• 采用宽义平稳(Wide-Sense Stationarity)定义，根据Wiener-Khinchin定理，验证时间序列的自相关函数傅里叶变换与功率谱密度匹配以判断平稳性[page::0][page::1][page::2]。

- 对S&P500日内分钟级价格指数(1996-2023)进行去趋势和归一化处理，通过调整去趋势窗口$\Delta1 t$和归一化窗口$\Delta2 t$，实现平稳性测试。全周期采用1年去趋势和60分钟归一化时，平稳性未达成；缩小归一化窗口至10分钟后整体平稳[page::2]。

- 2020年COVID-19疫情前后分段分析发现，疫情前部分在60分钟归一化窗口下即可实现平稳，疫情后则需更小归一化窗口达成近似平稳[page::3]。

• 疫情后细分为2020年全年与2021-2023年两个时间段，2020年段平稳性提升，在20分钟及10分钟归一化窗口均较好匹配，2021-2023年段可用60分钟窗口实现平稳[page::3]。

• 对比比特币数据（2019-2023）分三个时段分析：2019-2020、2021-2022及2022-2023年，均采用1周去趋势窗口，归一化窗口分别为60、40、20和10分钟[page::4]。

- 结果显示，比特币数据只有在2021-2022年高波动时期（第二段）下，使用60分钟归一化窗口能实现平稳，其他两个阶段则需10分钟归一化窗口才能达到平稳，整体平稳性较弱且波动敏感[page::4][page::5]。

• 本文提出了一种基于不同时间窗口参数$\Delta1 t,\Delta2 t$的价差标准化方法，以求最大时间窗口实现单变量时间序列宽义平稳；窗口越短，序列异质性越强、不稳定性越高[page::5]。

金融时序研究报告深度解读——《Comparative analysis of stationarity for Bitcoin and the S&P500》

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1. 元数据与概览

• 报告标题：Comparative analysis of stationarity for Bitcoin and the S&P500

- 作者：Yaoyue Tang, Karina Arias-Calluari, Michael S. Harré

• 发布机构：悉尼大学建模与仿真研究组 (Modelling and Simulation Research Group)及数学与统计学院（School of Mathematics and Statistics），悉尼大学，澳大利亚

- 时间：未明确，但包含2023年数据，预计为2024年或更早

• 研究主题：该论文围绕比特币（Bitcoin）和标准普尔500指数（S&P500）的价格回报的平稳性（stationarity）进行比较分析，重点探讨两类市场（传统股票市场与加密货币市场）时序数据的统计性质和稳定性差异。

核心论点和目标：
研究作者旨在揭示传统市场与加密市场在平稳性上的异同，采用宽义平稳（wide-sense stationary, WSP）定义，通过对漫长时间段和细分市场周期的内在变异性分析，评估价格回报的平稳状态是否成立，以及确定实现平稳状态所需的去趋势与正规化窗口大小。应用Wiener-Khinchin定理建立检测模型，分析在不同时间窗情况下，两个资产类别如何实现局部或全局平稳，进而评价市场成熟度及波动性特征。

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2. 逐节深度解读

2.1 引言（Introduction）

• 主要内容：概述了时序分析中平稳性的重要概念，区分了严格平稳（strict stationarity, SSP）与宽义平稳（wide-sense stationarity, WSP）两种定义，强调绝大多数实际金融数据非严格平稳，仅满足第一、二阶矩不变的宽义平稳概念更为实用。引入了Wiener-Khinchin定理作为测试工具，同时指出现有的Dickey-Fuller检验因金融数据非高斯性质（q-Gaussian噪声）限制较大。

- 推理与假设：金融时间序列往往非平稳，需通过区间分割(segmenting)与去趋势(detrending)减少非平稳效应；Wiener-Khinchin定理对平稳过程功率谱与自相关傅里叶对偶性的利用，为检测所用。

• 学术贡献：首次将Wiener-Khinchin定理应用于比特币数据，与传统股市进行平稳性比较，扩展了该方法适用至非高斯分布金融时序。

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2.2 方法论（Methodology）

• 概括：定义价格回报过程，指出市场指数由确定性趋势成分与随机噪声两部分构成。价格回报同样拆分成趋势与噪声，噪声建模为q-Gaussian分布，方法上以移动平均进行去趋势处理，后续用滑动窗口估计时间局部的均值与方差用于正规化处理，确保时间序列均值为0，方差为1。

- 表达式说明：
- 价格回报定义为两个时间点指数差： \(X(t0,t)=I(t0+t)-I(t0)\)
- 指数分解： \(I(t) = \bar{I}(t) + I^(t)\)
- 价格回报分解： \(X(t) = \bar{X}(t) + x(t)\) ，其中噪声部分 \(x(t)\) 服从q-Gaussian分布
- 去趋势由滑动窗口 \(\Delta1 t\) 计算移动平均实现，正规化由滑动窗口 \(\Delta2 t\) 估计标准差实现

• 技术细节：去趋势与正规化窗口具有灵活性，窗口长度调节对应不同的“平稳化”程度，关键在于调研得出恰当的窗口大小以保证较好平稳性质。

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2.3 平稳性检测方法

• 核心：通过计算标准化价格回报序列 \(x^{}(t)\) 的样本自相关函数 \(Cx(s)\) 和其功率谱密度 （PSD） \( | \widehat{x}(f) |^2\)，依据Wiener-Khinchin定理理论，若时间序列为宽义平稳，则：

\[
| \widehat{x}(f) |^2 = \widehat{Cx}(f)
\]

• 计算与处理：将估计的自相关函数与PSD分别进行傅里叶变换后比对，两者应高度重合；为减少噪声，利用Savitzky-Golay滤波器进行平滑处理，带宽为3.97×10^(-5) Hz。

- 意义：这一方法避免了对数据分布的强假设，提供了一种基于频域与时域关系的平稳性量化工具。

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2.4 数据与结果（Data and Results）

2.4.1 S&P500分析

• 数据范围：1996年1月1日至2023年12月31日，每分钟价格指数。

- 初次验证：复现1996年至2021年3月数据（图1），用去趋势窗口 \(\Delta1 t=1\) 年，正规化窗口 \(\Delta2 t=60\) 分钟，结果显示频谱和自相关函数傅里叶变换优秀吻合，说明平稳性成立。

• 加长周期分析（1996-2023，图2）：相同参数下失去平稳性，进行正规化窗口缩小测试从60分减至10分钟，进而增进平稳指标匹配，最终10分钟窗口时平稳性得以这样建立。

- 事件分段分析：疫情前后对比
- 疫情前（1996年-2020年2月21日，图3）\(\Delta1 t=1\) 周，正规化窗口从60降至10分钟均表现平稳。
- 疫情后（2020年2月24日至2023年底，图4）同样去趋势窗口，60分钟正规化不平稳，降至10分钟基本可达近似平稳。

• 进一步拆分疫情后（图5与图6）

- 2020年疫情初期，需求正规化窗口20分钟才能较好平稳，10分钟进一步优化。
- 2021年至2023年，较长正规化窗口60分钟即可平稳。

结论：S&P500整体呈现“分段局部平稳”，疫情这一大事件确实使市场时序波动结构变得更加复杂，要求更细粒度处理才能恢复平稳状态。

2.4.2 比特币分析

• 数据范围：2019年4月2日至2023年12月31日，分钟级。

- 分段时间窗口：
1. 2019年4月2日至2020年12月31日
2. 2021年1月1日至2022年5月3日
3. 2022年5月4日至2023年12月31日

• 分析结果（图7至图9）

- 第一与第三区间，正规化窗口60分钟时非平稳，需降至10分钟左右。
- 第二区间（价格波动较大期），即2021年初至2022年5月，正规化窗口最大值60分钟即可实现平稳。

说明：比特币市场整体波动更大不稳定期明显，只有在高波动区间反而可以用较大窗口统计意义下实现平稳，其它时期多表现为局部平稳，需更小窗口进行正规化。

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2.5 讨论（Discussion）

• 研究所用方法是在St˘aric˘a和Granger关于S&P500的相关研究基础上发展而来，不同点在于：

- 本文采用更高时间分辨率的分钟数据，而非St˘aric˘a和Granger使用的日内数据。
- 针对均值和方差分别对不同的窗口 \(\Delta1 t\), \(\Delta2 t\) 进行估计，而非整体区间参数估计。

• 本文展示了一种全新分析方法，即寻找“最大窗口长度”使得序列转为宽义平稳。窗口越短，说明序列越不稳定、异质性越大。

- 研究发现某些时期需要较小窗口（即更频繁的更新统计参数）方可达到平稳，揭示市场行为的时变复杂性和不稳定性。

• 作者中肯地提出该方法虽有前景但仍需进一步改进，形成更加完备的分析体系。

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3. 图表深度解读

图1（第2页）

• 描述：展示复现1996-2021年3月S&P500价格回报的平稳性检测结果，蓝色实线表示自相关函数的傅里叶变换 \( \widehat{C_x}(f) \)，橙色虚线表示功率谱密度 \( | \widehat{x}(f) |^2 \) 。

- 解读：二者高度重合，说明平稳性满足，频率范围内自相关与功率谱信息对称一致。

• 视觉趋势：曲线整体向下平缓衰减，呈现一定波动峰值，说明频域存在显著的结构性成分。

图2（第3页）

• 描述：展示S&P500 1996-2023年全数据平稳检测，正规化窗口依次为60、40、20、10分钟（四个子图）。

- 解读：
- 60分钟窗口(2-a)显示明显偏离，二曲线平行但不重合，平稳性缺失。
- 窗口逐渐缩小，二者差距缩小，10分钟时（2-d）差距最小，趋近平稳。

• 意义：表明更细粒度窗口能校正波动异质性，使序列更具局部宽义平稳特性。

图3与图4（第3页）

• 描述：疫情前（图3）和疫情后（图4）局部时间片段的平稳测试，同样4个不同正规化窗口。

- 解读：疫情前60分钟窗口即表现平稳，疫情后60分钟失稳，需缩小窗口至10分钟方近似平稳。

• 联系文本：支持文本中对疫情影响下市场变异性的描述，验证了市场结构时变的观点。

图5与图6（第4页）

• 描述：进一步拆分疫情后为2020年（图5）和2021-2023年（图6），分别测试。

- 解读：
- 2020年窗口缩小至20分钟（5-c）即可平稳，10分钟（5-d）平稳更好。
- 2021-2023年大窗口60分钟即可平稳，体现市场波动从疫情初期的极端阶段逐渐回归平稳。

图7-9（第4与5页）

• 描述：比特币三个时间段平稳检测，正规化窗口同样为60、40、20、10分钟测试。

- 解读：
- 1、3区间显示60分钟窗口不满足平稳，需更细粒度正规化窗口。
- 2区间（波动剧烈区间）可用较大窗口60分钟实现平稳。

• 意义：比特币市场平稳性强烈依赖波动期，整体上异质性高于传统股市。

以上图片全部属于平稳性检测的频域验证图，蓝色与橙色曲线重合或接近代表测试时序达到宽义平稳。窗口参数变化体现市场动态的时变特征。

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4. 估值分析

本报告研究内容聚焦于时序的统计性质和结构特征分析，未涉及具体资产估值、价格目标或投资评级。因而不包含现金流折现、PE法或其他传统财务估值方法分析。

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5. 风险因素评估

研究主要围绕平稳性分析方法展开，虽然未显式列出风险因素，但从分析可归纳以下潜在风险：

• 市场结构非平稳风险：市场波动性随时间和事件(例如疫情)剧烈变化，导致局部非平稳性，影响基于历史数据的模型稳健性。

- 模型假设风险：基础模型假设噪声为q-Gaussian分布，假如实际数据背后机制复杂多变，导致模型误差。

• 窗口选择风险：去趋势及正规化时窗口选择差异可能带来对平稳性结论的显著影响。

报告未提供具体缓解策略，但通过局部分段和平滑技术以适应市场动态提供了逐步解决思路。

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6. 批判性视角与细微差别

• 模型适用性限制：应用Wiener-Khinchin定理需宽义平稳假设，实际金融数据极端跳变和异常时段可能挑战此假设。

- 假设噪声分布q-Gaussian的稳定性：定义虽宽松，但是否真正符合所有样本期波动尚需深入考证。

• 结果的依赖性于窗口长度：窗口大小影响深远，而窗口的选择部分依赖经验与试验，缺少理论上完全统一的标准。

- 疫情事件分割的主观性：虽然疫情为合理划分点，但短期事件影响可能不完全由时间段划分覆盖，存在内生和外生交织风险。

作者对此方法和结果都保持谨慎，承认仍需进一步完善模型和方法，是科研应有的客观严谨态度。

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7. 结论性综合

本文通过基于Wiener-Khinchin定理的频域自相关功率谱比较，创新性地测定了S&P500和比特币高频价格回报的宽义平稳性质。核心结论如下：

• S&P500市场表现出在长时间跨度（1996至2023年）整体非平稳，但通过去趋势（1年或1周窗口）与正规化（缩小到10分钟窗口）处理可实现局部平稳。疫情对市场结构影响显著，分段分析显示疫情后对小窗口依赖更强，表明市场波动结构更为复杂及不稳定。

- 比特币市场则波动更剧烈，整体平稳性更低，只有高波动区间（2021年初至2022年5月）才能用较大正规化窗口（60分钟）实现平稳，其余时期需更精细窗口才可近似平稳，反映此类资产仍处于较高异质性阶段。

• 本文提出的利用窗口大小适配的局部平稳分析方法创新性强，能更为细致地揭示时间序列复杂度及市场结构的动态变化，优于传统长期固定参数假设。

图表深刻见解：各图中绿色傅里叶自相关函数与红色功率谱密度曲线的重合度反映了不同市场阶段和窗口参数下的时间序列平稳性。缩小正规化窗口显著提高了二者契合度，提示市场在较短时间尺度内的异质波动性。疫情前后和市场波动期的图形对比非常直观地体现了市场稳定性的演化。

作者立场*：实证表明资产市场的平稳性质不是全局固定，而是依赖于具体的市场环境、资产类别及时间尺度。S&P500相对传统资产展现结构的平滑，且疫情后趋向恢复稳定；比特币则显示显著非平稳性。作者倾向认为，提出的方法对理解市场复杂性及稳定性有重要意义，并期待后续深化完善此方法。

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总结

本报告在基础统计学与频域分析的前沿交汇领域展开，针对金融资产时序深层结构的稳定性展开跨市场比较。其创新性方法和细致实证为金融计量学、风险管理和资产定价建模提供了新视角，尤其适用于高频数据时代。该研究对理解传统与加密资产差异及市场成熟度具有参考价值，且其分时段、分窗口的灵活分析框架，具有广泛应用潜力。

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