PB-ROE模型数学原理及线性关系 [page::3][page::4]

• Wilcox (1984)证明市净率（PB）与预期ROE存在线性关系，市净率的对数Ln(PB)与预期ROE呈正向线性关系。

- 以历史ROE作为预期ROE的替代，因ROE排名较为稳定，投资者期望回报率（k）越高则股票估值PB越低。

• 模型对决策投资期望提供理论基础。

PB-ROE模型行业及市值适用性分析 [page::5][page::6]

• 通过计算不同行业及市值分组的均方误差（MSE）评估模型拟合效果，MSE越小拟合越好。

- 发现行业细分越深入，PB-ROE模型适用性越强；小盘股拟合效果优于中盘股，中盘优于大盘股。

PB-ROE预期差选股方法介绍 [page::7]

• 对指定股票池中 Ln(PB)与预期ROE做线性回归，回归直线代表市场整体预期。

- 计算投资者自身ROE预期与市场回归线对应值的差异，差异越大代表“预期差”越显著。

• 预期差作为选股指标，预期差正向且较大股票作为买入标的。

预期ROE一致预期数据选股回测结果 [page::8][page::9][page::10]

| 年份 | 2010年 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年前10月 |
|-------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------------|
| 预期大盘组合收益 | -6.16% | -18.89% | 3.94% | -3.80% | 56.60% | 18.13% | -11.32% | 23.71% | -24.12% |
| 沪深300收益 | -12.51% | -25.01% | 7.55% | -7.65% | 51.66% | 5.58% | -11.28% | 21.78% | -21.76% |
| 超额收益 | 6.35% | 6.13% | -3.61% | 3.85% | 4.94% | 12.54% | -0.03% | 1.93% | -2.36% |

• 2010-2018年，大盘组合累计上涨17.20%，同期沪深300指数下跌11.80%；小盘组合涨幅达356.97%，远超中证500和中证1000指数。

- 小盘组合对基准指数的超额收益更明显且较为稳定，对中证1000表现尤为突出。

历史ROE数据选股回测结果与对比 [page::10][page::11][page::12]

| 年份 | 2010年 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年前10月 |
|-------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------|--------------|
| 历史大盘组合收益 | -14.58% | -20.28% | 7.13% | -1.84% | 61.14% | 14.97% | -8.61% | 30.99% | -21.66% |
| 沪深300收益 | -12.51% | -25.01% | 7.55% | -7.65% | 51.66% | 5.58% | -11.28% | 21.78% | -21.76% |
| 超额收益 | -2.06% | 4.73% | -0.42% | 5.81% | 9.48% | 9.38% | 2.68% | 9.22% | 0.09% |

• 使用历史ROE数据构建选股组合效果同样优良，小盘组合累计涨幅达447.35%，年胜率达100%。

- 说明历史ROE作为预期ROE的替代具有较好实用性，能够实现稳定超额收益。

结论综述

• PB-ROE估值模型基于坚实数学原理，适用性随行业细分和市值规模提升。

- 预期差选股策略以ROE预测偏离市场预期为核心信号，表现出强劲的回测绩效。

• 大盘和小盘股票组合均实现稳定超额收益，尤其小盘组合表现优异。

- 本方法适合量化投资流程中因子构建与多因子模型集成应用，并具备实际操作性。[page::8][page::12]

PB-ROE估值原理与预期差选股研究报告详尽分析

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1. 元数据与报告概览

• 报告标题： PB-ROE 估值原理与预期差选股

- 作者: 张立宁（证券分析师，申万宏源研究）

• 发布机构: 申万宏源证券有限公司研究所

- 发布日期: 2018年11月26日

• 研究主题: 探讨PB-ROE选股模型的数学原理、行业适用性及基于预期差的选股策略在A股市场的实证效果。

核心论点总结：
报告聚焦于近年来A股市场广泛关注的PB-ROE模型，补充了市场上对其理论基础及适用性的讨论不足。引用Wilcox(1984)的数学推导，阐释PB（市净率）与预期ROE（净资产回报率）之间的线性关系。基于该模型，报告提出了“预期差选股”策略——即当投资者对某股预期的ROE高于市场通过回归模型预期的ROE时，该股票可能具有投资价值。回测结果显示，这一方法在大盘股与小盘股上均有显著超额收益。作者建议基于细分行业运用该模型，以增强准确性和适用性。[page::0],[page::3],[page::4],[page::7],[page::8]

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2. 逐章深度解读

2.1 PB-ROE模型的数学原理

• 关键论点：

引用Wilcox(1984)对PB-ROE的数学关系推导，股价P和净资产B关联关系为P=B×(P/B)，通过微分和对等式变形，表达了股价变动率由净资产增长率（gB）、市净率变化率和分红收益率构成。忽略高阶项后，得出投资期望回报率\(k\)表达式涵盖分红、净资产增长与PB变化。建立了微分方程反映PB随时间变化并获得通解，最终在分红可忽略假设下，推导出了PB与预期ROE的指数函数关系。此关系说明PB与预期ROE正向变化，且其对数与预期ROE呈线性关系；同时，PB与期望回报率k（折现率）呈反向关系。在同一行业横向比较中，可用稳定的历史ROE作为预期ROE替代，便于实际操作。

• 关键数据及假设：

- PB波动被拆分为净资产变动与市净率波动。
- 忽略分红简化为r=gB，意味着净资产增长率等于预期ROE。
- 投资末期T假设PB趋近1，方便求解微分方程中的常数。
- 预期投资回报率k作为折现率的重要含义。

• 公式解析：

- 关键公式 \( \mathrm{Ln}(PB) = -k \cdot T + T \cdot r \)
- 该公式为投资起点时定义的PB与预期ROE的线性关系。

• 实际意义：

- 投资者给预期ROE高的股票赋予更高的PB估值。
- 投资期限T的解释为PB由大于1回落至1倍的时间，反映投资回收期。

本章节为PB-ROE模型提供了坚实的数学理论基础，是后续应用和策略形成的基础。[page::3],[page::4],[page::5]

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2.2 PB-ROE模型的行业适用性

• 关键论点：

模型假设中的参数投资期限(T)和期望收益率(k)在不同行业间存在显著差异。但基于PB与ROE的线性拟合程度，可以有效衡量模型在各行业或市值风格的适用性。作者引入均方误差(MSE)作为拟合优劣的定量指标，MSE越小模型拟合效果越好。

• 具体方法与数据：

- 计算2010-2018年范围内，剔除极端值的股票在申万一级和二级行业中的Ln(PB)与ROE回归MSE。
- 按市值规模区分大盘股、中盘股、小盘股，比较拟合效果。

• 关键发现：

- 大部分行业MSE低于全市场，说明细分行业采用PB-ROE模型更有效。
- 小盘股拟合优于中盘股，中盘股优于大盘股，表明模型对小型股票的解释力更强。
- 进一步细分到申万二级行业，更多细分行业MSE进一步降低，说明行业细分增强模型适用性。

• 图表解读：

- 图2（申万一级行业MSE）展示多行业拟合效果优于全市场线，行业包括食品饮料、休闲服务、计算机等较低MSE，钢铁、有色金属、机械设备等行业MSE较高。
- 图3（二级行业MSE）进一步细分，数据显示更精细行业划分提高模型拟合准确性。

本节阐明了PB-ROE模型的适用边界及细分行业的重要性。通过定量数据(MSE)佐证了细分行业与小盘股的模型更适合，用于指导后续选股策略实践。[page::6],[page::5]

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2.3 PB-ROE模型的预期差选股

• 核心思想：

依据模型回归线（市场对股票PB与预期ROE的整体认知）评估个股，若个体投资者基于自身信息的预期ROE高于市场预期，则形成“预期差”，存在投资价值。预期差即为投资者预期ROE点与回归线上对应ROE点的差距。

• 操作方法：

- 对细分行业股票，按月度数据用回归计算市场对PB-ROE的预期。
- 投资者根据盈利预测或历史数据形成自有预期ROE。
- 计算并量化双方ROE偏差，选出正向预期差大的股票构建组合。

• 图解说明：

- 图4清晰显示回归线与样本点的关系，红点表示投资者预期ROE，蓝色虚线为预期差。

• 预期数据选择：

- 采用分析师一致预期数据。
- 也可用历史ROE数据作为预期差选股的特例。

本节关键在于明确模型不仅是估值工具，更可作为选股的技术方法，结合市场与投资者对ROE的预期差异挖掘投资机会。[page::7],[page::8]

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2.4 PB-ROE预期差选股回测分析

2.4.1 选股回测设计

• 依据市值划分大盘股、中盘股、小盘股样本空间。

- 回归模型在申万二级行业内部计算，确保行业一致性。

• 选股频率月度，大盘组合用自由流通市值加权，中盘及小盘组合等权重。

- 比较基准指数分别为沪深300、中证500、中证1000。

2.4.2 使用分析师一致预期数据选股（图5~图7、表1~表3）

• 大盘组合表现： 2010年初至2018年10月，大盘组合上涨17.20%，同期沪深300指数下跌11.80%，组合相对基准超额收益29.00%。

- 小盘组合表现： 同期上涨356.97%，中证500跌4.74%，中证1000涨0.21%，相对超额收益巨大，361.71%和356.75%。

• 小盘组合的超额收益对中证1000较为稳定，对中证500近两年有回撤。

- 表格显示年化收益中部分年份下跌，但整体组合优于基准，特别在2014、2015年高收益显著。

2.4.3 使用历史ROE数据选股（图8~图10，表4~表6）

• 大盘组合表现： 同期上涨24.41%，相较沪深300有36.21%的超额收益，表现更稳健。

- 小盘组合表现： 上涨447.35%，对中证500、1000的超额收益分别为452.09%和447.13%，并且对中证1000的年胜率达到100%。

• 小盘组合整体表现超过了一致预期数据的版本，表现出更强的稳定性和收益性。

- 超额收益虽然在部分年份存在波动，但整体投资价值突出。

2.4.4 回测结论

• PB-ROE基于预期差的方法在大盘和小盘样本均表现优异。

- 小盘股组合表现尤为突出，支持模型对小盘股适用性更强的观察。

• 历史ROE可作为预期ROE的有效替代，尤其对量化投资者意义大。

- 中盘股组合表现较弱，短期效果不稳定。

• 回测指标包括累计收益、年度超额收益、相对基准曲线趋势，数据均来源申万宏源与WIND。

综合回测验证了理论模型的实际应用价值，为投资者提供了有效的量化选股策略。[page::8~12]

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3. 图表深度解读

图1：（page 5）

• 描述：展示股票样本中Ln(PB)对ROE的散点及其OLS线性拟合。

- 解读：明显的正线性关系，验证了理论中Ln(PB)与ROE关系线性假设。存在部分数据点显著偏离拟合线，暗示存在预期差。

• 支持论点：图形视觉直观体现了数学公式关系，支撑后续预期差选股指标构建。

图2（page 6）：申万一级行业拟合效果（MSE）

• 描述：柱状图显示各行业PB-ROE回归MSE，MSE越小拟合越好。

- 解读：食品饮料、休闲服务、计算机等行业MSE最低，金属、钢铁等传统工业较高。整体大盘股MSE高于小盘股，说明股票越分散同质性越差。

• 关联文本论述：行业细分及小盘股模型适用性强。

图3（page 6）：申万二级行业拟合效果（MSE）

• 描述：更细分行业的MSE分布，柱状图展示更加分散的数据。

- 解读：多数细分行业MSE更低，强化申万级行业细分可提高模型精度。

• 数据及趋势揭示了行业细分带来的结构统一性。

图4（page 7）：预期差选股方法示意图

• 描述：坐标系中ln(P/B)回归线，投资者预期ROE点与回归线上对应点距离作为预期差。

- 解读：直观讲述股票定价偏离的动力来源，量化预期差，支持策略形成。

图5~图10（page 8~12）：组合走势与超额收益图表

• 描述：多条曲线展示大盘及小盘组合与基准指数累计收益及相对强弱比。

- 解读：
- 大盘组合相对沪深300有持续超额收益，走势稳健。
- 小盘组合表现惊艳，尤其相较中证500和中证1000。
- 历史数据版本整体更优且相对基准优势明显。

表1~表6（page 9~12）：年度收益及超额收益统计

• 描述：提供年度收益率和超额收益率，量化组合表现。

- 解读：各年度超额收益波动存在，但整体正收益多于负收益，验证模型的有效性。

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4. 估值分析

报告核心估值基于PB-ROE模型的数学推导，其以净资产收益率（ROE）和市净率（PB）为核心，其中投资回报折现率k、投资期限T为关键参数，通过对PB的对数处理建立其与ROE的线性关系。

• 估值方法: 利用Wilcox(1984)微分方程模型推导，结合“PB=净资产×市净率”，在净资产增长和分红假设下实现对股票估值的动态演绎。

- 关键输入及假设:
- 投资者预期回报率k（贴现率）
- 净资产增长率g_B（与预期ROE等同）
- 投资期限T（PB回归1的时间）
- 分红率忽略简化

• 估值演绎:

- 实际使用中，按行业进行回归拟合，估算k和T。
- 通过拟合得到的回归直线，确定合理PB与ROE关系。

• 敏感性: 投资期限T变化及预期回报率k对PB估值影响显著，体现出投资者风险偏好与投资视角的多样性。

报告未采用传统DCF逐笔现金流折现法，而是基于风险回报平衡的PB与ROE动态模型，适配A股市场特征与结构。

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5. 风险因素评估

报告中未专门设置“风险因素”章节，但通过模型推导及实证结果明示了若干潜在风险：

• 模型假设的限制：

- 分红忽略可能导致中长期估值偏差。
- 预期ROE的替代假设（历史ROE）存在一定误差。
- 假设PB最终趋向1并未必总适用某些特殊股。

• 市场环境风险：

- 估值折现率k与投资期限T在不同行业和市场环境中可能变动，导致模型适用性差异。
- 数据异常值及极端市场事件可能影响模型拟合及选股结果。

• 数据风险：

- 预期ROE来源的分析师一致预期数据存在乐观或偏差倾向。

• 投资实践影响：

- 中盘股组合表现不稳定，可能与市值因素或行业差异有关。
- 市值加权与等权重方式可能导致风险暴露不同。

报告中虽未明确提出风险缓解措施，但其通过行业细分、极端值剔除等措施在一定程度上控制了模型适用风险。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型局限性：

- 模型建立在若干理想化假设之上，现实中分红、资本结构变动、宏观冲击等因素不可忽视。
- 预期ROE以分析师一致预期或历史ROE替代，有偏误风险，特别是在行业变革或周期波动强烈时期。
- 投资期限T及期望回报率k的选定缺乏对宏观环境的动态调整讨论。

• 小盘股适用性能否长期稳定存疑，可能存在流动性风险。

- 市场预期与投资者预期之间的偏差度量，未讨论非预期因素（如政策风险、事件驱动）的影响。

• 中盘组合表现不稳定，暗示模型在中盘市场可能受其他因素干扰，需要补充其他风格或因子以提升适用性。

- 极端年份组合收益较差，实际应用中需要搭配风险管理措施，防范周期性波动。

总体而言，报告论证严谨，但对模型的宏观适用性限制及实际操作中可能遇到的复杂情况缺乏充分述及。

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7. 结论性综合

本报告系统阐释了PB-ROE估值模型的数学理论基础，明确了PB作为股票估值水平、ROE作为盈利能力指标间存在的指数与线性关系，并以此为核心提出基于“预期ROE差异”的选股策略。通过细分行业和按市值分类的定量回测表明：

• 数学公式与实证数据共同验证PB与预期ROE之间存在稳健正相关线性关系。

- 细分行业内部PB-ROE拟合误差显著降低，揭示行业一致性为模型适用性提升提供条件。

• 小盘股相较大盘股在PB-ROE拟合及投资策略执行上表现更为优异，且历史ROE替代预期ROE的效果良好，适合量化应用。

- 基于分析师一致预期和历史数据的预期差选股模型在大盘和小盘股票上均产生持续超额收益，特别是小盘组合相对于中证500和中证1000表现出色。

• 投资者可根据回归线离散程度选出正偏异股票，作为盈利潜力较强的买入标的。

综合来看，报告提出的PB-ROE预期差选股模型具备坚实理论基础和市场实证支撑，有效填补了传统估值方法在A股市场中的不足，尤其适应行业细分市场和小盘股领域。该方法不仅提供估值测度，还可指导量化选股策略，适合专业投资者采纳。

然而，模型固有假设的边界、宏观环境变动以及数据偏差的潜在影响需谨慎对待，投资者在实际应用中应结合风险控制及多因子模型以优化投资决策。

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重要图表索引

| 图表编号 | 名称 | 内容摘要 | 作用 | 关键见解 |
|----------|--------------------------|-----------------------------------------|------------------------------------|--------------------------------------------|
| 图1 | 股票PB与ROE典型关系 | Ln(PB)与ROE线性回归拟合散点图 | 验证模型核心假设 | 明显线性相关，形成预期差选股的量化基础 |
| 图2 | 申万一级行业拟合效果 (MSE) | 各行业PB-ROE拟合均方误差柱状图 | 评估行业模型适用性 | 食品饮料、休闲服务拟合效果优；小盘股优于大盘股 |
| 图3 | 申万二级行业拟合效果 (MSE) | 更细行业MSE分布 | 细分行业适用性增强 | 细分带来更好拟合 |
| 图4 | 预期差选股方法示意图 | 投资者预期ROE与市场回归线的差距示意 | 形象阐述预期差选股核心原则 | 预期差量化投资价值 |
| 图5~10 | 组合表现及相对基准对比 | 大盘/小盘选股组合与指数的收益及超额曲线 | 验证实证策略有效性 | 小盘组合表现尤为突出，模型实用性高 |
| 表1~6 | 年度收益统计表 | 大盘/小盘组合与基准指数年度收益比较 | 细化收益评估 | 多数年份组合超额收益显著 |

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溯源链接

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总结： 本报告不仅清晰揭示了PB-ROE估值模型的数学内涵，也通过细致的行业适用性分析及实证回测，验证了基于ROE预期差的选股策略在A股尤其是小盘股领域的有效性。分析中的详实数据和图表为投资者提供了理论框架与操作指南，体现出较强的实用价值。未来，结合宏观经济与其他风格因子的进一步研究，将有助于模型的完善与应用拓展。

报告