研究背景与方法论 [page::0][page::1][page::3]

• 结合粗波动（Volterra Heston模型）和带幂核的霍克斯过程，建立路径依赖的金融与保险市场模型。

- 通过功能伊藤演算扩展经典Itô公式，解决非马尔可夫、非半鞅的挑战，求解路径依赖型扩展HJB方程。

• 以四川省2008-2023年5级以上地震数据为基础标定霍克斯过程参数，体现灾害事件的集群与衰减特性。

量化模型与最优策略推导 [page::7][page::9][page::11][page::13]

• 定义个体目标函数为期望终值减去风险调整项的均值-方差准则，设计投资比例$\alphat$和保险赔付函数$It$的最优控制策略。

- 在路径依赖和无路径依赖（传统Heston模型+常数跳跃强度）两类情况下，推导相应的解析均衡策略$\alphat^$和$It^$。

• 解析表达式显示，最优投资策略与粗波动参数、风险厌恶系数、霍克斯参数等密切相关，最优保险自留额存在与路径依赖相关的调整项。

霍克斯过程参数估计与模型校准 [page::15][page::16]

| 参数 | 估计值 | 参数 | 估计值 |
|-----------|----------|-------|----------|
| $\lambda^{*}$ | 6.310822 | $p$ | 0.556834 |
| $a0$ | 2.233946 | $a1$ | -2.167217 |
| $\varrho1$ | 1.079113 | $\varrho2$ | 0.001000 |

• 参数表明地震强度存在显著的均值回复效果和幂律衰减，体现现实地震活动的路径依赖特征。

- 图示拟合的条件强度曲线与实测地震事件点高度吻合，验证模型刻画地震及余震聚集衰减的能力。

投资与保险策略数值比较 [page::17][page::18]

• 路径依赖条件下，波动率粗糙性导致投资者更趋风险厌恶，减少股票配置比例；而跳跃触发的火柴过程使投资者风险偏好增加。

- 保险策略较无路径依赖时，个体表现出更强的风险厌恶，选择更低且更动态调整的自留额，表明更高的保险需求。

• 风险厌恶系数下降，股票配置比例整体提升，契合经济直觉。

路径依赖忽视造成的福利损失分析 [page::19][page::20][page::21]

• 定义使用亚最优策略因忽视路径依赖导致的确定性等效损失。

- 结果表明，随波动率粗糙度参数$\delta$和跳跃强度衰减参数$p$增大，福利损失显著上升。

• 高风险厌恶者对路径依赖忽视更为敏感，福利损失更大。

结论总结 [page::21]

• 通过路径依赖粗波动及霍克斯过程建模，深入揭示金融与灾害保险风险的交互机制。

- 数值结果凸显路径依赖效应激化风险厌恶，显著提高个体灾害保险需求。

• 建议保险公司加强公众教育，提升对路径依赖风险特性的认知以缓解保险不足问题。

《Demand for catastrophe insurance under the path-dependent effects》研究报告详尽分析

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Demand for catastrophe insurance under the path-dependent effects

- 作者：崔立元（Liyuan Cui）、李文远（Wenyuan Li）

• 发布机构及日期：2025年8月22日，具体机构未知（未指明）

- 研究主题：探索带路径依赖效应的灾害保险需求与投资策略优化，结合粗糙波动率模型和具有幂律核的Hawkes过程，重点应用于地震灾害建模及其保险定价的影响机制。

• 核心论点及目标：

- 研究在路径依赖的金融市场及保险风险框架下，个体投资与保险策略的最优选择。
- 通过推广功能性Itô公式，解决非马尔可夫、非半鞅性质模型下的投资-保险问题，得到明确解析解。
- 利用四川省地震数据校准参数，数值分析显示路径依赖增加个体的风险偏好复杂度，同时显著提高灾难保险需求，指明忽视此效应易导致严重的保险不足。
- 评级及目标价未涉及，研究是理论方法与应用相结合的学术探讨。

综上，作者主要传达的信息是路径依赖效应在灾害保险领域中的重要性，其忽视会带来保险需求的严重低估，且该路径依赖效应同时对投资行为产生双向影响，研究首次尝试结合粗糙波动率模型与适用幂律核的Hawkes过程，将地震后效和金融波动特征一体化纳入优化框架。[page::0,1,2]

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要与引言

• 摘要介绍了课题背景，简要说明通过引入粗糙波动率（Rough Volatility）与带幂核的Hawkes过程来模拟市场和灾害风险的路径依赖性，并利用扩展的HJB方程求解最优投资和保险策略。作者发现，包括路径依赖后，个体对灾害保险的需求提升，且投资表现出复杂的风险偏好变化。
• 引言部分详细回顾了领域内相关文献，突出传统模型多假设马尔可夫或半鞅过程的局限。强调了市场波动和灾害事件（如地震）具有非马尔可夫型的路径依赖和长记忆特征，而Hawkes过程尤其适合捕捉灾害引发的聚簇效应及持续影响。指出先前灾害保险研究多采用指数核Hawkes过程，不足以完整反映路径依赖引发的复杂风险动态，进而提出引入功率核模型的必要性。[page::0,1]

2.2 模型结构与方法论

• 本文构建的模型涵盖两个主要市场部分：

- 金融市场：采用Volterra Heston模型（粗糙波动率模型的具体形式），利用分数阶核函数体现波动率的路径依赖，反映市场波动的粗糙性（历史累积影响未来波动）。
- 保险市场：灾害风险采用带幂率卷积核的Hawkes过程模拟，符合Omori’s Law（震后余震率的幂律衰减），并加入动态强度演化，体现灾害风险的自激与均值回复特征。

• 为解决模型的非马尔可夫性和非半鞅性质，文章采用最近发展的Functional Itô Calculus，将非马尔可夫路径依赖过程转化为带辅助状态变量的马尔可夫过程，进而推导扩展的HJB方程并给出显式最优策略。
• 具体方法：

- 通过辅助路径过程 $\Thetas^t$ 和 $\tilde{\Theta}s^t$ 降维处理
- 对波动率和保险强度路径分别使用幂核函数应用积分表达，内嵌非局部路径记忆
- 构造带跳跃项的随机微分方程和情形齐纳过程，详细写出财富演化动态
- 建立投资-保险双重控制问题，目标为最大化带有风险厌恶参数的均值-方差效用函数

• 这部分突出原理与方法的创新，是全文理论支撑的核心。[page::2,3,4,5]

2.3 优化问题求解

• 构造的投资-保险优化目标函数为均值-方差指标，带风险厌恶参数 $\gamma$ 体现个体风险态度。
• 采用扩展的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程，结合功能Itô公式建立对路径依赖过程的微分生成元（Infinite Generator），详尽推导了控制变量对价值函数的影响。
• 对比两类情况：

1. 含路径依赖的情况：利用幂核Hawkes过程和粗糙波动率，准确捕捉复杂动态，求解对应的扩展HJB方程，得到平衡策略和价值函数的显式表达。
2. vanilla情形（无路径依赖）：波动率和跳跃强度简化为经典Heston模型和常数强度泊松过程，标准Itô公式求解，便于对比。

• 其中，策略结构形式统一，保险赔付策略均为“非参与限额（deductible）”型阈值策略，股票投资比例具解析表达，且均开列整体求解体系，包括函数空间范畴、偏微分条件和最优性严密证明。
• 关键结论：

- 粗糙波动率使得投资策略趋向更谨慎，降低风险敞口
- Hawkes过程的跳跃激励反而引起投资的风险寻求行为，因希望通过高风险获取补偿
- 路径依赖增加了对灾害保险的需求，降低扣除额，减少了自留风险，对冲灾害集群风险的意愿增强
- 无路径依赖模型低估保险需求，体现出潜在的“保险不足”风险，[page::7,8,9,10,11,12,13,14]

2.4 模型校准与数值实验

• 结合2008-2023年四川省5级及以上地震数据，通过最大似然估计（MLE）方法对Hawkes过程参数进行估计。

- 估计参数表（Table 1）关键数据与解释如下：
- 基线强度 $\lambda^ = 6.310822$，基础地震发生频率
- 幂律指数 $p=0.556834$，符合Omori定律中的幂律衰减
- 触发强度 $\varrho1=1.079113$，以及带均值回复的参数 $a0=2.233946 > 0$、$a1 = -2.167217 < 0$，显示强烈的均值回复（即震后高频震荡不可持续，强度趋向平稳）

• 图1深入展示校准的拟合强度曲线及历史事件，验证模型合理捕捉地震及其余震聚簇与衰减特征。
• 数值模拟部分：

- 投资策略（Figure 2）显示路径依赖导致风险寻求与风险厌恶双重行为，波动率粗糙度提高（参数$\delta$增大）降低风险敞口，风险厌恶系数$\gamma$降低则增加风险投资比例。如风险厌恶降低至0.5，整体交易量明显上涨。
- 保险策略（Figure 3）显示路径依赖增强风险厌恶，从而降低最优扣除额，提高保险购买比例。幂律核的指数$p$较小时，个体更倾向承担风险（高扣除额）。
- 福利损失分析（Figure 4）揭示，忽视路径依赖效应导致显著的福利损害，且随着粗糙度参数$\delta$和幂率参数$p$增加，福利损失加剧；而风险厌恶系数越高，损失越大，强化了模型的实际政策指导意义。[page::15,16,17,18,19,20,21]

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3. 图表深度解读

Table 1：Hawkes过程参数估计结果

| 参数 | 估计值 | 参数 | 估计值 |
|-------------|------------|-------|-------------|
| $\lambda^$ | 6.310822 | $p$ | 0.556834 |
| $a0$ | 2.233946 | $a1$ | -2.167217 |
| $\varrho1$ | 1.079113 | $\varrho2$ | 0.001000 |

• 该表展现四川省重要地震发生的基本频率（$\lambda^$）、余震触发的衰减速度（$p$），以及触发强度和均值回归参数，充分体现模型对地震触发和记忆效应的捕捉能力。

Figure 1：拟合Hawkes过程强度与实际地震事件

• 曲线（蓝色）表示模型估计的地震发生强度$\lambdat$，点（红色）是实际观测地震事件。

- 2008Wenchuan地震及余震序列表现为强烈尖峰和高聚集，之后强度呈幂律衰减，符合Omori律。

• 模型成功捕获震后活动的集群效果和时变特征，验证幂律核Hawkes过程对地震风险建模的有效性。

Figure 2：路径依赖对最优投资策略的影响

• 横轴为时间，纵轴为最优分配给风险资产的比例（相对于波动率的比例指标）。

- 蓝色虚线为无路径依赖（vanilla）模型交易策略，红色实线和虚线为不同$\delta$取值的路径依赖模型。

• 结论：

- 粗糙度较低时（$\delta=0.5$）风险暴露较高，随着$\delta$增大，风险暴露降低，体现风险厌恶效应增强。
- 路径依赖引入后，个体面对跳跃（灾害）风险，采取风险寻求策略，加剧了投资组合的动态调整复杂度。
- 低风险厌恶者（$\gamma=0.5$，右图）资产配置更积极，显示个人风险偏好的显著影响。

Figure 3：路径依赖对最优保险策略的影响

• 显示最优保险的扣除额$d^(t)$随时间演变情况，颜色分别描述不同路径依赖参数$p$的案例以及无路径依赖模型。

- 结论：
- 路径依赖模型通常导致更低的扣除额，意味着个体愿意转移更多风险给保险公司，保险需求增加。
- 较小$p$（余震影响持续时间更长）对应更高扣除额，个体愿意承担更大部分风险以换取投资收益。
- 无路径依赖时，扣除额较高且较为稳定，风险转移动力不足。

Figure 4：忽略路径依赖带来的福利损失

• 两组曲线分别对应固定$ p=0 $时，$\delta$变化对福利损失的影响（左图）以及固定$\delta=1$时$p$变化影响（右图），不同持续的风险厌恶系数$\gamma$作比较。

- 发现：
- 随$\delta$逐渐增大（波动率粗糙度增强），福利损失显著升高，表明简化模型对风险捕捉不足。
- 随$p$增大（余震触发效应快速衰减），同样导致福利损失增加，因为短时震荡剧烈。
- 风险厌恶越高，损失越大，说明高度谨慎投资者对模型精确性的依赖更强。

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4. 估值分析

• 该研究较少针对传统意义上的公司估值，更多侧重于个人投资-保险行为优化及价值函数求解。

- 作者通过解决扩展HJB方程，获得了价值函数显式形式，表现为线性函数加上路径函数卷积项的组合，可理解为最优预期财富与路径相关的风险调整。

• 参数估计和卷积核函数对价值曲线和策略有直接影响，特别是风险溢价$\theta$、波动率粗糙度$\delta$和Hawkes过程衰减指数$p$。

- 无路径依赖时，模型简化为半马尔可夫过程，价值函数和策略方程回归到传统的均值-方差动态投资问题。

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5. 风险因素评估

• 报告明确识别的风险因素包括：

- 路径依赖特征的忽视：显著导致投资组合调整不及时及保险需求不足，继而产生福利损失。
- 模型参数不确定性：如Hawkes过程参数、损失分布函数参数估计误差，可能影响策略有效性。
- 非马尔可夫性带来的计算复杂性和模型估计的难度，可能导致实际策略难以执行。

• 报告未直接提供针对风险的缓解措施，但提出提高公众对路径依赖灾害风险的认识，推动保险购买是一项现实建议。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告在理论框架和模型构建上高度严谨，但：

- 路径依赖模型参数估计高度依赖历史数据，若实际未来灾害模式有剧变，模型预测力可能受限。
- 功能Itô公式的应用依赖于一系列数学假设，包括路径连续性和适应性，若实际市场存在极端跳跃或制度性断裂，模型适用性可能受限。
- 报告虽明确提及保险不足问题，分析者应警惕结果对模型灵敏度和结构假设依赖较强，现实中保险需求还受行为经济学、政策法规、市场结构影响。

• 研究核心创新在协同处理金融与保险路径依赖，而非单一领域，带来综合视角，但同时使得模型复杂度和实证验证门槛提高。

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7. 结论性综合

本文首次系统地将带有幂律核的Hawkes过程和粗糙波动率模型融入灾害保险需求与投资组合管理的均值-方差优化框架，成功克服非马尔可夫路径依赖带来的理论和计算难题，提供了带路径依赖效应的显式最优投资与保险策略。通过四川省地震数据校准证明模型在模拟地震灾害特征的有效性。数值结果揭示：

• 路径依赖引入后，对投资组合表现为风险寻求与风险厌恶的双重动态影响；

- 路径依赖显著提升个体对灾害保险的需求，具体表现为扣除额降低，保单覆盖范围增大，有助于缓解传统灾害保险的“保险不足”问题；

• 忽略路径依赖将导致策略福利损失显著，尤其在波动率粗糙性和灾害聚簇效应增强时更为严重；

- 结果高度依赖于Hawkes过程参数，尤其是衰减指数$p$和均值回复参数，反映对灾害风险记忆特征的敏感度。

整体而言，作者通过结合最新非马尔可夫路径依赖随机过程理论、扩展的功能Itô微积分，突破传统灾害保险定价模型瓶颈，为理解和缓解灾害保险市场保险不足现象提供了创新的理论基础和实际指导。图表充分辅助说明了模型拟合及策略机制，反映风险管理和保险优化在灾害路径依赖下的复杂演化规律，是保险精算和金融风险管理领域的重要贡献。[page::0–21]

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参考文献（主要支撑）

• Functional Itô Calculus扩展及应用：Zhang et al. (2024), Viens and Zhang (2017)

- 粗糙波动率模型与Hawkes过程基础：Bayer et al. (2015), Bacry et al. (2015), Gatheral et al. (2014), Ogata (1988, 1999), Lima (2023), Omori (1894)

• 均值-方差优化与时不一致问题：Bjork et al. (2017), Zeng et al. (2013a, 2016), Bian et al. (2017)

- 灾害保险和风险管理相关实证研究：Lloyd’s (2018), Chi et al. (2022), Li et al. (2021)

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综上，本报告在理论创新、方法拓展、实证校准及策略优化方面均展现高度严谨性和前沿性，是灾害风险管理与保险需求研究领域中路径依赖效应综合分析的重要里程碑。

报告