1. Orbswap不变量与Superellipse扩展 [page::0][page::1]

• 介绍n维集中型自动做市商的数学不变量，提出基于超椭圆的流动性分布模型，可通过参数调节流动性偏斜和宽窄度。

- 提出极坐标tick机制，实现流动性在价格区间内的精准分布，改善传统笛卡尔坐标下的流动性配置低效问题。

• 引入流动性偏移参数β，实现流动性中心曲线调节，提升资本效率。

2. 多维稳定币池风险及对冲建议 [page::1][page::7][page::8]

• 指出n＞2维稳定币池存在叠加脆弱性，尤其在单币脱锚事件（如2023年硅谷银行事件）中，LP面临重大亏损风险。

- 提出构建synthetic二元看跌期权Payoff的对冲策略，通过极坐标tick的LP位置布置，模拟脱锚预测市场以对冲风险。

• 该方法利用买入及卖出不同极坐标区间的LP头寸，形成二元期权型收益结构，有效降低脱锚损失。

3. 极坐标流动性指纹与价格转换机制 [page::1][page::5][page::6][page::7]

• 通过极坐标化tick，将价格区间映射为角度刻度，实现集中流动性的位置分布更加合理，兼顾价格主体与厚尾部分布。

- 实验证明极坐标积分法较传统黎曼划分更准确捕捉重尾价格分布及流动性配置，提升了LP流动性效率。

• 利用极坐标旋转实现swap操作，已用Rust实现在Arbitrum链上，保证计算高效与确定性。

4. 多模态流动性指纹及稳定币价格特性分析 [page::3][page::9]

• 利用多模态极坐标sinusoidal波，构建多峰流动性指纹，适应具备多峰价格行为的稳定币，如DAI的铸造和赎回引发的±1%波峰。

- 统计学分析显示稳定币价格表现为厚尾分布，Pareto分布拟合效果优于常规模型，且呈现周期性阶梯和波动特征。

5. 量化实现及数学模型 [page::2]

• 系统阐述了极坐标swap函数的数学公式及Rust实现细节，指出固定点数计算避免硬件差异带来的非确定性，是Arbitrum链上实现的关键。

- 详细推导了不同超椭圆参数下的流动性函数，提出Legendre变换计算LP价值与风险指标。

6. 结论

• 极坐标和超椭圆机制有效提升了多资产稳定币AMM的流动性集中与灵活调节能力。

- 多维稳定币池固有风险需谨慎管理，合成对冲策略具有实际操作价值。

• Rust在实现复杂数学计算合约中展现优势，是DeFi高性能AMM设计的良好选择。

研究报告详尽分析报告

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1. 元数据与概览

标题： Concentrated N-dimensional AMM with Polar Coordinates in Rust
作者： Vasily Tolstikov, Marcus Wentz, Joseph Schiarizzi, Derek Ding
联系方式： vasily@orbwap.org, marcus@orbswap.org, joseph@orbswap.org, derek@orbswap.org
发布日期： 无明确标注，最新引用与数据截至2025年9月19日
主题： 多维稳定币自动化交易做市商（AMM）的集中流动性机制，融合极坐标系刻度（ticks）以及Rust语言实现，重点讨论流动性分布调节、风险管理及极坐标下的交换函数。

报告核心论点与信息：

• 提出并扩展了一种基于极坐标系的n维稳定币AMM集中流动性机制（Orbswap），包括：

- Orbswap不变量方程的介绍与扩展（从圆形到超椭圆形）
- 调整对称价格刻度的限制，实现流动性偏斜（skew）配置
- 基于极坐标实现的交换函数设计
- 通过极坐标实现流动性刻度划分，提升价格分布刻画精度
- 重要的风险提示：多维稳定币池中，稳定币“脱钩”的风险及其应对方法
- 引入多峰流动性指纹（multimodal liquidity fingerprints）以对应复杂市场形态

• 本报告特别强调Rust语言在智能合约语言Solidity中支持复杂数学计算的优势，以及流动性风险管理设计。

[page::0,1,2,3]

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2. 逐节深度解读

2.1 报告导言与背景介绍

介绍了AMM中两大流动性集中思想流派：

• 参数化自定义曲线（如Curve、CavalRe、EulerSwap）

- 价格区间选择机制（如Uniswap v3、Orbital AMM）
报告基于这两者设计，力求构建n维稳定币池集中流动性，侧重极坐标操作和风险管理[page::0]

2.2 Orbswap不变量（Invariant）

• 以Uniswap v2和v3为参照，指出v2实现连续均匀流动性分布，v3基于价格区间集中流动性。

- Orbswap引入“Orbswap不变量”：
\[
\sum{i=1}^{n}(xi - l)^2 = l^2
\]
其中，\(l = 2 + \sqrt{2}\)为偏移，保证流动性绑定在坐标轴边缘，形成Concentrated Circular Market Maker (CCMM)[page::0]。

• 将不变量推广成超椭圆形（CSEMM），不变量方程为：

\[
\sum{i=1}^n \left| \frac{xi}{\alphai} - 1 \right|^{\eta(\alphai)} = 1
\]
\(\alphai\)参数控制流动性尾部偏态，调整流动性聚集形态及尾部肥厚度[page::0,1]

• 通过调整\(\alphai\)参数，可以连续过渡到不同经典AMM模型（Constant Sum、Constant Product、Logarithmic Market Scoring Rule等）[page::1]

2.3 流动性偏斜与对称刻度限制

• 传统Orbital AMM刻度对称，但稳定币价格波动通常表现为偏斜（图1显示USDC/USDT价格分布具明显偏斜）[page::4]，导致资本效率减弱。

- 通过引入带偏斜参数\(\beta\)的椭圆不变量实现流动性刻度的位移，具体形式：
\[
(x-l)^\beta + \left(\frac{y}{c} - l\right)^\beta = l^\beta
\]
其中\(\beta=2\)对应椭圆，支持1<\(\beta\)<2的区间调节实现更精确流动性集中[page::1]

• 介绍超椭圆中心曲线\(C(x)\)，用于保持交易函数的尺度不变性，辅以Fenchel共轭分析以估值LP回报[page::1,5]

2.4 极坐标swap函数设计

• 传统AMM基于笛卡尔坐标交易，CCMM的圆形不变量允许通过围绕焦点旋转的极坐标交换实现[page::1]。

- Rust中的极坐标swap实现在附录3.3中详述，体现了Rust的数学优势和确定性运算推荐[page::2]

• 极坐标tick机制可基于价格到角度的映射公式：

\[
\phi = \frac{90}{Price + 1}
\]
将价格空间离散化为极坐标角度区间，刻度管理精细，适合稳定币的价格和尾部波动捕捉[page::1,6]

2.5 多维稳定币池的风险及管理

• 多维池子（n>2）引入风险源，典型案例见2023年Silicon Valley Bank事件导致USDC脱钩[page::1,4]

- 多币种池风险累积且稳定币价格呈肥尾分布（图5展示尾部遵循幂律分布，趋势大于柯西分布，说明风险不可忽视）[page::7]

• 为规避高维池中风险，建议不宜随意增加稳定币数量，或者通过构造LP位置之间的合成二元期权头寸构建脱钩对冲机制，类似预测市场[page::1,8]。

- 图6说明如何通过在极坐标下设置不同刻度LP头寸进行多头和空头的垂直价差构造，形成类似预测市场的合成二元脱钩保险头寸[page::8]

2.6 多峰流动性指纹（Multimodal Liquidity Fingerprints）

• 进一步研究极坐标下添加正弦波修饰的多峰流动性指纹模型：

\[
r(\theta) = \frac{L}{\sqrt[3]{1 - \frac{1}{2}\sin(\alpha \theta)^2}}
\]

• 当\(\alpha=4,6,8\)时，分别模拟Curve、双峰和三峰流动性形态，后者具备捕获CDP（担保债仓）类稳定币如DAI价格分布特征的潜力[page::3,9]。

- 实证表明，DAI价格数据存在约1%范围的特殊正弦峰，体现CDP稳定币特殊的铸造和销毁机制[page::9]

• 提供交互式模型演示并建议进一步研究[page::3]

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3. 图表深度解读

3.1 图1 (page 4) — USDC/USDT价格分布和偏斜

• 图1A展示价格的时间演变，在2023年初出现显著波动即Bank run导致USDC脱钩

- 1B半对数直方图拟合展示价格分布的偏斜，Student-t和Levy稳定分布均体现价格尾部肥厚

• 1C、1D的log-log图进一步确认尾部分布为肥尾，存在 asymmetry，表明在稳定币池中左尾风险显著高于右尾

- 该分布不对称性分析提示传统对称流动性分布配置效率低，激发设计流动性偏斜机制的技术需求[page::4]

3.2 图2 (page 5) — 超椭圆交易函数流动性指纹

• 2A标示了超椭圆中心曲线及其不同偏斜参数下的保尺度变换

- 2B展示对应LP的价值函数收益曲线，随着价格变动的非线性响应

• 2C在极坐标空间展示wrapped极坐标刻度下流动性分布，显示大多数刻度聚集在价格分布体的中心区域

- 2D展开后的流动性指纹在log-Price空间显示明显的峰态，精细刻度提高了对价格尾部的捕捉能力[page::5]

3.3 图3 (page 6) — 极坐标下LP流动性分布与价格刻度

• 可见LP1覆盖极坐标0°–90°刻度，价格覆盖区间[0，∞)

- LP2仅覆盖中间小角度段（40°–55°），对应价格约1.0~0.8美元

• 红色曲线展示swap函数的轨迹

- 对角度与价格的转换公式反映了流动性在极坐标的连续性与价格刻度的联系[page::6]

3.4 图4 (page 7) — Riemann积分与极坐标tick积分对比

• 4A展示Riemann积分的划分，判定为对尾部和波动区间捕捉不精准且gas成本高昂

- 4B极坐标tick分区方式能够更准确捕捉价格分布体与重尾，提升流动性划分的资本效率与精度[page::7]

3.5 图5 (page 7) — 多主流稳定币池尾部分布拟合

• Rank-frequency图确认多稳定币池均展现幂律尾部分布，指数\(\alpha = 1.62\)，尾部肥厚，表示存在极端风险事件概率显著

- 该尾部分布超过柯西分布的肥尾，累积多币种池会显著增加系统性断裂风险[page::7]

3.6 图6 (page 8) — 构造合成脱钩预测市场的LP头寸

• 6A展示单一LP头寸的价值函数，表现为凹形收益，类似保守做市

- 6B展示对应空头头寸，形成凸形收益曲线

• 6C合成的买卖头寸组合形成二元期权式的支付结构，模拟脱钩事件的预测市场，实现有效对冲保险机制[page::8]

3.7 图7 (page 9) — DAI价格动态与尾部结构

• 7A-D展示了DAI的价格时间序列、直方图及尾部分布的拟合，特别强调收益分布的波动峰态及尾部的正弦波纹理

- 7E-F通过Kolmogorov-Smirnov检验确定尾部最优截断点及幂律尾部指数

• 该实证验证了多峰流动性指纹在捕获CDP机制相关价格行为中的实际价值[page::9]

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4. 估值分析

本报告未涉及传统财务现金流等估值模型，而是在数学形式和流动性分布层面展开，重点是用不同不变量方程（CCMM、CSEMM、超级椭圆、极坐标修正）建立流动性分布的数学框架。

• 采用Legendre变换、Fenchel共轭等非线性函数变换技术进行LP头寸价值和汇报的运算分析[page::2,5]。

- 流动性指纹即二阶价格平方根的导数，捕捉流动性的价格敏感程度[page::2]。

• 极坐标刻度制度及多峰调制函数根本上定位于提升流动性市场的资本效率和风险调节能力，不涉及货币化目标价[page::1,3]

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5. 风险因素评估

• 多维稳定币池存在显著的“脱钩”风险，一旦某稳定币价格永久脱钩，LP将承担严重的发散损失，同时池中会积累不受欢迎的脱钩币[page::1]。

- 价格分布的肥尾和潜在的反相关性（如USDC和USDT在银行挤兑期间的表现）加剧了风险的复杂性及不可预测性[page::1,7]。

• 过高维度的稳定币池会累积更多风险，造成系统脆弱[page::1,7]。

- 目前提出的风险对冲方案通过构造合成预测市场头寸对冲脱钩风险，然而这需要LP积极管理多头空头头寸，存在执行复杂性[page::1,8]。

• 除了结构风险，报告指出Rust实现智能合约需注意确定性数学计算，避免非确定性浮点运算，防止链上不一致风险[page::2]。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告强调了极坐标下的流动性分布优势及风险对冲创新，但并未深入讨论组合策略在实际链上执行的复杂性和资本成本。

- 多维池“脆弱性”的讨论基于历史单点脱钩案例，虽然合理，但未来市场机制演进和新型稳定币稳定性可能影响模型适用性。

• 极坐标刻度及多峰流动性指纹模型创新提供了理论工具，但其实际对市场效率提升和用户接受度的影响尚不明确，后续运行数据支持必要。

- 使用Rust语言的智能合约开发强调数学运算的丰富性和确定性，但实际跨链兼容性、性能和安全性风险未详述。

• 图表配合详实，引文广泛，涉及多篇前沿论文，显示理论深厚，且配合了大量实证数据，整体分析逻辑自洽严谨。

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7. 结论性综合

本报告通过系统扩展n维自动化做市商理论，提出基于极坐标刻度的流动性集中机制，兼顾流动性偏斜、权衡资本效率与风险管理，突破了传统AMM基于笛卡尔坐标的流动性分配模式。

• Orbswap提出的圆形及超椭圆形不变量方程锚定了流动性分布的数学基础，极坐标刻度机制使流动性能够因价格分布特点灵活调整，这在稳定币池中显著提升了资本利用率[page::0,1,5,6]。

- 对USDC/USDT稳定币对的偏斜价格分布和肥尾特征的实证分析为流动性非对称配置提供了实证依据和理论驱动[page::4,7]。

• 极坐标下的swap函数设计与Rust实现展现了计算实现路径，对智能合约中复杂数学处理提供了范例[page::2]。

- 进一步通过正弦波修饰的多峰流动性指纹拓展了模型对复杂稳定币（如CDP类）价格行为的捕捉能力，验证了流动性设计的动态适应性[page::3,9]。

• 多维稳定币池的固有脆弱性问题被充分揭示，基于组合LP头寸的脱钩风险对冲方案，借鉴预测市场理念，为实际风险管理提供了创新路径[page::1,8]。

- 报告结合理论与实际数据，设计结构严密，支持n维稳定币AMM向更精细、风险可控的方向发展。

总体而言，报告展示了在稳定币多维AMM领域结合数学建模、程序实现及风险管理的前沿研究成果，具备理论价值和潜在应用引导意义。

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（本文所述结论均基于原文内容并附有相应页码引用，具体见本分析报告中各处标识）

报告