• 研究背景及问题陈述 [page::0][page::1][page::2][page::3]：

- 期权定价中，若基础资产价格为严格局部鞅，Black–Scholes方程存在多解性，标准的无穷边界条件设置（如以收益函数）无法获得唯一且合理的价格解。
- 现实金融泡沫认知下，引入更合理的边界条件成为关键。

• 理论主结果及边界条件构造 [page::3][page::4][page::5]：

- 主定理：衍生品价格在无穷边界处可用基础回报函数和Forward价格的二阶导数积分形式精确定义，公式为\[v^{h}(\tau,\infty) = -\int0^\infty h(y) v{yy}^*(\tau,y) dy\]。
- 边界条件保证BS方程的唯一解是满足资产价格泡沫性质的最小非负超解。
- 使用正则瞬态扩散及其时间反演技巧(利用$f(x)$变量变换)证明边界条件正确性与存在性。

• Forward价格的概率诠释与性质分析 [page::7][page::8][page::9]：

- Forward价格关于基础价格为严格凹函数，这是泡沫存在的数学体现。
- 明确Forward价格的一阶导数和归一化价格可分别解释为末端和未来极大极小时间分布的概率表达。
- 证明Forward价格不可过度增长且有严格次线性增长属性。

• 价格有限性条件及解的唯一性 [page::9][page::10][page::11][page::12]：

- 提出具体的波动率增长条件，确保正向价格在无穷处有限。
- 通过卷积积分指标和函数空间约束，给予唯一性的充分判据。
- 利用对边界衰减性和导数收敛性的定理，排除非物理解唯一解。

• 模型示例解析 [page::13][page::14]：

- CEV模型和二次正态波动率模型均符合假设条件，且可解析给出边界处价格与First-passage概率的显式表达式。
- 模型支持前述边界条件的理论及数值实现。

• 数值方法与稳定性分析 [page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20]：

- 本报告提出新边界条件的有限差分实现：通过引入积分形式的边界导数条件与时间差分耦合，形成稳定隐式数值方案。
- 归纳和对比现有方法（Ekström等、Song & Yang、Çetin、Tsuzuki）中的边界处理与数值特性。
- 详细的Peclet条件分析揭示传统方法在波动率凹凸及漂移作用大时存在稳定性和精度劣势。
- 证明本方案满足离散极值原理，能避免震荡，保持数值解的单调性和凹性。

• 数值实验验证 [page::19][page::21][page::23]：

- 在CEV模型的两组参数配置（特别是泡沫显著时）下对比五种数值方案。
- 结果表明本方法对Forward合约及非线性收益函数都能准确逼近解析解，优于绝大多数已有方法。
- 详细表格展示不同资产价格对应的数值结果和概率估计，验证了本方法的稳定性和准确性。

边界条件在无限远处对Black–Scholes方程的影响——详尽分析报告

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1. 元数据与概览

标题： Boundary conditions at infinity for Black–Scholes equations
作者： Yukihiro Tsuzuki
发布日期： 2025年4月23日
主题： 围绕标的资产价格为严格局部鞅（strict local martingale）情况下欧洲期权的定价，研究Black–Scholes偏微分方程在无穷远处的边界条件，并提出新的数值计算方法。

报告核心论点及贡献概述：
该报告针对存在资产价格泡沫（modeled as strict local martingale under risk-neutral measure）时Black–Scholes方程的解的非唯一性问题，提出一种新的数值边界条件，确保对应的单一解析解——即最小非负超解，对应期权定价。报告强调传统边界条件难以满足线性增长的期权回报函数（如看涨期权、远期合约）的需求，提出基于严格局部鞅理论中转向扩散（transient diffusion）及时间反演技术的边界条件，兼顾了稳定性（保证无振荡的离散极值原理）和较高精度，并通过数值实验与文献现有方法进行比较验证。作者还阐释了前向价格的概率解释，讨论了唯一性条件及泡沫市场中前向价格的有界性。

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要（Abstract）

报告提出面向严格局部鞅问题的数值定价方案，针对期权支付呈线性增长，导致Black–Scholes方程有多解的问题，研究边界条件在无穷远处对解的决定作用。作者证明通过其指定的边界条件可获得最小解作为期权价格，保证了数值方案满足离散极值原理且精度优于现有方法。[page::0]

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2.2 引言（Introduction）

• 关键论点：

资产价格市场中存在泡沫，即折现价格过程为严格局部鞅，破坏了许多经典期权定价理论结果（如认购期权凸性，欧式与美式定价排序等），导致Black–Scholes方程解的多重性。

• 推理基础：

依据多篇文献（Cox & Hobson 2005等），在这种环境下严格局部鞅标的资产带来不同的期权价函数的增长性质，导致偏PDE的非唯一性。特别是Ekström & Tysk (2009)证明支付函数若为严格亚线性则解唯一，否则不唯一。

• 问题难点：

实际数值计算应用中，有限差分法需在空间无穷远边界设置边界条件，而标准边界条件（支付函数作为边界值）在存在泡沫时对线性增长支付函数不适用，且文献中的Neumann和Dirichlet改进方案虽有效但未完全考虑时间趋近到期时支付函数线性增长与解亚线性态的差异。

• 报告重点贡献点：

提出基于将资产价格过程用一个转向扩散与时间反演联系的技术，利用前向价格的凹性及积分表达，导出无穷远处边界条件，实现唯一解的准确获取；并要求波动率满足特定条件来保证方法的合理性。

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2.3 数值方案优势与理论贡献（第二、三页内容）

• 数值方案三大优势：

1. 允许支付函数高于线性增长（超线性），打破文献对增长函数的限制。
2. 数值方案稳定，满足离散极值原理，无局部振荡，保证解决方案关于价格非减且凹性，且关于剩余期限单调递减。
3. 在多数数值实验中，精度较 Ekström等2011, Song & Yang 2015, Tsuzuki 2023 更高，仅次于Çetin 2018的某些情形。

• 理论贡献：

- 发现并运用含泡沫市场中，前向价格相对标的资产价格是凹函数的性质，推动对其概率解释的深入理解。
- 给出边界处前向价格有界的弱化条件，拓宽定价理论的适用范围。
- 证明边界条件的唯一性充要条件链接波动率函数的积分性质。
- 介绍利用严格局部鞅与哈密尔顿变换(h-transform)之间关系构造对应概率测度和扩散过程的构造方法。

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2.4 问题设定（Section 2）

• 股票价格过程建模及Black–Scholes PDE定义：

假设波动率函数σ满足局部Holder条件，标的资产价格$Yt$ 遵循SDE：

$$
Yt = Y0 + \int0^t \sigma(Yu) d\betau,
$$

其中零为吸收边界。显著假设无风险利率为零，且$Y$为局部鞅且吸收于零。对应欧式期权价格

$$
v^h(\tau,y) = Ey[h(Y\tau)],
$$

满足PDE:

$$
v\tau = \frac{1}{2} \sigma^2(y) v{yy}, \quad v(0,y) = h(y),
$$

该$ v^h $为随机解，与具备所述PDE及边界条件的经典解可能非一致。

• 泡沫造成的非唯一性及特别例子：远期合约

远期合约$h(y)=y$ 例子中，经典解$v(\tau,y) = y$，而随机解$v^(\tau,y) = E{y}[Y{\tau}]< y$ （因严格局部鞅为超鞅属性）两者并不相同。

• 数值方法中有限区间逼近及边界条件难点：

PDE在有限区间$(0,T)\times(0,n)$ 计算时需指定边界条件，常见直接取$h(n)$ 边界不可行，文献中已经提出例如$w(\tau,n)=0$ 等替代方案，和通过改变量变换处理的问题，这些方法引入了局部流主导问题，可能导致数值震荡，需要改进。

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2.5 边界条件主定理（Section 3）

• 假设Assumption 1关于波动率σ

a) 对0附近及无穷远处积分性质保证适当扩散与瞬态性质。
b) $Y$保持严格正性（根据Feller筛选判据）。
c) $Y$为严格局部鞅（Kotani 2006条件）。

• 主要结果（Theorem 1）

对任意非负连续$h$，在$\tau>0$ 时，价格无穷远处值满足：

$$
v^{h}(\tau,\infty) = -2 \int0^\infty v\tau^(\tau,y) \frac{h(y)}{\sigma(y)^2} dy = - \int0^\infty h(y) v{yy}^(\tau,y) dy,
$$

其中$v^$为远期合约的随机价格解。

• 影响及理解：

该表达式为无穷远处边界条件提供闭式积分表示，避免了直接取支付函数造成非唯一现象。通过积分分部公式，价格可写为基于二阶导数的积分形式，与经典思路不同，体现边界条件的替代方案的优势。[page::5]

• 证明思路（3.1节）：

利用转向扩散$X$ 和映射$f$（由σ积分定义），建立概率测度对$(Px^f,Px^{1/f})$之间的哈密尔顿变换关联；随后通过时间反演与分布解析，转化期权价格的边界特性。

• 概率诠释（3.2节）：

利用Profeta et al. (2010)的工作，指出前向价格导函数对应$X\tau$ 的分布函数，揭示前向价格凹性和极限性质。

• 有界性条件（3.3节）：

推导有界性充要积分条件，一定增长条件（关于σ和h的积分）保证价格在无穷远处有界。

• 唯一性条件（3.4节）：

结合Ekström & Tysk (2009)与Çetin (2018)理论，陈述严格控制解的增长性质和边界条件，消除非期望解的出现，实现唯一性。

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2.6 具体模型示例与分析（Section 4）

• 4.1 CEV模型

标的波动函数$\sigma(y)=a y^{1+\frac{1}{2\nu}}$，且$\nu>0$时为严格局部鞅。
映射$f(x) = (2\nu / a)^{2\nu} x^{-2\nu}$，该模型中$X$ 服从Bessel过程，概率表达式能用Gamma函数与Incomplete Gamma函数写出，边界条件验证前向价格及其导数在无穷远满足必要性质。
显示其价格解随$\tau,y$变化单调，广义空间上的渐近行为被详细描述。

• 4.2 Quadratic Normal Volatility模型

某些参数区间内标的价格严格局部鞅，波动函数为二次型多项式，映射$f$ 与漂移参数具体计算。
具备显式价格表达，通过标准正态分布函数及其密度表达，价格及边界行为符合报告的理论边界条件要求。

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2.7 数值方案详解（Section 5）

• 5.1 描述各数值方法

- 作者当前方案（5.1.1）
基于主定理导出的边界条件，设计了有限差分格式：
对于$h(y)=y$，边界条件为
$$
vy^(\tau,n) = -\varepsilonn v\tau^(\tau,n), \quad \varepsilonn = \frac{2}{n} \intn^\infty \frac{y}{\sigma(y)^2} dy,
$$
并用$\theta$-scheme进行时间空间离散。
对于非远期类$h$，直接采用积分式边界条件。此方案满足稳定性，不引入振荡，且逼近严格局部鞅环境下的价格。

- Ekström et al. (2011)方案
采用Neumann边界条件$v_y(\tau,n) = 0$，因前向价格导数实际不保持0，导致数值解低估真实值。

- Song and Yang (2015)方案
采用Dirichlet边界$v(\tau,n) = 0$，解为带击穿敲出期权，价格低估，价格函数非单调。

- Çetin (2018)方案
通过变量变换转化为带奇异系数的PDE，数值稳定性难以保证，尤其在对流主导时效应显著。

- Tsuzuki (2023)方案
利用击穿期权价格构造连续边界值序列，解决方案单调收敛到随机解，但数值精度不及Ekström及本研究方案。

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• 5.2 稳定性分析

- 对Çetin和Karatzas-Ruf相关方法分析
离散网格需要满足Peclet条件（离散时间与空间步长及漂移和扩散比率约束），偏微分方程往往是对流主导时数值稳定性缺乏，需选用极细网格。

- 对本研究方案与Ekström方案分析
本方案中的边界条件引入合理耦合，矩阵可逆，形成马尔可夫转移矩阵，满足离散极值原理，保证非负、非降和凹性。

- 不等式对比
本方案得到的数值解始终不低于Ekström方案，且本方案对于时间导数边界数值更加稳定。

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• 5.3 数值实验

- 以CEV模型为例，采用两组参数配置，分别计算远期合约价格及支付为$y^{p}$的期权价格，覆盖高增长和近线性增长支付函数。
- 采用五种数值方法及解析解对比，结果显示：
- 在$\nu=1$ （稍平缓波动率增长）情况下，本研究方案与Çetin 2018的方案最接近解析解，在部分参数下Çetin略有优势。
- 在$\nu=1/3$（快速波动率上升）情况下，本研究方案明显优于Çetin和Song & Yang方案。
- Ekström方案普遍低估价格，Song & Yang方案价格非单调、边界表现差。
- 表5中还展示了基于前向价格的概率解释的数值验证。

• 进一步分析造成Çetin方案精度下降的原因，是其数值方法中速度（漂移项）及波动率组合造成数值不稳定和单调性破坏。

表格解析提要：

• 表1-4中横向对比五类方法及精确解的价格数据，显示本方法在大多数入参区间均紧密逼近精确解，数值波动小。

- 表5对应概率解释部分，同样对比各解概率分布的数值估计，反映了数值方法的理论概率对应准确性。

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3. 图表深度解读

线性支付$h(y)=y$及超线性支付的数值价格均在多个估价方法中横向对比详列于【表1-4】。对于主要关键点：

• 表1（$\nu=1$，$h(y)=y$）显示作者方案与Çetin (2018)及精确解非常接近，价格随着$y$的增加单调上升。Ekström方案低估较多，Song & Yang方案略低，Tsuzuki中等。
• 表2（$\nu=1$，超线性支付）趋势相似，但价格跨度更大，检验了边界条件对增长支付函数的处理实力。
• 表3（$\nu=1/3$，$h(y)=y$）体现极端波动率增长下，作者方案与精确解紧密匹配，Ekström与Song & Yang方案在价格及单调性上显露不足。
• 表4（$\nu=1/3$，超线性支付）类似表3趋势，充分体现新方案对较高增长支付函数的鲁棒性。
• 表5为价格对应的概率解释数值比较，验证了转向扩散与概率测度转换构造的一致性。

这些表格和数值结果强有力地支持了作者在理论与实践中提出的边界条件的有效性和优越性。

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4. 估值分析

本报告并非以直接估值为核心，而是研究得到唯一确定且恰当满足泡沫市场非唯一PDE条件的价格解。主要估值相关理论框架如下：

• 期权价格定义为对应Black–Scholes PDE的最小非负超解（随机解）$v^h$。
• 建立与转向扩散的哈密尔顿变换（$h$-transform）对应的概率空间关联，推导价格与边界行为关系。
• 具体数值估值方案通过有限差分法，结合新的右边界条件确保数值解逼近随机解。
• 明确限制条件存在（对波动率σ及支付函数成长率的积分约束），确保价格明确定义、有界且唯一。
• 对于负漂移或过高非线性增长的波动率导致的不稳定估值情况，报告指出传统方法面临数值不稳定，推荐采用作者提出的边界条件配合稳定的隐式有限差分格式。

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5. 风险因素评估

报告虽未显式以“风险因素”章节设定，隐含并分析相关风险如下：

• 模型假设风险：

波动率函数需满足特殊积分及光滑性假设（Assumption 1），实际市场波动率可能偏离，影响定价准确性及边界条件适用性。

• 数值稳定性风险：

除本研究方案以外，许多数值方法在对流项主导的情况下缺乏稳定保障（Peclet条件违反），易出现数值震荡或收敛缓慢，影响估值结果准确度和计算效率。

• 非唯一解风险：

若边界条件指定不合理，解的非唯一性对期权价值产生极大分歧，潜藏市场风险，错误定价可能放大对冲风险。

• 模型扩展性风险：

严格局部鞅假设、零利率率假设及特殊市场结构限制了模型的适用范围，某些金融产品或市场条件下难以直接套用。

• 缓解策略：

作者提出的边界条件设计以及采用符合离散极值原理的隐式格式，有助于缓解数值震荡风险，增加价格唯一确定性，保障估值的稳健性。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告高度依赖数学严格性和精细的概率测度转换，对于模型实际对应市场情况的适用度尚不充分讨论，存在理论与实际应用的差距风险。
• 对于高于线性增长支付函数的分析，虽引入积分条件，但具体波动率高阶行为限制较强，若实际$\sigma$不满足（如市场剧烈波动或跳跃），理论可能失效。
• 参数选取对数值稳定性的影响显著，Çetin(2018)方法虽解析性强，但受漂移项影响时稳定性较差；作者提出的方法相对鲁棒，但依赖精细边界积分数值，计算负担较大。
• 各方法对边界条件的设定体现了实际数值计算中的权衡，报告中作者方案在部分极端参数区间不占绝对优势（如$\nu=1$且超线性支付），提示仍需进一步优化。
• 报告对“唯一性”条件表述清晰，但对实际数值算法如何严格满足这些条件（尤其边界积分收敛性）未深入展开，存在实现细节不完善的隐患。

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7. 结论性综合

本报告针对黑-舒尔斯方程在资产价格呈严格局部鞅情况下的非唯一性问题，提出了基于该类严格局部鞅相关转向扩散的时间反演技术的边界条件，成功解决了数值计算中边界条件难以确定的瓶颈。

通过理论推导，证明了该边界条件能精确刻画期权价格无穷远处的极限值，确保解的唯一性和稳定性。报告进一步利用强大的概率工具，如哈密尔顿变换和Bessel过程传播理论，深入诠释了前向价格的概率含义及其凹形性质，显著丰富了对泡沫市场期权定价的理解。

报告通过CEV模型和二次正态波动率模型示例，结合详尽的数值实验，验证了该边界条件在精度、稳定性和适应性上的优越表现，相较现有文献方法具备明显改进。表格数据显示数值解紧密逼近解析解，尤其在高速增长波动率情形中表现突出，解决了传统方法普遍面临的精度及单调性难题。

此外，离散极值原理的满足保证了数值解无不合理振荡及价格单调、凹性，增加实际应用中估值的可信度。报告也分析了其他数值方案在精度和稳定性上的不足，论证了新边界条件方法的必要性和优势。

综上所述，报告完整系统地解决了Black–Scholes PDE因严格局部鞅引发的解非唯一性难题，提出的边界条件及数值方法为期权定价领域中涉及金融泡沫的复杂模型提供了科学且实用的解决方案。该成果兼有数学创新与应用价值，有潜力成为后续风险管理及量化分析的基础工具。[page::0][page::1][page::2][page::3][page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16][page::17][page::18][page::19][page::20][page::21][page::22][page::23]

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附：部分关键图表（转自报告）

表1：$\nu=1$，支付函数$h(y)=y$对应期权价格
| y | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 3.5 | 4.0 | 4.5 | 5.0 |
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| Ekström et al. (2011) | 1.00 | 1.49 | 1.94 | 2.34 | 2.70 | 3.01 | 3.28 | 3.51 | 3.72 |
| Song and Yang (2015) | 1.00 | 1.47 | 1.90 | 2.25 | 2.54 | 2.77 | 2.95 | 3.09 | 3.20 |
| Çetin (2018) | 1.00 | 1.49 | 1.96 | 2.40 | 2.79 | 3.15 | 3.47 | 3.75 | 4.01 |
| Tsuzuki (2023) | 1.00 | 1.48 | 1.93 | 2.32 | 2.65 | 2.94 | 3.18 | 3.39 | 3.56 |
| 本研究方案 | 1.00 | 1.49 | 1.96 | 2.39 | 2.77 | 3.12 | 3.44 | 3.72 | 3.97 |
| 精确解 | 1.00 | 1.49 | 1.96 | 2.40 | 2.79 | 3.14 | 3.46 | 3.74 | 3.99 |

（其他表格类似）



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（注：以上为示意，因原文仅有HTML表格数据，无图片，示例图片路径格式如上）

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总结

通过报告的细致理论推导、演示多模型的具体适用及严谨数值测试，作者系统解决了金融泡沫背景下Black–Scholes PDE边界条件难题，实现定价唯一确定性和数值稳定性的突破。该研究不仅为理论金融数学领域的资产泡沫与局部鞅现象提供重要洞见，也为实际金融工程数值计算方案提供了创新方法，具备较高学术与工程实用价值。

报告