模型创新及研究目的 [page::0][page::1]

• 传统Hull-White模型假设均值回复速度为常数，难以捕捉长期周期性。

- 本文引入正弦函数形式的时间变化均值回复速度$\kappat = \kappa0 + A \sin(\omega t)$，聚焦约22年周期的长期利率周期性。

• 利用1990-2022年美国国债收益率数据进行模型校准和比较，旨在改进长期债券定价与风险评估。

数据分析与周期性验证 [page::3][page::4][page::9][page::10][page::11]

• 数据涵盖不同期限（1-30年）每日国债收益率，反映多阶段经济环境。

- 傅里叶变换发现收益率存在3.7年、5.5年、11年及22年周期，22年为最显著长期周期。

• ADF检验结果显示收益率序列非平稳，Ljung-Box测试确认显著自相关性，强化了周期性模型的需求。

数学模型与求解方法 [page::5][page::6][page::7][page::8][page::9]

• 标准Hull-White模型具备解析解的零息债券定价公式。

- 正弦Hull-White模型因时间变参，解析解不可得，需利用蒙特卡洛模拟(200路径，时间步长0.05年)进行价格估计。

• 标准模型参数$\kappa=0.3164, \theta=0.0258, \sigma=0.0087$；正弦模型参数$\kappa_0=0.3068, A=0.2110, \theta=0.0256, \sigma=0.0101$，但$\omega$校准结果偏离预期，需约束为0.00078以匹配22年周期。

量化校准结果与误差分析 [page::12][page::13][page::14][page::15]

| Maturity (Years) | Observed Price | Analytical HW | MC HW | MC Sin-HW |
|-----------------|---------------|--------------|-------|-----------|
| 1 | 0.9879 | 0.9860 | 0.9854| 0.9846 |
| 2 | 0.9656 | 0.9691 | 0.9685| 0.9677 |
| 3 | 0.9443 | 0.9504 | 0.9484| 0.9488 |
| 5 | 0.9066 | 0.9100 | 0.9075| 0.9126 |
| 7 | 0.8688 | 0.8682 | 0.8633| 0.8655 |
| 10 | 0.8187 | 0.8066 | 0.8020| 0.8042 |
| 20 | 0.6126 | 0.6264 | 0.6246| 0.6311 |
| 30 | 0.4926 | 0.4857 | 0.4862| 0.4864 |

• 正弦HW模型对30年期债券价格拟合更接近观测值，RMSE由0.14%降至0.12%。

- 模型误差在20年期存在增大现象，可能因周期成分参数设定单一且确定性过强。

• 校准误差显示正弦模型在长期段拟合优于标准模型，但中长期仍存在改进空间。

模拟路径与周期性体现 [page::15]

• 标准HW模拟路径呈均值回复波动，无周期性。

- 正弦HW模型路径展现周期性波动，匹配22年经济周期特征。

• 两模型均出现负短利率现象，暴露Gaussian模型在低利率环境下的不足。

研究贡献与未来方向 [page::16][page::17]

• 模型创新在于引入周期性均值回复速度，增强长端利率拟合能力。

- 建议未来采用CIR模型防止负利率，或引入随机周期参数提高灵活性。

• 修正校准过程中$\omega$不合理估计问题，限制周期频率以保持理论一致性。

- 扩展多因子及宏观经济变量，进一步提升模型对全期限结构的解释力。

深度解析报告：《A Sinusoidal Hull-White Model for Interest Rate Dynamics: Capturing Long-Term Periodicity in U.S. Treasury Yields》

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1. 元数据与概览

报告标题:
A Sinusoidal Hull-White Model for Interest Rate Dynamics: Capturing Long-Term Periodicity in U.S. Treasury Yields

作者:
Amit Kumar Jha

发布日期:
2025年4月

发布机构或背景:
未明确注明具体发布机构，研究基于联邦储备经济数据(FRED)及广泛文献。

研究主题:
本报告主要聚焦美国国债收益率的利率建模，针对传统Hull-White模型在捕捉长期周期性（周期跨度达数十年）方面的不足，提出具有“周期性均值回复速度”的Hull-White模型变体（方波或正弦函数修正的均值回复速度），并利用1990年至2022年的美债收益率数据进行模型校准与验证。

核心论点与目标:

• 传统Hull-White（HW）模型假设均值回复速度为常数，难以反映长期利率的周期性波动；

- 提出基于“均值回复速度随时间以正弦函数变化（$\kappat = \kappa0 + A \sin(\omega t)$）”的Sinusoidal HW模型，以掘取长期经济周期对利率的影响；

• 利用FRED的33年日度数据覆盖多种期限，结合傅里叶变换揭示4个主要周期（3.7年、5.5年、11年、22年）；

- 通过Nelder-Mead优化和蒙特卡洛模拟对模型参数进行校准，结果显示该周期性模型在拟合长期利率（尤其是30年期）上优于传统HW模型，RMSE降低至0.12%；

• 模型改进对于债券定价、利率风险管理及衍生工具估值有重要应用潜力。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言与研究动机（第0-1页）

关键论点:

• 标准HW模型由常数均值回复速度驱动的短利率过程定义，具备解析解和较强的灵活性，但忽视了长期利率的周期性特征；

- 实证数据表明美国国债收益率存在多年的周期性波动，文献（Campbell等1997，Bauer与Rudebusch 2018）均支持此观点；

作者推理:
通过实证验证及论文提出，标准HW模型的均值回复速度$\kappa$不变的假设限制了模型对长期利率波动的贴合力，尤其忽略结构性因素（如货币政策变动、通胀预期）带来的缓慢周期波动。提出以正弦函数调节均值回复速度，使其随时间振荡，更好捕捉长期波段。[page::0,1]

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2.2 文献综述（第2-3页）

论点:

• 利率建模已有多种经典框架（Hull-White 1990、Cox-Ingersoll-Ross 1985、Heath等1992），但大多数忽视或未充分整合周期性均值回复机制；

- 现有周期性研究多为实证分析，缺少将周期性整合至建模框架的尝试；

• 对比随机波动性模型和状态切换模型，本研究主张以平滑的正弦周期直接嵌入均值回复速度；

关键数据与逻辑:

• 通过傅里叶谱分析等统计方法，捕捉到了明显的22年长周期；

- 现有扩展往往增加模型复杂度，难以实时应用且未能聚焦周期性均值回复速度。

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2.3 数据描述（第3页）

数据集说明:

• 来自FRED数据库，日度美国国债收益率，1990年1月至2022年12月；

- 涵盖期限包括1, 2, 3, 5, 7, 10, 20, 30年，长期期限亦涵盖多轮经济周期，保证结果的稳健性和泛化能力；

• 2022年末数据，1年期收益率约为1.22%，30年期为2.36%，呈现正斜率收益曲线。 [page::3]

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2.4 周期性实证分析（第4页）

核心观点:

• 对所有期限的去趋势利率序列进行傅里叶变换，显示主要周期分别为3.7年、5.5年、11年和22年，22年周期在各期限均表现突出；

- ADF单位根检验显示采购序列非平稳，Ljung-Box检验表明存在显著自相关，强化了周期性建模的必要性。

• 确定22年周期的角频率$\omega$近似为0.00078弧度/天，成为模型时间变动均值回复速率的核心参数。 [page::4]

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2.5 模型与方法（第5-7页）

标准HW模型解构（5.1节）:

• 标准HW模型中短利率$rt$服从均值回复扩散过程：

$$ drt = \kappa (\theta - rt) dt + \sigma dWt, $$
其中$\kappa$为常数均值回复速率，$\theta$是长期均值，$\sigma$是波动率；

• 利用PDE和假设解形式$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)rt}$推导出解析表达式，$B(t,T)$及$A(t,T)$的公式推导详细且经典，便于快速计算零息债券价格；

周期性HW模型扩展（5.2节）:

• 首次引入均值回复速率作正弦时间变动：

$$ \kappat = \kappa0 + A \sin(\omega t), $$
代入模型PDE后，$B(t,T)$满足非齐次变系数ODE，无法求得封闭表达式，但可通过积分因子形式表达并需数值计算；

• $A(t,T)$亦依赖于无法解析求解的$B(t,T)$，因此整体闭式解缺失；

- 使用蒙特卡洛模拟作为实际计算手段以实现债券定价的数值估计；

校准方法（5.3节）:

• 定义参数空间（$\kappa, \theta, \sigma$对照标准模型，$\kappa0, A, \omega, \theta, \sigma$对应周期性模型，其中$\omega$理论固定为0.00078），

- 利用Nelder-Mead单纯形算法进行无梯度优化迭代，试图以最小化模型售价与市场售价平方差实现参数最优匹配，

• 设定合理参数范围边界防止无效解，启用并行计算优化效率。

蒙特卡洛模拟细节（5.4节）:

• 离散时间步长$\Delta t = 0.05$年，路径数$N=200$，采用Euler-Maruyama方法模拟短利率过程，

- 利用蒙特卡洛估计贴现因子期望，兼鲁棒性与计算成本权衡；

• 算法经标准HW模型解析解对照验证，误差极低，说明模拟方法可信。 [page::5,6,7,8,9]

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2.6 结果分析（第6-16页）

周期性与季节性分析（6.1节）:

• 多期限利率序列呈现并非随机而具周期性趋势，短期波动大，长期趋势平滑，多个经济大事件影响明显；

- 自相关系数AFC显示截断滞后15个交易日内持久相关，长期周期相关性亦明显；

• 傅里叶变换明确不同期限对应不同主周期，长期债券的22年周期最为突出。[ Figures 1 & 2, Tables 1 & 2 ; page::9,10,11,12]

校准结果（6.3节）:

• 标准HW模型优化参数：$\kappa=0.3164, \theta=0.0258, \sigma=0.0087$，

- 周期性模型优化结果存在异常$\omega=6.4407$（对应约0.97天周期，明显偏离22年周期0.00078），暗示优化需约束$\omega$，

• 周期性HW模型RMSE 0.12%，标准HW 0.14%，周期性模型在长端拟合更好，尤其30年期误差减小；

- 可视化对比显示周期性模型收益率曲线更贴近真实数据，标准模型在长久期持有偏差。[page::11,12]

债券价格比较与误差分析（6.4-6.6节）:

• 周期性模型的蒙特卡洛债券价格更接近市场价格，特别是30年期（0.4864 vs 0.4926市场价），标准模型次之；

- 蒙特卡洛与解析解标准模型价格误差极小，验证模拟准确性；

• 周期性模型在20年期误差较大（0.20%），表明单一22年周期的正弦修正可能无法捕捉所有期限的复杂性；

- 模型均出现负利率现象，这是经典HW模型高斯特性所致，现实情况下存在局限；

• 短期模拟路径展现标凖HW模型均值回复，周期性模型呈现22年周期性波动。[Figures 3,4; Tables 3,4,5; page::12-16]

讨论与局限（第7章）：

• 周期性模型显著提升长端拟合精度，但中期复杂性未充分体现；

- 优化结果中角速度$\omega$异常，建议未来校准固定该参数；

• 振幅$A$调整空间较大，需考虑分段或随机化振幅以增强灵活性；

- 负利率问题限制实务应用，可考虑采用CIR模型或带移动下界的改进HW模型；

• 长期周期捕捉有助于政策制定及风险管理，模型可辅助理解宏观经济周期与利率结构关系；

- 建议未来引入随机周期参数、多因素模型和宏观变量以完善；

• 优化方法可尝试梯度法、模拟退火避免局部最优。 [page::16]

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2.7 结论（第8章）

总结:

• 成功将22年周期性融入HW模型，通过规范化正弦变化均值回复速度，首次实证验证了该构架对美债收益率的优越拟合效果；

- 校准覆盖33年，多周期经济环境，模型表现稳健，尤其体现在对30年期长期债券的拟合改进；

• 实现从均值回复速度角频率、振幅、长期均值和波动率的系统估计，利用蒙特卡洛和Nelder-Mead方法实现无梯度优化；

- 明确指出优化过程中$\omega$需固定为经验周期值以避免收敛至无意义局部极值；

• 讨论了模型在负利率环境的适用性限制及未来研究方向，包括周期性随机化、多因素引入及扩展应用于衍生品估值。

本研究为利率建模领域提供了理论与方法上的突破，具备较强实用价值与政策指导潜力。[page::17,18]

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3. 图表深度解读

图表1 （第10页）

描述:
包含8个期限（1、2、3、5、7、10、20、30年）的美国国债收益率时间序列及其自相关函数（ACF）图，展示1990至2022年日度数据。

解读:

• 收益率均呈逐年波动趋势，1990初期至2008年经历多个高峰后整体下滑至低利率区间；

- 长期期限波动更平滑，短期期限受政策变动影响更明显，显示出收益率期限结构特性；

• ACF显示大多数滞后期有显著正相关，尤其前15个滞后，说明收益率具备短期记忆效应且间接表明潜在周期性成分；

关联文本:
支持作者提出的收益率存在周期性且非平稳性质的论证基础。[page::10]

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图表2 （第11页）

描述:
各期限收益率傅里叶变换的幅值谱，展示其主要的频率成分。

解读:

• 明显主导频率对应周期包括3.7年，5.5年，11年及22年，且22年周期在长期期限收益率中最为显著；

- 短期期限侧重较短周期，长端周期透出宏观经济长周期影响；

• 该图视觉上揭示了利率周期结构，佐证正弦调节均值回复速率的有效性；

关联文本:
为模型中$\omega$的设定提供了实证依据，验证周期性的存在及周期长度。[page::11]

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表1 & 表2（第11-12页）

描述:

• 表1列示每期限对应的傅里叶分析主要周期（天数）；

- 表2列示各期限ADF单位根检验及Ljung-Box自相关检验p值结果。

解读:

• 期限越长，主周期越长，且与已知经济周期相符；

- ADF结果均未拒绝单位根假设，证明时间序列非平稳；

• Ljung-Box测试强烈拒绝无自相关假设，表明序列存在统计意义上的依赖结构；

关联文本:
强调模型需处理非平稳数据及周期性强相关结构，这也是传统恒定$\kappa$模型的缺陷。[page::11,12]

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图3 （第12页）

描述:
观察到的收益率与标准HW及周期性HW模型拟合曲线对比图。

解读:

• 周期性HW模型（绿线）在长端更吻合市场数据，特别是30年期附近；

- 标准模型（蓝线）长端偏高，表明未完整解释长期周期性；

• 全局趋势均较好匹配，短端差异较小。

关联文本:
具象化模型优越性的视觉证据，印证RMSE的定量优势。[page::12]

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表3-5及图4（第13-16页）

描述:

• 表3详细展示各期限债券的观测价格、解析及蒙特卡洛HW模型价格、周期HW模型价格对比；

- 表4/5为两模型对应的收益率拟合误差表；

• 图4综合展示债券价格比较、误差曲线及100条30年期短率模拟路径。

解读:

• 债券价格层面，周期性模型在长期债券价格上较其他模型更接近市场，表明周期性调节提高估价精度；

- 标准模型蒙特卡洛与解析价格误差极小，验证数值模拟有效；

• 优化误差显示周期模型在20年期表现欠佳，可能源于固定周期限制；

- 短率路径展现周期HW模型明显周期性循环，贴合长期周期经济论断，但均出现负利率情况显示模型局限。

关联文本:
总结模型优缺点及对实际债券估价与风险管理的适用性讨论的关键实证数据及模型表现。[page::13-16]

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4. 估值方法分析

• 标准HW模型采用解析解法基于PDE和假设的指数型解结构，利用ODE求解表达式$A(t,T)$和$B(t,T)$，提供零息债券闭式估值；

- 周期性模型由于均值回复速度时间依赖且为正弦函数导致ODE无显式解，仅能使用数值方法归约，借助Monte Carlo模拟估计短利率路径，并计算折现因子期望实现估价；

• 校准旨在最小化模型估值与现场观察债券价格间的平方误差，优化参数涵盖均值回复基线、振幅、波动率及长期均值，频率$\omega$理论固定但实操尚有争议；

- Monte Carlo模拟使用Euler-Maruyama离散，路径数及时间步长权衡精准与耗时，验证中误差维持在0.005内具备合理可信度。

此估值策略突出通过数值方法克服解析不可行性，同时保持对经典模型的兼容性验证。 [page::5-9]

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5. 风险因素评估

• 负利率问题:

经典HW模型允许短利率负值，蒙特卡洛模拟证实负利率存在可能，违背市场实际及货币政策环境，这给模型实用性和风险评估带来边际挑战；

• 参数估计不确定性:

优化中，$\omega$出现偏移至不合理周期（约1天），需约束该参数以避免模型偏离真实周期，且振幅$A$固定值无法动态适应不同期限；

• 模型假设局限:

仅引入单一周期正弦函数限制了模型对多周期、多因素复杂经济状态的表达，可能导致中期限拟合误差放大；

• 计算复杂性:

周期性模型数值模拟需求高，限制实时应用及多场景分析；

• 未来改进空间:

建议引入正值约束模型（如CIR），周期参数的随机化调整，多因素经济变量纳入，并采用更加先进的校准算法以减少本轮$\omega$异常。 [page::16]

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6. 批判性视角与细微差别

• $\omega$校准偏差的潜在影响:

该错误显著影响模型结构与周期性表现，应视作当前版本中最关键的技术瑕疵。未在参数空间中有效约束导致参数发散；

• 模型单一周期性表达的不足:

固定频率正弦函数可能忽略经济周期的非定频率与非均值性，影响模型对不同期限或经济状态的适应性；

• 负利率现象与经济现实脱节:

正视HW固有的缺陷，现实环境下负利率虽出现，但持续时间及频率较低，更合适的模型应能自然避免或调节负值；

• 拟合中期误差与宏观因素缺失的联系:

模型未纳入宏观信息，可能导致参数估计及收益率拟合的不足，提醒未来引入更复杂的因素；

• 相对适用性:

虽然周期性模型在长期债券上表现良好，但短中期限差异提醒使用者在不同应用场景审慎评估模型适用性。

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7. 结论性综合

本研究系统展现了基于正弦函数时间变动均值回复速度的Hull-White模型（Sinusoidal HW）的理论构建、数学推导、实证验证及校准流程，充分挖掘了美国国债收益率长期周期性特征，具体结论如下：

• 周期性特征的确认与利用:

通过傅里叶分析发现显著的22年及其他周期性，实证展示了周期性是影响长期利率结构的重要变量，填补了传统恒定$\kappa$建模的空白；

• 模型创新:

将时间依赖且周期振荡的均值回复速度引入HW模型，虽然放弃了解析解，因其在直观性和经济含义上的优越性，以及可通过蒙特卡洛稳定估计债券价格；

• 实证校准及表现:

使用33年日度数据，基于Nelder-Mead优化和蒙特卡洛模拟，获得优于标准HW模型的拟合效果，尤其体现在长端30年期债券的定价误差显著减少；

• 政策与实务意义:

模型有助于金融机构更准确度量长期利率风险，辅助债券和衍生品定价，此外周期性视角对政策分析和宏观经济周期洞见亦有启发；

• 局限与改进方向:

校准过程中发现的周期频率偏差及负利率模拟限制等表明需要进一步参数约束与模型架构改良，建议未来结合正值保证模型、随机周期性质、多因素动态及更高效的校准算法；

• 最终展望:

该周期性Hull-White模型为固定收益资产建模提供了理论与实证基础，成为长周期利率分析的重要工具。其完善与推广将极大助力固定收益市场风险管理与政策研究。

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图表汇总展示（markdown格式）

• 图1:

美国国债不同期限收益率时间序列及其自相关函数（ACF）分析。

• 图2:

多期限美国国债收益率傅里叶变换幅频谱，突出周期性成分。

• 图3:

观测收益率与标准及周期性Hull-White模型拟合收益率对比。

• 图4:

债券价格拟合、误差曲线及100条30年模拟路径（两模型对比）。

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参考文献溯源标记

上述分析中所有结论和数据均摘自文中明确页码，按照要求引用，例如参数校准详情见[page::11,12]、模型数学推导详见[page::4-7]、模拟路径及误差分析见[page::13-16]等。

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总结

本报告精确揭示了美国国债期限结构中长期周期性的实证意义，并通过数学创新将周期性引入Hull-White短利率模型，采用科学的校准与数值模拟方法，展现了模型在长期债券定价上的优异表现和潜在的风险管理价值。尽管目前存在参数约束和模型本质缺陷的不足，该研究奠定了以周期性动态为核心的利率建模新方向，对未来的学术和实务工作具有重要指导意义。

报告