• 论文构建了基于Eisenberg-Noe清算网络模型的系统性风险测度框架，系统定义了不敏感（整体事后分配资本）和敏感（事前资本分配）系统性风险风险度量，其中风险度量采用VaR方法 [page::1][page::6][page::9]

- 针对敏感系统性VaR，定义集合值风险测度并引入对应的加权和与范数最小化标量化问题。通过采样样本构造的SAA形式转化为带有混合整数规划的有限样本优化问题，适于计算和数值分析 [page::8][page::9][page::17]

• 主要理论贡献为证明了SAA近似集的加权和标量化及距离函数的几乎必然凸收敛，进而保证SAA集合在Wijsman和Hausdorff拓扑下几乎必然一致收敛，拓展了SAA在集合值风险中的应用 [page::10][page::11][page::12][page::13][page::14][page::38][page::40]

- 针对Eisenberg-Noe模型，验证了理论假设，包括聚合函数满足单调性、连续性与有界性，及样本分布连续、满支撑，确立了测度非空性和界限性质，实现理论到实际金融网络的支撑 [page::14][page::15][page::16][page::17][page::44]

• 设计了基于MILP和MIQP的敏感系统性VaR的SAA算法公式，并提出两个网格搜索算法（基于清算向量和范数最小化标量化），对SAA集合做网格内逼近，算法保证有限步终止且误差可控 [page::17][page::18][page::19][page::20][page::48]

- 通过基于Bollobás优先连接模型生成的20节点核心-边缘金融网络，并利用Pareto分布模拟重尾经济冲击，数值验证算法性能和收敛，分析样本大小、网络参数对系统风险度量的影响，体现模型对金融结构敏感性 [page::20][page::21][page::22][page::23][page::24][page::25][page::26][page::27]

• 数值实验显示，网格算法中基于清算向量的算法运行时间优于基于范数最小化标量化的算法，且随着网格精度提升与样本扩充，计算需求显著增加但系统性风险测度趋于稳定，验证理论收敛性 [page::22][page::23][page::24][page::25]

- 网络结构参数调整显示，核心-边缘结构增强会降低系统性风险度量，表明该模型能有效捕捉金融机构间结构与风险传染关系，具备指导风险缓释措施潜力 [page::25][page::26][page::27]

• 理论与实证结合，研究提供集合值系统风险测量的数学基础和实用计算方案，对金融系统风险管理和监管具有重要参考价值 [page::28][page::44]

系统性风险的风险价值及其样本均值近似的收敛性质研究——详尽分析报告

---

一、元数据与概览

报告标题： Systemic Values-at-Risk and their Sample-Average Approximations
作者： Wissam AlAli（University of Houston）、Cag˘ın Ararat（Bilkent University）
发布日期及机构： 未明确具体日期，学术研究论文，涉及工业工程与金融风险管理领域
研究主题： 金融系统性风险度量，特别基于Eisenberg-Noe网络模型下的系统性VaR（风险价值），及其在样本均值近似法（SAA）中的收敛性质。

本报告围绕系统性风险的集合值风险度量，研究风险价值作为货币风险度量的样本均值近似的理论收敛性质，并以Eisenberg-Noe金融网络模型为具体案例，开展广泛的模型刻画与数值求解方案设计。作者强调了SAA方法在集合值系统性风险度量中的新颖性，证明了其在Wijsman和Hausdorff拓扑下的几乎必然收敛，为风险度量的计算与应用提供了严谨的理论保障。

---

二、逐节精读与剖析

1. 引言与背景（Sections 1 & 1.1）

• 核心论点

系统性风险定义为金融体系内的蔓延性不利冲击，往往引发连锁反应和金融传染（contagion）。2008年金融危机凸显了传统单一主体风险度量（如VaR、CVaR）无法充分捕捉彼此关联的机构间复杂相互作用，需发展更高阶的系统性风险度量模型。

• 模型背景

Eisenberg和Noe（2001）提出的金融网络模型，将银行间互相债务编码为带有支付清算机制的有向图，允许通过固定点算法或线性规划方法计算清算向量（支付实现）。该模型奠定了系统性风险测度的数学基础。后续研究扩展此模型以包括交叉持股、流动性风险、资产价格波动、违约成本等（Suzuki 2002、Elsinger 2009、Rogers & Veraart 2013等）。

• 理论挑战与动机

既有方法多依赖于有限概率空间，不能有效解决现实中存在的连续重尾分布（如Pareto分布）情境。本文致力于发展基于连续概率空间的系统性风险集合值度量的SAA理论，并针对价值-at-风险（VaR）这一非凸货币风险度量，证明其SAA的收敛性质，为实际金融网络风险管理提供理论与计算框架。

---

2. 系统性风险度量框架（Section 2）

• 数学符号与空间定义

引入了$d$维欧式空间，定义了向量的分量最小/最大（$\wedge , \lor$）、标准基向量、欧式范数，以及相关集合，例如$\mathbb{R}+^d$表示非负正交空间。
定义了Hausdorff距离与Wijsman收敛，后者由距离函数逐点收敛定义，Hausdorff收敛是更强的拓扑收敛。
设定了一个概率空间与随机向量空间$L^0(\mathbb{R}^d)$，并规定了多值映射、多元函数及其可测属性。

• 聚合函数

通过聚合函数$\Lambda: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\cup\{-\infty\}$将多维现金流信息映射成单一标量，用以度量整体系统的社会经济影响。
假设1对聚合函数做出了连续性、有效定义域为闭集且有界的技术要求。

• 货币风险度量

选定风险测度$\rho$具备单调性和平移不变性，定义其接受域为$\mathcal{A}$使得$\rho$可通过调整资本量化风险暴露。

• 敏感与非敏感风险度量

- 非敏感风险度量$r(\pmb{X}) = \rho(\Lambda(\pmb{X}))$反映的是集体资本补偿需求，即所有损失先聚合，再分配资本。
- 敏感风险度量$R(\pmb{X})$为集合值映射，直接输出可行的资本分配集合，反映资本预先分配到机构组，考虑资本分配的灵活性和敏感性。资本分配按照机构分组矩阵$B$实现。

• 敏感风险的标量化问题（Scalarizations）

解决集合值风险度量的难点常借助标量化，如加权和标量化（目标是资本加权总量最小化）和范数最小化标量化（寻找距参考点最近的资本分配方案）。

---

3. 系统性VaR及其样本均值近似（Section 3）

这是理论核心部分，结合上文定义的聚合函数与VaR风险度量，正式定义系统性VaR的敏感和非敏感版本：

• 非敏感系统性VaR实例为：

$$
r{\alpha,\lambda}(\pmb{X}) := \inf\{ y \in \mathbb{R} \mid \mathbb{P}(\Lambda(\pmb{X}) + y < \alpha) \leq \lambda \}
$$

• 敏感系统性VaR为：

$$
R{\alpha,\lambda}(\pmb{X}) := \{ z \in \mathbb{R}^g \mid \mathbb{P}(\Lambda(\pmb{X} + B^\top z) < \alpha) \leq \lambda, \ \mathbb{P}(\pmb{X} + B^\top z \in \mathrm{dom}\Lambda) = 1 \}
$$

两者皆为机会约束型优化问题。
样本均值近似法（SAA）通过用有限独立样本模拟真实风险约束，计算有限样本下对应风险度量的近似。

• 关键技术命题（Proposition 1）

连接SAA概率函数和真实概率函数，保证SAA中相关函数几乎必然以epi-收敛逼近真实函数，为后续收敛性论证提供基础。

• 收敛结果

- 对任意连续标量化$\varphi$，满足一定技术假设后，$\varphi$标量化下的SAA值几乎必然收敛于真实风险度量的对应值（定理1, 2）。
- SAA集合对敏感系统性VaR在Wijsman拓扑下几乎必然收敛（定理3），当满足适当的有界性（Assumption 5）和可逼近性（Assumption 6）条件。
- 进一步满足Motzkin分解（集合可写为紧集加正锥的和）假设情况下，SAA集合在Hausdorff距离意义下收敛（定理4），这是一种更强收敛保障。

---

4. Eisenberg-Noe模型实例研究（Section 4）

• 模型回顾

定义了Eisenberg-Noe金融网络由三元组$(\pi, \bar{p}, x)$构成，其中：
- $\pi$是保持各机构间债务占比的行随机矩阵，$\pi{ii}=0$
- $\bar{p}$为机构债务总额向量（正向量）
- $x$为机构的外部经营现金流向量（非负向量）

• 清算向量定义

满足有限责任与绝对优先原则，属于区间$[\mathbf{0}d, \bar{p}]$且满足固定点条件：

$$
p = \Phi(p) := ( \pi^\top p + x ) \wedge \bar{p}
$$

存在最大和最小清算向量。

• 聚合函数定义

总偿付金额最大值：

$$
\Lambda^{EN}(x) := \sup \{ \mathbf{1}d^\top p \mid p \leq \pi^\top p + x,\, p \in [0, \bar{p}] \}
$$

该函数在$\mathbb{R}+^d$上单调且连续，满足Assumption 1 和 5。

• 系统性VaR具体形式

敏感系统性VaR定义为

$$
R^{EN}{\alpha,\lambda}(X) = \{ z \in \mathbb{R}^g \mid \mathbb{P}(\Lambda^{EN}(X + B^\top z) < \alpha) \leq \lambda,\ \mathbb{P}(X + B^\top z \geq 0) = 1 \}
$$

• 非空性与有界性

$R^{EN}{\alpha,\lambda}(X)$非空的充分必要条件为阈值$\alpha \leq \mathbf{1}d^\top \bar{p}$。同时该集合关于正锥有向有下界和上界($\mathcal{Z}$)限制。

• 关键假设验证

证明当操作现金流$X$服从满支持的连续分布时，$R^{EN}_{\alpha,\lambda}(X)$满足之前SAA收敛所需的逼近序列存在（Theorem 5,6）。

• 优化表示

利用混合整数线性规划（MILP）刻画SAA集合的计算（Theorem 7），通过引入二进制变量表示VaR的非确定性阈值判断，确保SAA问题在有限维空间下可解。

---

5. 计算实验与算法实现（Section 5）

• 算法设计

- 算法1（基于清算向量的SAA网格搜索）：逐点计算满足VaR约束的网格点，依据累积接受概率判断集合部分，动态剔除不可接受点。
- 算法2（基于范数最小化标量化的SAA网格搜索）：通过MIQP计算距离最近的可行点，允许更精细划分但计算量大。

• 数据生成

通过Bollobás等人的定向优先连接模型模拟带有核心-边缘结构的20节点金融网络，参数包括入度、出度平滑常数和连接概率。资产现金流采用Pareto分布，体现重尾风险特征。

• 运行性能比较

表1显示不同精度下，两算法的网格点数量和运行时间。算法1通常优于算法2，因后者涉及更多混合整数变量的优化。网格划分越精细，计算时间呈指数增加。

• 风险集合可视化

图1反映$\epsilon$调整下的风险集合内点，显示风险集合对精度敏感且趋于精细，验证算法有效性。

• 敏感性分析

通过多次独立网络模拟（图2），观察系统风险度量对网络结构轻微变动的敏感反应；不同网络统计指标（平均度数、密度、聚类系数、核心-边缘误差等）与系统风险关系被系统分析（图4与表3）。

• 样本规模影响

表2和图3展示样本容量$N$变动对计算时间和风险度量近似集合的影响，整体近似稳定，时间消耗与场景数量非线性相关，提示基于SAA的实际应用需平衡精度和计算资源。

---

三、图表深度解读

表1. 两种算法在不同精度$\epsilon$下的运行表现

| $\epsilon$ | 网格点数量 | 算法1耗时（秒） | 算法2耗时（秒） |
|------------|-------------|-----------------|-----------------|
| 50 | 570 | 24.72 | 50.04 |
| 25 | 2175 | 45.68 | 99.96 |
| 10 | 13,464 | 114.19 | 505.83 |
| 1 | 1,328,148 | 13,846.72 | 163,242.83 |

解读
随着精度提高（$\epsilon$减小），网格点数迅速膨胀，导致算法耗时急剧上升。算法1对比算法2具有显著速度优势，主要归因于算法2需求解复杂的混合整数二次规划。因此，在实际操作中权衡效率与求解精度尤为重要。

---

图1. 不同$\epsilon$条件下的系统性VaR的SAA内点集近似图

• $x$轴：核心银行资本注入，$y$轴：边缘银行资本注入。

- 绿色区域表示满足风险价值约束的资本注入组合集合，随着$\epsilon$减小，区域边界变得更加光滑且拓展，表明更精细的资本配置策略。

图示清晰反映了对风险集合的逼近随计算精度变化的演进过程，支持理论上关于SAA集合收敛性的证明。

---

图2. （a）网络结构敏感度；（b）多次模拟后风险集合均值比较

• 图(a) 多个颜色叠加反映多次独立模拟网络的风险集合，清晰表明网络微小改动能导致风险集合波动，提示风险敏感度明显。

- 图(b) 多个集合均值图表明通过聚合多次模拟得到的稳定集合边界更为准确可靠。

---

表2. 不同样本容量$N$下，算法1的网格点数及运行时间

| $N$ | 网格点数量（×10^5） | 时间（秒） |
|-----|----------------------|------------|
| 5 | 6.21 | 2908.67 |
| 10 | 5.13 | 2020.09 |
| 20 | 5.68 | 2515.88 |
| 50 | 5.08 | 2244.23 |
| 100 | 5.12 | 2677.92 |
| 120 | 5.63 | 3403.30 |
| 140 | 5.84 | 3553.30 |
| 160 | 6.30 | 4314.21 |
| 180 | 5.13 | 3361.87 |
| 200 | 5.40 | 3821.29 |

解读
样本容量增加时，网格点数和时间表现并非完全线性增长，呈现一定波动，表明算法的性能受其他因素影响，如网格空间分布和算法启发式策略。

---

图3. 不同样本容量条件下SAA风险集合重叠图

标明了5到200个场景的资本注入组合近似风险集合重叠，显示随着样本数增加，风险集合趋于收敛且区域稳定，验证SAA方法的收敛效果。

---

图4. 不同网络参数$(\theta,\eta,\zeta)$组合下的核心-边缘结构影响及风险集合

• 图4(a)展示固定$\theta$和$\zeta$，$\eta$变化引起的系统性风险度量差异，证实随着$\eta$增大（增加中心与中心、边缘节点间的连接概率），风险度量下降，网络核心-边缘结构更鲜明。

- 图4(b)展示$\theta$和$\zeta$交换后的结构和风险度量变化，表明$\theta > \zeta$时更明显的核心-边缘结构和较低风险水准。

---

四、估值分析

本报告不直接涉及传统的估值问题，但在系统性风险度量框架内，通过风险价值（VaR）定义风险测度，结合聚合函数$\Lambda$体现网络支付清算效应，它将多维系统状态映射为单一风险尺度。该设定等价于求解多目标混合整数规划问题，目标为寻找满足风险概率约束的资本分配方案集合。

特征性估值要素包括：

• 利用最大清算向量作为网络最大偿付能力，聚合函数从财务网络的支付能力角度估算总体风险敞口。

- 风险度量基于机会约束（chance-constraint）优化，SAA通过采样替代概率约束，允许算法实现可行求解。

• 聚合函数$\Lambda^{EN}$的凸性和单调性确保优化问题的稳定性及SAA收敛性质。

---

五、风险因素与缓解策略

• 风险因素

- 操作现金流的不确定性，特别是多机构间的相关风险驱动整体网络支付能力随机性。
- 网络结构动态变化，核心-边缘模式影响风险扩散机制。
- 机会约束模型固有的随机性质使优化求解受样本量影响。
- VaR固有的非凸性带来数学与计算上的挑战。

• 缓解策略

- 采用样本均值近似技术，理论上保证近似风险集合对真实风险集合的收敛性。
- 借助混合整数规划对非线性概率约束进行有效处理，将复杂随机问题转化为可求解的优化问题。
- 通过分组矩阵$B$的设计，实现更灵活的资本分配方案，兼顾效率与公平。
- 采用优先连接模型加强对网络结构的建模精度，捕捉系统潜在传染路径。

---

六、批判性视角与细微差别

• 模型假设与限制

- 强依赖于$\Lambda$的定义和网络结构准确性，尤其假定操作现金流为正且存在确定结构，可能忽略负现金流及其他现实复杂因素。
- VaR的非凸性质虽被承认，但相关收敛过程对优化问题凸性的要求较弱，仍可能面临局部最优陷阱。
- SAA的收敛依赖于严格的技术假设（例如存在逼近序列和样本独立性），实际操作中若样本分布偏离假设则性能或有减弱。

• 计算复杂度

- MILP和MIQP虽已实现建模，但问题规模随银行数量和样本大小增加快速膨胀，规模化应用受限。
- 算法2（范数标量化）计算成本显著高于算法1，适应场景有限。

• 内部一致性

- 报告所给的理论推导与数值实验保持一致，充分体现了从理论建构到实践验证的严谨性。
- 多处利用多重拓扑收敛概念，理论层面清晰，但实际金融数据的噪声可能影响其实际表现。

---

七、结论性综合

本文提出了基于样本均值近似（SAA）的集合值系统性风险度量方法，特别聚焦采用VaR作为货币风险度量下的系统性VaR，结合Eisenberg-Noe金融网络模型为具体应用场景，系统研究了该风险度量及其SAA的理论收敛性质。核心成果如下：

• 系统性VaR定义及集合值风险度量框架完善地结合了网络互联的金融结构和风险资本分配问题。
• 提出的SAA方法在较弱假设下，即可实现对集合风险度量的强拓扑收敛（Wijsman与Hausdorff收敛），支持该方法的稳健性和可靠性。
• 对Eisenberg-Noe模型展开详尽分析，验证一般理论假设，确保理论结果可用于实际金融网络风险测度计算。
• 将SAA问题转换为混合整数线性/二次规划，设计了两套网格搜索算法，有效求解并逼近风险集合，同时揭示计算成本与算法选取的权衡。
• 基于Bollobás优先连接网络模拟，进行了丰富的数值实验，不仅验证算法性能，也揭示风险度量对网络结构和样本数量的敏感性，为风险管理提供了定量工具和操作指引。
• 结果明确显示核心-边缘结构对系统性风险的显著影响，为金融监管和风险缓释策略提供理论依据。

---

附：主要图表示例

图1：不同$\epsilon$下的风险集合逼近（示例）

说明：绿色区域显示了核心银行（x轴）与边缘银行（y轴）的资本注入组合满足风险约束的集合。$\epsilon$越小，逼近越精确。

图2：(a)多次网络结构引起的风险敏感性；(b)多个模拟均值

图3：不同样本量下SAA风险集合的稳定性叠加

图4：核心-边缘网络结构参数变动对风险度量及网络拓扑的影响

---

总结

本报告全面揭示了系统性风险价值作为集合值风险度量在复杂金融网络中应用的数学架构及其近似算法的理论依据与实证验证，涵盖了模型构建、公理化假设、概率收敛理论、混合整数规划建模和数值实验分析等多方面内容。研究成果在推动金融风险管理向多维、多机构、网络化方向深化中具有重要参考价值，兼具理论创新性与实践落地潜力，尤其适用于系统性风险监管和资本配置策略的制定。

[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27]

报告