• 研究基于CARMA(p,q)-Hawkes模型的跳跃过程，推广经典Hawkes过程，通过该复合模型刻画跳跃的自激和聚集特性，适用于金融市场跳跃价格建模 [page::0][page::1][page::3]。

- 资产价格由包含跳跃的对数动态驱动，跳跃时间由CARMA(p,q)-Hawkes过程控制，跳跃幅度为独立同分布随机变量，数学上保持对数价格的仿射特性便于计算特征函数 [page::2][page::3][page::4][page::5]。

• 引入用于风险中性测度的Radon-Nikodym导数，应用Esscher变换调整跳跃幅度分布，使贴现价格过程成为鞅，推导出风险中性下对数价格特征函数的ODE系统 [page::6][page::7][page::10]。

- 为欧式期权定价提出基于对数价格特征函数的高斯-拉盖尔求积数值方法，精度和效率优于Carr-Madan和COS方法，无需积分截断和阻尼因子，利于模型校准和实用计算 [page::11][page::12]。

• 设计了基于鞅强度上界的改进thinning方法高效模拟CARMA(p,q)-Hawkes跳跃，方便复合跳跃和跳跃扩散过程的蒙特卡洛模拟，用于期权价格估计和路径依赖衍生品定价 [page::13][page::14][page::15]。

- 数值实验涵盖三种模型（Hawkes、CARMA(2,1)-Hawkes、CARMA(3,1)-Hawkes），参数设定详见表1，结果显示较高准确度，与百万规模蒙特卡洛模拟价格吻合，支持模型的实用性 [page::16][page::17]

• 灵敏度分析揭示基线强度、跳跃均值与方差及波动率对隐含波动率的影响，迭代参数展现对拟合的调节能力，表明较高阶的CARMA模型在刻画跳跃记忆方面有优势 [page::17][page::21]

• 实证分析基于GameStop标的期权市场，选取高交易量的深度虚值期权进行拟合。CARMA(2,1)-Hawkes和CARMA(3,2)-Hawkes模型拟合误差明显小于传统Hawkes模型，显示该类模型在市场极端波动情形下更具解释力 [page::23][page::24]

• 通过对比市场隐含波动率曲线和三维波动率曲面，CARMA扩展模型更好捕获隐含波动率微笑和成熟期结构，具备强大的市场拟合能力与实用价值 [page::25][page::26]

• 附录给出假设跳跃幅度满足某些收敛条件时的简化模型，提供基于条件概率分布的欧式期权定价公式，显著降低计算复杂度，适合实际应用 [page::28][page::29][page::30][page::31][page::32]

- 总体而言，本文创新性地将CARMA(p,q)动态引入Hawkes跳跃强度中，结合风险中性测度变换和数值求积方法，系统解决复杂跳跃过程建模、估价与模拟问题，拓展了金融工程中跳跃模型的理论与应用边界 [page::27][page::30][page::32]

资深金融研究报告详尽分析报告

报告标题： Option Pricing with a Compound CARMA(p,q)-Hawkes
作者： Lorenzo Mercuri, Andrea Perchiazzo, Edit Rroji
发布机构及时间： 意大利米兰大学经济、管理及定量方法系及米兰比科卡大学统计与定量方法系，最新版本不限明确发布年份，但含2024年前沿引用和知识。
研究主题： 引入并研究复合CARMA(p,q)-Hawkes模型在金融资产价格动态中的应用，重点讨论其在欧式期权定价中的表现和优势。

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1. 元数据与报告概览

本报告主要提出并分析了一种基于自激点过程的复合CARMA(p,q)-Hawkes模型的资产价格动态新框架，旨在处理传统跳跃扩散模型无法充分刻画的跳跃簇集效应与复杂时间依赖结构。作者强调该模型拓展了经典Hawkes过程中的指数核形式，采用连续时间自回归滑动平均（CARMA）过程驱动跳跃强度，增强了模型的灵活性与拟合能力。模型的核心贡献包括：

• 提出一个在实世界及风险中性概率测度下均具有良好性质的跳跃过程模型，尤其跳跃幅度分布在风险中性测度下由Esscher变换调整。

- 发展基于该模型特征函数的高效欧式期权定价数值方法，革新引入Gauss–Laguerre求积法，相较Carr-Madan和COS方法更为稳定且较少参数依赖。

• 设计针对该过程的模拟算法，借助于对CARMA(p,q)-Hawkes强度的上界控制，实现高效跳跃时间的仿真。

核心结论是新型复合CARMA(p,q)-Hawkes跳跃模型在定价欧式期权时能够更好地复现市场隐含波动率微笑及深度虚值期权的交易行为，不同阶数的自回归与滑动平均参数对期权定价影响显著。报告基于复杂的理论推导、数值实验和实证校准系统展开，评级层面体现为模型有效性和实用性正向推荐。[page::0,1,2]

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2. 逐节深度解读

2.1 引言 （Sections 1）

作者回顾了经典布莱克-斯科尔斯模型无法解释如波动率微笑、偏态及跳跃行情的不足，介绍了引入跳跃成分的跳跃扩散模型如Merton、Kou模型。然而，这些传统模型不能捕捉跳跃的簇集聚集现象，即跳跃的自激效应，后者在金融危机等市场异常时刻尤为明显。为此，Hawkes过程成为刻画跳跃聚集的主流工具，但其指数核限制了对复杂时间依赖结构的表达能力，从而引入了CARMA(p,q)-Hawkes模型，替代强度过程的指数形式为更通用CARMA模型，提升了拟合灵活性和理论分析便利性。作者明确本研究聚焦跳跃时间结构，提出以复合CARMA(p,q)-Hawkes跳跃模型构建资产价格过程的新方案，并基于此开发欧式期权定价方法及模拟机制。

2.2 资产价格动态（Section 2）

资产价格$St$的动态定义为带有跳跃分量的SDE，跳跃由计数过程$Nt$和独立同分布的跳跃幅值$\{\epsilonk\}$组成。引入专门定义的对数跳跃幅值$Jk = \log(1 + \epsilonk)$，构造对数价格增量的复合CARMA(p,q)-Hawkes过程$Yt = \sum{k=1}^{Nt} Jk$。
配置跳跃强度$\lambdat = \mu + \mathbf{b}^\top Xt$，其中状态过程$Xt$满足SDE $\mathrm{d}Xt = \mathbf{A}Xt \mathrm{d}t + \mathbf{e} \mathrm{d}Nt$，矩阵$\mathbf{A}$为伴随矩阵，由AR系数决定，$\mathbf{b}$为MA系数向量。
重要推论——对数价格的条件特征函数呈对数仿射形式（log-affine），时间系数满足耦合ODE系统，详见式(15)，该结果形成了后续利用特征函数定价的理论基础。
其中，风险中性测度下对数价格动态通过Esscher变换调整跳跃幅度分布，实现无套利定价环境。此处引入了Radon-Nikodym导数过程以完成测度变换。

2.3 风险中性测度及特征函数转移（Section 2.1 & 2.2）

市场不完备导致需定义等价鞅测度$\mathbb{Q}$，使用Esscher变换调整跳跃幅度的分布，使得贴现资产价格为局部鞅。测度转换的关键变量$\theta^*$由方程（32）确定，例子包括正态跳跃幅值的显式解。
$\mathbb{Q}$测度下，对数资产价格特征函数形式保留对数仿射结构，时间系数满足修改后的ODE系统（34），跳跃分布为Esscher变换后的分布。
扩展时加入扩散成分，$\sigmat$为常数或随机过程，整体过程演绎为CARMA(p,q)-Hawkes跳跃扩散过程，条件特征函数可分离出扩散贝叶斯计算因子。

2.4 欧式期权定价方法（Section 3）

报告提出利用风险中性特征函数对欧式期权进行快速数值评估的新策略。传统Carr–Madan方法和COS方法存在截断积分域、需调节阻尼因子或多重近似误差等问题，作者采用Gauss–Laguerre求积，以加权正交多项式根为节点进行积分近似，误差可通过多项式阶数$m$有效控制。
提出的定价公式在（52）示出，允许直接计算欧式认沽期权价格，通过平价关系得到认购期权价格。此方法不需积分区间截断与阻尼因子的敏感参数调整，且数值稳定。

2.5 CARMA(p,q)-Hawkes模型模拟方法（Section 4）

鉴于CARMA强度矩阵$\mathbf{A}$可对角化，利用谱分解得到最大实部特征值$\lambda(\mathbf{A})$，报告建立强度的上界形式，方便利用thinning算法模拟跳跃时间。
算法1详细描述了：先模拟Hawkes过程的跳跃事件，根据上界接受或拒绝该事件成为CARMA跳跃事件。递归计算补偿因子$\int{t0}^T \lambdat dt$，提高模拟时计算准确性。
该模拟机制提高计算效率，适用价路径依赖衍生品定价。

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3. 图表与数据深度解读

图1 （第18页）

• 内容描述： 四张直方图展示在不同到期时间$T = \{0.25,0.5,1,3.5\}$下模拟跳跃次数$NT$的频率分布，对比三种模型（Hawkes、CARMA(2,1)-Hawkes、CARMA(3,1)-Hawkes）。

- 趋势解读： 随着到期时间增长，跳数上限和分布范围扩大，Hawkes模型在跳数多时频率略高，表现出更为持续的“自激跳跃”行为，CARMA模型跳跃数分布更为宽泛但相对分散，反映了更复杂的时间结构。

• 文本联系： 验证了不同模型在跳跃活动强度和簇集效应上的差异，支持后文期权价格和隐含波动率表现上的差异分析。

表1 参数配置（第16页）

• 列出各模型关键参数值，如基准跳跃强度$\mu$、MA参数$bi$、AR参数$ai$、跳跃均值和跳跃波动率等，保证对比实验的统一标准和公平性。

表2 欧式看涨期权价格对比（第17页）

• 通过Proposition 1计算与Monte Carlo模拟结果对比，价格误差均处于95%置信区间内，支持Gauss-Laguerre求积法准确有效。

- 隐含波动率（IV）图显示，三模型均能模拟基本微笑形态，Hawkes模型在短期内表现更高的IV水平，展现出对短期跳跃集聚的敏感。

图3 敏感度分析（第21页）

• 分析基准跳跃强度$\mu$、跳跃幅值均值$\muJ$、跳跃幅值标准差$\sigmaJ$、扩散波动率$\sigma$对隐含波动率的影响。发现$\mu$与IV呈正相关，且模型间对高$\mu$值差异加剧；$\muJ$对IV影响呈非单调；$\sigmaJ=0$时三模型一致，$\sigmaJ$增加拉大模型间差异；$\sigma$增高时，跳跃影响相对减弱，模型差异减少。

图4 自回归与滑动平均参数影响（第22页）

• 对自回归系数$a1$增加导致IV曲线整体下降，尤其对Hawkes模型敏感，CARMA(3,1)影响较弱。移动平均参数$b_0$增大带来IV曲线上移，模型间趋势一致。此结果强调模型参数调整对期权价格的细节影响，凸显高阶参数作用。

图5 GameStop股价走势（第23页）

• 显示2023-2024年区间内价格波动，大幅波动集中在社交媒体热点事件期间（阴影区间），体现极端市场环境，适合检验模型拟合能力。

表3 优化参数与拟合误差（第24页）

• 显示三模型校准后参数赋值与拟合误差（RRMSE%）。CARMA模型大幅降低误差，CARMA(3,2)-Hawkes表现最佳，表明高阶扩展显著提升拟合度，支持模型推广必要性。

表4 全样本与样本外拟合误差分解（第25页）

• CARMA(3,2)-Hawkes在全部及样本外（深度虚值期权）数据集上均表现出较低误差，尤其是超买虚值期权处拟合更优，显示该模型更适应非正常市场环境下的定价特征。

图6 不同模型隐含波动率对比（第25页）

• 散点图展示市场隐含波动率与三模型校准后隐含波动率拟合情况，CARMA(3,2)与市场数据曲线更紧密贴合，各价外区间拟合质量显著优于Hawkes。

图7 三维波动率曲面（第26页）

• 多时点多执行价隐含波动率三维曲面，更直观展示各模型对波动率笑面及期限结构的捕捉能力。CARMA模型展现了更丰富及平滑的曲面结构，斜率和凸度更符合实际数据。

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4. 估值分析

采用基于资产价格对数的特征函数估值方法，框架下推导出了欧式看跌期权价格的高效数值解，利用Gauss-Laguerre求积替代传统FFT或COS方法，规避了积分截断、阻尼因子调参等问题。
模型特征函数结构为对数仿射形式，可通过求解ODE系统得到数值解。风险中性测度下跳跃幅度通过Esscher变换调整，跳跃强度由CARMA(p,q)-Hawkes过程驱动，既能捕捉簇集特征，又具解析便利性。
定价公式适用近似实现与蒙特卡罗长期模拟结果保持良好吻合，具备实用推广潜力。

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5. 风险因素评估

报告中隐含的风险主要源于：

• 模型形式本身的结构性风险，如CARMA参数和跳跃幅度分布误设带来的拟合偏差。

- Esscher变换参数选择的潜在不稳定性，可能导致风险中性测度下价格偏离合理范围。

• 跳跃强度过程的拟合及时序特征捕捉不足，尤其在非平稳或极端市场环境下。

报告未显著展示针对上述风险的缓解策略，但通过灵活参数校准及高阶模型阶数提升，在一定程度上增强模型稳健性。模型可通过持续的实证检验和多市场数据校验进一步验证。

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6. 批判性视角与细微差别

• 报告基于一阶跳跃幅度独立假设，实务中跳跃幅度可能具持续性，模型对此未做深入扩展。

- Esscher变换对跳跃幅度调整固然经典，但可能无法涵盖所有市场风险溢价动态，替代或复合测度转换方法可进一步探究。

• 关于模型高阶参数的估计复杂度和过拟合风险需谨慎处理，尽管实证显示高阶模型更拟合数据，但实际应用中存在稳健性风险。

- 跳跃与扩散的独立性假设或限制了模型表达功能，未来可考虑耦合跳跃-扩散框架。

• 报告中实证选择以GameStop等极端市场案例为代表，结果是否对更一般市场有效需要后续验证。

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7. 结论性综合

本报告成功引入并详尽研究了复合CARMA(p,q)-Hawkes过程在金融资产价格跳跃动态捕捉中的潜力，理论框架完整，覆盖跳跃强度设计、测度变换和特征函数细致推导。通过Gauss–Laguerre正交求积法实现了欧式期权的高效定价，数值结果与蒙特卡罗方法高度吻合。高阶CARMA模型结构相比经典Hawkes，能更准确反映跳跃聚集特性和波动率微笑，实证校准显示其对极端市场（如GameStop事件）隐含波动率拟合能力显著优于传统模型。

图表支持如下核心观点：

• 图1中跳跃次数分布验证了模型间自激跳跃特性的不同表现；

- 表2与图6对比了定价准确性和隐含波动率拟合度，展示数值方法的有效性和模型的优势；

• 敏感度分析（图3、图4）揭示了关键参数对期权价格的制度影响，强调参数估计及模型设置的重要性；

- 实证案例（表3、表4及图7）展示了CARMA模型结构的实用价值和改进空间。

综上，本报告为跳跃扩散资产定价理论与实证提供了极具深度的新工具与思路，尤其适合处理金融市场中频发簇集跳跃事件与波动率结构复杂性的情形。其创新的数值实现方式（Gauss–Laguerre求积）与模拟算法也为后续衍生品估值及风险管理奠定了良好基础。[page::0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32]

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术语与模型快速释义

• Hawkes过程： 自激点过程模型，事件发生提高未来事件的概率，常用于刻画跳跃聚集现象。

- CARMA(p,q)模型： 连续时间自回归滑动平均模型，扩展ARMA模型构造，适用于建模复杂的随时间变化的强度过程。

• Esscher变换： 一种风险中性测度转换方法，调整跳跃幅度分布的概率权重使得资产价格贴现期望为鞅。

- Gauss-Laguerre求积： 一种通过Laguerre正交多项式根和权重对含有指数权重的积分进行数值近似的方法，适用于半无限积分区间。

• Radon–Nikodym导数： 用于在概率测度之间转换的密度过程，确保新测度下的价格过程是鞅。

- 跳跃扩散过程： 同时考虑连续扩散与离散跳跃的资产价格模型，更真实反映实际市场价格行为。

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综上，报告对传统金融跳跃模型进行了重要拓展，提出了结构灵活且数值友好的新型跳跃模型及定价策略，理论完善、数值验证及实证应用均充分，具有较高学术价值和潜在应用前景。

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