Hedging with memory: shallow and deep learning with signatures

创建于 2025-08-12T08:58:57.860814+08:00 更新于 2025-08-12T09:26:33.923665+08:00

摘要

本文研究了路径签名在机器学习框架中的应用，以对非马尔可夫随机波动率模型下的奇异期权进行套期保值。通过深度学习结合签名特征的前馈神经网络（Signature NN）优于传统LSTM模型且训练效率大幅提升；浅层学习中通过线性组合签名构建套期保值策略和波动率模型，基于签名波动率模型的校准可有效提高对敞口不同产品的套期保值准确性和稳定性[page::0][page::1][page::4][page::6][page::8][page::11][page::17][page::20]。

速读内容

研究目标与方法综述 [page::0][page::1][page::4][page::6]

探讨路径签名作为特征在前馈神经网络中的使用，解决传统RNN和LSTM在处理路径依赖信息时的限制。

- 比较三种主要套期保值方法：基于Fourier方法的签名波动率模型、深度神经网络（含Signature NN和LSTM RNN）和线性签名方法。

采用两种波动率模型：经典马尔可夫Heston模型与非马尔可夫的Shifted Fractional Bergomi模型。

神经网络架构与训练设置 [page::6]

设计三类网络架构：Vanilla NN（VNN，输入为(t,S,Σ)）、Signature NN（SNN，输入为路径签名）、Recurrent NN（RNN，LSTM架构）。

- 网络结构统一：3层深，每层10神经元，训练数据包括10,000个路径，时间步长126。

SNN输入签名截断阶数为4，参数量1442，RNN参数量2252，VNN参数量272。

- 训练优化器为AdamW，学习率从1e-2至1e-3，批量64样本，训练64个epoch。

数值实验：中国与各期权表现 [page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::15][page::16]

欧式期权（European Call）：三网络表现接近，SNN略优于VNN且训练更快，RNN拟合稍逊，表现体现签名捕捉路径依赖能力强。

亚洲期权（Geometric Asian Call）：SNN显著优于VNN和RNN，性能更靠近Fourier标杆，RNN优于VNN，但仍有明显差距。

训练时间：SNN训练速度显著快于RNN约40倍，且达到精度目标时间远短于RNN。[page::12][page::13]

回顾期权（Look-back Call）：RNN表现最佳，SNN优于VNN但略逊于RNN与Black-Scholes基准，显示高非线性与路径依赖程度下深度循环网络优势。

通过两条测试路径展示不同方法的动态对冲比例，SNN方案比RNN更激进，在非马尔可夫模型中波动更明显。

线性签名与Fourier签名模型的比较 [page::17][page::20][page::21][page::22]

线性签名回归（Linear REG）和最佳场景线性（Linear BCS）方法在简单多项式收益（Polynomial Payoff）中表现良好，但有一定偏差，主要因非凸优化难题与Monte Carlo估计误差。

- 在Heston模型下欧式看涨期权，Fourier REG优于Linear REG和Linear BCS，能更好捕捉波动率动态及其非线性，贴近Fourier BCS和真实Fourier解。

在非马尔可夫的延迟方程（Delayed-Equation）波动率模型中，Fourier REG继续保持优势，线性方法表现出较大劣势，显示模型依赖的Fourier签名方法适用性和效果更优。

关键表格：

| 方法 | Mean squared P&L (×10^-4) | Mean P&L |
|--------------|--------------------------|------------------|
| Linear REG | 4.66 | 6.78e-4 |
| Linear BCS | 4.09 | 1.04e-4 |
| Fourier REG | 2.36 | -1.05e-3 |
| Fourier BCS | 2.33 | 2.14e-4 |

Fourier REG方法能用最小的模型假设，结合签名波动率回归实现高效套保。

签名和对数签名的选择及截断阶数影响 [page::24][page::25][page::26][page::27]

和对数签名(Log-Signature)相比，Signature本身在训练速度和套保结果上更优，尤其是回归训练收敛效率更高。

- 截断订单2-3阶已能捕获大部分有效信息，超过该阶数时性能提升趋缓甚至减慢训练收敛速度。

性能曲线展示不同截断阶数的训练动态：

训练时间、性能与参数规模均体现签名阶数选择的重要权衡。

算法实现及计算性能 [page::23][page::28]

给出了深度套保训练算法（Algorithm 1）及签名波动率回归算法（Algorithm 2）的详细流程。

- 大量计算采用了截断的shuffle与half-shuffle积，存储与计算设计充分利用GPU并行，缩减内存与加速计算。

计算时间和内存消耗随截断阶数显著增长，实用中需权衡性能与资源。

- 具体性能数据举例：以欧式看涨期权和Heston模型为例，截断3阶的Linear REG训练时间为约58 ms，Fourier REG约3秒，资源需求随阶数增加明显。

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金融研究报告详尽分析报告

报告标题

《Hedging with memory: shallow and deep learning with signatures》
作者：Eduardo Abi Jaber 与 Louis-Amand Gérard
发布机构：École Polytechnique, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, CES Gefip
发布日期：2025年8月10日
主题：利用路径签名（path signatures）结合浅层与深度学习技术对非Markovian随机波动率模型下的复杂衍生品进行套期保值（hedging）研究。

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1. 元数据与报告概览

本报告聚焦于利用路径签名理论在金融衍生品套期保值中的应用，特别是针对具有非Markovian动态的复杂波动率模型问题。报告针对三种方法开展比较：

深度学习框架中利用签名作为特征的简单前馈神经网络（Signature Neural Networks, SNN），与对比的LSTM递归神经网络（RNN）；

- 浅层学习框架中的两种签名相关方法：一是非参数方法直接回归标的价格签名的期望来学习套保策略；二是基于签名波动率模型校准波动率动态并利用Fourier逆变换方法求解套保问题。

报告的核心论点：

路径签名作为特征能极大提升前馈神经网络的记忆能力，超越传统LSTM网络且训练计算需求更低。

- 在浅层方法中，通过校准签名波动率模型后利用Fourier技术定价和套保，可获得更稳定且准确的结果，尤其适用于Fourier可逆的支付函数。

报告全文兼顾理论性质、算法细节及大量实证验证，结合Heston（Markovian）和Shifted Fractional Bergomi（非Markovian）两种波动率模型，以及三种路径依赖程度递增的支付：欧洲期权、亚式期权和看涨期权。
报告明确展示评级方向为签名方法的优越性和实用潜力，揭示非Markovian市场环境下路径签名的独特价值和优势。[page::0,1]

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2. 逐节深度解读

2.1 路径签名及张量代数（第2-4页）

报告详细引入路径签名背后的数学框架，从张量代数开始定义（张量分解、截断张量空间、拼接操作等），建立路径签名的形式化基础，确保读者理解签名可以唯一且紧凑地刻画连续路径的完整信息。路径签名被定义为迭代的Stratonovich积分序列，体现路径的高阶交互信息。

关键术语解析：

张量代数与截断张量代数：路径签名值存储在无穷维张量空间中，出于计算考虑通常截断到有限阶。

- 拼接（concatenation）与投影（projection）操作：对应数学上的积分与微分结构。

洗牌积（shuffle product）：描述高阶签名项乘积的代数性质，保证了签名的乘法可线性化特性。

本节为后续算法将签名嵌入机器学习模型奠定了坚实的数学基础，是报告技术核心之一。[page::2,3,4]

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2.2 二次套期保值问题及三种计算方法（第4-7页）

报告定义了标的资产服从具有随机波动率$\Sigmat$的风险中性测度下动力学，目标为降低平方损失（quadratic hedging）：

$$
P(X0,\alpha) = \mathbb{E}[(X_T^\alpha - \xi)^2]
$$

分别介绍三种拟合与计算方案：

Fourier方法（签名波动率模型下的半解析解）：模型建立波动率为时间扩展布朗运动签名的线性组合，通过解Riccati方程获得特征函数，利用Fourier逆变换计算价格和最优套保策略。此方法精度高且为benchmark。

- 深度套保（Deep Hedging）：以神经网络为函数近似器，参数化套保策略和初始财富，训练最小化P&L损失，探索是否结合签名特征提升学习效率。

线性签名套保：基于签名的线性函数形式拟合支付与策略，利用lead-lag变换结合洗牌积性质，将随机目标转化为确定性优化问题。

以上分支各有特点，Fourier法依赖具体模型结构，深度套保灵活但训练复杂，线性签名法效率较高但可能受限于高阶签名的维数和截断。[page::4,5,6,7]

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2.3 签名作为神经网络特征及实证分析（第8-16页）

核心思路

利用路径签名表示资产价格和波动率路径，作为简单前馈神经网络的输入特征（SNN），解决传统前馈网络无法捕获历史信息的缺陷，同时避免LSTM递归结构训练缓慢的不足。

实验设置

两个模型环境：Markovian的Heston模型和非Markovian的Shifted Fractional Bergomi模型；

- 三类支付：
1. 欧洲看涨期权（简单非路径依赖）
2. 亚式期权（路径依赖）
3. Look-back期权（强非线性路径依赖）

网络结构统一：10神经元，3层深度，批量训练10,000样本，测试20,000样本。

主要发现

欧洲期权：SNN与VNN性能相近且优于RNN，多数情况下RNN表现落后，推测RNN参数多且复杂易过拟合；

- 亚式期权：SNN明显优于VNN和RNN，且误差接近Fourier基准，显示签名在路径依赖上下文下极大优势；

Look-back期权：RNN稍优于SNN，其强递归结构更能捕获复杂记忆，但计算效率明显较低；SNN兼顾效率与精度为较优选择。

训练效率

SNN训练速度远超RNN（单次训练步骤快40倍，整体训练时间快几十倍），且SNN收敛速度快于VNN，这揭示签名特征不仅提升拟合精度，更能显著提高训练效率，展现其实用性。

图表解析

训练曲线和P&L分布图（图3、4、6）均展示SNN在捕获复杂路径特征的能力以及稳健性；

- 训练时间表（表3）量化对比SNN与其他架构训练效率差异；

轨迹和对冲比率图（图5、7）显示SNN对路径信息的细致反映，策略拟合贴合Fourier标准。

本节实证结果充分支持使用路径签名作为特征提升深度套保方法表现的论点。[page::8-16]

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2.4 基于签名的线性回归与签名波动率模型对比（第17-23页）

本节聚焦浅层方法的比较：

线性签名法（Linear REG）：直接将支付及策略线性表示为标的价格的签名函数，进行梯度下降优化。

- 签名波动率法（Fourier REG）：先对波动率动态进行签名模型拟合，再利用Fourier技术计算价格和对冲策略。

两者优劣受模型假设和支付函数结构限制：

数值实验一（多项式支付，BS模型）：Linear BCS接近理论解，Linear REG因数值和优化误差表现较差，显示非凸优化难点。

- 数值实验二（Heston模型的欧洲期权）：Fourier REG与Fourier BCS表现突出，远优于Linear方法，突出Fourier法依赖模型结构能更准确捕获套保策略非线性。

数值实验三（非Markovian延迟方程波动率的亚式期权）：Fourier方法显著优于线性签名方法，显示路径依赖和非Markovian复杂性加剧线性Approximation的不足。

整体结论是当模型结构较明确且支付函数满足Fourier适用条件时，签名波动率模型配合Fourier法表现优异；而纯线性签名回归方法更具通用性，但效果受限且需优化技术支持。[page::17-23]

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2.5 签名与对数签名(Log-signature)的效用及训练细节（附录B，24-27页）

报告考察签名的不同表述对神经网络训练的影响。

对数签名拥有更紧凑的表达，可以通过对路径签名取对数去除多余的多项式冗余。

- 实验证明使用普通签名训练效果优于使用对数签名，推测原因在于网络需要额外学习多项式非线性映射。

对截断阶数的敏感度分析显示，前2-3阶签名信息对性能贡献最大，过高阶次切勿盲目追求，反而增加训练难度和耗时。

- 训练曲线（图11-16）综合展示不同截断阶数和和签名类型在多种支付及模型下的训练效率和性能差异。

本部分为理论与实际训练细节提供丰富洞见，帮助指导后续模型设计。[page::24-27]

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2.6 算法流程与计算性能（附录A、C，23-28页）

算法1详述深度套保训练流程，包括数据预处理、网络结构设计、训练步长与批次选择，日常操作中强调了计算效率和训练稳定性。

- 算法2描述签名波动率模型的非线性回归优化方法，重点突出递归利用half-shuffle等代数结构提升计算效率。

计算资源分析表明高阶截断显著增加内存使用与计算时间，合理选用截断阶以平衡性能与资源消耗是实际应用关键（表8）。

- 储存结构的巧妙设计避免了指数维度爆炸，采用稀疏矩阵和GPU加速为技术创新注入实用性。

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3. 图表深度解读

图1: 神经元结构对比（第6页）

展示了前馈式神经元的简单结构及LSTM复杂的门控机制，强调LSTM训练计算需求大，不利大规模并行。为后续SNN与RNN对比提供视觉基础。

图2: 签名Fourier方法下的隐含波动率（第9页）

蓝线（Signature Fourier近似）与黑线（蒙特卡洛结果）重合且置信区间夹裹，证明Fourier-signature方法在短期波动率定价精度上非常可靠。

图3-7: 不同期权的P&L密度分布与路径实例（第11-16页）

欧式期权（图3）中五种方法表现相近，证明基准的有效性。

- 亚式期权（图4,5）显著看出SNN优于其他神经网络，P&L密度更贴合Fourier基线。

Look-back期权（图6,7）中RNN稍占优，但SNN以较低计算成本接近其性能。

图8-10: 线性与Fourier回归方法的P&L对比（第19-22页）

多项式支付（图8）中Linear BCS接近最优，Linear REG表现偏差较大，验证算法瓶颈。

- Heston欧式期权（图9）Fourier方法优于Linear，支持Fourier基于模型的优势。

延迟方程波动率亚式期权（图10）Fourier方法再次表现优越，反映复杂路径依赖下线性拟合局限。

图11-16: Log-Signature与Signature NN训练曲线（第25-27页）

展示截断阶数影响，Signature方法训练速度更快且性能更优，且大多数性能提升出现在前3阶。

表格分布

表1-7：不同时空模型、期权类型下的均方误差和训练时间对比，明确体现签名与深度学习结构的协同优势。

- 表8：计算时间与资源消耗细节，证实高阶截断代价并提出稀疏计算方案。

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4. 风险因素评估

报告重点识别的风险及限制包括：

高阶截断带来的计算资源与过拟合风险；

- LSTM模型容易过拟合且训练缓慢，限制其实时应用；

浅层线性签名方法受限于非线性强的支付函数表现不佳；

- Fourier方法依赖特定模型假设（几何布朗运动+可逆Fourier支付），不适用于任意非Markovian场景。

报告对不同方法的适用范围进行了精细界定，提出合理风险缓解策略，如选择合适截断阶、结合非线性深度网络、利用带有物理解释的模型约束等。[page::4,17-23]

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5. 批判性视角与细微差别

对网络结构的偏向：

报告中虽然表述LSTM训练成本高且易过拟合，但对其结构细节和超参数调优过程探讨不足，可能低估其潜力。

优化非凸性挑战：

特别是线性签名回归中多次提及局部极小值问题，暗含优化问题可能影响结论的稳健性，尚需更系统的优化算法研究。

四ier方法的依赖假设：

采用Fourier基方法必须假设波动率具签名线性结构，且支付函数Fourier可逆，这一假设限制该方法推广至更复杂标的。

截断阶选择的主观性：

截断阶数选择依赖实证调整，缺少理论指导原则，后续研究应考虑自适应截断策略。

整体来看，报告虽然全面细致但在算法复杂性和模型泛化之间存在权衡，关于优化细节和截断理论的深入探讨稍显不足。[page::19,24]

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6. 结论性综合

该报告全面系统地展现了路径签名在衍生品套保领域的理论和实用价值，结合深度学习和Fourier分析两大现代数值工具，创立了高效捕获非Markovian动态及路径依赖风险的解决方案。

深度学习层面，签名特征显著提升简单前馈网络（SNN）在代替LSTM的能力，降低计算复杂度同时保证或提升套保准确率。

- 浅层回归层面，基于签名的线性回归适用于简化监管，但表现受限于非线性；而签名波动率模型结合Fourier方法，为复杂波动率下套保提供稳健计算框架。

数值实验证明，签名方法适用于Markovian与非Markovian两类模型，且对于路径依赖支付如亚式期权和Look-back期权，签名显著增强神经网络学习路径信息的能力。

- 算法效率与资源消耗方面，签名相关运算通过代数性质和稀疏存储得到显著优化，计算速度与存储需求处于可控范围。

图表及数据详细揭示了各方法在不同场景的表现趋势和量化效果，鼓励金融工程及量化研究者积极利用签名工具，拓展复杂市场下的衍生品风险管理技术。

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总结

本报告立足于路径签名的先进数学理论，结合深度神经网络和Fourier分析技术，创新性地解决了非Markovian随机波动率和路径依赖衍生品套保难题。通过理论模型建立、实证分析和算法实现，明确了签名特征在构建记忆机制和高效特征提取的巨大潜力。报告不仅为高阶金融模型的定价与套保提供了新思路，也为机器学习在金融风险管理的应用奠定了坚实基础，兼顾理论深度与实用价值，值得业界关注和后续深入研究。

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