研究背景及模型框架 [page::0][page::1]

• 传统再保险市场模型以博弈论和一般均衡理论为基础，存在个体理性与合作理性不足的问题。

- 本文模型包含多个保险公司（需求方）和多个再保险公司（供给方），双方均采用Choquet风险度量刻画风险偏好。

• 采用顺序博弈结构，再保险人拥有先手优势，通过非线性Choquet积分定价规则设置保险费率。

子博弈完美纳什均衡（SPNE）的定义与刻画 [page::5][page::6][page::7]

• SPNE定义为所有参与者在每个子博弈中的纳什均衡，涉及再保险人的定价策略和保险人的索赔策略。

- 通过后向归纳法，先确定保险人的最优合同结构，再确定再保险人的最优定价容量。

• 提出边际赔付函数法表述各保险人的最优合同，并引入慷慨分配原则简化合同选择。

两类特殊情况的SPNE明确结果 [page::10][page::11]

• 风险中性再保险人：风险测度退化为期望，使合同定价与风险分担易于评价。

- 初始风险共单调：假设多保险人风险严重相关，再保险人的风险测度加法性使SPNE特征明确。

• 两者下，均证明任意慷慨分配策略与特定定价容量策略构成SPNE。

Pareto最优性及均衡效率 [page::11][page::12]

• SPNE策略诱导的风险分摊分配均为个体理性且Pareto最优。

- 个体理性表现为参与市场后风险测度不增大；Pareto最优体现无其他策略能让所有市场参与者至少不差且至少一方收益提升。

数值例证：垄断vs多再保险人市场比较 [page::14][page::15][page::16]

• 垄断情形（单一再保险人）下，保险人福利未获提升，且其风险测度与无保险状态持平，消费者剩余被完全转移。

- 双再保险人市场中，引入供给侧价格竞争，保险人获得显著的风险测度下降和福利提升。

• 通过绘制风险测度函数（图2）、边际赔付结构（图3）及详细数值（表2）展示市场结构变化对参与者的影响。

| 参与方 | 状态 | 单再保险人 | 双再保险人 | 裕度提升 |
|--------|--------------|--------|--------|--------|
| 保险人1 | 初始风险 | 1.1009 | 1.1009 | — |
| | 转移后风险 | 1.1009 | 0.5458 | 0.5551 |
| 保险人2 | 初始风险 | 1.3319 | 1.3319 | — |
| | 转移后风险 | 1.3319 | 0.5474 | 0.7845 |
| 保险人3 | 初始风险 | 1.8684 | 1.8684 | — |
| | 转移后风险 | 1.8684 | 0.5480 | 1.3204 |
| 再保险人1 | 转移后风险 | -2.9334 | -0.2734 | — |
| 再保险人2 | 转移后风险 | — | -0.0010 | — |

研究结论 [page::17]

• 本文提出的SPNE扩展了已有垄断再保险模型，适用于多供多需的再保险市场。

- SPNE在风险中性与共单调条件下存在且独特，并且保证Pareto最优。

• 多再保险人市场通过竞争显著提升保险人福利，缓解垄断问题，显示供给侧竞争的重要经济价值。

研究报告分析报告

报告标题：《大型再保险市场中的子博弈完美纳什均衡》（Subgame Perfect Nash Equilibria in Large Reinsurance Markets）
作者： Maria Andraos, Mario Ghossoub, Michael B. Zhu
发布机构与地点： 加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）
发布日期： 2025年6月10日
研究主题： 建立多保险公司与多再保险公司参与的再保险市场模型，研究子博弈完美纳什均衡（SPNE）的存在性、性质及帕累托效率，拓展并统一了当前再保险市场均衡理论。

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一、报告概览

本报告提出了一个包含多个保险公司作需求方和多个再保险公司作供给方的市场模型，双方均采用以Choquet风险测度为偏好表示的非线性风险度量方式。价格采用通过Choquet积分定义的非线性定价规则。市场被构造为一个序贯博弈，假设再保险公司拥有先行动优势。主要成果在于：

• 通过逆向归纳方法，刻画了该模型中SPNE的存在与形式。

- 针对风险中性的再保险公司和初始风险完全同调这两个重要特例，明确给出了SPNE的具体特征。

• 证明了SPNE所对应的合同具有个体理性并且是帕累托最优的。

- 通过数值例子展示，随着再保险公司数量增加，市场竞争诱发了保险公司福利的严格提升，缓解了垄断市场下消费者剩余被再保险公司完全吸纳的缺陷。

总结而言，报告明确表明子博弈完美纳什均衡是重保险市场中考虑策略互动和多参与者结构下更为合适的均衡概念，为再保险市场设计提供了具有推广意义的数学基础和经济洞察。

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二、章节详解

2.1 引言

报告回顾了再保险市场均衡模型的发展路程，从经典的风险交换经济到合作博弈的核心理论，再到非合作博弈模型中的Stackelberg均衡，逐步揭示了风险交换协议的最优性定义及其局限性。特别指出，之前对多参与者市场的研究多局限于双方或垄断市场，缺少同时包含多保险人和多再保险人的综合动态视角。

作者的创新就是构建并研究了一个多保险人、多再保险人、基于Choquet风险测度的非线性定价、先动者先行的动态多阶段市场模型，统一并扩展了相关已有研究。

2.2 市场结构与模型建立（第2节）

2.2.1 再保险合同结构

• 每个保险人 $i$ 的初始随机损失被表示为 $Xi$ ，为有界的随机变量。

- 再保险公司 $j$ 向保险人提供赔偿函数 $I{ij}$，对应的保险費用为 $\pi{ij}$。

• 保险人风险暴露经重新分配变为：

$$Xi - \sum{j=1}^m I{ij}(Xi) + \sum{j=1}^m \pi{ij}$$

• 再保险公司风险暴露为：

$$\sum{i=1}^n ((1+\thetaj) I{ij}(Xi) - \pi{ij})$$
其中，$\thetaj$ 是代表其成本负担的加载系数。

• 赔偿函数必须满足“1-利普希茨”和“非破坏性”条件（Assumption 2.1），该假设防止了重复赔偿同一风险，体现再保险的递增购买逻辑，形式上要求这些函数是非递减且$|f(x)-f(y)|\le |x-y|$。该递增结构确保赔偿的合理性及可行性。

2.2.2 偏好与风险度量

• 两种参与者（保险人及再保险人）的风险偏好均通过Choquet风险测度表示。

- Choquet风险测度是基于容量（集合函数）$\nu$构建的非线性期望，具有单调性、正齐次、平移不变及同调可加性等性质。

• 保险人和再保险人的风险测度分别为：

$$\rhoi^{In}(X) = \int X d\alphai, \quad \rhoj^{Re}(X) = \int X d\tauj$$
其中，$\alphai$和$\tauj$均为容量函数。

• 这种非线性风险测度能够反映传统期望效用框架之外的风险厌恶或态度差异，更为灵活。

2.2.3 市场博弈结构与均衡定义

• 市场视为序贯博弈：再保险人先设定价格策略（由多个容量函数组成的“定价容量向量”$\pmb{\nu}j$体现），然后保险人根据价格做出最优赔偿选择策略。

- 保险人的动作：观察各再保险人的收费容量$\nu{ij}$，对应于价格，选择赔偿函数满足约束（在$\mathcal{Z}i$中），以最小化其风险测度加支付保费的总成本。

• 再保险人的动作：观察保险人的总体需求（赔偿函数决策的函数），设定定价容量期望最小化其风险暴露。

- 引入的均衡概念：
- 纳什均衡（NE） — 无参与者单方面偏离有利。
- 子博弈完美纳什均衡（SPNE） — 在所有子博弈中均为纳什均衡，尤其要求保险人对任意价格组合均无改动激励，体现更强的稳定性/合理性。比NE更精细，适合序贯结构的策略分析。

• SPNE的定义保证了策略在博弈树的每个节点（价格决策之后）彼此最优，是本研究重点寻求的均衡。

3. SPNE的刻画与分析（第3节）

3.1 逆向归纳（Lemma 3.1）

• SPNE的求解通过逆向归纳完成，首先给定再保险公司价格策略，保险公司选择最优赔偿响应；由此定价策略形成一个再保险人的博弈，求其纳什均衡。

- 该过程有效分离两阶段最优化问题，使得整体均衡问题具备可分析性。

3.2 保险人最优赔偿结构（Proposition 3.2）

• 给定价格向量，保险人的最优赔偿函数可由其导数（边际赔偿函数）$\gamma{ij}^(z)$刻画，值域在[0,1]，代表赔偿“边际比例”。

- 保险人只愿意从提供最低价格的再保险人处购买赔偿份额，即边际赔偿函数仅在对应的最低定价集合中非零，满足下列条件：
- 当保险人边际风险度量$\alphai(Xi > z)$高于最低价格时，赔偿边际为1；
- 等价时，允许部分赔偿分配（$Hi(z)$）；
- 低于最低价格时赔偿边际为0。

• 赔偿结构的非唯一性体现在可能多个再保险人同时提供最低价的市场环境中。

3.3 慷慨的分配（Generous Distribution，Definition 3.3）

• 为方便分析，研究限制于“慷慨分配”的赔偿结构，即概率质量不会集中于单一提供最低价的再保险人，从而避免极端孤立解，保证均衡稳定性。

3.4 再保险人策略的分类（Definition 3.5和3.6）

• 引入再保险人价格策略集合$\beth$，约束最低价格等于保险人的“第二低真实偏好”$\bar{\tau}i$，并且至少有两个再保险人提供该价格。

- 这保证价格竞争的存在，避免垄断定价，促进市场活跃度。

3.5 两个特例的SPNE刻画

• 风险中性再保险人（Theorem 3.7）

- 再保险人风险测度退化为期望（概率测度）。
- SPNE策略对从$\beth$和$\aleph$中组成的策略组合皆成立。

• 初始风险为同调变量（Theorem 3.8）

- 假设保险人初始风险随机变量完全同调（即最极端的相关性）。
- 由Choquet风险测度的同调可加性性质，可归约为风险中性类情况，保证SPNE存在和结构。

• 这种两极案例涵盖了文献典型假设，展示本模型的广泛适用性。

3.6 SPNE与帕累托效率（Pareto Optimality，Proposition 3.11和Theorem 3.12）

• 在上述特例下，SPNE策略所导出的赔偿合同均为个体理性且帕累托最优。

- 帕累托最优条件具体表现为：边际赔偿函数集中于拥有最低真实风险偏好$\tau{i,j}$的再保险公司，并且保证所有参与者风险不劣于无交易状态。

• 证明通过将多保险人的问题分解为单一保险人与多再保险人的子问题，借鉴已有文献结果完成。

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三、图表与数值解读

图1（第14页）——单一再保险人的Stackelberg均衡的最优赔偿结构

• 显示三个保险人的赔偿函数$ I{1}^, I{2}^, I{3}^ $均近似为线性增加，且赔偿门槛高（未给出明显的风险转移区间），保险公司风险转移效果不显著。

- 结合表1可见，保险人在支出保费后风险（风险度量）未能降低，与初始风险保持一致，体现了垄断下的无福利改进，消费者剩余被再保险人完全吸纳（确认作者论述）。

表1（第15页）——单再保险人市场下风险与保费

| 参与方 | 初始风险 | 付出保费 | 转移后风险 |
|---------|---------|----------|------------|
| 保险人1 | 1.1009 | 1.0449 | 1.1009 |
| 保险人2 | 1.3319 | 1.2760 | 1.3319 |
| 保险人3 | 1.8684 | 1.8125 | 1.8684 |
| 再保险人 | 0 | — | -2.9334 |

• 保费接近风险度量，导致保险无实际风险改善，反映垄断市场效率低下。

图2（第15页）——多个再保险人（$m=2$）市场的生存概率与第二低真实偏好曲线

• 左图（2a）显示保险人的风险度量函数$\alphai$（蓝、红、黑线）与两个再保险公司的风险偏好$\tauj$（绿、橙线）随风险水平的变化趋势，示意风险的尾部概率递减。

- 右图（2b）展示第二低真实偏好$\bar{\tau}i$随风险水平变化，呈快速下降趋势，多重再保险人价格竞争导致较低价格形成。

图3（第16页）——两个再保险人供给下的最优赔偿结构

• 显示每个保险人的赔偿分别被两个再保险公司分摊。蓝线为第一再保险人赔偿，红线为第二再保险人赔偿，黑色为保险公司自留风险。

- 可见赔偿分配更加细致，保险公司自留风险降低，风险转移更为有效。

表2（第16页）——一再保险人vs两再保险人市场的比较

| 参与方 | 指标 | 单一再保险人 | 两再保险人 |
|---------|------|--------------|------------|
| 保险人1 | 初始风险 | 1.1009 | 1.1009 |
| | 转移后风险 | 1.1009 | 0.5458 |
| | 福利增益 | 0 | 0.5551 |
| 保险人2 | 初始风险 | 1.3319 | 1.3319 |
| | 转移后风险 | 1.3319 | 0.5474 |
| | 福利增益 | 0 | 0.7845 |
| 保险人3 | 初始风险 | 1.8684 | 1.8684 |
| | 转移后风险 | 1.8684 | 0.5480 |
| | 福利增益 | 0 | 1.3204 |
| 再保险人1 | 转移后风险 | -2.9334 | -0.2734 |
| | 福利增益 | 2.9334 | 0.2734 |
| 再保险人2 | 转移后风险 | — | -0.0010 |
| | 福利增益 | — | 0.0010 |

• 明确展示竞争带来保险公司福利改善（风险下降），减少了保险人的风险暴露，体现了竞争对消费者的积极作用。

- 再保险公司分散风险和利润，防止单一再保险人垄断溢价抽取。

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四、估值分析

报告不涉及传统的资产估值分析，而是侧重于风险分配和定价的策略均衡分析。风险测度和需求函数均由Choquet积分定义，体现非线性、非期望效用的风险态度。
定价机制基于满足理性无套利的容量函数定价，价格策略$\pmb{\nu}_j$反映了再保险人对尾部风险的加权预期。

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五、风险因素评估

报告未专门列出宏观风险，但模型中隐含的关键风险因素包括：

• 市场风险定价假设风险： 再保险人和保险人对风险的容量与偏好假设可能不完全准确，影响均衡解的有效性。

- 独立性假设与同调风险假设： 依赖初始风险的联合分布结构假设（如完全同调）是理论上简化，实际风险相关性更复杂，可能导致模型适用性受限。

• 信息和定价能力差异风险： 参与者对风险的主观持有不同，对定价容量的理解不一，影响市场稳定性。

- 策略简约化风险： “慷慨分配”假设和无套利条件限制了策略空间，可能忽略某些极端策略的可能性。

报告利用理想化假设部分规避了上述风险，并在两类极端假设场景下得出结论。缓解方案是适用更灵活的风险测度和考虑不同依赖结构，但不在本文讨论范围。

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六、批判性视角与细微差别

• 模型的优势在于将多参与者、多阶段的再保险市场规范化为数学清晰的序贯博弈框架，扩展了现有两方博弈模型的理解。

- 采用Choquet积分和容量函数体现异质性风险观，是理论与实际风险观念的有效结合。

• 但假设市场完全理性且参与者首动优势固定，忽视了可能的动态多均衡、多重SPNE存在的复杂性。

- 定价容量的选取和“慷慨分配”策略为核心技术假设，合理但限制了承担风险的合同空间，可能遗漏非标准风险转移形式。

• 数值示例虽有效体现竞争效应，但参数取值有限制，真实市场的风险分布、加载因子和冲击关联可能更复杂。

- 对于非风险中性再保险人和非同调风险情况下SPNE的存在性未详细探讨，留待未来研究。

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七、结论性综合

本研究成功搭建了一个统一的大型多参与者再保险市场模型，用于探讨在先动的再保险人和接受多样化赔偿结构的保险人之间的策略互动。通过采用Choquet风险测度，模型在充分考虑风险态度异质性和非期望效用情况下，定义并推导了子博弈完美纳什均衡（SPNE）。核心成果包括：

• 逆向归纳法刻画SPNE，完成了真实市场中复杂策略空间的分步求解。

- 在风险中性和完全同调初始风险情形下，明确证明SPNE存在，并且所有SPNE均对应帕累托最优的风险分配合约。

• 通过数值案例，清晰展示多再保险人市场价格竞争带来的福利增益，解决了单一再保险人垄断市场中保险消费者福利被剥夺的经典问题。

从图表和数据中，我们观察到单再保险人垄断市场下，保险人支付高额保费但风险得不到有效降低；而引入额外再保险人后，保险风险显著降低，福利明显提升，且再保险人收益表现多样，体现合理市场竞争格局的经济学意义。

本报告不仅从理论上丰富了再保险市场风险分配与价格形成的策略博弈分析，也为市场设计与监管提供了定量基础，具有重要的理论经济学和精算应用价值。

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图表引用

• 图1：单一再保险人的最优赔偿函数示意图

• 图2：（A）保险人及再保险人的生存概率曲线；（B）第二低真实偏好曲线

• 图3：两个再保险人市场中的各保险人最优赔偿函数

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溯源标注

本文分析依据完整报告内容，重点页码为0-17（理论模型及数值分析主文）、14-16（数值图表）、18-23（证明细节），所有观点均基于报告内容严谨梳理并带有相应页码标注示范，例如玩法第14页图1处为[page::14]，[page::15][page::16]等。

报告