任意始点ACLMM存在，则规模函数dc条件可省。

Theorem 3.7（无穷时长）：

• 对无穷时长，NA与ACLMM存在性严格等价；

- 规模函数dc性质和边界条件可以舍去，因无穷时长的市场弥补了部分劣势。

• 推理依据：

- 延用前文ACLMM存在性的必要性；
- 规模函数dc性质通过解析性质保证严格单调和半鞅的良好结构；
- 边界条件保证价格过程不发生“反射”，避免套利的可能；
- 通过时间变换、Jacod定理和Itoˆ公式对扩散进行详细解析，证明等价关系；
- 对反例的构造强调只有同时满足正则性和边界条件等价才成立。

• 关键数学术语剖析：

- dc函数：一个函数可表示为两个凸函数之差，为半鞅表现提供了足够的可微分结构。
- ACLMM：绝对连续局部鞅测度，通常是指资产价格在此测度下为局部鞅，且此测度绝对连续于真实概率测度。
- 吸收边界（absorbing）：一旦价格过程达到边界即停留该点，不发生反射（bounce back）；非吸收即允许反射。
- 不可达边界（inaccessible）：过程几乎不触及的边界点。

• 重要结论：有限时长下NA严格要求规模函数及边界性质，无穷时长下放宽限制。

[page::3,4,5,6,7]

---

反例说明额外条件的不可省略

• Example 3.9：构造规模函数非dc的情形（在零点处非dc，趋于无限），即规模函数无法被差凸函数形式表示；

- 该市场中对大多数始点存在ACLMM，但不满足NA；
- 由此说明规模函数dc条件（c2）不可丢弃；

• Example 3.11：在空间为正实轴，且零点为瞬时反射边界的情况下；

- 规模函数dc条件满足，但存在反射边界，
- 依然存在ACLMM，但不满足NA，说明边界条件（c3、d2）亦不可省。

• 反例通过精细构造速度测度（含δ点质量）及规模函数，通过平衡局部时间、粘性和反射性质，验证条件的必要性。

[page::8,9,10]

---

第4节 非范式一般扩散模型的拓展结果

• 在非标准概率空间配备任意右连续滤波族且支持强马尔可夫扩散$Y$，同样检验NA与ACLMM的等价条件。
• Theorem 4.2（有限时长）中NA等价于存在ACLMM，同时规模函数是dc函数且边界不可达或吸收。条件与范式空间下同构。
• Theorem 4.3（无穷时长）NA与ACLMM存在性严格等价，无需规模函数及边界条件限制。
• 通过引用Jacod等对空间变换技术，推广范式空间结果至非范式空间；强调滤波族允许扩张，保证强马氏性质仍保护等价结论。

[page::10,11]

---

3. 图表与数学表达式解读

该论文未包含传统意义的“图表”，但包含大量关键的数学表达式和公式，以下为对核心数学对象的详尽解读：

SDE和扩散模型表达式

• SDE形式：

$$
dYt = \mu(Yt) dt + \sigma(Yt) dWt
$$

在Engelbert–Schmidt条件下，该SDE对应了一般扩散，具有明确规模函数$\mathfrak s$和速度测度$\mathfrak m$，二者为完全刻画过程随机行为的两大定性参数。

• 规模函数定义：

$$
\mathfrak{s}(x)=\int^{x} \exp\left(- \int^{y} \frac{2\mu(z)}{\sigma^2(z)} dz \right) dy,
$$

严谨体现了$\mu$和$\sigma$沿空间的影响，规模函数作为扩散过程“空间变换”的依据。

• 速度测度定义：

$$
\mathfrak{m}(dx) = \frac{dx}{\mathfrak{s}'(x)\sigma^2(x)}.
$$

速度测度体现了扩散粒子沿空间的滞留和变速，特别当速度测度中有奇异点（如Dirac质量），则体现粘滞或反射行为。

过程的边界行为描述

• 边界点性质（吸收、反射、不可达）直接影响市场是否存在套利，反映该点是否允许资产价格触及后停留或反弹。
• 在数学中，这些是通过规模函数值或其导数在边界点的行为判别以及速度测度在点质量的存在推断的。

时间变换技术和半鞅严格性

• 通过随机时间变换（Quadratic variation的逆映射）将一般扩散转换为布朗运动的吸收停时，精确解读过程的波动结构；
• 利用广义伊藤公式和Jacod定理，证明了规模函数dc性质与资产价格半鞅结构的等价关系。

---

4. 估值方法分析

论文本身并未给出具体估值模型的数值目标价，但以理论角度深入探讨了基础金融资产价格建模中无套利条件和鞅测度存在的关键判别标准。相关估值流程隐含着：

• 利用扩散过程参数实现资产价格的动态规划；

- 利用鞅测度作为无套利定价中的等价变换测度，保障定价公式的合理性；

• 界定ACLMM存在即意味着市场不存在可利用的无风险套利，定价模型具有理论可行性。

综上，论文对资产价格基本建模提供必需的理论支持，是估值理论的基石。

---

5. 风险因素评估

论文未直接讨论市场风险因素管理，但隐含如下风险因素和局限：

• 非dc规模函数风险：若规模函数不满足dc条件，市场或存在隐含套利可能，常规鞅测度技术失效，模型风险增加；
• 边界行为风险：反射边界等不满足吸收条件时，资产价格或波动异常，易引发套利策略，市场失稳；
• 有限时长框架复杂性：有限时长的不完美等价性，限制了模型的适用范围，需进一步校正；
• 模型假设的局限：粘滞和偏斜扩散不完全纳入经典SDE框架，存在理论外风险。

论文通过反例对这些风险点做了明确提示，指出适用理论时需严格验证扩散模型属性及边界条件。

---

6. 审慎视角与细微差别

• 报告对NA与ACLMM关系的讨论极为严谨，既肯定了Delbaen-Schachermayer公理体系，也强调了该理论在一般扩散模型中的局限和非对称性；
• 反例构造体现了作者在模型假设边界处的深刻洞察和批判性思维；
• 规模函数的dc性质虽是技术数学条件，但极其关键，可能在实际应用中难以验证，较难检测存在隐形套利的市场；
• 反射边界的经济学含义未明示，然而其数学性质对理论条件具有决定性作用，提醒模型搭建者需对边界行为特别关注；
• 论文隐含的假设，即单资产模型，未来多资产扩散模型是否有类似等价理论仍未解决，存在扩展空间。

---

7. 结论性综合

本文系统分析了单资产一般扩散市场中无套利（NA）条件与存在绝对连续局部鞅测度（ACLMM）之间的等价关系，具备以下核心贡献：

• 有限时长下，NA等价于存在ACLMM且规模函数为dc函数，所有有限边界点为吸收点或不可达点，彰显该附加条件不可剥离；

- 无限时长下，NA与ACLMM存在完全等价，不再需要附加正则条件，极大丰富连续时间资产定价理论，并剖析了此区别的深层数学原因；

• 构造了经典反例，明确了规模函数dc条件及边界条件的必要性，保障理论的尖锐有效性；

- 推广至非范式概率空间及滤波结构，理论结论具备一定普适性，不依赖特定路径空间设定；

• 通过规模函数、速度测度、扩散过程路径变换及随机时变换等工具，深刻揭示了基础资产价格随机动力学与金融理论构造之间的桥梁；

- 该研究对基础金融模型的无套利判别提供精确必要与充分条件的数学描述，驱动金融工程理论及实践向更准确的定价模型迈进。

总之，作者以缜密模型论证和数学分析，从鞅测度存在与无套利构造的角度深化了连续时间一维扩散资产定价理论的根基，拓宽了相关金融数学领域的理论视野和适用边界，为未来金融资产定价模型的科研和应用提供了坚实的理论保障。[page::0-12]

---

参考文献

文章详细列举了经典金融数学、马氏过程和扩散理论相关重要文献，涵盖了基础理论、扩展模型、以及应用实例。作者自身前期工作[5][6]为本次研究奠定了坚实基础。

---

报告完毕。

报告