论文核心方法与框架概述 [page::0][page::2][page::3]

• 提出一个基于signature的混合定价框架，动态估计并预测波动率粗糙度（Hurst参数H(t)），实现波动率粗糙度时间变化的模型适配。

- 使用XGBoost集成树模型，通过滚动窗口的历史波动率数据多步预测未来Hurst路径。

• 根据Hurst预测均值，动态切换粗糙Bergomi模型（H<0.5）和较为平滑的Heston模型（H≥0.5）进行模拟，实现波动率模型的自适应选择。

- 利用Random Fourier Features（RFF）技术对signature核函数进行近似，显著提升核计算的效率，支持处理较长波动率路径数据。

量化模型实现细节与计算优化 [page::4][page::6][page::9]

• 具体的Hurst参数滚动估计采用简化的重标度-范围(R/S)方法，基于32天窗口的log return计算。

- XGBoost多步预测模型以最近5个历史Hurst值为输入，训练生成未来多个交易日的粗糙度序列。

• 粗糙Bergomi模型在高粗糙度状态下模拟资产价格路径，内核权重动态调节以反映时间变化粗糙度。

- 平滑Heston模型在低粗糙度环境适用，传统的均值回复方差过程简化计算。

• Signature降维采用截断三阶路径signature，结合RFF将核计算复杂度从平方级降至线性，适合CPU环境下大规模蒙特卡洛模拟。

模型回测与实证分析 [page::12][page::13]

• 对AAPL和META两只S&P 500成分股10天期权进行预测与定价测试。

- Hurst预测准确度以均绝对误差和均方误差衡量，分别为AAPL（MAE=0.0716，MSE=0.0082，选用Heston）与META（MAE=0.0594，MSE=0.0060，选用粗糙Bergomi）。

• 通过四种signature回归方法估算期权价值界限，结果显示深度核方法（Deep Kernel）实现最窄的双重差距，AAPL定价指标表现优于META。

- 双重差距（Duality Gap）显著缩小，尤其是对AAPL深度核模型的17.16%差距，使估值更贴近市场溢价，提升了实用性。

方法优势与局限性 [page::9][page::11]

• 结合动态粗糙度估计与双引擎模拟，避免了静态模型的适应性不足，增强定价的市场适应性。

- 通过RFF降低核函数计算成本，平衡精度与效率，支持标的资产的实盘级定价。

• 局限包括粗糙度估计存在噪声，切换阈值敏感；浅层Heston拟合忽略波动率微笑等复杂结构；计算资源限制使得签名深度与模拟规模有限，双重差距仍有提升空间。

- 未来优化方向包括改进粗糙度估计方法、丰富参数校准、增加模拟速度及提升优化稳定性。

深度分析报告：American Option Pricing Under Time-Varying Rough Volatility - Signature-Based Hybrid Framework

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1. 元数据与报告概览

• 标题：American Option Pricing Under Time-Varying Rough Volatility: A Signature-Based Hybrid Framework

- 作者及机构：Roshan Shah，北卡罗莱纳大学教堂山分校（University of North Carolina at Chapel Hill）

• 发布时间：2025年（本文中引用文献截止2025年，推测研究时间约在2024-2025年）

- 主题：美国期权定价模型研究，重点关注波动率的时变粗糙性，利用路径特征签名（signature）方法与机器学习预测结合，实现动态模型切换与计算加速。

核心论点与贡献：
本文基于Bayer等人（2025）提出的signature pricing框架，引入三项创新：

1. 利用梯度提升树（XGBoost）模型在滚动窗口提取市场波动率数据，预测动态的Hurst参数关键指标\(H(t)\)，反映波动率粗糙性的变化。

2. 基于预测\(\bar{H}t\)（未来一段时间的平均Hurst参数）实现粗糙Bergomi模型与经典Heston模型的动态切换，即在粗糙性低于0.5时启用粗糙Bergomi模型，反之切换至Heston模型。

1. 使用随机傅里叶特征（Random Fourier Features, RFF）近似signature核，极大加速了内积计算，降低了计算复杂度，将其从原先二次复杂度减少到线性。

这种混合框架动态适应波动率结构的时变粗糙性，优化了传统固定粗糙参数模型的不足，提升了美国期权定价的准确性和计算效率，特别适合动态和非平稳的市场环境。[page::0,1,2]

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2. 逐节深度解读

2.1 摘要和引言

• 关键点：美国期权因允许在到期前任意时点行权，其定价本质上涉及最优停时（optimal stopping）问题，依赖整个价格路径信息（非单点收益）。

- 定价公式：
\[
Vt = \sup{\tau \in \mathcal{T}{t,T}} \mathbb{E}^\mathbb{Q} [ e^{-r(\tau - t)} \phi(S\tau) | \mathcal{F}t ]
\]
其中，\(\phi\)为期权行权函数，\(\mathbb{Q}\)为风险中性概率测度，\(r\)为无风险利率，\(\mathcal{F}t\)为信息集。

• 问题背景：经典Black-Scholes框架假定常数波动率与无记忆的价格过程，与市场实证的波动率群聚效应、长程依赖等现象不符。粗糙波动率理论（Hurst参数<0.5）提供了结构描述，但固定参数模型无法捕捉波动率粗糙性随时间变化的现实。

- 本研究突破：结合粗糙波动率理论和路径签名技术，利用机器学习动态预测波动率粗糙度，并根据预测调整模型，解决固定粗糙度假设的局限。称此为“signature-based hybrid framework”[page::0,1]

2.2 相关方法与模块化架构

• Hurst参数估计与预测：

- 基于R/S统计方法计算32天滚动窗口的Hurst估计：
\[
Ht = \frac{\log2(Rt / St)}{\log2(32)}
\]
其中，\(Rt\)为区间内累积收益波动范围，\(St\)为标准差。
- 多步预测利用XGBoost训练针对未来每一天\((t+1, \ldots, t+\tau)\)的Hurst值函数\(fh(\cdot)\)，输入为近期5个已知Hurst参数。预测路径均值\(\bar{H}t\)用来判定模拟模型选择。

• 波动率引擎：

- 若\(\bar{H}t < 0.5\)，使用粗糙Bergomi模型，波动率的积分核参数动态根据预测的\(\widehat{H}t\)调节。
- 若\(\bar{H}t \geq 0.5\)，则切换至基于均值回复的Heston模型，适合更平滑的波动率路径。

• 签名回归与内核近似：

- 路径通过截断签名（degree=3, level=3）转化为高维特征向量。
- 利用随机傅里叶特征（RFF），有效近似高维RBF核，将计算成本由传统的\(\mathcal{O}(m)\)(签名维度)降至\(\mathcal{O}(D)\)(随机特征维度，文中取D=128)。
- 该设计平衡了拟合能力与执行效率，使得长路径上大规模仿真成为可能。

• 价格界与双重间隙：

以Bayer, Pelizzari和Zhu (2025)提出的原始-对偶框架为基础，使用路径签名构造线性与非线性估计器，计算期权的上下估价界，实现最优停止问题的数值求解。
- 通过不同回归方法（线性签名、扩展签名、深度对数签名、深度核方法）对结果进行比较。
- 深度核方法（RFF+核岭回归）对双重间隙（duality gap）的缩小效果最佳。
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2.3 估值方法详述

• 粗糙Bergomi模型（适合\(H < 0.5\)）：

\[
dXs = r Xs ds + Xs \sqrt{vs} (\rho dWs + \sqrt{1-\rho^2} dBs)
\]
\[
vs = \xi0 \exp \left( \eta \int0^s (s-u)^{\widehat{H}u - 1/2} dWu - \frac{1}{2} \eta^2 s^{2\widehat{H}t} \right)
\]
其中，\(\xi0\)为初始方差（以ATM隐含波动率平方替代），\(\eta\)控制波动率波动性，积分核的指数动态调整以适应预测粗糙度。此设计既保证了粗糙路径行为，又简化了模型归一化处理。

• Heston模型（适合\(\bar{H}t \geq 0.5\)）：

\[
dvs = \kappa(\theta - vs) ds + \eta \sqrt{vs} dWs
\]
\[
dXs = r Xs ds + Xs \sqrt{vs} (\rho dWs + \sqrt{1-\rho^2} dBs)
\]
参数\(\kappa\)为均值回复速度，\(\theta\)为长期均值方差，\(\eta\)为vol-of-vol，\(\rho\)为资产价格和波动率驱动的相关系数。该模型更适合市场环境波动率平滑时期。

• 参数标定：

- 利用历史收盘价和每日ATM期权隐含波动率建立相关参数，动态调整\(\rho,\eta,\xi0\)，依赖每日数据更新，提升拟合市场的灵活性。

• 模型切换机制：

- 平均预测Hurst值阈值为0.5，为粗糙和平滑波动率两种模型的分界线。此设计基于经验资料和文献实证。
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2.4 计算效率与数值方法

• 签名核计算加速：

- 原始signature核属于非线性高维度核方法，计算和存储成本极高，随着样本数与签名维度增长至少呈二次方增长。
- 采用RFF方法将核转化为显式的低维特征映射，内积计算转为简单矩阵乘法，显著提升运算速度，允许较大规模模拟。
- 该处理保留了RBF核的非线性能力同时增强扩展性。

• 多种回归模型比较：

- 包括线性签名、扩展线性签名（含平方项）、深度学习伴随的log-signature，以及深度核岭回归（RFF+核岭回归），后者在缩小价格上下界的双重间隙表现最好，在准确性和效率间达到理想权衡。
- 深度log-signature虽复杂，但存在优化不稳定性，反而可能导致估价的上界被高估。
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2.5 实证分析

• 数据来源：2023年8月31日标的AAPL和META的10日到期期权，数据来自OptionMetrics数据库。

- Hurst参数预测误差：
- AAPL（标的：Apple）平均绝对误差（MAE）约0.0716，平方误差（MSE）0.0082，预测\(\bar{H}t > 0.5\)，选择Heston模型。
- META（标的：Meta）MAE略小0.0594，MSE 0.006，预测\(\bar{H}t < 0.5\)，选择粗糙Bergomi模型。

• 价格区间与双重间隙：

- AAPL美式期权市场溢价2.08美元。线性模型均高估，深度模型结果覆盖实际价格，其中深度核方法的间隙最小（17.16%）。
- META期权市场溢价5.61美元，所有模型均高估，只有深度核方法包含实际价格，但双重间隙较大（51.42%），表明模型在波动率偏斜或粗糙度误判环境仍面临挑战。

• 总结：深度核方法表现最佳，验证了RFF加速策略和动态粗糙度调整的实用潜力，同时表现出参数标定与特征设计仍有改进空间。

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2.6 代码与研究开放性

• 提供了完整的开源代码仓库，覆盖从波动率估计、Hurst预测、双模型仿真、路径签名提取，到primal-dual定价流程，增强了研究复现性和延展性。

- 数据源涵盖标的历史价格及期权市场数据，支撑实盘验证。

• 设计支持模块化替换，如可替代Heston模型、采用其他粗糙度估计或机器学习方法，便于未来迭代。

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3. 图表与表格深度解读

表1：Hurst-Forecast Errors (MAE and MSE)及引擎选择

• 展示AAPL和META两标的的Hurst路径预测精度，数值表明MAE均在0.06至0.07间，表现相对稳定，动作响应灵敏。

- 作为动态切换基础，预测准确性对模型选择至关重要。

• AAPL预测均值0.5以上切换至Heston，META低于0.5采用粗糙Bergomi，体现市场环境分化。

| Ticker | Avg MAE (10天) | Avg MSE (10天) | Engine Selected |
|--------|----------------|----------------|------------------|
| AAPL | 0.0716 | 0.0082 | Heston |
| META | 0.0594 | 0.0060 | Rough Bergomi |

• 误差分析强调预测噪声对模型选择的敏感度，细微预测误差可能导致引擎误切换，影响定价效果。[page::12]

表2：定价上下界与双重间隙比较

• 对AAPL和META分别使用四种不同的回归模型进行定价界估算：

- 线性签名、扩展线性签名结果双重间隙较大，且定价普遍偏高，未覆盖市场溢价。
- 深度log-签名表现改善，上下界更接近且覆盖市场，但在META标的双重间隙高达84%，不稳定表现。
- 深度核方法（RFF+核岭回归）双重间隙最低，在AAPL与META都覆盖市场，表明更优的拟合与泛化能力。

| Ticker | Method | Lower Bound | Upper Bound | Std Error | Duality Gap | Gap (%) | Premium Status |
|--------|-------------------------|-------------|-------------|-----------|-------------|----------|----------------|
| AAPL | Linear Signature | $2.69 | $4.12 | $0.02 | $1.43 | 53.37% | Outside |
| | Extended Linear Signature| $2.68 | $4.08 | $0.02 | $1.40 | 52.29% | Outside |
| | Deep Log-Signature | $1.89 | $2.40 | $0.01 | $0.51 | 26.98% | Within |
| | Deep Kernel Method | $2.04 | $2.39 | $0.01 | $0.35 | 17.16% | Within |
| META | Linear Signature | $10.16 | $15.97 | $0.07 | $5.81 | 57.25% | Outside |
| | Extended Linear Signature| $10.15 | $15.95 | $0.07 | $5.80 | 57.16% | Outside |
| | Deep Log-Signature | $5.96 | $10.99 | $0.03 | $5.03 | 84.40% | Outside |
| | Deep Kernel Method | $5.29 | $8.01 | $0.03 | $2.72 | 51.42% | Within |

• 标准误差较小，模型估计数值稳定，模型风险与噪声主要来源于结构假设及粗糙度预测不确定性。

- 深度核方法明显提升定价拟合的精度和稳定性，是技术亮点之一。[page::13]

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4. 估值方法分析

• 估值方法：基于最优停止问题的primal-dual框架，结合路径签名特征进行Least-Squares蒙特卡洛回归来估计期权的继续价值（continuation value）。

- 签名回归采用多层次方法：简易线性回归到非线性核岭回归，后者依赖抽样核近似（RFF）替代高成本精确核。

• 关键输入假设：

- 模型依赖于Hurst参数动态预测来决定波动率引擎，因而假定Hurst预测准确性能够反映未来波动率粗糙水平。
- 标定参数实时根据市场ATM隐含波动率计算，假设该隐含波动率能够有效提炼市场即时波动率信息。
- Monte Carlo路径数（\(2^{15} \approx 32768\)）及签名截断度限制了理论最优界的逼近能力。

• 敏感性：

- Hurst预测误差直接影响模型切换，可能引发估价偏差。
- 目前浅层Heston模型无波动率阶次及完整微笑结构，限制远期期权及极端行情表达能力。
- RFF维数与签名深度的权衡影响准确性与计算效率。
整体方法兼顾理论完备性与计算可行性，但仍面临硬件和算法优化空间。[page::2,3,4,6,9,11]

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5. 风险因素与限制评估

• 粗糙度估计噪声：

- R/S方法易受短窗口数据噪声影响，误差会导致错误模型切换。文中特别提议设置门槛缓冲区（例如\( \bar{H}_t < 0.45 \)才启用rough Bergomi）以减少假切换，平衡响应速度和错误率。

• 模型标定简化：

- 只使用ATM期权隐含波动率忽视微笑、偏度及期限结构，可能导致定价偏差，特别在大事件如财报期间表现不足。

• 计算资源限制：

- 模拟路径和签名深度的限制影响价格上下界的收敛。理想情况下更多路径与更高阶签名可带来更紧价格界但计算开销巨大。

• 随机近似与算法稳定性：

- RFF引入估计方差，需选取适中\(D\)值权衡偏差与方差。
- 深度log-signature回归存在优化不稳定风险。

• 缓解策略：

- 研究建议未来可通过改进估计器（如多尺度/小波方法）、丰富标定参数（引入vol-of-vol模型）、增加计算预算，以及引入正则化策略改善模型稳健性。
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6. 批判性视角与细微差别

• 模型假设限制：

- 虽动态预测Hurst参数提升拟合灵活性，但预测模型依赖于历史数据质量，市场极端变化可能导致明显失真。
- 切换阈值0.5为经验值，实际条件可能无法简单二分引擎，存在模型选择“跳动”风险。

• 估计方法偏差：

- R/S方法虽简单高效，但非最优的粗糙度估计器，可能低估波动率深层结构，未来可考虑更精细估计。

• 性能验证限制：

- 实证部分仅展示两例，且路径数受限，难以充分验证模型深度适用性及准确度稳定性。

• 缺失风险及市场覆盖：

- 忽视波动率微笑、期限结构与极端尾部事件，限制了在复杂市场环境下的实用性。

• 强调的技术优势：

- 该研究避免了深度神经网络的大规模计算需求，降低部署门槛，适合CPU环境运行，在实践中极具吸引力。

• 潜在矛盾：

- 强调方法轻量快速，但同时承认模型参数与估计存在显著不确定性，反映方法仍处于研究验证初期，需要系统工程支持。
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7. 结论性综合

综上，Roshan Shah提出的《American Option Pricing Under Time-Varying Rough Volatility: A Signature-Based Hybrid Framework》为美国期权定价贡献了一种新颖且实用的算法框架。核心在于利用路径签名理论结合动态Hurst参数预测，实现粗糙波动率与经典均值回复波动率模型的灵活切换，提高了模型对市场不同波动率“粗糙”状态的适应能力。

• 技术创新点：

- 用XGBoost实现波动率粗糙度的时间序列多步预测。
- 基于动态预测的Hurst参数，实现粗糙Bergomi与Heston两模型的内核层面切换。
- 用随机傅里叶特征减低路径签名核的计算复杂度，令签名核实用性大幅提升。

• 实证结果：

- 两个实际标的期权案例显示，混合框架较传统固定粗糙模型更准确，特别是在调整粗糙度模型过程中显著缩小了定价上下界的差距。
- 深度核方法（RFF+核岭回归）表现最佳，显著缩小双重间隙，且高效稳定。
- 模型依赖于较高质量的Hurst参数预测和合理参数标定。

• 局限和未来方向：

- 方法依然受限于粗糙度估计误差、标定简化及计算资源限制。
- 预计通过改良估算方法、扩展标定范围、调整模拟规模，以及更稳健的非线性回归策略将进一步提升性能。
- 该框架具有模块化设计优势，易于升级替换任意组成部分，具备良好扩展潜力。

整体来看，该研究在理论与实践之间架起了一座桥梁，推动粗糙波动率理论在美国期权定价领域的应用进程。其动态适应市场粗糙度变化的能力及计算效率优化，标志着signature方法逐步成熟并具备实际工程化前景。[page::0-13]

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参考页码标注索引

所有结论与论述均源自报告对应页码，引用示例符号如下：
\[page::0\], \[page::3,4\], \[page::12,13\]

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附注

• 原文中所有公式、变量定义及符号均严格对应报告内容，确保技术和学术严谨。

- 复杂路径签名及粗糙波动率模型之核心概念已予以通俗且准确的解释。

• 详细表格数据和模型比较特征清晰，支撑实证和理论结论。

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（完）

报告