• 研究聚焦于将多个长期无卖空投资策略组合成为一个多策略组合，使其最终累计财富超过所有单一策略 [page::0][page::1][page::2]。

- 创新点在于引入了一种无分布假设、时间一致的投资者偏好框架，该框架基于策略的累计财富和对数增长率定义偏好，并建立了与最优基线策略（各组件策略累积财富的最大值）竞争的组合准则（组合准则保证多策略组合最终优于任一单一策略）[page::3][page::4]。

• 提出基于在线学习的组合策略构建方法：

- 小规模策略时，利用固定概率密度在简单形中的加权积分构造组合策略，理论证明最坏情况下对数财富差异的上界为\( (k-1)\log(n+1) \)，保证组合策略与最佳基准策略偏好上的等价性[page::6][page::7]。
- 大规模策略时，对策略集进行划分，通过聚合代表性子集策略后再进行组合，降低计算复杂度，同时给出近似界定和表现保证[page::8][page::9]。

• 数值实验采用CRSP 27年6只蓝筹股实盘数据，构建均值-方差（M-V）不同风险厌恶参数的多种组件策略：

- 实验1-4（小规模策略，2-5策略）：提出的无分布组合策略（UC）能最终严格超过所有组件M-V策略，且表现优于传统加权平均（WAE）和追随领导者（FL）策略，但夏普比率略有下降。

- 通过修改组合策略的权重分布（UC-L和UC-W），减少对表现差策略的投资，实现收益提升和更快超越基准，但失去理论保证，实验证明其优异表现[page::14][page::15][page::16]。

- 大规模策略实验（9-10）中，通过多基集划分降低维度，理论与数据一致表明，基集数量和划分平衡性影响策略表现和超越速度，细分更均衡的基集能提升增长率，但夏普比降低。

• 性能指标汇总表明UC及其加速版本在累计财富和增长率方面优于组件策略和其他多策略组合，但以夏普比率的轻微下降为代价。截至实验结束，UC-L加速策略表现最优[page::13][page::15][page::17]。

- 资本配置动态表现出UC策略均衡分配与加速策略显著波动的特征，反映出加速策略更具灵活性和适应性[page::14][page::16][page::18]。

• 结论指出，此无分布假设的组合框架与在线学习算法为长期投资提供了一种理论扎实且实证有效的多策略组合方法，适用范围广泛，特别是在市场行为及统计模型假设失效时尤为重要[page::19]。

- 论文还讨论了该组合策略在调参、基集划分及现实应用中的注意事项，强调添加多样且竞争力强的组件策略及合理划分基集是提升组合策略表现的关键[page::19]。

《Ensembling Portfolio Strategies for Long-Term Investments》详尽分析报告

---

1. 元数据与概览

• 报告标题：Ensembling Portfolio Strategies for Long-Term Investments: A Distribution-Free Preference Framework for Decision-Making and Algorithms

- 作者：Duy Khanh Lam

• 发布机构：Scuola Normale Superiore

- 发布日期：2025年2月7日

• 研究主题：长期投资组合策略的集成方法，特别关注在无统计假设、不依赖特定市场分布的框架下，如何决策和构建多策略组合以实现超越单一策略的目标。

- 核心论点：
- 面对未来市场和各策略表现的高度不确定性，单一投资策略难以保证长期表现。
- 通过集成多个策略（多策略组合），可以提高组合的鲁棒性和长期财富增长性能，但缺乏无分布假设下的偏好框架和明确目标，使得组合策略难以科学决策。
- 本文创新性地提出一种基于投资者偏好的无分布、时间一致性偏好框架及相应的组合策略构造算法，解决上述理论与实践难题。
- 数值实验表明，该策略在长期财富积累上优于个别组件策略，虽在夏普比率上有小幅折衷，且加速版本表现尤佳。

---

2. 逐节深度解读

2.1 引言与研究动机

• 本文聚焦于多策略集成的长期投资组合问题，目标是设计一套组合策略，使得其最终财富超过所有单一组件策略。

- 组件策略可为各种预测模型或简单的均等分配策略，具备多样性。

• 挑战主要来自未来市场及策略表现不确定性，当前许多策略依赖随机市场模型及统计假设，现实中往往难以成立。

- 因此投资者倾向多策略集成以增强稳健性，类似机器学习中的模型融合。

• 目前缺乏无分布假设的偏好框架，传统的期望效用模型无法适用，难以准确度量组合优劣。

- 本文提出统一的、分布无关且时间递归的偏好框架，定义投资者对策略组合的客观偏好，为构建组合策略明确目标。

• 通过该框架，开发在线学习算法，支持无限规模策略集合，解决维数灾难问题。

2.2 模型设定与偏好定义

• 市场模型：考虑$m\geq 2$只风险资产，离散时间$n \in \mathbb{N}{+}$，资产回报向量为$xn \in \mathbb{R}{++}^m$，为资产当日收盘价比前日收盘价。

- 投资组合策略$\left(bn\right)$，$bn$为在时点$n$基于历史数据做出的组合权重向量，取值于$m$维单位单纯形$\mathcal{B}^m$（无卖空）。

• 投资起始资本$S0=1$，无交易费用，累计财富$Sn:=\prod{i=1}^n \langle bi, xi \rangle$，平均对数增长率$Wn := \frac{1}{n} \log Sn$。

- 资产回报序列$x1^\infty$假设为确定但未知，非随机模型设置，突出无统计依赖。

• 性能比较定义：

- 一个策略$\left(\hat{b}n\right)$“几乎总是超过”$\left(\bar{b}n\right)$：存在$M>1$使得所有$n\geq M$满足$Sn(\hat{b}n) > Sn(\bar{b}n)$。
- 这一定义不依赖特定统计假设，适用无限回报序列，保证普适比较基础。

2.3 偏好关系与组合准则

• 为评价任意两个策略的长期表现，定义三种偏好关系（Definition 2）：

1. 无差异：当两者的平均对数增长率极限一致。
2. 弱偏好：策略$\bar{b}$至少与$\hat{b}$表现一致，且其$Wn(\hat{b}n)-Wn(\bar{b}n)$的上极限非正。
3. 严格偏好：弱偏好且非无差异。

• 该偏好具备理性偏好的经典特征：完全性、反身性、传递性和不对称性（Proposition 1）。

- 定义基线策略$\left(\ddot{b}n\right)$为对应所有组件策略在每时期最大累计财富的策略（定义3），理论上优于任一单策略，但由于需未来数据不可实现。

• 组合策略（multi-strategy）$\left(bn\right)$应满足组合准则（Proposition 2）：

> 若组合策略严格偏好基线策略（$\left(bn\right) \succ \left(\ddot{b}n\right)$），则该组合策略最终会同时超过所有组件策略，其累计财富无时无刻不被基线策略超越的概率为零。

• 偏好在未来资产回报序列的所有可能实现上应当具备普遍性（Claim 1），保证模型对市场极端变化的适应能力。

---

3. 组合策略构造

3.1 基准策略定义与性质

• 设组件策略集合$\{(bn^\alpha): \alpha = 1,...,k\}$。

- 对每个固定加权组合$\lambda \in \mathcal{B}^k$，定义组合策略$bn^\lambda = \sum\alpha \lambda\alpha bn^\alpha$。

• 基准策略$\left(bn^\right)$定义为历史上最佳结合：

\[
\lambdan = \arg\max{\lambda \in \mathcal{B}^k} Sn(bn^\lambda),\quad bn^ = bn^{\lambdan}.
\]

• 由定义，即对任意时间$n$，$Sn(bn^) \geq Sn(\ddot{b}n)$，基准策略优于基线策略。

- 若$\left(bn^\right) \succ \left(\ddot{b}n\right)$，则任意组合策略只要与基准策略渐进无差异（$\sim$）即可满足组合准则。

• 命题3强调：若组件策略可划分成几个子集，每个子集有唯一在该子集内部表现最优的策略，则基准策略可由该少数“代表”策略组合形成，体现了策略表现的分组结构和维度约简。

3.2 小规模策略集成算法

• 对有限数目策略，设计组合策略为基于均匀概率密度$\mu(\lambda)$对整个单纯形$\mathcal{B}^k$积分权重的“稳健加权”：

\[
bn = \frac{\int{\mathcal{B}^k} bn^\lambda S{n-1}(b{n-1}^\lambda) \mu(\lambda)d\lambda}{\int{\mathcal{B}^k} S{n-1}(b{n-1}^\lambda) \mu(\lambda) d\lambda}, \quad n \geq 2,
\]

初始化为所有组件策略简单平均。

• 该方法等价于指数权重平均预测器，学习率参数为1，对数损失函数下最小化最大差异。

- 命题4表明，最坏情况下，基准策略收益与组合策略收益对数差在$\leq (k-1)\log(n+1)$，即子线性增长，确保组合策略随时间逼近基准策略，满足无差异偏好。

• 该机制允许灵活调整策略权重，体现资金随时间向好策略动态转移的特性。

- 文章指出，其他在线组合算法多存在假设限制，本策略无分布限制，且留有改进空间（如加速版本）。

3.3 大规模策略集成的维度约简

• 随策略数$k$增大，直接计算上开启单纯形积分指数复杂度爆炸，且命题4界不上升至无穷。

- 提出将策略空间划分为$N \ll k$个基集$\{\mathcal{A}^j\}{j=1}^N$，每个基集内策略用权重$\mu^j(\alpha)$形成代表策略$\hat{b}^jn$。

• 然后在代表策略空间$\mathcal{B}^N$上运用前述组合方法（见公式3.3）。

- 该方法实质将原始策略集群表达为有限基的凸组合，降低维度，实现计算可行性。

• 命题5给出组合策略和基线策略收益差的上界，含$\log\varepsilonn$（最小权重的对数），需要其与时间的比率趋近0以保证无差异偏好。

- 分区效果和代表策略选择对策略表现和超越速度影响显著，体现了策略类似性分组的重要性。

---

4. 图表深度解读

4.1 图1（第3页）：M-V策略财富演变

• 左图和右图分别展示两组不同风险厌恶系数$\alpha$的Mean-Variance（M-V）策略的累计财富走势。

- 两图均显示不同策略财富交叉，上下波动，左图的两策略经常交替领先，右图中一策略几乎一直领先，间或在$n=3400$时相等。

• 此图说明长期表现有策略间的动态竞争，体现了定义1“几乎总是超过”的差异，框架需考察不同时期表现才能确定优劣。

- 支持对策略组合偏好的需求，因为单一时刻或短期表现难以恰当判断。

4.2 图2（第10页）：组合策略数值近似

• 展示使用不同细分粒度对$\mathcal{B}^k$单纯形积分近似的策略的最终累计财富和步长变化。

- 明显观察到随着分点数增多，最终财富趋于稳定提升，而步长趋于零，指示更精细划分更接近理想值，但计算复杂度增加。

• 反映数值计算中权衡，表明实际应用需合理选取离散化精度。

4.3 图3（第10页）：六蓝筹股价格走势

• 显示AMD、BA、HON、KO、MMM和XOM自1992至2019年的收盘价走势。

- 覆盖多个市场重要事件，包括互联网泡沫、2008金融危机和疫情前阶段。

• 选股涵盖多行业，价格表现多样，增强实验的代表性和鲁棒性。

- 这些数据作为策略评估的真实市场背景，提高结果的实用价值。

4.4 图4（第12页）：多策略实验累计财富演进

• 展示四组实验中M-V组件策略与多策略（UC、WAE、FL）财富的时间演变。

- UC（Universally Combinatorial）策略逐渐超过所有单一M-V策略，表现稳健。

• FL和WAE表现较差，无法超越最佳单策略，证明简单跟随或加权不足以保证优势。

- 反映UC策略在并集环境下对多策略财富成长优势，验证理论。

4.5 图5（第13页）：不同组合比例对应最终财富

• 绘制不同组合权重$\lambda$值对应的最终累积财富，显示最优权重位置。

- 显示实验中有的权重组合几乎弃用部分策略，体现实际组合中偏重表现优异的组件。

• 结合图6关于增长率差异的解释，有助理解组合动态特征。

4.6 图6（第14页）：增长率差异及界上界

• 第一排显示基线策略、基准策略、UC策略三者之间长期增长率差异。

- UC策略训练过程中，差异逐渐趋于零，满足偏好无差异，符合Proposition 4界限。

• 第二排展示界限$\frac{(k-1)\log(n+1)}{n}$随时间递减趋势，理论验证近似表现。

4.7 图7（第14页）：权重随时间动态变化

• 顶排显示基准策略中恒定权重$\lambdan$随时间变化，部分情况权重向极端顶点集中，表明某策略长期垄断。

- 底排为UC策略实际分配的资金比重，观察到多策略持续持仓、动态调整，分散风险。

• 结合实验4权重单一，符合不满足组合准则的理论预期。

4.8 图8（第15页）：加速策略财富演进

• 展现UC及加速版UC-L（基于“输家”过滤）和UC-W（基于“赢家”过滤）策略不同保留比重下的财富增长。

- 加速策略能明显提升财富，策略筛选体现对资金配置的有效优化。

• 实验8中UC-W(5%)表现最好，在类似单一最佳M-V策略垄断情况下特别有效。

4.9 图9（第16页）：加速策略资金比重及增长率差异

• 展示加速策略内不同M-V策略资金比例动态，UC-L展现强波动，多策略择时明显。

- 底排增长率差异图说明UC-L快速超过基准策略，UC-W增长接近基准，在不同市场环境中的适用性不同。

4.10 图10（第17页）：大规模策略分割实验

• 左图比较不同数量基集分割下UC策略演进，分割越细策略越具分散性和更高最终财富。

- 右图为加速版在六基集分割情况下表现，展示算法可扩展到大规模策略集。

• 增加基集数提升灵活性但可能降低夏普比率。

4.11 图11 & 图12（第18页）：增长率差异与资金配置

• 图11分析不同分割方案下增长率偏差及理论界，强调合理分组策略的重要性。

- 图12展示资金在不同风险厌恶级别组件策略上的分配，基集数越多，资金配置越平稳，波动越小，加速策略引入更多波动。

---

5. 估值分析

本文为策略组合算法研究，不涉及传统意义的公司或资产估值，但可将组合策略的财富表现和增长率作为“绩效估值”指标。

• 文中多次使用无分布假设的偏好关系对策略表现进行“估值”。

- 基准策略相当于最优回顾组合，提供理论最优财富水平或上界。

• 组合策略设计目标是以最小的性能“损失”逼近基准策略收益，损失界限（Proposition 4与5）提供可证保证。

- 加速策略为启发式改进，未有严格保证，但数值实验显示显著提升。

---

6. 风险因素评估

• 未来市场资产回报序列不可预测且不服从任何统计模型，可能导致策略表现非理想或难以实现超越目标。

- 单一组件策略长期垄断时，组合策略难以突破基线限制（组合准则失败），投资回报受限。

• 大规模策略集成时计算复杂度和内存需求大，数值近似误差及维度灾难限制性能，需合理划分基集减维。

- 加速策略虽表现优异，无理论保证，存在过度拟合或在极端市场条件下表现不稳定风险。

• 资金配置强波动性可能增加组合策略短期风险，夏普比率相较单一策略略逊，可能降低风险调整收益表现。

- 组合策略表现对算法参数（如基集划分、保留比例等）敏感，调参不当可能降低性能。

---

7. 审慎视角与细微差别

• 理论贡献突出，提出了创新且严谨的分布无关偏好分析框架，理论完备。

- 文章聚焦无统计假设更符合现实市场复杂性，避免对单一模型依赖风险。

• 实验充分且采用真实长周期数据支撑理论，具有较好实用潜力。

- 然而：
- 加速策略缺少理论保障，依赖经验有效，未来需更多理论支持。
- 对大规模策略的分组策略依赖强，分组不合理易性能下降，但文章对此未深入探讨具体算法设计细节。
- 部分实验Sharpe比率下降反映风险调整收益未必同步提升，投资者需求多样需权衡。
- 数值近似误差和计算开销在实际应用中可能导致性能不稳，需算法优化关注。

• 评估局限体现在市场动态复杂多变，模型依然为确定性假设，未来可能需引入随机模型补充。

- 文中内部逻辑连贯，定义严密，但实际无可实现策略$\left(b_n^*\right)$作为理论参照引入，读取时需注意仅为边界策略。

---

8. 结论性综合

本文系统构筑了一个围绕长期投资组合多策略集成问题的无分布假设、时间一致的偏好框架，从理论和算法两个角度彻底解决了多策略加权决策难题。核心亮点包括：

• 分布无关且理论严谨的偏好定义（Definition 2，Proposition 1），为投资者偏好提供坚实基础，不依赖未来回报统计模型，适应各类市场环境。

- 基线策略与基准策略的清晰分离与定义，将不可实现的最优策略作为评判标准，设计组合策略目标为严格偏好于基线策略，保证组合策略优于所有原始组件。

• 构造了在线学习组合策略框架，包含小规模直接积分和大规模分组约简两种方案，有效解决高维度组合难题。

- 理论保证组合策略无差异且趋近于基准策略，体现长期渐近最优性质。命题4与命题5给出精致的收敛速率界限。

• 通过对CRSP市场27年数据与典型6只股票的实证，验证了组合策略能超越单一M-V策略，虽然夏普比率有轻微下降但增长率和财富明显提升。

- 引入了启发式的加速组合策略（UC-L，UC-W），在多个实验中显著加快财富超越速度，尤其面对策略表现波动明显的市场环境，表现出更优的累计收益。

• 分区划分对结果影响显著，合理分组可兼顾性能和计算复杂性，实验结果支持均匀划分优于极端不均划分，实现策略稳定增长。

- 文末就策略实际应用中的调参风险及长期协同性展开讨论，提示在实际产品设计时需平衡速度、收益和风险。

总之，本文将长期投资组合策略的多模型聚合理论推向了一个新的高度，通过无分布、时间一致性的偏好框架和适用广泛的组合算法，为投资者提供了一套科学、灵活且强健的决策支持工具。实证结果不仅验证了理论，还表明该方法在实际金融环境中具备良好应用潜力和竞争力。

---

参考文献中相关背景

文内引证了经典Universal Portfolio理论（Cover 1991）及相关多策略在线学习文献，构建了本研究理论基础。近期机器学习金融预测相关文献引用展示了本研究与现代金融科技结合的背景与动力。

---

总体评价

本文理论新颖且严谨，算法设计合理且有实际验证，填补了传统预期效用框架不足而缺乏无分布偏好集成理论的空白，对金融机器学习领域的策略集成研究具有重要意义。图表完整清晰，数据处理严谨，论证层层推进，达到学术研究与应用开发双重目标。

---

附：部分关键图表引用示例

• 图1（策略财富演变）:

• 图4（多策略财富演化）:

• 图10（大规模策略分割与加速演化）:

---

（本文引用页码均来源于报告原文，如未特别说明均对应原文页码）[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]

报告