• 研究背景及模型构建思路：

- 利用DDM与动态Gordon增长模型，避免股权和负债市场价值出现负值的问题，构建股份及负债的对数市场价值估计模型 [page::0][page::2].
- 引入同质Markov链实现多状态切换机制，刻画市场收益率的结构变动 [page::1][page::2].

• 量化模型的核心结构：

- 联立对数市场价值模型与对数利率模型形成VAR(1)体系，并对资产价值推导对数近似，加权组合股权与负债估值 [page::3].
- 以此为基础，推导风险中性测度下的资产价值和债权的欧式期权定价公式，实现从资产价值视角对股权和负债进行风险中性估值 [page::4][page::5][page::8].

• 风险中性及前向概率测度转换：

- 构造Girsanov变换，得到风险中性过程并利用前向测度简化无套利期权定价问题，联合计算零息债券价格和对数资产价值分布 [page::5][page::6][page::7].

• 期权定价与违约概率计算：

- 欧式看涨/看跌期权定价利用对数正态分布累积分布函数表达，计算风险中性股权价值和负债价值 [page::8][page::9].
- 基于真实概率测度，计算联立多只公司的违约概率（资产价值低于负债阈值），用多元正态分布函数求解违约风险多维分布 [page::9][page::10].

• 量化参数估计：

- 采用EM算法结合卡尔曼滤波和最大似然方法估计模型参数，包括状态转移概率、协方差矩阵和回归系数 [page::11][page::12][page::13].
- 使用平滑与滤波算法进行隐含状态（状态切换）推断，提高参数估计精度，并利用牛顿迭代解非线性均值方程求得支付比率的均值 [page::12][page::14].

• 模型理论贡献与应用展望：

- 明确将Campbell-Shiller近似应用于Merton违约模型，适合观察到负债的上市公司。
- 提供完整的期权定价、违约概率计算及参数估计框架，为信用风险管理及资产定价提供实用工具。 [page::14]

详尽解读报告：《The Merton’s Default Risk Model for Public Company》

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一、元数据与概览 (引言与报告概览)

• 报告标题：The Merton’s Default Risk Model for Public Company

- 作者：Battulga Gankhuu

• 发布机构/出处：此报告形式类似学术预印本，包含大量引用自身和他人论文，部分文献发表在国际期刊上，有些为arXiv预印本，发布日期约为2024年（从参考文献可推断）。

- 主题：该报告聚焦于公共公司的信用风险建模，基于Merton结构模型框架，并结合由Campbell和Shiller提出的动态Gordon增长模型的近似技术，提供了风险中性市值计算、违约概率公式以及基于最大似然（ML）估计的参数推断方法。

核心论点与目标

报告旨在将Merton经典模型扩展到观察到公司负债（市场交易的负债市值）的情形下，结合随机股利贴现模型的优点，使用Campbell-Shiller的对数近似方法保证市值的正性，并引入带有状态切换（Regime Switching）结构的收益率过程，更真实地反映市场状态变动对违约风险的影响。此外，报告提供了模型参数的实际估计方法，为风险管理和定价提供理论基础。

报告未明确提出投资评级或目标价，更多侧重于理论模型搭建及其估计框架的严谨构造。作者希望传递的信息是：结合现代统计方法和结构模型，可以更准确地估计公共公司的股权和负债价值及其违约风险。[page::0][page::1][page::14]

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二、逐节深度解读

1. 引言 (Introduction)

• 介绍传统的股利贴现模型（DDM）的基本框架和扩展，包括对公共公司负债市值的估计。强调了传统DDM面临的负股利或负债支付导致市值负值的问题。

- Campbell和Shiller的动态Gordon增长模型以对数形式避免了负值现象，为后续模型设计奠定了基础。

• 进一步介绍了状态切换模型（Regime Switching Model）对描述金融市场突然变化和收益率切换的贡献。

- 本文承接作者先前工作，结合Campbell-Shiller近似与Merton结构模型，构建新模型。

• 该节为后续章节奠定理论起点，表达了结合结构风险模型与状态切换的创新思路。[page::0][page::1]

2. 股权与负债市场价值模型 (Market Value Model of Equity and Liability)

• 使用标量递推模型描述公司股权和负债市场价值演变。

- 以向量形式统一多家公司表示：$Vt^e$为股权市值向量，$Vt^\ell$为负债市值向量。

• 用Campbell and Shiller (1988) 的对数近似方法，解决传统DDM因支付可能为负导致市值负值的问题，保证股权和负债市值正性。

- 建立一个含状态切换的随机动态方程系统，其中收益率包含外生变量系数矩阵$C{k,st}$、利率影响项和白噪声项。利率被建模为单位根过程，收益率展现趋势平稳特征，且可能与利率存在协整关系。

• 推导资产价值为股权和负债市值之和，对数资产价值用近似线性组合表示，即用权重矩阵$Wt^a$作用于对数股权和负债市值。

- 贡献是将股权和负债市场价值与状态切换动态系统相结合，既保证正值，又支持对利率和风险溢价的建模。

• 利用高维状态空间表达和正态噪声假设，模型面向实际估计和推断。[page::1][page::2][page::3]

3. Merton结构模型 (Merton’s Structural Model)

• 细化Merton执著于债务估值的结构化信用风险方法，将公司资产价值视为期权标的，把负债视为行权价格，股权对应于欧式看涨期权。

- 介绍条件概率结构、状态切换和白噪声噪声向量的数学框架，使用马尔科夫链刻画不同“状态”下的参数动态。

• 引入风险中性概率测度下资本资产定价，推导测度切换技术和盈余评价的方法，说明该方法保证期权定价无套利及市场不完备情况下的最优变换核。

- 构建带有状态切换的向量自回归模型(VAR(1))，并提供了公式来计算未来时刻的条件均值与协方差。

• 详细讲解了零息债券的定价，定义了基于零息债券的远期测度(forward measure)，以简化期权定价计算，减轻计算负担。

- 基于远期测度，推导了截至时间$T$资产市场价值对数的正态分布，利用黑-舒尔斯期权定价公式（Lemma 1），计算负债和股权的风险中性价值。

• 定义违约事件为资产价值跌破债务阈值，推导多公司的联合违约概率为多元正态分布累积函数计算。

- 该章节为模型实用价值奠定基础，提供了风险中性估值与违约概率的系统计算方法。

• 核心贡献在于将状态切换的动态系统融入Merton模型框架，实现更复杂的违约风险建模。

- 使用矩阵形式、分块矩阵与谱分解技术以提高模型的可操作性。结合了不同时期、不同行为状态下模型参数的独立性假设，有效简化参数估计。[page::4][page::5][page::6][page::7][page::8][page::9][page::10]

4. 参数估计 (Parameter Estimation)

• 采用期望最大化(EM)算法，针对带有隐含状态切换的模型进行参数估计。

- 形式化了状态切换对数似然函数，无观察的状态切换序列被视为隐变量。

• 详细推导了最大似然估计的E步和M步：

- E步使用滤波和平滑算法计算状态的后验分布（概率推断与预测），并估计状态转移概率与未知参数。
- M步闭式更新参数 $Cj$（系数矩阵）、$\Sigmaj$（协方差矩阵）、$\mathsf{P}$（转移矩阵），依赖于状态概率加权的广义最小二乘回归。

• 估计方法融合了Kalman滤波及状态空间模型，用于实践中估计所需的收益率、利率过程系数和噪声协方差结构。

- 估计过程解决了模型参数的状态依赖性及复杂依赖结构，提供了精确的模型拟合方法。

• 提供精确的滑动窗概率平滑算法以优化参数收敛。

- 强调了这种结构模型参数估计的可行性，有助于在实际财务数据中建立带有状态切换的违约风险模型。[page::11][page::12][page::13]

5. 计算均值参数与结论 (Mean Parameter Computation and Conclusion)

• 介绍如何计算对数股利–价格比均值$\mut$和负债价值–股权比均值$\mu_t^a$的递推关系，基于模型参数和观测的支付数据，利用数值方法（例如牛顿迭代）求解非线性方程组。

- 明确表达递推公式结构，包括期望的参数矩阵及利率期望项。

• 结论段总结了论文贡献：

- 提出基于观察到负债、动态收益率带状态切换的Merton结构模型。
- 利用Campbell-Shiller对数近似方法，保证市值的正值性质。
- 取得了风险中性市值、违约概率的公式。
- 提供针对模型参数的最大似然估计方案。
- 指出该模型可扩展至期权定价和投资组合选择领域。

• 说明了本研究的学术创新及实用意义，为融资决策和信用风险管理提供定量模型支撑。[page::14]

6. 技术附录 (Technical Annex)

• 提供若干引理，详细说明关键概率分布性质和密度函数形式，主要助力期权价格计算及后验概率计算。

- Lemma 1给出正态对数期权价值的闭式解，是后续期权定价公式的数学工具。

• Lemmas 2和3描述了在不同测度（实测度和风险中性测度）下的条件密度函数表达，支持模型滤波及推断过程。[page::15]

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三、图表深度解读

本次报告未包含插图或表格，所有公式和推导均通过数学表达式呈现。因此，关键数据均体现于模型构造、方程定义及概率表示中，解析重点为公式结构和含义。明确的参数维度说明和偏导数推导为算法实现奠定了基础，理论细节丰富且严谨。

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四、估值分析

• 采用基于Merton模型的期权定价思路，将股权视为对资产的欧式看涨期权，负债视为欧式看跌期权。

- 风险中性估值方式下，收益率和资产价值的动态按照带状态切换的VAR(1)模型演化。

• 通过状态切换模型的多阶段条件均值及协方差递推，获得资产未来价值的正态分布。

- 利用Black-Scholes期权定价公式（以对数正态分布参数为基础），推导出股权和负债的风险中性价值。

• 引入零息债券价格和远期概率测度以简化期权定价计算；设计了最优变换核(Girsanov kernel)调整测度，实现无套利且最优风险中性测度选择。

- 估值灵活融入状态切换，反映市场不同经济状态下价值变化特点。

• 估值框架涵盖对冲关系、定价和违约风险整合，具有较强实用性和 学术价值。[page::4][page::5][page::6][page::7][page::8]

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五、风险因素评估

虽然报告未专门设立风险章节，但隐含的风险因素包括：

• 模型假设风险：

- 资产价值及收益率动态假设正态分布，现实中可能存在厚尾及非对称分布。
- 马尔科夫状态切换模型假设各状态间转移概率及参数固定，忽略模型外突发事件影响。

• 估计风险：

- 参数估计依赖于隐藏马尔科夫状态准确识别，状态分类错误可能导致估计偏差。
- EM算法可能陷入局部最优，影响参数稳定性。

• 市场风险：

- 股利和支付流波动性可能超出模型容限，导致估值误差。
- 利率模型为单因子单位根，潜在忽视其它宏观金融因素。

• 违约事件定义风险：

- 违约判定基于资产价值低于负债门槛，实际违约可能涉及法律、操作等复杂因素。

模型设计虽考虑一定的风险因子（例如状态切换），但未明确提出缓释措施，估计模型的应用应结合实际市场反馈和后续稳健性测试。[page::5][page::11]

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六、批判性视角与细微差别

• 模型假设强烈：收益率及资产价值的正态假设简化了真实金融数据的复杂性，实际尾部风险可能被低估。

- 市场观测数据限制：假设股权和负债市场价值均可观测，然而在多市场或私募债务环境下不一定成立，限制模型直接应用。

• 状态切换参数独立假设简化：视不同状态下模型参数互相独立，可能忽略状态间相互依赖及潜在跨状态耦合效应。

- 无提及模型验证和实证结果：全文未展示对模型的实证检验结果或与市场样本的比较，限制了模型外推的说服力。

• 估计算法复杂度：虽详述EM算法，但大规模状态空间下计算负担未明确，可能限制高频或高维资产组合的应用。

- 术语与符号高度专业，阅读门槛较高，需具备马尔科夫链、状态空间模型、期权定价基础。

以上细节提醒读者在采用模型时需结合具体应用场景和数据环境审慎评估。[page::12][page::13]

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七、结论性综合

本报告系统地建立了适用于公共公司的Merton结构违约风险模型，创新性地结合了Campbell-Shiller的动态Gordon增长模型的对数近似方法，克服了传统DDM可能导致负市值的问题，确保股权及负债价值始终为正。引入状态切换机制以描述收益率和利率的潜在 regime 变化，更真实反映金融市场的不确定性和结构性跳变。

风险中性测度下，通过VAR(1)动态递推分析，联合参数不确定性和状态切换，报告成功推导了资产价值的未来分布、股票期权及债务期权的定价公式，以及联动的违约概率计算公式。最大似然参数估计框架结合了隐状态滤波与平滑技术，实现了对复杂模型参数的稳健估计。

理论较为全面严谨，公式推导系统，涵盖了股权和债务联合估值、违约风险衡量、参数估计等关键环节。附录中的引理为复杂期权价值计算和后验概率提供了理论支撑，为模型的拓展和应用建立了基础。

虽然缺乏实证检验和数据支持，模型仍为公共公司信用风险及衍生工具定价提供了重要理论工具，尤其适合关注环境切换及多元风险因素的复杂金融环境。

综上，本文为Merton模型在公共公司及状态切换环境中的应用拓展提供了理论创新和实证方法论，对信用风险管理与金融工程领域具有较高参考价值。[page::14][page::15]

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总结：

本次报告通过融合结构违约模型、对数DGM动态市值估计、状态切换收益率及利率过程、风险中性测度切换和最大似然估计，构建了一套完整的公共公司信用风险估值体系，兼顾理论严谨性与估计实用性，满足复杂金融市场环境下的风险管理需求。

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