论文背景与模型描述 [page::0][page::1]

• 利用指数二次样条函数对无套利期权价格进行插值，实现隐含波动率的平滑拟合。

- 通过积分隐含概率密度函数计算欧式看涨期权价格，确保价格与概率密度的合理性。

• 介绍固定节点（abscissae）与固定纵坐标（ordinates）两种样条插值方案，分别对应B样条系数优化与节点优化。

Schumaker样条单调性问题及其改进 [page::1][page::2]

• 原Schumaker算法不能完全保证插值函数单调性，存在实测市场数据反例表明出现负导数。

- 采用调和平均法调整初始节点导数，改善单调性，适合本模型中的数值实现。

• 优化中固定纵坐标时由于保持第一矩修正，引起纵坐标位置发生漂移，影响拟合稳定性。

纵坐标固定与横坐标固定的优化实证对比 [page::3][page::4]

• 使用Levenberg-Marquardt算法分别对Schumaker样条横坐标和B样条系数进行最小二乘拟合。

- 在两种初始猜测条件下（平坦隐含波动率和波动率笑面），B样条优化更为稳定，拟合效果优越。

• 观察到无正则化时，拟合曲线可能产生异常振荡，首次节点值跳变过大。

正则化项设计及效果 [page::4][page::5]

• 提出基于逆斜率差的惩罚项，限制参数变化幅度，防止概率密度出现尖峰和系数爆发。

- B样条方法利用该正则化在不同惩罚力度下均表现良好，Schumaker样条效果有限。

• 在TSLA期权实例中，大幅提高拟合的平滑性和稳定性，减少不符合无套利条件的凸起。

TSLA期权拟合及隐含概率密度表现 [page::5][page::6]

• 使用18个月到期TSLA期权数据对比两种样条方案，B样条拟合波动率笑面和概率密度更平滑合理。

- Schumaker样条受限于节点数和初始猜测，拟合过程中纵坐标波动大，多次陷入局部最优。

• 更低惩罚系数下，Schumaker样条拟合曲线出现较大异常，B样条保持较好稳定性。

横坐标选择对B样条参数化影响分析 [page::7][page::8]

• 实验三种不同的B样条节点设置方案，对市场案例II进行拟合。

- 节点选择影响拟合平滑度和隐含概率密度形态，正则化参数10^-2使三种方案拟合效果趋同。

• 低正则化惩罚下，部分节点选择导致隐含概率密度出现异常波动，需谨慎选择。

指数二次外推对隐含方差影响 [page::8][page::9]

• 通过调整指数二次外推曲率参数，影响隐含波动率右侧翘尾的斜率。

- 对长期和18个月TSLA期权均观察到右翼翘尾变化明显，左翼影响因远低于最低行权价而不显著。

• 该参数控制有限矩阶数，对概率密度尾部形状构建关键。

主要结论及未来建议 [page::9]

• 固定横坐标优化B样条系数比固定纵坐标优化横坐标方法更稳定且易控制。

- B样条参数化允许提高平滑度、适用范围广，指数线性或二次外推保证正值和尾部行为。

• 未来可通过减少样条节点数简化模型，提升拟合效率，需在更丰富数据集上验证结论。

详尽分析报告：《Revisiting Stochastic Collocation with Exponential Splines for an Arbitrage-Free Interpolation of Option Prices》

---

一、元数据与概览

• 标题：Revisiting Stochastic Collocation with Exponential Splines for an Arbitrage-Free Interpolation of Option Prices

- 作者：Fabien Le Floc’h

• 机构：独立研究员

- 发布日期：2025年8月15日提交

• 主题领域：金融数学，具体涉及期权价格插值、隐含波动率曲面拟合及无套利条件下的风险中性分布恢复。

- 关键词：随机配点法(stochastic collocation)、隐含波动率、金融量化、无套利、风险中性密度、B样条。

核心论点与目的：

本文旨在重新审视使用以二次样条指数形式表示的随机配点方法，用于在无套利条件下对期权价格进行平滑插值。作者聚焦于比较两种主要策略：一是固定取样点（knots或abscissae）优化样条系数，二是固定样条系数对应的点（ordinates），去调整样条节点位置的有效性及优劣。本文通过理论分析及数值实验检验两种方法对隐含波动率拟合、概率密度估计的影响和稳定性，探讨了插值构造中单点或系数优化的实践难题及解决方案。[page::0,1,2]

---

二、章节深度解读

1. 引言与方法论基础（第0页）

• 关键论点：

- 延续Le Floc’h与Oosterlee提出的随机配点方法(stochastic collocation)，采用指数二次样条将无折现期权价格表示为内积分形式。
- 期权价格公式表达为：

\[
C(K) = \int{-\infty}^\infty \max\left(e^{g(x)} - K, 0\right) \phi(x) dx,
\]

其中$g$为单调二次样条，$\phi$为标准正态密度。

- 样条区间分割与展开为分段二次多项式，文中给出公式化表达与处理极端区间（翅膀区）的线性外推边界条件。

• 方法细节：

- 指数样条确保价格非负。
- 外推斜率$sL$与$sR$分别等于样条边界导数，保证边界导数连续。
- 当区间内的二阶项系数导致表达式中方差修正出现负值时，采用虚部误差函数(erfi)处理累积值。

• 意义：

清晰定义插值函数及其在数值计算欧式期权价格的重要性，体现无套利条件的内嵌性（价格与风险中性概率密度映照）[page::0]

---

2. 一阶矩及样条结构选择（第1页）

• 关键论点：

- 定义并推导了分段指数二次样条下的随机变量一阶矩（期望）表达式，强调拟合时需严格保持风险中性分布的第一矩（保证期权价格无套利）。

- 探讨两种样条参数化形式：

1. B样条参数化：

\[
g(x) = \sum{j=0}^M \alphaj B{j,3}(x),
\]

即基于固定节点的B样条，优化其系数$\alphaj$以最小化模型与市场价格差异。

2. 常规样条插值：

固定纵坐标（y，即对应的对数价格或log-strike），通过调节横坐标（knots）位置完成拟合，采用Schumaker提出的单调二次样条，该方法确保插值的形状保持曲线的单调性和凸性，但存在单调性不严格保证的技术挑战。

• 数据示例：

报告展示了Schumaker样条不完全保持单调的案例（利用Jäckel市场数据中的一个具体子集），并讨论其导致的潜在插值问题。

• 意义：

明确不同的样条参数调整空间及其实现难度，B样条方法具备良好的数学框架，但需要精心选择固定节点位置；而固定y法依赖knot动态调节，数学性质更复杂，易导致单调性丢失[page::1]

---

3. 固定纵坐标的潜在问题（第2页）

• 核心问题：

- 虽然固定纵坐标（即固定市场敲定价格/strike位置）看似直观，但为保证一阶矩（期望）精确匹配风险中性测度，必须对纵坐标做动态偏移调整。

- 这种偏移体现为每轮算法迭代时的纵坐标“非固定”，增加了优化复杂度，可能对拟合结果产生不可预期影响。

• 两种初始化方案比较：

1. 以恒定ATM隐含波动率做为初值处理。

2. 完整笑面隐含波动率作为初值，更能保证初次估计的准确性。

• 实验发现：

- 初值(1)条件下，拟合过程中纵坐标大幅漂移，难以稳定。

- 初值(2)更稳定，但不能保证普遍适用。

• 方法论对比：

- B样条参数化固定节点优化系数效果相对稳定。

- Schumaker样条则固定纵坐标，优化节点位置，彼此权衡利弊。[page::2]

---

4. 数值实验与迭代过程分析——图文解读（第3页）

• 图1(a)(b)为首次纵坐标随Levenberg-Marquardt迭代过程的演变：

- Schumaker样条纵坐标明显随迭代大幅变动，尤其在平坦与笑面初始猜测下差异显著。

- B样条拟合纵坐标变化较小，收敛性更好。

• 图2(a)(b)为隐含波动率曲线与市场数据对比：

- Schumaker样条起始于初始猜测(2)拟合较好，笑面初始值结果更贴近市场。

- B样条拟合相对平滑且两种初始条件差异较小。

• 观察与结论：

- 固定纵坐标法虽然名义上固定，但实际拟合时存在较大浮动。

- 特别是当首个纵坐标值远离市场最低敲定点时，拟合结果可能出现异常波动。

- B样条方法结构上对初值不敏感，更优稳健。[page::3]

---

5. 惩罚项正则化方法与效果（第4页）

• 问题：拟合不规范（overfitting）导致概率密度曲线异常震荡。
• 提出的正则化项：

\[
E{\text{penalty}} = \varepsilon^2 \sum{j=0}^{M-1} \left(\frac{1}{b{j+1}} - \frac{1}{bj}\right)^2,
\]

对B样条系数的斜率倒数的变化建立平滑惩罚，防止刺点和概率密度尖峰。

• 实验证明：

- 该惩罚项对B样条拟合收敛效果明显，几乎可消除对初输入的敏感性。

- 对Schumaker样条正则尝试效果有限，因节点数动态变化，难以直接应用。

• 图3(a)(b)展示了应用不同初始猜测和惩罚项后的拟合结果，支持上述结论。
• 重要细节：

- 惩罚系数$\varepsilon$的选择宽泛，从$10^{-6}$至$10^{-2}$均显示有效性。

- Schumaker样条采用变种算法，通过插入协调节点尝试改善性能但效果有限。[page::4]

---

6. TSLA期权实例应用分析（第4-6页）

• 市场数据概述：

- TSLA股票期权，T=18个月（2020年1月到期），2018年6月15日市价。

- 市场价格存在非无套利现象，拟合难度较高。

• 拟合过程：

- 应用如上B样条和Schumaker样条，配合$ϵ=10^{-2}$惩罚项。

- 计算直接利用指数样条的二阶导数形式精确获得隐含概率密度：

\[
D(K) = \frac{\phi(g^{-1}(K))}{K \cdot g'(g^{-1}(K))},
\]

优化风险中性密度估计。

• 主要发现（图4与图5）：

- B样条拟合概率密度平滑、合理，易收敛，且初始条件影响较低。

- Schumaker样条尤其在初始猜测(1)下拟合差，存在局部极小问题，拟合差异明显。

• 迭代举例（图6）：

- Schumaker样条纵坐标第一节点在迭代中剧烈波动，反映优化难度大。

- B样条纵坐标相对稳定，快速趋近最优解。

• 调小惩罚系数（$10^{-4}$）时问题加剧（图7）：

- Schumaker边界节点位置异常扩大（如$xM=98.93$美元），导致拟合失真。

- B样条不受此影响，拟合依旧良好。

• 结论：

对实际高维、复杂、噪声数据，B样条结构更适合且稳定性好，Schumaker样条对超参数与惩罚机制敏感性较强，调参难。[page::4,5,6]

---

7. 固定节点（abscissae）对B样条拟合的影响（第7-8页）

• 问题陈述：

固定节点的初始选取对拟合结果存在潜在影响，考虑3种节点选取方法：

1. 文献[1]推荐的计算方法（方法(i)）。

2. 以及基于市场敲定的两种较直接映射（方法(ii)、(iii)）。

• 表2展示了三种节点$ xi$的具体数值差异。
• 拟合结果（图8、9）对比：

- 方法(i)拟合最优，但(ii)、(iii)也给出较接近的隐含波动率曲线。

- 但隐含概率密度对节点选择更敏感，尤其在正则化较弱时呈现不同的波动及非理想形态。

- TSLA标的拟合中不同节点间差异较小，说明数据本身质量和维度影响更大。

• 结论：

选择合理初始节点依然是利用固定节点B样条方法成功拟合市场数据的关键，但结果较为稳健。[page::7,8]

---

8. 二次指数外推曲率对拟合影响（第8页）

• 理论依据：

- Roos[4]证明指数二次函数外推形式的二次项系数决定风险中性分布的有限阶矩及隐含方差斜率。

• 具体模式：

- 左边界：

\[
g(x) = c{\text{left}}(x - x0)^2 + b0(x - x0) + a0, x < x0,
\]

其中$c{\text{left}} \leq 0$，其与隐含波动率左侧极端走势密切相关。

- 右边界：

\[
g(x) = c{\text{right}}(x - xM)^2 + bM(x - xM) + aM, x > xM,
\]

其中$c{\text{right}} \geq 0$。

• 实证发现：

- 对5年期期权，改变$c{\text{left}}$是难以观察显著影响（左偏离值较大，超过市场关注区间）。

- 右边界曲率$c{\text{right}}$对近端较高敲定价格的隐含方差顶端有明显作用（TSLA实例中尤为显著，图10展示）。

• 影响解读：

- 左翼极端市场点极端偏离，实际定价中作用有限。

- 右翼向上偏离更敏感，可用于更好刻画波动率微笑尾部行为。[page::8]

---

9. 总结与作者结论（第9页）

• 主要结论：

- 固定节点优化样条系数和固定纵坐标优化节点两种方法各有优势，实务中没有绝对更优。

- 固定节点法因参数优化集中于控制系数，支持更高阶平滑，计算稳定性较好。

- 固定纵坐标法因需迭代调整位置，导致纵坐标“非固定”，优化更复杂，且较难保证平滑度及无套利性。

- 建议在正向资产（如股价）股价建模中，优先使用常规B样条+线性/二次指数外推方法，较互联网的指数B样条方法。

- 进一步简化拟合通过减少样条分割点数，避免过拟合而非单纯通过惩罚项。

• 附带声明：

- 研究案例有限，结论需依据具体市场条件审慎应用。

- 本文未涉及资金支持，作者声明无利益冲突。

整体对比来看，本文展现了B样条优化在无套利插值中潜在更宽广的实用空间。[page::9]

---

三、图表深度解读

图1（第3页）

• 内容说明：

- 展示第一个纵坐标的值随非线性最小二乘迭代次数的变化。

- 左图为Schumaker样条，右图为B样条。

- 两条曲线对应两种起始估计（初始猜测）：平坦隐含波动率与完整隐含波动率笑面。

• 数据趋势：

- Schumaker方法的第一个纵坐标在迭代中大幅波动，尤其从平坦初值开始，幅度大且收敛缓慢。

- B样条的纵坐标变化较小，迭代收敛更快更稳定。

• 关联总结：

- 说明固定纵坐标法实际纵坐标并非完全固定，波动大可能导致模型不稳定。

- B样条参数化方法在结构上更稳定、收敛性更好。



---

图2（第3页）

• 内容说明：

- 插值后的隐含波动率曲线与市场数据对比。

- 左图：Schumaker样条。

- 右图：B样条。

• 数据趋势：

- Schumaker样条中，初始猜测为完整笑面时拟合较好，对ATM波动率而起伏平缓。

- 初始猜测为平坦时，左侧翼部波动较大，拟合误差。

- B样条拟合表现良好，两种初值对最终拟合影响较小，曲线平滑。

• 结论：

- 配合图1显示的波动，B样条更适合实际拟合。



---

图3（第4页）

• 内容说明：

- 对B样条引入惩罚项$\varepsilon = 10^{-4}$后的定价函数优化演化。

- (a)为首个纵坐标随迭代变化。

- (b)为对应隐含波动率曲线。

• 趋势解读：

- 惩罚项有效减小纵坐标的剧烈变化。

- 两种初始猜测迭代后趋同，隐含波动率曲线几乎重合，接近市场。

• 意义：

- 正则化提升拟合的稳定性和鲁棒性。



---

图4（第5页）

• 内容说明：

- 利用TSLA 18月期权数据拟合的隐含概率密度。

- (a) Schumaker样条拟合显现明显噪声，尤其用平坦初值时峰值极不理想。

- (b) B样条拟合概率密度平滑、连续性优异。

• 结论：

- B样条对实际带噪音数据的拟合表现更加优秀。



---

图5（第5页）

• 内容说明：

- TSLA期权隐含波动率拟合曲线对比。

- Schumaker和B样条分别体现。

• 趋势：

- Schumaker方法受初值影响显著，低敲定价存在拟合不佳。

- B样条拟合稳定且贴合市场数据，曲面光滑。



---

图6（第6页）

• 内容说明：

- 受正则化$ε=10^{-2}$影响下的迭代中首个纵坐标变化。

- (a) Schumaker纵坐标变化大且带跳跃。

- (b) B样条纵坐标较稳。

• 解读：

- 优化算法遇局部极小与跳变，影响Schumaker样条拟合稳定。



---

图7（第6页）

• 内容说明：

- 减小正则化到$10^{-4}$后拟合的隐含波动率曲线。

- Schumaker拟合出现明显异常（价格趋近零）。

- B样条拟合仍正常。

• 意义：

- B样条结构对惩罚强弱不敏感。

- Schumaker结构对参数调节更脆弱。



---

图8（第7页）

• 内容说明：

- 比较B样条用不同固定节点策略拟合（方法(i),(ii),(iii)），隐含波动率与概率密度表现。

• 解读：

- 节点策略（i）拟合优异，波动率曲线与其他策略相近。

- 概率密度在正则化强度时表现良好，但细节存在差异。



---

图9（第8页）

• 内容说明：

- 同图8，但正则化减弱至$10^{-4}$。

• 影响：

- 正则化减弱导致概率密度曲线小范围出现不规则波动，节点区间的影响显著。



---

图10（第8页）

• 内容说明：

- 研究二次指数外推曲率对隐含方差右翼影响。

• 观察：

- 不同外推曲率$c{\text{right}}$对右翼隐含方差形态影响明显，尤其是大波动率标的。

- 左翼影响不明显，市场观察不显著。



---

四、技术细节与公式解释

• 随机配点法（stochastic collocation）：

一种数值方法，通过插值多项式（或样条）近似含随机变量的函数，实现迅速而稳定地计算积分、风险中性分布、期权价格等关键量。

• 指数样条/指数B样条的使用：

用指数形式确保非负性，避免直接插值期权价格或隐含概率密度时出现负值。

• B样条：

一种曲线拟合工具，具有局部支撑、平滑等特性。通过按固定节点（knots）分割域，用三次（degree=3）多项式拼接，参数为基函数系数。

• Levenberg-Marquardt最小化：

非线性最小二乘法中常用的迭代算法，结合梯度下降与牛顿法优势，稳健解决非线性模型参数拟合。

• 正则化（penalization）：

在拟合目标中加入关于目标参数的额外惩罚项，防止过拟合或不连续，提升拟合稳定性。

• 一阶矩保持：

为保证无套利，插值样条所隐含风险中性分布第一矩（期望）必须等于标的资产的期望，防止价格偏离实际。

---

五、风险因素评估

• 市场数据质量：

- 实际市场隐含波动率数据常带有噪声和非无套利现象，插值方法需具备一定的鲁棒性，否则拟合结果可能剧烈震荡。

• 模型复杂度与过拟合：

- 节点过多或惩罚项不足，可能导致过拟合，隐含概率密度噪声大，难以解释。

• 初始值选取敏感性：

- 特别是对于Schumaker样条，对初始猜测敏感，可能陷入局部极小，导致拟合不佳。

• 插值单调性的保证问题：

- 二次样条插值保持单调性存在技术挑战，可能破坏无套利特性。

• 算法稳定性：

- 固定纵坐标与优化节点位置的混合策略可能导致梯度计算及优化过程的不稳定。

• 边界行为：

- 外推曲率的选择需谨慎，否则可能带来非现实的隐含方差走势，尤其对长期期权影响显著。

---

六、审慎视角与细微分析

• 潜在偏见：

- 作者强调整体对B样条法的优越性，可能在样本选择中体现偏向（多次基于Jäckel及TSLA数据）。

• 方法适用限制：

- 几乎所有实验基于有限市场标的和时间点，推广性需谨慎。

• 优化非凸性难题：

- Schumaker样条参数调节过程中出现跳变与局部极小，未有完善解法，仍需后续工作。

• 正则化方式：

- 惩罚项的选择、权重需精细，报告未系统说明选择依据和调参策略。

• 结论普适性：

- 作者提醒结论基于有限数据，现实市场更复杂，实际应用中需根据数据特征灵活应对。

---

七、结论性综合

本文对两种主要的期权价格无套利插值方法—以指数二次样条为基础的固定节点/优化系数（B样条法）与固定纵坐标/优化节点位置（Schumaker样条法）进行了深入的理论与实证比较。

• 从理论框架来看，指数样条确保插值函数非负，方便风险中性密度推导，同时利用精确积分公式实现欧式期权价格计算。
• 实验对比发现，固定节点的B样条法在拟合稳定性、初始猜测敏感度、对噪声鲁棒性及正则化效果方面，均显著优于固定纵坐标的Schumaker样条法。特别在复杂市场数据（如TSLA期权）拟合中，B样条表现平滑合理，Schumaker方法易陷入局部极小，拟合异常。
• 惩罚项正则化对改善拟合平滑度和稳定性效果显著，但在Schumaker样条中应用受限。
• 节点选择对B样条性能影响显著，推荐使用基于文献理论指导的方法。
• 边界外推曲率设定合理，有助于控制隐含方差极端行为，尤其对长期期权右侧尾部。
• 作者建议，一般正向资产无套利插值，优先考虑常规B样条搭配指数线性或二次外推策略，并减少样条节点避免过参数化，而非通过强惩罚项实现。
• 研究局限是依赖有限市场数据和标的，需进一步研究验证其普适性和在其他市场环境下的应用效果。

综上，本文为期权无套利插值领域提供了深入见解，尤其展现了B样条结构在实际应用中稳定、高效的优势，也明确了固定纵坐标方法在数学保证与优化稳定性方面存在挑战，为未来相关模型改进奠定了理论与实践基础。[page::0-9]

---

总结性提示

本报告通过对所有关键章节内容及图表数据的细致解析，说明了两种主流指数二次样条随机配点方法的实现机制、性能差异、优化难题及改进思路，体现了金融衍生品定价领域中插值方法对隐含波动率曲面和风险中性分布准确、无套利表达的重要性。相关公式和参数选择方法得到清晰阐释，体现了模型构造的数学精密性及实际数据拟合的技术复杂性。

报告